TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO

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1 ANÁLISE MATEMÁTICA I TEORIA E EXERCÍCIOS ANA SÁ BENTO LOURO 3

2 Índice Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões. Noções topológics em R Indução mtemátic Sucessões de números reis Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde 3. Generliddes sobre funções reis de vriável rel Limites. Limites reltivos Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno Continuidde uniforme Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Derivds. Regrs de derivção Teorems Fundmentis: Rolle, Drbou, Lgrnge e Cuchy Indeterminções Teorem de Tylor Aplicções d fórmul de Tylor Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Primitivs imedits Primitivção por prtes e por substituição Primitivção de funções rcionis Primitivção de funções lgébrics irrcionis Primitivção de funções trnscendentes Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes Clsses de funções integráveis Teorems Fundmentis Áres de figurs plns Integris impróprios

3 ii ÍNDICE 6 Eercícios Funções Trigonométrics Inverss Noções Topológics Indução Mtemátic Sucessões Continuidde Continuidde Uniforme Diferencibilidde. Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy Fórmul de Tylor Estudo de um função Primitivção Integris Cálculo de áres Integris Impróprios

4 Cpítulo Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões. Noções topológics em R Definição.. Sejm R, ε >. Chm-se vizinhnç ε de o conjunto V ε () = ] ε, + ε[. Definição.. Sejm R e A um conjunto de números reis. Diz-se que é interior A se eistir um vizinhnç de contid em A. Diz-se que é fronteiro A se tod vizinhnç de intersect A e R \ A. Diz-se que é eterior A se eistir um vizinhnç de contid em R \ A. NOTA: Um ponto é eterior A se, e só se, é interior R \ A. Definição..3 O conjunto dos pontos interiores A chm-se interior de A e represent-se por int(a). O conjunto dos pontos eteriores A chm-se eterior de A e represent-se por et(a). O conjunto dos pontos fronteiros A chm-se fronteir de A e represent-se por fr(a). NOTA: Qulquer que sej A R tem-se: int(a) et(a) =, int(a) fr(a) =, fr(a) et(a) = e int(a) fr(a) et(a) = R. EXEMPLO : Sejm A =], ], B = [, ], C = [, [, D =], [. Então int(a) = int(b) = int(c) = int(d) =], [, fr(a) = fr(b) = fr(c) = fr(d) = {, }, et(a) = et(b) = et(c) = et(d) =], [ ], + [. { } EXEMPLO : Sej A = n, n N. Então int(a) =, et(a) = R \ (A {}) e fr(a) = A {}. EXEMPLO 3: Sej A = Q. Então int(a) = et(a) =, fr(a) = R.

5 . Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões Definição..4 Sej A um subconjunto de R. Diz-se que A é berto se A = int(a). Definição..5 Sej A um subconjunto de R. Chm-se fecho ou derênci de A o conjunto A = A fr(a). Diz-se que é derente A se A. A diz-se fechdo se A = A. NOTAS:. Ds definições, conclui-se fcilmente que A = int(a) fr(a).. A é fechdo se, e só se, fr(a) A. 3. A é fechdo se, e só se, R \ A é berto, isto é, R \ A = int(r \ A) = et(a). EXEMPLO : Sejm A =], ], B = [, ], C = [, [, D =], [. B é fechdo, D é berto, A e C não são fechdos nem bertos. { } EXEMPLO : A = n, n N não é fechdo nem berto (note que fr(a) = A {}). { } EXEMPLO 3: A = n, n N {} é fechdo. Definição..6 Sejm R e A um subconjunto de R. Diz-se que é ponto de cumulção de A se tod vizinhnç de intersect A \ {}. Ao conjunto dos pontos de cumulção de A chm-se derivdo de A. Diz-se que é ponto isoldo de A se A e eiste um vizinhnç de que não intersect A \ {}. EXEMPLO : Sej A = de A são isoldos. { } n, n N. é ponto de cumulção de A. Todos os pontos EXEMPLO : Sej A = [, [ {}. O conjunto dos pontos de cumulção de A é [, ]. é ponto isoldo de A. NOTA: Se int(a), então é ponto de cumulção de A. Definição..7 Sejm R e A um subconjunto de R. Diz-se que é mjornte de A se, A. Diz-se que é minornte de A se, A. Definição..8 Sej A um subconjunto de R. Diz-se que A é mjordo se dmitir mjorntes. Diz-se que A é minordo se dmitir minorntes. Se A for mjordo e minordo, diz-se que A é itdo.

6 . Noções topológics em R 3 EXEMPLO : A = { R : < } é itdo. EXEMPLO : ], [ é mjordo. EXEMPLO 3: [, + [ é minordo. EXEMPLO 4: A = { R : > } não é mjordo nem minordo. Teorem.. A é itdo se, e só se, M >, M, A. Demonstrção: Se A for itdo, sejm ν um minornte de A e µ um mjornte de A; se M for o mior dos dois números ν e µ, então M, A (se µ = ν =, tom-se M >, qulquer). Reciprocmente, se M >, M, A, isto é, M M, A, então M é mjornte de A e M é minornte de A. Definição..9 Sej A um subconjunto mjordo de R. Diz-se que β é o supremo de A se β for mjornte de A e for menor que todos os outros mjorntes de A (isto é, se β for o menor dos mjorntes de A); represent-se por β = sup(a). Se β, supremo de A, pertencer A, diz-se que β é o máimo de A; neste cso, represent-se por β = m(a). Definição.. Sej A um subconjunto minordo de R. Diz-se que α é o ínfimo de A se α for minornte de A e for mior que todos os outros minorntes de A (isto é, se α for o mior dos minorntes de A); represent-se por α = inf(a). Se α, ínfimo de A, pertencer A, diz-se que α é o mínimo de A; neste cso, represent-se por α = min(a). EXEMPLO : Sej A = { R : < }. Então inf(a) = e sup(a) =. A não tem máimo nem mínimo. EXEMPLO : Sej A =], ]. Então inf(a) = e sup(a) = m(a) =. EXEMPLO 3: sup(], [) =. Não eiste ínfimo deste conjunto. Teorem.. Em R, todo o conjunto mjordo tem supremo e todo o conjunto minordo tem ínfimo. Não dremos qui demonstrção do Teorem. Isso levr-nos-i um estudo mis profundo do conjunto dos números reis, que não está nos propósitos deste curso. Teorem..3 Sej A um subconjunto de R. Então β = sup(a) se, e só se, β é mjornte de A e ε >, A : > β ε. Anlogmente, α = inf(a) se, e só se, α é minornte de A e ε >, A : < α + ε.

7 4. Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões Demonstrção: Demonstrremos propriedde pr o supremo. Pr o ínfimo proceder- -se-i de modo nálogo. Vmos primeiro demonstrr que se β = sup(a) então β é mjornte de A e ε >, A : > β ε. Fá-lo-emos pel contr-recíproc, isto é, negndo tese chegremos à negção d hipótese (trt-se d bem conhecid proposição d lógic forml A B equivlente B A). Se β não for mjornte de A, β não é o supremo de A (definição de supremo) e o problem fic resolvido. Se ε >, A, β ε, então β não é o supremo de A visto que β ε é mjornte de A e β ε < β. Reciprocmente, vmos mostrr que se β é mjornte de A e ε >, A : > β ε, então β = sup(a). Usmos, de novo, contr-recíproc. Se β não for o supremo de A, então ou não é mjornte ou é mjornte ms eiste, pelo menos, outro mjornte de A menor que β. No último cso, sej γ esse mjornte. Então, fzendo ε = β γ (> ) temos A, γ = β ε, que é negção d hipótese.

8 . Indução mtemátic 5. Indução mtemátic Pr demonstrr que certs proprieddes são válids no conjunto dos números nturis, N, us-se o Princípio de Indução Mtemátic que pssmos enuncir: Um propriedde é válid pr todos os números nturis se:. A propriedde é válid pr n =,. Pr todo o n nturl, se propriedde é válid pr n, então el é válid pr n +. EXEMPLO :Vmos mostrr, usndo o Princípio de Indução Mtemátic, fórmul d som de um progressão geométric: se então n p= p = n, n N. Se n =, fórmul é trivil: = =.. Se dmitirmos que propriedde é válid pr n, então: n+ p = p= n p= p + n+ = ( ) n n + n+ = + n = = n + n n+ = n+ EXEMPLO : Usndo o Princípio de Indução Mtemátic, vmos demonstrr seguinte iguldde (Binómio de Newton): ( + b) n = n p= n C p n p b p,, b R, n N ) Se n =, propriedde é válid: + b = C + C b. ) Vmos gor dmitir que propriedde é válid pr n; então ( + b) n+ = ( + b) ( + b) n = ( + b) n p= n C p n p b p = = n p= n C p n+ p b p + n p= n C p n p b p+ = (fzendo p + = s) = n p= n C p n+ p b p + n+ s= n C s n s+ b s =

9 6. Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões (como s é vriável mud, podemos substituí-l por p) = n p= n C p n+ p b p + n+ p= n C p n p+ b p = = n+ + n p= n C p n+ p b p + b n+ + = n+ + b n+ + n p= n C p n p+ b p = n ( n C p + n C p ) n+ p b p = p= = n+ + b n+ + = n+ p= n p= n+ C p n+ p b p = n+ C p n+ p b p

10 .3 Sucessões de números reis 7.3 Sucessões de números reis Definição.3. Chm-se sucessão de números reis tod plicção de N em R. Os elementos do contrdomínio chmm-se termos d sucessão. Ao contrdomínio chm-se conjunto dos termos d sucessão. NOTA: É usul designrem-se os termos d sucessão por u n, em detrimento d notção u(n), hbitul pr s plicções em gerl. Definição.3. A epressão designtóri que define sucessão chm-se termo gerl d sucessão. EXEMPLO : u n = n EXEMPLO : u n = cos(n). NOTA: Podem-se definir sucessões sem eplicitr o termo gerl. É o cso d definição por recorrênci. Eemplo: u =, u =, u n+ = u n+ + u n (sucessão dos números de Fiboncci). Por vezes dão-se pens lguns termos d sucessão que induzem o leitor inferir os restntes. Eemplo:,,,,, 3,,, 3, 4,... Definição.3.3 Um sucessão diz-se itd superiormente se o conjunto dos seus termos for mjordo; diz-se itd inferiormente se o conjunto dos seus termos for minordo; diz-se itd se o conjunto dos seus termos for itdo. EXEMPLO : u n = n é itd inferiormente, ms não superiormente. EXEMPLO : u n = n é itd superiormente, ms não inferiormente. EXEMPLO 3: u n = ( n) n não é itd superiormente nem inferiormente. EXEMPLO 4: u n = cos(n) é itd. Definição.3.4 Dds dus sucessões de números reis u e v, chm-se som, diferenç e produto de u e v às sucessões u+v, u v e uv de termos geris, respectivmente, u n + v n, u n v n e u n v n. Se v n, n N, chm-se sucessão quociente de u e v à sucessão u/v de termo gerl u n /v n. Definição.3.5 Um sucessão u diz-se crescente se u n u n+, n N; diz-se estritmente crescente se u n < u n+, n N; diz-se decrescente se u n u n+, n N; diz-se estritmente decrescente se u n > u n+, n N; diz-se monóton se for crescente ou decrescente; diz-se estritmente monóton se for estritmente crescente ou estritmente decrescente.

