Capítulo IV. Funções Contínuas. 4.1 Noção de Continuidade

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1 Cpítulo IV Funções Contínus 4 Noção de Continuidde Um idei muito básic de função contínu é de que o seu gráfico pode ser trçdo sem levntr o lápis do ppel; se houver necessidde de interromper o trço do gráfico pr o continur noutro locl então é porque ocorre um descontinuidde De cordo com est idei observndo s figurs seguintes vemos que f e g são contínus enqunto que s funções h j e k são descontínus respectivmente em ; e Z \ {} 89

2 Cpítulo IV: Funções Contínus 9 E qunto às funções m n e l? O que contece nests três funções é que s possíveis descontinuiddes encontrm-se nos etremos dos respectivos domínios Pergunt: Serão ests três funções descontínus? Respost: Não Como temos fldo o conceito de continuidde num ponto está relciondo com o comportmento d função num vizinhnç de f e em f Isto record-nos o conceito de ite ssim: Definição: Se D f e f está definid num vizinhnç de qundo e só qundo eiste f e f f diz-se que f é contínu em Se D f e f não está definid num vizinhnç de isto é é um ponto isoldo então f é contínu em Se D f e f está definid num vizinhnç de em se diz-se que f é descontínu

3 Cpítulo IV: Funções Contínus 9 não eiste f isto é os ites lteris são diferentes ou são infinitos ou simplesmente não eistem ou f f 4 Diz-se que f é um função contínu se é contínu pr todo ponto D f A definição forml de continuidde é seguinte: Sej f : D f IR IR e D f Diz-se que f é um função contínu no ponto se f ε ε > δ > : < δ f < Isto quer dizer que: f é um função contínu no ponto se pr qulquer intervlo centrdo em ordends f do tipo ] ε f ε[ eiste pelo menos um intervlo d form ] δ δ [ ponto pertence o intervlo ] ε f ε[ f f reltivmente às onde imgem de qulquer Compre est definição com de ite Ests definições são precids o que lter é que em vez de L temos f e em vez de ] δ δ [ \ { } temos ] δ δ [ Definição: Se Se D f f diz-se contínu à direit de D f f diz-se contínu à esquerd de se f f se f f

4 Cpítulo IV: Funções Contínus 9 Eemplos: < h h não é contínu em porque h h Pode dizer-se que é contínu à direit em > < 6 j j não é contínu em pois j j 4 j não é continu à esquerd nem à direit de i não é contínu em pois 5 i i A função Sinl definid por < > Sng não é um função contínu em pois Sng Sng A função Heviside definid por < H não é um função contínu em pois H H no entnto é continu à direit de i

5 Cpítulo IV: Funções Contínus 9 m m é contínu em e m pois m m e m m m m é contínu em pois é um ponto isoldo n é contínu pois todos os pontos 4 do seu domínio D {4 } são pontos isoldos l < n não tem sentido nlisr continuidde de l em pois Dl l é contínu em l pois l l ; y 5 A função f é contínu em todo o seu 5 domínio O ponto onde poderi surgir dúvid er ms -5 D f -5 A função < f é contínu em > todo o seu domínio Onde poderi hver dúvids er em ms D f

6 Cpítulo IV: Funções Contínus 94 < A função f não é contínu em porque D f e f Not: Ao contrário d definição de ite só tem sentido flr em continuidde de um função f em se D f e interess o que se pss num n vizinhnç do ponto incluindo e tmbém imgem do ponto 4 Proprieddes ds funções contínus Teorem: Sejm f e g dus funções contínus em Então s funções f ± g ; cf c IR ; fg ; g f g tmbém são funções contínus em Se g é continu em e f é contínu em g então f g é contínu em Se g b e se f é contínu em b então Eemplos: f f e e f g f g f g e sen f sen f Proposição: As funções polinomiis rcionis eponenciis logrítmics trigonométrics directs e trigonométrics inverss são funções contínus

7 Cpítulo IV: Funções Contínus 95 Eercício: Mostre que função f definid por rcsen se f é contínu se > ln Resolução: O domínio de f é [ [ \ { } Se [ [ verifique! função é definid por rcsen est é um função contínu pois é compost d função invers trigonométric rcsen com função polinomil mbs funções contínus Se ] [ \ { } função é definid por est é um função contínu pois é ln quociente d função polinomil com função logritmo ln que pel proposição nterior sbemos trtr-se de funções contínus Flt nlisr continuidde em : f rcsen o eiste f ; f ln o f rcsen Logo f é contínu em pois verific-se f f

8 Cpítulo IV: Funções Contínus 96 4 Teorems fundmentis sobre continuidde Teorem dos vlores intermédios ou de Bolzno: Sej f um função contínu no intervlo fechdo [ b] Se d está entre f e f b então eiste c [ b] tl que c d f Note que condição de continuidde é fulcrl neste resultdo pois cso não se verifique conclusão do teorem pode não ser válid Eemplo: Sej f definid no intervlo fechdo [ ] tl que f se se se < < Não eiste nenhum elemento c [ ] tl que c f O intervlo onde est função está definid é fechdo ms função não é contínu no ponto Este teorem tem prticulr interesse n obtenção de zeros rízes de funções reis Corolário: Sej f um função contínu no intervlo fechdo [ b] Se f f b < então eiste pelo menos um zero no intervlo [ b] c [ b] : f c isto é

9 Cpítulo IV: Funções Contínus 97 Eercício : Mostre que função f 4 5 tem pelo menos um zero intervlo ] [ Resolução: Como f é um função polinomil é contínu em IR e em prticulr é contínu no intervlo fechdo [ ] Além disso f 9 e Como f f < [ ] Como f e f no intervlo berto ] [ f o corolário firm que eiste pelo menos um zero no intervlo podemos grntir eistênci de um zero d função f Eercício : Mostre utilizndo o teorem de Bolzno ou o seu corolário que equção tem pelo menos um riz rel Resolução: Defin-se f no intervlo fechdo [ ] f é um função polinomil logo é contínu em IR e em prticulr no subconjunto [ ] Como f 5 < f o corolário nterior firm que eiste pelo menos um [ ]: f c c ou sej equção tem pelo menos solução um riz rel no intervlo [ ] c ficndo desde já provd eistênci de pelo menos Como foi definido trás sej f : D IR e c diz-se que c f D f f é um máimo de f se f c D e diz-se que c mínimo de f se f c f D f é um

10 Cpítulo IV: Funções Contínus 98 Teorem de Weierstrss: Se f é um função contínu no intervlo fechdo [ b] então f tinge o vlor máimo e o vlor mínimo É clro que se f é um função constnte f c definid no intervlo [ b] que constnte c é o vlor máimo e mínimo de f então é óbvio Observção: Se lgum ds condições do teorem flhr conclusão do teorem poderá não se verificr Eemplos: Sej f definid no intervlo berto ] [ Est função não tem máimo nem mínimo Repre que não se pode plicr o teorem de Weierstrss porque o intervlo onde est função está definid não é fechdo embor f sej contínu pois é quociente de funções polinomiis Sej gor f definid no intervlo fechdo [ ] tl que se f se < < se A função f não é contínu nos pontos e e portnto não se pode plicr o teorem de Weierstrss relembrr que nos pontos etremos do domínio só continuidde lterl deve ser verificd É fácil ver que est função tmbém não tem máimo nem mínimo