DESIGUALDADES Onofre Campos

Transcrição

1 OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL II SEMANA OLÍMPICA Slvdor, 9 6 de jeiro de 00 DESIGUALDADES Oofre Cmpos oofrecmpos@olcomr Vmos estudr lgums desigulddes clássics, como s desigulddes etre s médis ritmétic e geométric, desiguldde de Cuchy-Schwrz, detre outrs Pr isso, precismos estr fmilirizdos com lgums proprieddes ásics que dizem respeito às desigulddes etre úmeros reis Detre ests proprieddes, é fudmetl que etedmos s seguites: Proposição Se é um úmero rel etão 0, com iguldde ocorredo qudo = 0 De um modo gerl, se,,, são úmeros reis etão , com iguldde ocorredo se, e somete se, = = = = 0 Proposição Cosidere fução do segudo gru f = + + c, com > 0 Defiido = 4c, etão f 0, pr todo rel se, e somete se, 0 Se = 0, etão eiste um úico rel tl que f = 0 Dests proposições, decorrem outrs desigulddes, stte comus, como veremos Prolem Sejm, e c úmeros reis Mostre que + + c + c + c, com iguldde ocorredo se, e somete se, = = c Usdo que = +, desiguldde dd reduz-se + c + c 0 Or, est últim desiguldde é sempre verddeir e iguldde ocorre se, e somete se, = c = c = 0, ou sej, qudo = = c, como querímos mostrr Um oservção importte que devemos fzer é que escrevedo 0, seguese que + 0, ou id, *, com iguldde qudo = Este é um resultdo stte simples e que será geerlizdo mis dite Se e forem positivos, podemos id escrever y, pr lgum rel y De *, segue-se que pr quisquer, y > 0, y com iguldde ocorredo se, e somete se, = y y,, pr lgum rel e

2 Sem Olímpic Nível II Prof: Oofre Cmpos Prolem Sejm, e c reis positivos Mostre que + + cc + 8c Bst oservr que, c c e c c Multiplicdo ests três desigulddes chegmos à desiguldde desejd Prolem Olimpíd Nórdic Determie todos os, y, z reis miores que tis que y z y z y z Escrevemos ou, de modo simplificdo, Alogmete, descorimos que e que * y y y z z z Filmete, somdo ests três últims desigulddes otemos y z y z ** y z Como iguldde ocorre em **, deve ocorrer tmém em, e Pr que iguldde ocorr em, por eemplo, deve ocorrer tmém em *, o que os dá + = 0 Como >, devemos ter devemos ter y z Alogmete,

3 A Desiguldde etre s médis Aritmétic e Geométric Sem Olímpic Nível II Prof: Oofre Cmpos Defiição Sejm,,, úmeros reis positivos Defie-se Médi Aritmétic MA e Médi Geométric MG de,,, d seguite form: MA = e MG = Teorem Se,,, são reis positivos,, etão MA MG, ou sej,, com iguldde ocorredo se, e somete se, = == Em outrs plvrs, Médi Aritmétic de úmeros reis positivos é mior que ou igul Médi Geométric, com iguldde somete qudo todos os úmeros forem iguis Demostrção: Fremos um demostrção por idução sore, d seguite meir: se o teorem for válido pr quisquer reis positivos, mostrremos que é válido tmém pr quisquer reis positivos Depois mostrremos que se é válido pr quisquer reis positivos etão é válido tmém pr quisquer reis positivos Dess form, percorreremos todos os úmeros turis e idução ficrá complet Pr =, o teorem os dá já foi provdo, com iguldde se, e só se, = Isso Agor, supoh que o teorem sej válido pr quisquer úmeros reis positivos Hipótese de Idução Vmos mostrr que pr quisquer reis positivos o teorem cotiu válido De fto, cosidere os reis positivos,,,, +,, Temos, como querímos mostrr Agor mostrremos que se o teorem é válido pr um ddo turl etão é válido tmém pr Cosidere os reis positivos,,, e defi Dess form temos Como o teorem vle pr quisquer reis positivos Hipótese de Idução, etão

4 Sem Olímpic Nível II Prof: Oofre Cmpos Simplificdo, otemos Logo, pel defiição de, segue-se que, e o teorem é válido tmém pr Flt pes mostrr que iguldde ocorre, em mos os csos, somete qudo todos os úmeros forem iguis Isso será deido como eercício Prolem 4 Se, e c são reis positivos tis que + + c =, mostre que P = 64 c Desevolvedo o ldo esquerdo d desiguldde, otemos P c c c c Usdo que MA MG, temos: c c Fzedo c = q, segue que q c D mesm form, e usdo que q c c c, em * ficmos com c q, P + q + q + q = + q Filmete, usdo que + + c =, segue que c c q q Logo, em **, cocluímos que P + = 64, como querímos mostrr 4

5 Sem Olímpic Nível II Prof: Oofre Cmpos 5 A Desiguldde de Cuchy-Schwrz Teorem Sejm,,,,,,, reis ddos ão ecessrimete positivos, ão todos ulos > Etão Além disso, teremos iguldde se, e somete se, os i e os i forem proporciois, ie, se, e somete se, eistir um rel positivo tl que i = i, pr todo i Demostrção: Cosidere seguite fução do segudo gru f, que podemos escrever como f Oserve que f 0 pr todo rel, visto que f se escreve como som de qudrdos, de modo que 0, isto é, Cceldo o ftor 4 e etrido riz qudrd de mos os memros, chegmos desiguldde de Cuchy: Emiemos gor iguldde Se houver iguldde, quer dizer, se for 0, etão o triômio tem um riz rel : 0 Dess form todos os prêteses devem ser ulos, ie, i = i, pr todo i Etão, iguldde deve ocorrer qudo os i forem diretmete proporciois os i É evidete que se eles forem proporciois iguldde ocorre Corolário Ddos reis positivos,,,, temos, com iguldde se, e somete se, = == Demostrção: Fç = == = desiguldde de Cuchy-Schwrz A iguldde ocorre se, e somete se, j =, pr j =,,

6 Sem Olímpic Nível II Prof: Oofre Cmpos Prolems Propostos Sejm, e c os comprimetos dos ldos de um triâgulo Mostre que fução é positiv, pr todo rel f = + + c + c Olimpíd do Coe Sul 994 Sej p um rel positivo ddo Achr o míimo vlor de + y sedo que e y são úmeros reis positivos tis que y + y = p Se e são reis positivos tis que + =, prove que ocorre iguldde 4 e determie qudo 7 4 Mostre que se, > 0 e + =, etão 5 5 Seleção pr Coe Sul 998 Sejm, y reis positivos stisfzedo + y + y > Prove que pelo meos um dos úmeros + y e y + y é mior que 6 Mostre que se, e c são reis positivos etão c c c 7 Se,, c, d e e são úmeros reis tis que + + c + d + e = 8 e + + c + d + e = 6, determie o máimo vlor de e 8 Olimpíd Riopltese 98 Sejm,, c úmeros reis positivos tis que + + c = Mostre que c c c c 9 Sej P um poto o iterior de um triâgulo e sejm h, h e h c s distâcis de P os ldos c, e c, respectivmete Mostre que o vlor míimo de ocorre qudo P é o h h hc icetro do triâgulo ABC 0 Toreio ds Ciddes 94 Prove que pr quisquer reis positivos,,, vle desiguldde 6