11 8. Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões EXEMPLO : u n = n é estritmente crescente. EXEMPLO : u n = n é estritmente decrescente. EXEMPLO 3: u n = ( n) n não é monóton. Dds dus sucessões u e v, se v é um sucessão de números nturis, composição u v ind é um sucessão, de termo gerl u vn. Por eemplo, se u é sucessão,,, 3,, 4,... e v n = n, então u vn = ; se z n = n, então u zn = n + ; se s n = 4, então u sn = 3. Definição.3.6 Dds dus sucessões u e w, dizemos que w é subsucessão de u se eistir v, sucessão de números nturis, estritmente crescente, tl que w = u v. EXEMPLOS: Ds sucessões considerds nteriormente, u v e u z são subsucessões de u, ms u s não é subsucessão de u. NOTAS:. Tod subsucessão de um sucessão itd é itd.. Um sucessão pode não ser itd e ter subsucessões itds. Eemplo: { n, se n pr u n = n, se n ímpr 3. Tod subsucessão de um sucessão monóton é monóton. Definição.3.7 Diz-se que sucessão u é um infinitmente grnde (ou que tende pr + ), e represent-se u n +, se L R +, p N : n > p u n > L. Diz-se que u é um infinitmente grnde em módulo se u n +, isto é, L R +, p N : n > p u n > L. Diz-se que u tende pr, e represent-se u n, se L R +, p N : n > p u n < L. EXEMPLO : u n = n +. EXEMPLO : u n = n. EXEMPLO 3: Sej u n = ( n) n. Então u n = n n +.

12 .3 Sucessões de números reis 9 NOTAS:. Se u é tl que u n +, u n ou u n + então u é não itd. A recíproc não é verddeir. Por eemplo, sucessão { n, se n pr u n = n, se n ímpr é não itd e u n +, u n, u n +. O fcto de u n + não implic que u sej crescente (nem que eist um ordem prtir d qul sej crescente). Eemplo: u n = n + ( ) n. Ds definições, conclui-se imeditmente que Teorem.3. Sejm u e v sucessões tis que, prtir de cert ordem, u n v n. Então, ) u n + v n +, b) v n u n. Definição.3.8 Sejm u um sucessão e R. Diz-se que u converge pr (ou tende pr ou, ind, que o ite d sucessão é ), e represent-se u n, se ε > p N : n > p u n < ε. EXEMPLO: u n = ( ) n. De fcto, sej ε >, qulquer; se tomrmos p = Int (se ε R, chmmos prte inteir de o mior inteiro menor ou igul e representmo-l por Int()) então, pr n > p tem-se n p + < ε. NOTAS:. Em lingugem de vizinhnçs, definição é equivlente : ε > p N : n > p u n V ε ().. Poderímos escrever ind, de form equivlente, ε > p N : u n < ε, n > p. 3. Consideremos o conjunto R = R {, + }, em que e + são dois objectos mtemáticos, não reis e distintos um do outro. Podemos introduzir, neste conjunto, relção de ordem: i) se, y R, < y em R se, e só se, < y em R. ii) < < +, R.

13 . Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões O conjunto R, com est relção de ordem, design-se por rect cbd. Podemos estender noção de vizinhnç R. Sej ε R, ε >. Se R, chm- -se vizinhnç ε de o conjunto V ε () =] ε, + ε[ (que coincide, pois, com vizinhnç em R). Chm-se vizinhnç ε de + o conjunto V ε (+ ) = ], + ]. ε Chm-se vizinhnç ε de o conjunto V ε ( ) = [, ε[. Com s definições dds trás, podemos unificr, do ponto de vist forml, s definições.3.7 e.3.8: n ( R) se, e só se, ε > p N : n > p u n V ε (). Definição.3.9 Diz-se que sucessão u é um infinitésimo se u n. NOTA: É evidente, prtir ds definições, que u n é equivlente u n é um infinitésimo. Teorem.3. (Unicidde do ite) Se u n e u n b então = b. Teorem.3.3 Se u n e v é um sucessão itd, então u n v n. Demonstrção: Sej M > tl que v n M, n N. Ddo δ >, qulquer, sej p N, tl que u n < δ/m, n > p. Então u n v n < δ, n > p. Teorem.3.4 Tod sucessão convergente é itd. NOTA: A recíproc não é verddeir. Por eemplo, sucessão u n = cos(nπ) é itd, ms não é convergente. Teorem.3.5 (Teorem ds sucessões enqudrds) Se u n, v n e, prtir de cert ordem, u n w n v n, então w n. Demonstrção: Sej ε >, qulquer. Então p N : n > p ε < u n < + ε, p N : n > p ε < v n < + ε, p 3 N : n > p 3 u n w n v n. Sej p = m{p, p, p 3 }. Se n > p, então ε < u n w n v n < + ε. Teorem.3.6 Tod subsucessão de um sucessão convergente é convergente pr o mesmo ite. Teorem.3.7 Sejm u e v dus sucessões convergentes, u n, v n b. Então u + v, u v e uv são convergentes e u n + v n + b, u n v n b e u n v n b. Se v n, n N e b, então u/v é convergente e u n /v n /b. Teorem.3.8 Um conjunto X R é fechdo se, e só se, todos os ites ds sucessões convergentes, de elementos de X, pertencem X.

14 .3 Sucessões de números reis Teorem.3.9 Tod sucessão monóton itd é convergente. NOTA: A recíproc não é verddeir, isto é, há sucessões não monótons que são convergentes. Eemplo: sucessão u n = ( ) n n converge pr e não é monóton. Teorem.3. Tod sucessão itd tem subsucessões convergentes. Definição.3. Diz-se que R é subite d sucessão u se eistir um subsucessão de u que converge pr. EXEMPLO: e são subites d sucessão u n = ( ) n + n. NOTAS: Sej S o conjunto dos subites d sucessão u.. Pelo Teorem.3., se u é itd, S ;. S pode ser vzio; eemplo: u n = n; 3. Se u for convergente, S é um conjunto singulr (isto é, só com um elemento). 4. S pode ser singulr e u não ser convergente; eemplo: u n = {, n se n pr n, se n ímpr. 5. S pode ser um conjunto infinito; por eemplo, dd sucessão então S = N.,,,,, 3,,, 3, 4,,, 3, 4, 5,... Teorem.3. O conjunto dos subites de um sucessão itd tem máimo e mínimo. Definição.3. Sejm u um sucessão itd e S o conjunto dos subites de u. Chm-se ite máimo ou ite superior de u o máimo de S e represent-se u n = sup u n = m(s). Chm-se ite mínimo ou ite inferior de u o mínimo de S e represent-se u n = inf u n = min(s). Se u não for itd superiormente, define-se u n = +. Se u não for itd inferiormente, define-se u n =. Se u n + define-se u n = u n = +. Se u n define-se u n = u n =. Teorem.3. Um sucessão itd é convergente se, e só se, u n = u n.

15 . Noções Topológics, Indução Mtemátic e Sucessões Definição.3. Um sucessão u diz-se de Cuchy (ou fundmentl) se ε > p N : m, n > p u n u m < ε. EXEMPLO: u n = n é sucessão de Cuchy. De fcto, sejm m, n > p; então n m n + m < p + p = p. Sej ε >, qulquer; pr concluir, bst tomrmos p > ε. NOTA: N definição de sucessão convergente, introduzimos um elemento eterno à sucessão, o ite. A sucessão converge se, prtir de cert ordem, todos os elementos d sucessão estão perto do ite. N definição de sucessão de Cuchy pens comprmos os elementos d sucessão uns com os outros. Dizemos que sucessão é de Cuchy se, prtir de cert ordem, todos os elementos d sucessão estão perto uns dos outros. Teorem.3.3 Um sucessão rel é convergente se, e só se, for de Cuchy. NOTA: Este teorem permite-nos mostrr que um sucessão é convergente sem ter que clculr o seu ite. Consideremos sucessão: u n = n Podemos tomr, sem perd de generlidde, n > m; então u n u m = (m + ) + (m + ) + + = n (m + ) + (m + ) + + n m(m + ) + (m + )(m + ) + + (n )n = ( = m ) ( + m + m + ) ( + m + n ) = n m n m Se p > ε e n m > p, obtemos u n u m < ε pelo que sucessão é de Cuchy, portnto convergente.

16 Cpítulo Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde. Generliddes sobre funções reis de vriável rel Definição.. ) Ddos dois conjuntos A e B chm-se função definid em A com vlores em B, tod correspondênci entre A e B que cd elemento de A fç corresponder um e um só elemento de B. Ao conjunto A chm-se domínio d função. b) Represent-se função por y = f() em que é vriável independente e tom vlores em A ( A) e y é vriável dependente, pois os seus vlores dependem dos vlores que tom vriável, que tom vlores em B (y B). c) À epressão ou fórmul que trduz o modo como vriável y depende d vriável chm-se epressão nlític ou representção nlític d função f. d) Um função f diz-se rel de vriável rel qundo A R e B R. Definição.. Sej f um função rel de vriável rel. ) Chm-se domínio de definição ou de eistênci de f o conjunto dos vlores reis que têm imgem pel função f, isto é, o conjunto dos números reis pr os quis epressão nlític de f está bem definid. b) Chm-se contrdomínio de f o conjunto dos vlores reis que são imgem pel função f dos elementos do domínio. Definição..3 Dd um função f : D R R, chm-se gráfico d função f o conjunto {(, y) : D, y R, y = f()}.

17 4. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde Definição..4 Um função f : D R R diz-se: ) crescente se < y = f() f(y). b) estritmente crescente se < y = f() < f(y). c) decrescente se < y = f() f(y). d) estritmente decrescente se < y = f() > f(y). Definição..5 Um função diz-se ) monóton se é crescente ou decrescente. b) estritmente monóton se é estritmente crescente ou estritmente decrescente. Definição..6 Um função f : D R R diz-se: ) pr se f() = f( ), D. b) ímpr se f() = f( ), D. Definição..7 Sejm f : D R R e c D. Diz-se que f(c) é um se f() f(c), D. A c chm-se ponto de máimo. Definição..8 Sejm f : D R R e c D. Diz-se que f(c) é um se f() f(c), D. A c chm-se ponto de mínimo. máimo de f mínimo de f Estes vlores têm designção comum de etremos de f. A Figur. ilustr s definições nteriores. Figur.: Etremos de um função.

18 . Generliddes sobre funções reis de vriável rel 5 Definição..9 Um função f : D R R diz-se itd se M R + : f() M, D. Por outrs plvrs, f é função itd se o seu contrdomínio é um conjunto itdo. Definição.. Chmm-se zeros d função f os elementos do domínio tis que f() =. Definição.. Sejm f : D R R e A D. A restrição de f A, designd por f A, é plicção de A em R tl que f A () = f() pr cd A. Definição.. Um função f : D R B R diz-se: ) injectiv se y = f() f(y). b) sobrejectiv se y B, D : f() = y. c) bijectiv se é injectiv e sobrejectiv.

19 6. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde. Limites. Limites reltivos Definição.. Sej f : D R R e um ponto derente o domínio de f. Diz-se que b é ite de f no ponto (ou qundo tende pr ), e escreve-se f() = b, se δ > ε > : D < ε f() b < δ. Em termos de vizinhnçs: f() = b δ > ε > : V ε() D f() V δ (b). A Figur. sugere interpretção geométric de f() = b. y b+ b b- - + Figur.: Interpretção geométric de f() = b. Definição.. Sej f : D R R e suponhmos que D não é mjordo. Diz-se que o ite de f qundo + é b se δ > ε > : D > ε f() b < δ e escreve-se f() = b. + Definição..3 Sej f : D R R e suponhmos que D não é minordo. Diz-se que o ite de f qundo é b se δ > ε > : D < ε f() b < δ e escreve-se f() = b.

20 . Limites. Limites reltivos 7 Definição..4 Sej f : D R R e um ponto derente o domínio de f. Diz-se que o ite de f em é + se e escreve-se f() = +. δ > ε > : D < ε f() > δ Definição..5 Sej f : D R R e um ponto derente o domínio de f. Diz-se que o ite de f em é se e escreve-se f() =. NOTA: As definições de δ > ε > : D < ε f() < δ f() = +, + f() =, podem dr-se de form nálog. f() = +, f() = e + Em todo o cso, se tivermos em cont definição de vizinhnç em R (ver págin 9), podemos unificr tods s definições do seguinte modo: se, b R, diz-se que f() = b se δ > ε > : V ε () D f() V δ (b). Teorem.. Se f : D R R e R é um ponto derente D, então f() = b se, e só se, pr cd sucessão ( n ) de ite, ( n ) D, sucessão (f( n )) tem por ite b. NOTA: Observe-se que não eigimos que sej ponto de cumulção de D. Se é ponto isoldo de D então f tem ite igul f() qundo. De fcto, s únics sucessões de pontos do domínio que tendem pr são s sucessões que, prtir de cert ordem, são constntemente iguis. Teorem.. O ite de f em, qundo eiste, é único. NOTAS:. Este teorem permite-nos usr epressão b é o ite de f() qundo tende pr, em vez de b é ite de f() qundo tende pr e permite que se use notção f() = b.. Se D (isto é, f está definid em ), o ite b, se eiste, coincide com f(). Com efeito, neste cso, verific s condições D e < ε ε >, o que implic que f() b < δ, δ >, ou sej, f() = b. EXEMPLO: Consideremos função f : R R definid por { f() =, se, se = (ver Figur.3).

21 8. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde Figur.3 Não eiste f(). Como o domínio de f é R o ite, se eistisse teri de ser igul f(), como vimos n observção nterior. Terímos então de provr que δ > ε > : < ε f() < δ. Ms, se δ =, qulquer que sej ε >, eiste sempre tl que < ε e f() <, o que implic que f() >. Teorem..3 Se f() = b e g() = c então: ) [f() + g()] = b + c; b) [f() g()] = b c; c) [f()g()] = b c; d) Se c, f() g() = b c. Teorem..4 Se f() = e g é um função itd num vizinhnç de então [f()g()] =. NOTA: O fcto de g ser itd é essencil. Por eemplo, se f() = e g() =, f()g() =, o que não contrdiz o teorem, visto g não ser itd. Teorem..5 Sejm f : D R R e g : E R R tis que g(e) D. Se g() = b e f() = c então (f g)() = c. b

22 . Limites. Limites reltivos 9 Definição..6 Sejm f : D R R e B um subconjunto próprio de D (isto é, B D e B D). Suponhmos que é um ponto derente B. Diz-se que f tem ite b, qundo tende pr, segundo B, ou que b é o ite reltivo B de f qundo tende pr, se o ite d restrição de f B qundo tende pr é b. Design-se este ite por B f() = b ou f() = b., B São importntes os ites reltivos que se seguem:. B = D \ {}. Diz-se então que f() tende pr b qundo tende pr por vlores diferentes de : f() = b.. B = { : D < }. Neste cso escreve-se < f() = b ou f() = b ou f( ) = b e diz-se ite à esquerd de f no ponto. 3. B = { : D > }. Neste cso escreve-se > f() = b ou + f() = b ou f(+ ) = b e diz-se ite à direit de f no ponto. Os ites à esquerd e à direit recebem designção comum de ites lteris. Pr se poderem definir estes ites, o ponto tem que ser ponto de cumulção de B. NOTAS:. f() = f() = b + lteris (ou os dois com vlores distintos) sem que eist f() = b. Ms pode eistir só um dos ites f().. f() = f() = b não implic que f() = b não ser que f() = b. No + eemplo d págin 7, f( ) = f( + ) = e f() =. 3. f() não se distingue de f() qundo D, devendo então ser ponto de cumulção de D.

23 . Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde EXEMPLO : Consideremos função f : R R definid por (ver Figur.4) f() = {, se <, se Figur.4 Verific-se que f() = e f() =. Portnto, + consequentemente, tmbém não eiste f(). Se < então f() = f() = f() = + Se > então f() = f() = f() = + EXEMPLO : Consideremos função f : R R definid por (ver Figur.5) f() = { 4, se 4, se = 4 f() =. f() =. f() não eiste, e Figur.5

24 . Limites. Limites reltivos Verific-se que f() = e f() =. Portnto, eiste 4 f() porque f(4) =. 4 4 f() =, ms não EXEMPLO 3: Em R temos: ) = e + = + ; não eiste. b) = + e = + ; ( ) + ( ) ( ) = +. c) + = =. d) +( + ) = y + ( + y ) y = e. Teorem..6 Sej f : D R R um função monóton itd. Então eistem os ites lteris f( ) e f( + ) em todo o ponto onde esses ites possm ser definidos. Demonstrção: Suponhmos, por eemplo, que f é crescente. Sej A = { : D < }. Se A queremos provr que eiste f( ), isto é, queremos provr que eiste um b R tl que δ > ε > < ε < f() b < δ. Como, por hipótese, f é itd, isto é, f(d) é um conjunto itdo e A D, temos que f(a) é um conjunto itdo. Pelo Teorem.., f(a) tem supremo. Sej b = sup f(a) = sup f(). Pelo A Teorem..3, δ > A : f( ) > b δ. Como f é crescente Podemos então escrever Fzendo ε =, concluímos que f() f( ) > b δ ], [ A. f() b < δ : A <. δ > ε > : A < ε f() b < δ, isto é, f() = b. Pr provr que eiste f( + ) consider-se o inf D > f(). inf D > f() e conclui-se que f( + ) =

25 . Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde Teorem..7 que É condição necessári e suficiente pr que f tenh ite finito no ponto δ > ε >, y V ε () f() f(y) < δ.

26 .3 Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno 3.3 Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno Definição.3. Sejm f : D R R e D. Diz-se que f é contínu em se eistir f(). Como vimos nteriormente, o fcto de D implic que f() = f(). Podemos escrever f é contínu em se ou, em termos de vizinhnçs δ > ε > : D < ε f() f() < δ, δ > ε > : V ε () D f() V δ (f()). Os pontos em que um função não é contínu dizem-se pontos de descontinuidde. Definição.3. Sejm f : D R R e D. ) f é contínu à esquerd em se f( ) = f() = f(). b) f é contínu à direit em se f( + ) = f() = f(). + NOTAS:. Se f for contínu à esquerd e à direit no ponto então f é contínu em.. Se for um ponto isoldo, result d definição que f é contínu em. Teorem.3. Tod função constnte é contínu em todos os pontos do seu domínio. Do Teorem..3, conclui-se fcilmente: Teorem.3. Se f e g são contínus no ponto então f + g, f g e fg são contínus nesse ponto; se g() então tmbém f g é contínu em. Anlogmente, do Teorem..5 se deduz: Teorem.3.3 Sejm f : D R R e g : E R R tis que g(e) D. Se g é contínu no ponto t e f é contínu no ponto = g(t ), então f g é contínu em t. Definição.3.3 Um função f diz-se contínu no conjunto B D se é contínu em todos os pontos de B.

27 4. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde Teorem.3.4 (Teorem do vlor intermédio de Bolzno) Sej f um função contínu num intervlo I, e b dois pontos de I tis que f() f(b). Então, qulquer que sej o número k estritmente compreendido entre f() e f(b), eiste pelo menos um ponto c, estritmente compreendido entre e b, tl que f(c) = k. Demonstrção: Podemos supor, sem perd de generlidde, que < b. Consideremos o intervlo [, b]. Como f() f(b) teremos f() < f(b) ou f() > f(b). Admitmos que f() < f(b). Sej k tl que f() < k < f(b). Sej o conjunto C = { : [, b] f() < k}. Como f() < k, C, pelo que C. Visto que b é um mjornte de C podemos firmr, pelo Teorem.. que eiste c = sup C. Como C [, b], c [, b]. Ddo que f é contínu em [, b] e c é derente C, eistem todos os ites reltivos tendo-se, em prticulr, f() = c c C f() = f(c). Ms se C, f() < k, o que implic que c f() = c C f() k, donde f(c) k (.) Por outro ldo, c é um ponto derente [, b] \ C. Como b [, b] \ C este conjunto é não vzio e f() = f() = f(c). c c [, b] \ C Ms se [, b] \ C, então f() k, o que implic que f() = c c [, b] \ C f() k, donde De (.) e (.) conclui-se que f(c) = k. f(c) k. (.) NOTA: Se f não for contínu em [, b], pode eistir k [f(), f(b)] tl que c [, b] : f(c) = k (ver Figur.6). EXEMPLO: Sej f() = 3 +. Usndo o teorem nterior podemos provr que eiste c tl que f(c) =. De fcto, como f é contínu em R podemos considerr su restrição o intervlo [, 3] e fcilmente se verific que f() = < < f(3) =.

28 .3 Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno 5 y f(b) k f() b Figur.6 Corolário Se f é contínu em [, b] e f() f(b) <, então eiste c ], b[ tl que f(c) =. Demonstrção: Podemos supor, sem perd de generlidde, que f() < e f(b) >. Então f() < < f(b). Como f é contínu em [, b], o teorem nterior permite firmr que c ], b[: f(c) =. Corolário A imgem de um intervlo, por um função contínu, é tmbém um intervlo. Demonstrção: Sej f : I R R. Se f() = c, I, isto é, se f é constnte, o seu contrdomínio reduz-se um ponto, intervlo do tipo [c, c], não hvendo, portnto, nd mis provr. Como fcilmente se verific, um conjunto J que contenh, pelo menos, dois pontos, é um intervlo se, e só se, verific propriedde: que é ind equivlente : α, β J α < β = [α, β] J α, β J α < k < β = k J. Suponhmos que f não é constnte, que α, β f(i) e α < k < β; por definição, eistem, b I tis que α = f() < k < f(b) = β. Pelo Teorem de Bolzno eiste c, estritmente compreendido entre e b (portnto, c I), tl que f(c) = k, isto é, k f(i). NOTA: O intervlo f(i) pode ser de tipo diferente do intervlo I como se pode ver nos seguintes eemplos:

29 6. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde ) f :], + [ [, ], f() = sen() ) f :], + [ ], ], f() = + 3) f :] π, π [ ], + [, f() = tg() Teorem.3.5 (Teorem de Weierstrss) Se f é um função contínu num intervlo fechdo e itdo I, então f(i) é tmbém um intervlo fechdo e itdo. Demonstrção: Pelo Corolário do Teorem de Bolzno sbemos que f(i) é um intervlo. Rest-nos então provr que é fechdo e itdo. Dividimos demonstrção em dus prtes.

30 .3 Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno 7 ) f(i) é itdo. b) f(i) é fechdo. ) Suponhmos que f(i) não é itdo. Então pr cd n N eiste n I tl que f( n ) n. Como I é itdo sucessão ( n ) tmbém é itd, portnto, ( n ) tem um subsucessão ( nk ) convergente (Teorem.3.). Sej = f( nk ); I porque n I é fechdo. Visto que f é contínu, f( nk ) = f(), ms est conclusão é incomptível n com suposição f( n ) n n N (Teorem.3.4) b) Temos de provr que eistem e I tis que f( ) = sup f() e f( ) = I inf f(). I Suponhmos que não eiste I tl que f( ) = sup I é tingido. Então L f(), I. Portnto, g() = L f() f(), isto é, L = sup f() não I é um função contínu em I. Provámos em ) que tod função contínu num intervlo itdo é itd o que implic que g é itd. Pelo Teorem..3 temos que δ > c I : f(c) > L δ δ > c I : L f(c) < δ δ > c I : g(c) = L f(c) > δ o que contrdiz o fcto de g ser itd. Anlogmente, se prov eistênci de I tl que f( ) = inf f(). Portnto, f(i) é fechdo. I Corolário Tod função contínu num intervlo fechdo e itdo tem, nesse intervlo, um máimo e um mínimo. NOTAS:. Os dois resultdos nteriores mntêm-se válidos se substituirmos intervlo fechdo itdo por conjunto fechdo itdo não vzio.. A hipótese intervlo (ou conjunto) fechdo é necessári como se pode ver pelos eemplos seguintes: ) Sej f() =. f é contínu em ], [ e não tem nesse intervlo máimo nem mínimo. { ) A função g() =, se é contínu em ], ], ms não tem máimo, se = nesse intervlo.

31 8. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde 3) A função h() = ( ) sen é contínu em ], ] e não tem máimo nem mínimo nesse intervlo. Teorem.3.6 Se f é um função contínu e injectiv num intervlo I, então função invers é tmbém contínu. Definição.3.4 Sejm F e f dus funções de domínios D F e D f, respectivmente. Diz- -se que F é um prolongmento de f se D f D F e F () = f(), D f. Definição.3.5 Sej um ponto derente D (domínio de f). Diz-se que f é prolongável por continuidde o ponto se eistir um prolongmento F de f, com domínio D {}, sendo F contínu em. Teorem.3.7 Pr que um função f sej prolongável por continuidde o ponto, é necessário e suficiente que tenh ite nesse ponto. Eistindo o ite, o prolongmento por continuidde é função g : D f { {} R f(), se Df g() = f(), se = EXEMPLO: Consideremos função f : R \ {} R definid por f() = sen() Figur.7). Sbemos que f() =. (ver Figur.7 Pelo teorem nterior f é prolongável por continuidde o ponto e o prolongmento é função g : R R definid por: { sen() g() =, se, se = Definição.3.6 Diz-se que f tem um descontinuidde removível no ponto se eistir um função g contínu em, que pens difere de f em.

32 .3 Continuidde: proprieddes ds funções contínus. Teorem de Bolzno 9 EXEMPLO: Sej Como 3 3 é contínu no seu domínio. 3, se 3 f() = 3 3, se = 3 f() = 4, f tem um descontinuidde removível em = 3. A função 3, se 3 g() = 3 4, se = 3

33 3. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde.4 Continuidde uniforme Sej f um função definid e contínu em D R. Por definição de continuidde sbemos que pr cd D se tem δ > ε > D < ε f() f( ) < δ. Sbemos tmbém que pr um δ > e D o ε > que eiste não é único, pois se < ε < ε então < ε < ε e, portnto, < ε f() f( ) < δ. Sej δ > um número fio. Consideremos o subconjunto de D formdo pelos pontos,,..., k. Por definição de continuidde sbemos que eiste um conjunto {ε, ε,..., ε k }, ε i >, i =,,..., k, tis que D < ε f() f( ) < δ D < ε f() f( ) < δ. D k < ε k f() f( k ) < δ. Ddo que é finito, o conjunto {ε, ε,..., ε k } tem mínimo ε >. Pr este vlor são verddeirs s implicções: D i < ε f() f( i ) < δ, i =,,..., k, isto é, conseguimos rrnjr vizinhnçs uniformes (de mplitude ε) dos pontos,,..., k de tl modo que s imgens dos pontos desss vizinhnçs estão um distânci inferior δ do f( i ) correspondente. E se o conjunto dos pontos escolhido fosse infinito? Seri ind possível, ddo δ >, escolher um número ε > ns condições nteriores? A respost é, em gerl, negtiv. Vejmos um eemplo. Sej f() = e D =], [ (vej-se Figur.8). Figur.8

34 .4 Continuidde uniforme 3 Figur.9

35 3. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde Consideremos o conjunto { n : n =, n =,, 3,...} e sej δ >. Observndo n definição de ite, pr cd n, o mior ε n que podemos tomr é ε n = (Figur.9). Or inf{ε n : ε n = δ } =, pelo que não eiste ε > tl que n(n + δ) n < ε f() f( n ) < δ, n =,, 3,... δ n(n + δ) Concluímos ssim que ddo δ > não podemos escolher ε > que, n definição de ite, sej válido simultnemente pr todos os i, i =,, 3,.... Definição.4. Sejm f : D R R e A D. Diz-se que f é uniformemente contínu em A se δ > ε >, y A, y < ε f() f(y) < δ. EXEMPLO : A função f() = sen() é uniformemente contínu em R, isto é, é verddeir proposição δ > ε >, y R, y < ε sen() sen(y) < δ. De fcto, sendo δ > bstrá escolher ε = δ e sbendo que sen() R temos: ( ) ( ) sen() sen(y) = + y y cos sen ( ) ( ) = + y y cos sen ( ) y sen y = y. EXEMPLO : A função f() = trás. não é uniformemente contínu em ], [, como vimos EXEMPLO 3: A função f() = (Figur.) não é uniformemente contínu em R, isto é, é fls proposição δ > ε >, y R, y < ε y < δ. D iguldde y = y + y podemos concluir que e y podem estr tão próimos qunto se queir e diferenç entre s sus imgens ser rbitrrimente grnde

36 .4 Continuidde uniforme 33 Figur. (bst pensr em pontos e y cuj diferenç sej sempre inferior ε, ms que estejm rbitrrimente longe d origem). Os gráficos d Figur. procurm ilustrr est situção. Figur.

37 34. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde EXEMPLO 4: Provemos, prtir d definição, que função f() = 7 é uniformemente contínu em [, ], isto é, que é verddeir proposição δ > ε >, y [, ], y < ε 7 (7 y ) < δ. Sej δ >. Como 7 (7 y ) = + y = y + y y, teremos se ε < δ. y < ε 7 (7 y ) < δ Definição.4. Sejm f : D R R e A D. Diz-se que f é lipschitzin em A se M > : f() f(y) M y,, y A. Teorem.4. Sejm f : D R R e A D. Se f é lipschitzin em A, então f é uniformemente contínu em A. Demonstrção: Usndo definição, bst tomr ε = δ M. EXEMPLO : A função f() = é lipschitzin em [, ]. De fcto, y = + y y ( + y ) y y, y [, ]. A função é pois uniformemente contínu em [, ]. Vimos trás que f() = não é uniformemente contínu em R. O fcto d função ser uniformemente contínu depende do conjunto. É clro que se um função for uniformemente contínu num conjunto C é uniformemente contínu em todos os subconjuntos de C. EXEMPLO : Os cálculos efectudos trás permitem-nos concluir que f() = 7 é lipschitzin em [, ]. Teorem.4. Sejm f : D R R e A D. f é uniformemente contínu em A se, e só se, pr quisquer sucessões ( n ) e (y n ) de elementos de A tis que n ( n y n ) = se tem tmbém n (f( n ) f(y n )) =. EXEMPLO : Consideremos novmente função f() = no intervlo ], ]. Sejm n = n e y n = n, n N. São sucessões de elementos do intervlo ], ] e ( n y n )

38 .4 Continuidde uniforme 35 ( = n ) = n n =. No entnto, (f( n) f(y n )) = (n n) = ( n) =, o que implic, pelo teorem nterior, que f não é uniformemente contínu no intervlo considerdo. EXEMPLO : Sej f() =. Considerndo s sucessões de números reis n = n + e y n = n temos e ( n y n ) = ( n + n) = ( n + n)( n + + n) ( n + + n) = n + n n + + n = (f( n ) f(y n )) = ( ( n + ) ( n) ) = (n + n) =, portnto, f não é uniformemente contínu em R como tínhmos visto. É evidente que se f é uniformemente contínu em A então restrição de f A é contínu em A. A recíproc não é verddeir, tendo-se, no entnto, o seguinte teorem: Teorem.4.3 (Teorem de Cntor) Tod função contínu num conjunto fechdo itdo é uniformemente contínu. Demonstrção: Suponhmos que f é contínu, ms não uniformemente contínu, em X, fechdo itdo. Sendo fls proposição δ > ε >, y X, y < ε f() f(y) < δ podemos firmr que eiste δ > tl que, pr qulquer ε >, eistem, y X, pr os quis se verific y < ε f() f(y) δ. Fiemos ε nos vlores ε =, ε =,..., ε n =. Teremos então n, y X : y < f( ) f(y ) δ, y X : y < f( ) f(y ) δ... n, y n X : y < n f( n) f(y n ) δ. Como ( n ) é um sucessão de elementos de X e este conjunto é itdo podemos concluir que ( n ) é itd. Pelo Teorem.3., ( n ) tem um subsucessão ( nk )

39 36. Funções Reis de Vriável Rel: Limites e Continuidde convergente pr um certo R; lém disso, X porque X é fechdo. Ms nk y nk < n k, o que implic que y nk. Como f é contínu em X temos f( nk ) = f(y nk ) = f(), o que implic que o que contrdiz (f( nk ) f(y nk )) =, f( nk ) f(y nk ) δ >. EXEMPLO: Sej f um função contínu em R. Provemos que f é uniformemente contínu em todo o subconjunto itdo de R. Sej A R um conjunto itdo. Se A for fechdo, estmos ns condições do Teorem de Cntor. Suponhmos que A não é fechdo e l = inf(a) e L = sup(a). Consideremos o intervlo [l, L]. É um subconjunto fechdo itdo de R. Como f é contínu em R, f é contínu em [l, L]. Pelo Teorem de Cntor, f é uniformemente contínu nesse intervlo, sendo, portnto, uniformemente contínu em A [l, L].

40 Cpítulo 3 Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil 3. Derivds. Regrs de derivção. Definição 3.. Sejm f : D R R e um ponto interior D. Chm-se derivd de f no ponto o ite, se eistir (em R), f() f() f( + h) f() ou, fzendo = h, h h Design-se derivd de f no ponto por f () ou df (). Se f tem derivd finit no d ponto, diz-se que f é diferenciável em. Designndo por P e Q i, i =,, 3, 4, respectivmente, os pontos do gráfico de f que têm bcisss e i, rzão f( i ) f() i é o declive d rect P Q i, secnte o gráfico de f (vej-se Figur 3.). Se f é diferenciável no ponto, chm-se tngente o gráfico de f no ponto (, f()) à rect que pss por este ponto e tem declive igul f (); rect tngente terá então equção: y = f() + f ()( ). Definição 3.. Sejm f : D R R e um ponto interior D. Chm-se derivd à esquerd de f no ponto o ite, se eistir (em R), f() f()

41 38 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Figur 3.: Interpretção geométric d derivd. ou, fzendo = h, f( + h) f(), h h e design-se por f ( ). Chm-se derivd à direit de f no ponto o ite, se eistir (em R), f() f() + ou, fzendo = h, e design-se por f ( + ). f( + h) f(), h + h NOTA: É evidente que f () eiste se, e só se, eistem e são iguis f ( + ) e f ( ). EXEMPLO : Consideremos função f : R R definid por {, se f() = =, se < cujo gráfico se present n Figur 3.. f ( + ) = + f ( ) = f() f() f() f() = + = Como f ( + ) f ( ), f não tem derivd no ponto. = ; =.

42 3. Derivds. Regrs de derivção. 39 Figur 3. EXEMPLO : A função f : R R definid por { ( sen ), se f() =, se = não tem derivds lteris em = (ver Figur 3.3). De fcto, função definid por f() f() = sen ( ) = sen ( ) não tem ite qundo, não eistindo sequer ites lteris. Figur 3.3 EXEMPLO 3: A função f : R R definid por f() = 3 (ver Figur 3.4) tem derivd + em =, pois

43 4 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil f ( + ) = + 3 = + 3 = = + f ( ) = f não é, pois, diferenciável em. 3 = 3 = 3 3 = + Figur 3.4 EXEMPLO 4: A função f : R R definid por f() = 3, e cujo gráfico se present n Figur 3.5, não tem derivd em. De fcto, f ( + ) = + f ( ) = 3 3 = + = 3 3 = 3 3 = + + = 3 3 = Figur 3.5

44 3. Derivds. Regrs de derivção. 4 Teorem 3.. Sejm f : D R R e um ponto interior D. Se f é diferenciável no ponto, então f é contínu em. Demonstrção: Podemos escrever f() = f() + ( ) Então f() = ( f() + ( ) ou sej, f é contínu no ponto. NOTAS: f() f() D \ {}. ) f() f() = f() +.f () = f(),. Um função pode ser contínu num ddo ponto e não ter derivd nesse ponto (ver o eemplo nterior).. Se derivd for infinit, função pode não ser contínu. Teorem 3.. Se f e g são funções diferenciáveis em, então f + g e f g são funções diferenciáveis em, e (f + g) () = f () + g () (f g) () = f () g() + f() g (). Se, lém disso, g(), então f/g é diferenciável em e ( ) f () = f () g() f() g (). g (g()) Demonstrção: Sendo finits s derivds f () e g (), teremos no cso d som: (f + g) () = (f + g)() (f + g)() = f() + g() f() g() ( f() f() = + ) g() g() f() f() g() g() = + = f () + g () o que mostr que f + g é diferenciável em.

45 4 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Pr o produto, temos (f g) () = (f g)() (f g)() = f() g() f() g() = f() g() f() g() + f() g() f() g() = (f() f()) g() + f() (g() g()) ( f() f() = g() + f() ) g() g() f() f() g() g() = g() + f() = g() f () + f() g () onde se usou o fcto de diferencibilidde de g em implicr su continuidde no mesmo ponto. Finlmente, pr o quociente podemos começr por considerr o cso prticulr de f ser função constnte com o vlor em todos os pontos do seu domínio. Obtemos então: ( ) () = g ( g ) () ( g ) () = g() g() = g() g() g() g() ( ) g() g() = g() g() = g() g() g() g() = g () (g()). Portnto, notndo que f g = f g, temos: = g() g() g ()

46 3. Derivds. Regrs de derivção. 43 ( ) f () = f () g ( ) () + f() g = f () g() f() g () (g()). ( ) () g Corolário Se f, f,..., f p são funções diferenciáveis no ponto, su som e o seu produto tmbém o são e verificm-se s igulddes: (f + f + + f p ) () = f () + f () + + f p() (f f f p ) () = p f () f i() f p (). i= Em prticulr, se p N e f é diferenciável em tmbém o é função h() = (f()) p e tem-se h () = p (f()) p f (). Teorem 3..3 Se g : E R é diferenciável no ponto e f : D R é diferenciável no ponto b = g(), então f g é diferenciável em e (f g) () = f (b) g () = f (g()) g (). Teorem 3..4 Sejm I um intervlo, f : I R um função estritmente monóton e contínu, g : J = f(i) R su invers. Se f é diferenciável no ponto e f (), então g é diferenciável em b = f() e g (b) = f () = f (g(b)). EXEMPLO : Consideremos função g() = rc sen(), função invers d função f() = sen() no intervlo [ π, π ]. Teremos então g () = f (g()) = cos(g()) = cos(rc sen()) = sen (rc sen()) =. EXEMPLO : Consideremos função g() = rc cos(), função invers d função f() = cos() no intervlo [, π]. Teremos então g () = f (g()) = sen(g()) = sen(rc cos()) = cos (rc cos()) =.

47 44 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil De form nálog se pode mostrr que e (rc tg()) = + (rc cotg()) = +. Se f : D R R é um função diferenciável em todos os pontos de A D, podemos definir função que cd de A fz corresponder f (). Obtemos, ssim, um nov função, de domínio A, que representmos por f e que chmmos função derivd (ou pens derivd) de f em A. De modo nálogo, se f for diferenciável em A, definimos f = (f ) (segund derivd); se f for diferenciável em A, definimos f = (f ),... se f (n ) (derivd de ordem n ) for diferenciável em A, definimos f (n) = (f (n ) ), derivd de ordem n de f em A. Definição 3..3 Se f for contínu em A, dizemos que f é de clsse C em A e representmos por f C (A). Se n N e f (n) é contínu em A, dizemos que f é de clsse C n em A e representmos por f C n (A). Se f C n (A), n N, dizemos que f é de clsse C e representmos por f C (A). EXEMPLO : As funções f() = cos(), g() = sen() e h() = e são de clsse C em R. EXEMPLO : A função ( ) sen, se f() =, se = é diferenciável em R, ( ) ( ) sen cos, se f () =, se = e f não é contínu em. Temos, ssim, f / C (R). EXEMPLO 3: Se f (n) () e g (n) () eistem, tem-se obvimente, (f + g) (n) () = f (n) () + g (n) ().

48 3. Derivds. Regrs de derivção. 45 EXEMPLO 4: A derivd de ordem n do produto de dus funções obtém-se pel fórmul de Leibnitz: n (f g) (n) () = n C p f (p) () g (n p) (), p= onde se convencion f () () = f(). A demonstrção dest propriedde fz-se fcilmente, por indução em n, usndo regr de derivção do produto. Definição 3..4 Sej f : D R R, diferenciável num ponto interior D. Chmse diferencil d função f no ponto à plicção liner df() : R R dd por df()(h) = f () h. Teorem 3..5 Sejm f e g dus funções diferenciáveis. Então: ) d(f + g) = df + dg b) d(f g) = g df + f dg c) d(f n ) = n f n df d) d( f g df f dg ) = g g e) d((g f)()) = g (f()) df()

49 46 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil 3. Teorems Fundmentis: Rolle, Drbou, Lgrnge e Cuchy. Definição 3.. Sej f : D R R. ) Diz-se que f tem um mínimo locl (ou reltivo) em D (ou que f() é um mínimo locl, ou reltivo, de f) se eistir um vizinhnç V de tl que f() f(), V D. b) Diz-se que f tem um máimo locl (ou reltivo) em D (ou que f() é um máimo locl, ou reltivo, de f) se eistir um vizinhnç V de tl que f() f(), V D. Aos máimos e mínimos reltivos dá-se designção comum de etremos reltivos (ver Figur 3.6). Figur 3.6: Etremos reltivos. Teorem 3.. Sej f : D R R. Se f() for mínimo reltivo e eistirem derivds lteris em, então f ( ) e f ( + ). Se f for diferenciável em, então f () =. Demonstrção: Se f() é um mínimo reltivo então, por definição, ε > : f() f() V ε () D. Ms f() f() ] ε, [ D, o que implic que isto é, f ( ). f() f(),

50 3. Teorems Fundmentis: Rolle, Drbou, Lgrnge e Cuchy. 47 Anlogmente, o que implic que isto é, f ( + ). f() f() ], + ε[ D, f() f() +, Teorem 3.. Se f() for máimo reltivo e eistirem derivds lteris em, então f ( ) e f ( + ). Se f for diferenciável em, então f () =. NOTA: Se f é diferenciável, condição f () = é necessári, ms não suficiente pr que f tenh um etremo em. Consideremos, por eemplo, função f() = 3 ; f () = e f não tem etremo em. Teorem 3..3 (Teorem de Rolle) Sej f um função contínu no intervlo [, b] (, b R, < b) e diferenciável em ], b[. Se f() = f(b), então eiste c ], b[ tl que f (c) =. Demonstrção: Pelo Teorem de Weierstrss, função f, contínu no intervlo [, b], tem máimo M e mínimo m neste intervlo. Se M = m então f é constnte em [, b] e, portnto, f () = ], b[, não hvendo mis nd provr. Se M m, hipótese f() = f(b) implic que ou o máimo ou o mínimo é tingido num ponto c ], b[. Então, pelos teorems nteriores, f (c) =. Geometricmente, o teorem firm que n representção gráfic d função há pelo menos um ponto em que tngente é prlel o eio dos (ver Figur 3.7). Figur 3.7: Interpretção geométric do Teorem de Rolle. Corolário Entre dois zeros de um função diferenciável num intervlo há, pelo menos, um zero d su derivd.

51 48 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Corolário Entre dois zeros consecutivos d derivd de um função diferenciável num intervlo eiste, no máimo, um zero d função. Teorem 3..4 (Teorem de Drbou) Sej I R um intervlo berto, f : I R um função diferenciável em I. Se eistirem, b I, < b, tis que f () f (b) então, pr todo o k entre f () e f (b), eiste c ], b[ tl que f (c) = k. Demonstrção: Começmos por fzer demonstrção num cso especil e, usndo este, pssremos o cso gerl. Suponhmos que f () < k = < f (b). (3.) Como f é diferenciável em I, é contínu em I, pelo que é contínu em [, b] e, portnto, f tem um ponto de mínimo em [, b]. Visto que f f() f() () = <, eiste f() f() ε > tl que <, ], + ε [, pelo que f() < f(), ], + ε [. Anlogmente se mostr que eiste ε > tl que f() < f(b), ]b ε, b[. Conclui-se, ssim, que nem nem b são ponto de mínimo de f em [, b], isto é, eiste c ], b[ onde f tinge o seu mínimo em [, b]; como f é diferenciável, f (c) =. Fic ssim demonstrdo o teorem no cso especil de (3.). Obvimente, demonstrção no cso f () > k = > f (b) (3.) seri semelhnte (mostrr-se-i, neste cso, que eiste um ponto de máimo diferente de e b). Pssemos o cso gerl. Suponhmos que f () < k < f (b). (3.3) A função g() = f() k é diferenciável em I (g () = f () k) e g () = f () k < < f (b) k; estmos ssim ns condições do cso (3.): eiste c ], b[ tl que g (c) =, isto é, f (c) = k. O cso f () > k > f (b) (3.4) resolve-se com mesm técnic, usndo (3.).

52 3. Teorems Fundmentis: Rolle, Drbou, Lgrnge e Cuchy. 49 NOTAS:. Apens com condição de diferencibilidde no intervlo (não se pede que derivd sej contínu!), mostr-se que derivd verific um propriedde semelhnte à do Teorem de Bolzno.. A derivd pode não ser contínu. Por eemplo, função: ( ) f() = sen, se, se = é diferenciável em R: ( ) ( ) f sen cos, se () =, se = e f não é contínu em. Teorem 3..5 (Teorem de Lgrnge) Sej f um função contínu no intervlo [, b] (, b R, < b) e diferenciável em ], b[. Então eiste c ], b[ tl que f (c) = f(b) f(). b Demonstrção: A função ϕ() = f() f(b) f() b é contínu em [, b] e diferenciável em ], b[. Além disso, ϕ() = ϕ(b). Pelo Teorem de Rolle eiste c ], b[ tl que ϕ (c) =. Ms o que implic ϕ () = f () f(b) f() b, ϕ (c) = f (c) f(b) f() b = f (c) = f(b) f(). b Geometricmente, o teorem nterior firm que n representção gráfic d função há pelo menos um ponto em que tngente é prlel à cord que une os pontos (, f()) e (b, f(b)) (ver Figur 3.8). NOTA: O Teorem de Rolle é um cso prticulr deste teorem. Trt-se do cso em que f() = f(b).

53 5 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Figur 3.8: Interpretção geométric do Teorem de Lgrnge. Corolário Se f tem derivd nul em todos os pontos de um intervlo, então é constnte nesse intervlo. Corolário Se f e g são dus funções diferenciáveis num intervlo I e se f () = g (), I, então diferenç f g é constnte em I. Corolário 3 Se I é um intervlo e f () (respectivmente, f () ), I, então f é crescente (respectivmente, decrescente) em I; se f () > (respectivmente, f () < ) I, então f é estritmente crescente (respectivmente, decrescente) em I. Teorem 3..6 (Teorem do vlor médio de Cuchy) Se f e g são funções contínus em [, b], diferenciáveis em ], b[ e g () não se nul em ], b[, então eiste c ], b[ tl que f (c) g (c) Demonstrção: Consideremos função ϕ() = f() = f(b) f() g(b) g(). f(b) f() g(b) g() g(). Pelo Teorem de Rolle, g() g(b) visto que g () ], b[, pelo que ϕ está bem definid; lém disso, ϕ é contínu em [, b] e diferenciável em ], b[. Como ϕ() = ϕ(b), pelo Teorem de Rolle eiste c ], b[ tl que ϕ (c) =. Ms o que implic ϕ (c) = f (c) ϕ () = f () f(b) f() g(b) g() g () f(b) f() g(b) g() g (c) = f (c) = f(b) f() g(b) g() g (c).

54 3. Teorems Fundmentis: Rolle, Drbou, Lgrnge e Cuchy. 5 Como g () ], b[ e c ], b[ temos f (c) g (c) = f(b) f() g(b) g(). NOTA: O Teorem de Lgrnge é um cso prticulr deste teorem com g() =.

55 5 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil 3.3 Indeterminções A prtir do Teorem de Cuchy pode-se demonstrr seguinte regr que é muito usd no cálculo do ite de um quociente f g qundo ssume form ou. Teorem 3.3. (Regr de Cuchy) Sejm f e g dus funções diferenciáveis em ], b[ ( < b) tis que ) g (), ], b[, b) f() = g() = ou f() = g() = + ; então, se eistir f (), tmbém eiste g () c c f() g() e estes ites são iguis. Corolário Sejm I um intervlo berto, c I, f e g dus funções diferenciáveis em I \ {c}. Se g (), I \ {c}, e f() = g() = ou f() = g() = c c c c +, então f() g() = f () c g () c sempre que o segundo ite eist (em R). NOTA: Convém notr que pode eistir contece com s funções De fcto, f() g() = cos eiste f () g (). f() = cos ( ) = e f () g () f() g() ( ), g() =. e não eistir = cos ( ) + sen f () g (). É o que ( ) pelo que não EXEMPLO : Consideremos função h definid por sen(). Ao clculr h() encontrmos indeterminção. Sendo f() = sen() e g() =, estmos ns condições d regr de Cuchy. Como podemos concluir que h() =. f () g () = cos() =,

56 3.3 Indeterminções 53 EXEMPLO : Sej h() = e e. No cálculo de surge indeterminção. Tomndo f() = e e g() = estmos ns condições d regr de Cuchy. Como podemos concluir que e (e ) () =. = e = tg() 5 EXEMPLO 3: Ao clculr h() = π π sec() + 4 obtemos indeterminção Considerndo f() = tg() 5 e g() = sec() + 4, estmos ns condições d regr de Cuchy. Como π f () g () = π sec () sec() tg() = π sec() tg() = π sen() =, podemos concluir que π tg() 5 sec() + 4 =. EXEMPLO 4: Sej h() = 3 3. Ao clculr encontrmos indeterminção. Considerndo f() = 3, g() = e plicndo regr de Cuchy obtemos 3 = log ( ) 3, pois f () g () = (3 log(3) log()) = log(3) log() = log ( ) 3. EXEMPLO 5 : A indeterminção surge o clculrmos h() = α log(), + + com α >. Como log() h() = α log() = e (log()) ( + α ) podemos concluir que h() =. + = + α α+ α α = + α =,

57 54 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil NOTAS:. Pode-se demonstrr prtir d Regr de Cuchy o seguinte resultdo, útil qundo se pretende estudr diferencibilidde de um função: Sejm f um função contínu num intervlo I e um ponto de I. Se f é diferenciável num intervlo ], b[ I e eiste f () então f tem derivd à direit no ponto e f ( + ) = f (). + + Pr tl bst notr que f ( + f() f() ) = e plicr regr de Cuchy. + Obvimente, eiste um resultdo nálogo pr derivd à esquerd.. Os símbolos e que podem surgir no cálculo do ite de um produto f g ou de um som f + g reduzem-se ou pels trnsformções: f g = f g = g f e f + g = f + g f g Outr regr importnte no estudo de ites, ms que é plicável somente o símbolo, é seguinte: Teorem 3.3. (Regr de l Hospitl) Sejm f e g dus funções definids num intervlo I, diferenciáveis em I e g(), I \ {}. Se f() = g() = e g (), então f() tem ite g() no ponto e f() g() = f () g (). As indeterminções, e surgem do cálculo de ites de funções f g e reduzemse às indeterminções do tipo fzendo: f g = e log(f)g = e g log(f). D continuidde d função eponencil conclui-se que: [ (f()) g()] = e g() log(f()). EXEMPLO : Consideremos função h() =. A indeterminção que surge o clculr + h() é do tipo que podemos converter num do tipo :

58 3.3 Indeterminções 55 = e log() + = e =, + tendo em cont o que mostrámos trás (eemplo 5 d págin 53). EXEMPLO : Vimos num eemplo nterior que sen() =, portnto, o clculr ( ) sen() surge indeterminção. ( sen() ) = e ( ) sen() log ; neste último ite surge indeterminção que podemos converter em fzendo e ( ) sen() log log = e ( ) sen(). Como e ( log ( )) sen() ( ) = e ( ) sen() sen() = e cos() sen() sen() = e cos() sen() sen(), temos novmente indeterminção. Considerndo f() = cos() sen() e g() = sen() obtemos f () g () = sen() 4 sen() + cos() precendo ind indeterminção. Tendo em cont que podemos concluir que ( sen()) (4 sen() + cos()) = ( sen() cos() 6 cos() sen() = 6, ) = e 6.

59 56 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil EXEMPLO 3: No cálculo de + + ( ( ) tg() surge indeterminção. Como ) tg() = e tg() log + ( ) = e ( log ) + cotg() e neste ite indeterminção é primeiro do tipo e depois do tipo o ite pedido é pois temos que e + ( log ( )) (cotg()) = e + cosec () = e + sen () = e =.

60 3.4 Teorem de Tylor Teorem de Tylor Teorem 3.4. (Teorem de Tylor) Sej f um função definid num intervlo [, b] ( < b), com derivds contínus té à ordem n em [, b] e com derivd de ordem n definid em ], b[. Então, eiste um ponto c ], b[ tl que f(b) = f()+(b ) f (b ) ()+ f (b )n ()+ + f (n ) (b )n ()+ f (n) (c)! (n )! n! ( ) Demonstrção: Consideremos função ϕ() = f(b) [f() + (b )f (b ) () + f ()+! (b )n + + f (n ) (b )n () + A], (n )! n! sendo A um constnte escolhid por form que ϕ() =. ϕ está ns condições do Teorem de Rolle: por construção, é um função contínu em [, b], diferenciável em ], b[ e ϕ() = = ϕ(b). Então eiste c ], b[ tl que ϕ (c) =. Ms ϕ () = [ f () f () + (b )f () (b )f () + + (b )n f (n) (b )n () (n )! (n )! [ (b ) n = f (n) (b )n () (n )! (n )! A ] ] A (b )n f (n ) ()+ (n )! = (b )n (n )! [ A f (n) () ] Então ϕ (c) = (b c)n (n )! [ A f (n) (c) ] = (b c) n = f (n) (c) A =. Como c ], b[ vem f (n) (c) = A. Por construção de ϕ temos ϕ() =, portnto, e obtemos ssim ( ). = ϕ() = f(b) [f() + (b )f (b ) () + f ()+! (b )n + + f (n ) (b )n () + f (n) (c)], (n )! n!

61 58 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil NOTA: A hipótese < b é desnecessári, como fcilmente se observ n demonstrção. Apens foi introduzid pr fcilitr o enuncido. A epressão ( ) chm-se fórmul de Tylor de ordem n de f. enuncido do teorem b = + h, vem Fzendo no f( + h) = f() + h f () + h! f () + + hn (n )! f (n ) () + hn n! f (n) ( + θh), sendo < θ <. Ao termo hn (b )n f (n) (c) chm-se resto de Lgrnge d fórmul n! n! f (n) (+θh) ou de Tylor. No cso em que =, fórmul de Tylor é conhecid por fórmul de McLurin: f() = f() + f () + f ()! + + f (n ) () sendo < c < ou < c <. n (n )! + f (n) (c) n n!, EXEMPLO : Vmos escrever fórmul de McLurin, com resto de ordem 4, d função f() = e sen(). Como f é um função de clsse C (R) podemos escrever su fórmul de McLurin de qulquer ordem. Em prticulr, pr n = 4 eiste c entre e tl que f() = f() + f () + f ()! + f () 3 3! + f (IV ) (c) 4 4!. Clculemos s derivds de f. Logo, f () = e (sen() + cos()) f () = f () = e cos() f () = f () = e (cos() sen()) f () = f (4) () = 4e sen() f (4) (c) = 4e c sen(c) e sen() = +! + 3 3! 4ec sen(c) 4 4! = ec sen(c) 4 6 com c entre e. EXEMPLO : Clculemos, usndo fórmul de Tylor, o ite ( π) log( cos() ) + π ( π)

62 3.4 Teorem de Tylor 59 Consideremos função f() = log( cos() ). É um função de clsse C em D = { R : cos() }. Como π D, podemos escrever fórmul de Tylor de ordem 3 de f em potêncis de π: eiste c entre e π tl que f() = f(π) + f (π) ( π) + f (π) ( π)! + f (c) ( π)3 3! Como f(π) = e f () = sen() cos() = tg() f (π) = f () = f (π) = (cos()) f () = sen() f (c) = sen(c) (cos()) 3 (cos(c)) 3 temos ( π) f() =! Clculemos o ite pedido. sen(c) ( π)3 (cos(c)) 3 3! ( π) ( π) log( cos() ) + = π ( π) π sen(c) = π ( π)3 (cos(c)) 3 3 ( π) = π visto que qundo π tmbém c π. ( π) = sen(c) ( π)3 (cos(c)) 3 3 sen(c) ( π)3 + (cos(c)) 3 3 ( π) ( π) ( sen(c) (cos(c)) π ) = sen(π) 3 3 (cos(π)) π π 3 3 EXEMPLO 3: Escrevmos fórmul de Tylor de ordem d função em torno do ponto e mostremos que f() = f() < ( ) log() ( ) >. A função f é de clsse C em D = { R + : + log() }. Como D podemos escrever fórmul de Tylor de ordem de f em potêncis de : eiste c entre e tl que f() = f() + f () ( ) + f ( ) (c)! =

63 6 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Como f() = e temos Podemos escrever f () = ( + log()) f () = f () = 3 + log() ( + log()) 3 f (c) = f() = ( ) log(c) c ( + log(c)) log(c) ( ) c ( + log(c)) 3! 3 + log(c) c ( + log(c)) = + + log(c) 3 c ( + log(c)) = 3 c ( + log(c)) + 3 c ( + log(c)) Se > então < c <, pelo que + log(c) > + log() =, c ( + log(c)) 3 > e c ( + log(c)) >. Então c ( + log(c)) < e 3 c ( + log(c)) < portnto, f() < ( ) + 3 ( ) >.

64 3.5 Aplicções d fórmul de Tylor Aplicções d fórmul de Tylor à determinção de etremos, sentidos de concvidde e pontos de infleão Sbemos que os máimos e os mínimos de um função diferenciável podem ser clculdos recorrendo à primeir derivd, tendo em tenção que derivd positiv implic função crescente e derivd negtiv implic função decrescente. A fórmul de Tylor tmbém nos permite clculr os etremos de um função prtir ds derivds de ordem superior. Teorem 3.5. Sej f : D R um função contínu num ponto, interior D. ) Se f() >, então eiste um vizinhnç V de tl que f() >, V. b) Se f() <, então eiste um vizinhnç V de tl que f() <, V. Demonstrção: Fremos pens demonstrção d líne ). Se f é contínu em então, por definição, δ > ε > : < ε f() f() < δ. Como f() >, fzendo δ = f(), obtemos Ms ε > : < ε f() f() < f(). f() f() < f() f() < f() f() < f() f() + f() < f() < f() + f() < f() < f(), ou sej, f() > V ε (). Definição 3.5. Diz-se que é um ponto de estcionridde de f se f () =. Teorem 3.5. Sej f um função clsse C n num intervlo I e um ponto interior I. Se f () = f () = = f (n ) () = e f (n) () então ) se n é ímpr, f não tem etremo reltivo em ; b) se n é pr, f tem máimo reltivo em se f (n) () < e tem mínimo reltivo em se f (n) () >.

65 6 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil Demonstrção: Se queremos provr eistênci de etremo reltivo no ponto, temos de estudr o sinl de f() f(). Sbemos que se eistir um vizinhnç de onde f() f() mntém o sinl então f() é etremo reltivo de f, e que se tl não contecer então f() não é etremo reltivo. Como f (n) () é contínu e f (n) (), eiste um vizinhnç V de, V I, onde f (n) () tom o sinl de f (n) (), isto é, se f (n) () > então f (n) () > V, se f (n) () < então f (n) () < V. Sej V. Visto que f é n vezes diferenciável em I e V I, pelo Teorem de Tylor eiste c V tl que f() = f()+f () ( )+f () ( ) + +f (n ) ()! ( )n +f (n) (c) (n )! ( )n. n! Por hipótese, f () = f () = = f (n ) () =, portnto, ou sej, f() = f() + f (n) (c) f() f() = f (n) (c) ( )n, n! ( )n n! Se n é ímpr e f (n) () > então f() f() < se <, V, e f() f() > se >, V, ou sej, f() não é etremo reltivo. Se n é ímpr e f (n) () < obtemos relções nálogs, com s desigulddes invertids. Se n é pr e f (n) () > então f() f() > V \ {}, o que implic que f() é mínimo reltivo. Se n é pr e f (n) () < então f() f() < V \ {}, o que implic que f() é máimo reltivo. EXEMPLO : Sej f() = 3 3. f () = 3 3 = 3( ) = = =. Como f () = 3( ) temos f () = 3 e f () = 3. Pelo teorem nterior concluímos que f() é um máimo reltivo e f() é um mínimo reltivo. EXEMPLO : Sej f() = sen(). f () = cos() = cos() = = π 3 + kπ = π 3 + kπ, k Z. Como f () = sen() temos f ( π + kπ) = 3 e f ( π + kπ) = 3. Pelo teorem 3 3 nterior concluímos que f( π + kπ) é mínimo reltivo k Z e f( π + kπ) é máimo 3 3 reltivo, k Z.

66 3.5 Aplicções d fórmul de Tylor 63 EXEMPLO 3: Sej f() = 4 +. Como f () = f () = (4 ) 3 = 4 = = =. EXEMPLO 4: Sej f() = ( ) 3. >, R \ {} temos que f( ) = f() é mínimo reltivo. f () = ( ) (5 ) = = = = 5 Como f () = ( )( 8 + ) temos f () = e f ( ) = 8 Pelo teorem 5 5 nterior concluímos que f() é um máimo reltivo e f( ) é um mínimo reltivo. Ms 5 f () =, portnto, temos de clculr f. Como f () = 6( + 3), f () = 6 o que implic que f() não é etremo de f. EXEMPLO 5: Sej f() = cos() + sen(). f () = ( sen () + sen() ) = 4 (sen() + )(sen() ) = sen() = sen() = = 3 π + kπ = π 6 + kπ = 5 π + kπ, k Z. 6 Como f () = cos()(4sen() + ) temos f ( π + kπ) = 3 3 e f ( 5π + kπ) = 3 3, 6 6 o que implic que f( π +kπ) é máimo reltivo de f e 6 f(5 π+kπ) é mínimo reltivo de f, 6 qulquer que sej k Z. Ms f ( 3 π + kπ) = pelo que recorremos à terceir derivd: f () = 6 sen () + sen() 8, portnto, f ( 3 π + kπ) = 6, podendo concluir-se que π + kπ) não é etremo. f( 3 Definição 3.5. Dds dus funções f e g, definids num intervlo I, diz-se que o gráfico de f fic cim do gráfico de g num ponto I se f() > g() e fic bio do gráfico de g num ponto b I se f(b) < g(b). Se J I e f() > g(), J, diz-se que o gráfico de f fic cim do gráfico de g em J e se f() < g(), J, diz-se que o gráfico de f fic bio do gráfico de g em J. Sej f um função definid e diferenciável num intervlo I. Queremos determinr posição do gráfico de f em relção à tngente esse gráfico num ponto int(i). Trt-se, portnto, de estudr diferenç r() = f() (f() + f () ( )).

67 64 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil y f()+f () (-) f() f(b) f f(b)+f (b) (-b) b Figur 3.9 Definição Sej f um função definid num intervlo I, diferenciável em I e sej r() = f() (f() + f () ( )). ) Se eistir um vizinhnç V de, V I, tl que r() >, V \ {}, diz-se que f tem concvidde voltd pr cim em ; b) Se eistir um vizinhnç V de, V I, tl que r() <, V \ {}, diz-se que f tem concvidde voltd pr bio em. c) Se eistir um vizinhnç V = ] ε, + ε[ I de tl que r() > ] ε, [ e r() < ], + ε[ ou r() < ] ε, [ e r() > ], + ε[, diz-se que o gráfico de f tem um ponto de infleão em (, f()). A Figur 3.9 sugere interpretção gráfic ds definições nteriores. Teorem Sejm I um intervlo e f C (I). O gráfico de f tem concvidde voltd pr cim (respectivmente, pr bio) em todos os pontos, interiores I, tis que f () > (respectivmente, f () < ). Demonstrção: Sej um ponto interior I tl que f (). Como f C (I) e f (), eiste um vizinhnç V de, V I, onde f () tom o sinl de f (), isto é, se f () > então f () >, V, se f () < então f () <, V. Sej V. Pelo Teorem de Tylor, eiste c V tl que Queremos estudr o sinl de r(): f() = f() + f () ( ) + f (c) ( )!

68 3.5 Aplicções d fórmul de Tylor 65 r() = f() (f() + f () ( )) = f() + f () ( ) + f (c) = f (c) ( )! ( )! (f() + f () ( )) O sinl de r() depende pens do sinl de f (c) que, por su vez, tem o sinl de f (). Se f () > então r() >, o que signific que f tem concvidde voltd pr cim. Se f () < então r() <, o que signific que f tem concvidde voltd pr bio. Corolário Se f C (I) e tem um ponto de infleão num ponto, interior I, então f () =. Teorem Sejm I um intervlo e f C n (I), n >. Se é um ponto interior I tl que f () = f () = = f (n ) () = e f (n) () então ) se n é pr, f tem concvidde voltd pr cim se f (n) () > e tem concvidde voltd pr bio se f (n) () < ; b) se n é ímpr, é ponto de infleão. Demonstrção: Como f (n) () é contínu e f (n) (), eiste um vizinhnç V de, V I, onde f (n) () tom o sinl de f (n) (), isto é, se f (n) () > então f (n) () >, V, se f (n) () < então f (n) () <, V. Sej V. Como f é n vezes diferenciável em I e V I, pelo Teorem de Tylor eiste c V tl que f() = f()+f () ( )+f () ( ) + +f (n ) ()! Por hipótese, f () = f () = = f (n ) () =, portnto, ( )n +f (n) (c) (n )! ( )n n! Queremos estudr o sinl de r(): f() = f() + f () ( ) + f (n) (c) ( )n n! r() = f() (f() + f () ( )) = f() + f () ( ) + f (n) (c) = f (n) ( )n (c) n! ( )n n! (f() + f () ( ))

69 66 3. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Diferencil ) Se n é pr então ( ) n >, V \ {}, o que implic que o sinl de r é o sinl de f (n) (c). Assim, se f (n) () >, r() > e f tem concvidde voltd pr cim; f (n) () <, r() < e f tem concvidde voltd pr bio. b) Se n é ímpr então ( ) n >, > e ( ) n <, <. Ms isto implic que o sinl de r mud qundo se pss de vlores menores do que pr vlores miores do que. Portnto, é ponto de infleão. EXEMPLO : Sej f() = + sen(). Como f () = + cos() temos f () = sen() = = kπ, k Z. Ms f () = cos(), portnto, f (kπ) = se k é ímpr e f (kπ) = se k é pr. Concluímos, pelo teorem nterior, que kπ, k Z é ponto de infleão. EXEMPLO : Consideremos novmente função f() = ( ) 3. Como f () = ( )( 8 + ) temos f () = = = Ms f () = 6( + 3), portnto, f () = = 6 6 = 4 6 = 6 + 6, o que implic que f (), f ( 4 6 ) e f ( 4+ 6). Pelo teorem nterior concluímos que estes três pontos são pontos de infleão.

70 Cpítulo 4 Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção 4. Primitivs imedits Definição 4.. Sejm f e F dus funções definids num intervlo I. Diz-se que F é um primitiv de f em I se F () = f(), I. EXEMPLO : Como (sen()) = cos() temos que sen() é primitiv de cos(). EXEMPLO : De ( ) = concluímos que é primitiv de. Definição 4.. Um função f diz-se primitivável num intervlo I se eistir um primitiv de f, definid em I. NOTA: Há funções que não são primitiváveis. Por eemplo, função f : R R definid por {, se < f() =, se não é primitivável em R. De fcto, eistênci de um função F : R R tl que F () = f(), R, contrdiz o Teorem de Drbou: f não tom nenhum vlor entre e. Teorem 4.. Se F é primitiv de f, num intervlo I, então, qulquer que sej C R, função G() = F () + C é tmbém primitiv de f em I. Demonstrção: Bst notr que G () = F () + C = F () = f(). Teorem 4.. Se F e G são dus primitivs de f num intervlo I, então F G é constnte em I.

71 68 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Demonstrção: Us-se o Corolário do Teorem de Lgrnge, notndo que F () = G () = f(), I. NOTAS:. Como consequênci dos teorems nteriores temos que tods s primitivs de f são d form F + C com F um primitiv de f e C R.. Se F é um primitiv de f no intervlo I, designmos por P f qulquer primitiv de f em I, isto é, P f = F + C, com C R, qulquer. Geometricmente: Figur 4. Definição 4..3 Chmm-se primitivs imedits s que se deduzem directmente de um regr de derivção. A prtir ds regrs de derivção obtém-se fcilmente: Teorem 4..3 Sejm f e g dus funções primitiváveis num intervlo I e R. Então ) P f() = P f(); b) P (f() + g()) = P f() + P g(). Apresentmos seguir um tbel com lgums primitivs imedits. α, f() (u()) α u (), α α P f() α+ α + + C (u()) α+ α + + C log( ) + C

72 4. Primitivs imedits 69 f() u () u() e P f() log( u() ) + C e + C e u() u (), ( > ) u() u (), ( > ) cos() cos(u()) u () sen() sen(u()) u () u () (u()) u () (u()) e u() + C log() + C u() log() + C sen() + C sen(u()) + C cos() + C cos(u()) + C rc sen() + C rc sen(u()) + C rc cos() + C rc cos(u()) + C + rc tg() + C u () + (u()) rc tg(u()) + C sec () sec (u()) u () tg() + C tg(u()) + C

73 7 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção f() P f() cosec () cotg() + C cosec (u()) u () cotg(u()) + C EXEMPLOS: P ( + + ) = P + P + P = C; P cos () = P + cos() = (P + P cos()) = P = P ( + 3) 3 = ( + 3) 3 + P = log C; P e 5 = 5 P 5 e5 = 5 e5 + C; P cos(5 + 7) = sen(5 + 7) + C; P = rc tg() + C; + () ( + sen() ) + C; + + C = 3 4 ( + 3) C; 3 P (cos() e 3 ) = P cos() P e 3 = sen() 3 e3 + C; P 3 3 = P ( 3 ) 3 = 3 (3 ) C = 3 (3 ) + C. Teorem 4..4 Sej f um função primitivável num intervlo I. Então, pr cd I e cd y R, eiste um, e um só, primitiv F de f tl que F ( ) = y. Em prticulr, eiste um, e um só, primitiv de f que se nul em. EXEMPLO : Clculemos f sbendo que f () = e f() =. Comecemos por clculr s primitivs F de f, pois f é um desss funções. F () = C.

74 4. Primitivs imedits 7 Ms portnto, f() = f() = 5 + C = C = 8 5, EXEMPLO : Pretendemos clculr f sbendo que f () = + 6 4, f() = 4 e f() = 5. A função f pertence o conjunto ds funções F tis que F () = C e, portnto, será um função d form F () = C + C. Como { f() = 4 f() = 5 então f() = { C = 4 C =

75 7 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção 4. Métodos geris de primitivção: Primitivção por prtes e por substituição Teorem 4.. (Primitivção por prtes) Sejm I um intervlo, F um primitiv de f em I e g um função diferenciável em I. Então P (fg) = F g P (F g ) Demonstrção: Pel regr d derivção do produto (F g) = F g + F g = fg + F g, o que implic que fg = (F g) F g e, portnto, P (fg) = F g P (F g ). EXEMPLO : Sej h() = log(). Clculemos primitiv de h por prtes: consideremos f() = e g() = log(). ( P ( log()) = log() P ) = log() P () = log() 4 + C. EXEMPLO : Podemos primitivr função h() = log() usndo este método. Sejm f() = e g() = log(). ( P (log()) = P (. log()) = log() P ) = log() P () = log() + C. EXEMPLO 3: Sej h() = cos() log(sen()). Sejm f() = cos() e g() = log(sen()). Então ( P (cos() log(sen())) = sen() log(sen()) P sen() cos() ) sen() = sen() log(sen()) P (cos()) = sen() log(sen()) sen() + C. EXEMPLO 4: Pr clculr primitiv de h() = cos(log()) consideremos f() = e g() = cos(log()). Então P (cos(log())) = cos(log()) + P sen(log()). Est últim primitiv clcul-se novmente por prtes obtendo-se P (cos(log())) = cos(log()) + sen(log()) P cos(log()), e, portnto, P (cos(log())) = cos(log()) + sen(log()),

76 4. Primitivção por prtes e por substituição 73 ou sej, P (cos(log())) = (cos(log()) + sen(log())) + C. EXEMPLO 5: Sejm h() = log 3 (), f() = e g() = log 3 (). P (. log 3 ()) = log 3 () P (3 log ()). Primitivndo novmente por prtes, e usndo o resultdo obtido nteriormente pr P (log()), obtemos P (. log 3 ()) = log 3 () 3 ( log () P ( log())) = log 3 () 3 log () + 6 log() 6 + C. Teorem 4.. (Primitivção por substituição) Sejm f um função primitivável num intervlo J e ϕ um função bijectiv e diferenciável no intervlo I tl que ϕ(i) = J. Sej Φ(t) = P (f(ϕ(t))ϕ (t)). Então função F () = Φ(ϕ ()) é um primitiv de f em J. Demonstrção: Sej F um primitiv de f. Como, por hipótese, = ϕ(t) temos F () = F (ϕ(t)). Pel regr de derivção d função compost (F (ϕ(t))) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t) = Φ (t), porque designámos por Φ(t) um primitiv de f(ϕ(t))ϕ (t). Como F (ϕ(t)) e Φ(t) são mbs primitivs de f(ϕ(t))ϕ (t) sbemos que F (ϕ(t)) Φ(t) = C, C constnte rel, ou ind, o que implic que F (ϕ(t)) = Φ(t) + C, F () = Φ(ϕ ()) + C. EXEMPLO : Sej f() = isto é, ϕ(t) = + t =. 3. Pr clculr primitiv de f fçmos = t, P (f(ϕ(t)).ϕ (t)) = P ( + t ) 3 t = P (+t ) 3 = P (+3t +3t 4 +t 6 ) = (t+t 3 +3 t5 t 5 +t7 7 ). Assim, P ( 3 = + ( ) ( ) 5 + ) 7 ( ) 7 + C.

77 74 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção EXEMPLO : Consideremos f() = e = t, isto é, ϕ(t) = log(t). Consequentemente, P (f(ϕ(t)).ϕ (t)) = P NOTA: Usmos, por vezes notção Podemos clculr su primitiv fzendo e + e t + t t = P = rc tg(t). + t P f() = rc tg(e ) + C. P f() = {P t f(ϕ(t))ϕ (t)} t=ϕ ().

78 4.3 Primitivção de funções rcionis Primitivção de funções rcionis Sejm P () = n n e Q() = b m m + + b + b, n, m N, n, b m, dois polinómios com coeficientes j, b j R; n e m os grus de P e Q, respectivmente. Definição 4.3. Chm-se função rcionl tod função f : D R R que pode ser epress n form f() = P () Q() em que P e Q são polinómios e D = { R : Q() }. Definição 4.3. Dois polinómios P e Q dizem-se iguis, e escreve-se P = Q, se P () = Q(), R. Verific-se fcilmente que, sendo P () = n n e Q() = b m m + + b + b, se tem P () = Q(), R n = m n = b m,..., = b, = b. Ddos dois polinómios P e Q, de grus n e m, respectivmente, n > m, eistem polinómios M e R tis que P () = M() Q() + R() e gru de R < gru de Q. M diz-se o polinómio quociente e R o polinómio resto. Definição Um polinómio P de gru mior ou igul diz-se redutível se eistem polinómios P e P tis que gru de P i < gru de P (i =, ) e P () = P ()P (). O polinómio P diz-se irredutível se não for redutível. É possível determinr quis são precismente os polinómios irredutíveis. Considere-se, sem perd de generlidde, os polinómios unitários (com coeficiente n = ): P () = n + n n Todos os polinómios de gru, P () =, são irredutíveis. Um polinómio de gru, P () = + b + c é irredutível se, e só se, não tem rízes reis, isto é, b 4c <. Assim os polinómios de gru irredutíveis são precismente os polinómios d form P () = ( α) + β, α, β R, β, ssocido às dus rízes comples conjugds α ± iβ.

79 76 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Os únicos polinómios irredutíveis são os considerdos e mostr-se que todo o polinómio P () com gru mior ou igul é produto de polinómios irredutíveis: P () = ( ) n ( p ) np [( α ) + β ] m [( α q ) + β q ] mq em que n i, m j fctor em P. N representm o gru de multiplicidde do correspondente Definição Um função rcionl f() = P () Q() tiverem rízes comuns. diz-se irredutível se P e Q não Dd um função rcionl irredutível, podemos ter dois csos: o O gru do polinómio P é mior ou igul o gru do polinómio Q. o O gru do polinómio P é menor do que o gru do polinómio Q. No primeiro cso, fzendo divisão dos polinómios obtemos P () = M() Q() + R(), em que M e R são polinómios, sendo M o quociente e R o resto (que tem gru inferior o gru de Q). Temos então o que implic que P P () Q() = M() + R() Q() ( ) P () = P (M()) + P Q() ( ) R() Q() A primitiv de M é imedit por ser primitiv de um polinómio. A segund é primitiv de um função rcionl, em que o gru do numerdor é menor do que o do denomindor. Concluímos, ssim, que bst estudr o cso ds funções rcionis irredutíveis em que o gru do numerdor é menor do que o gru do denomindor, isto é, ficmos reduzidos o o cso trás considerdo. Os teorems seguintes, que não demonstrremos, permitem-nos decompor um função rcionl irredutível do o cso n som de funções rcionis cujs primitivs são fáceis de clculr (ou mesmo primitivs imedits). A primitivção de funções rcionis irredutíveis fic, pois, completmente resolvid. Comecemos por nlisr os csos em que Q dmite pens rízes reis. Temos o seguinte teorem: Teorem 4.3. Se P () é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q() o gru de Q e se Q() = ( ) n ( ) n... ( p ) np,

80 4.3 Primitivção de funções rcionis 77 com,,..., p números reis distintos e n, n,..., n p N, então função é decomponível num som d form P () Q() = A n ( ) n + + A + + onde A n,..., A,..., B np,..., B são números reis. B np ( np ) np + + B np NOTA: Ns condições do Teorem 4.3., qulquer ds prcels em que se decompõe função tem primitiv imedit: P A ( ) = A p p, se p ( ) p P A = A log o cso: Q tem rízes reis de multiplicidde, isto é, Q decompõe-se em fctores do tipo A com R. A cd riz de Q ssoci-se um prcel do tipo, com A constnte determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f() = Como o número de rízes de um polinómio não ultrpss o seu gru e 3 dmite s rízes =, = e =, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde. Então = A 3 + B + C + = A( ) + B( + ) + C( ) 3 = (A + B + C) + (B C) A 3 Pelo método dos coeficientes indetermindos temos A + B + C = 4 B C = A = B + C = 5 B C = A = B = 3 C = A = Assim: =

81 78 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção e P ( ) = P ( ) + P ( ) 3 + P ( ) + = log + 3 log + log + + C ( ) ( ) 3 = log ( + ) + C. o cso: Q tem rízes reis de multiplicidde p, p >, isto é, Q dmite, com R, como divisor p vezes. N decomposição, cd riz de Q de multiplicidde p vi corresponder um som de p prcels com seguinte form: A p ( ) p + A p ( ) p + + A, com A p, A p,..., A constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f() = ( + ) 3 Como ( + ) 3 dmite s rízes =, = e + prece 3 vezes n fctorizção do polinómio, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde e multiplicidde 3, respectivmente. Então ( + ) 3 = A + B ( + ) 3 + C ( + ) + D + = A( + )3 + B + C( + ) + D( + ) ( + ) 3 = (A + D)3 + (3A + C + D) + (3A + B + C + D) + A ( + ) 3 Pelo método dos coeficientes indetermindos temos A + D = 3A + C + D = 5 3A + B + C + D = 6 A = D = C = B = A = Assim: ( + ) 3 = + ( + ) 3 + ( + )

82 4.3 Primitivção de funções rcionis 79 e P ( ) ( + ) 3 = P ( ) + P ( ) P ( + ) 3 ( ) ( + ) = log ( + ) C = log ( ) ( + ) C. Vejmos gor os csos em que o polinómio Q dmite rízes comples. Teorem 4.3. Se P () é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q() o gru de Q e se α + iβ (α, β R) é um riz de Q, de multiplicidde r, então P () Q() = M r + N r [( α) + β ] r + + M + N ( α) + β + H() Q () onde H e Q são polinómios tis que o gru de H é menor que o gru de Q, M r, N r,..., M, N, são números reis e nem α + iβ nem α iβ são rízes do polinómio Q. o cso: Q tem rízes comples de multiplicidde, isto é, Q dmite como divisores polinómios de gru, (um únic vez cd polinómio), que não têm rízes reis. N decomposição, cd pr de rízes (α + iβ, α iβ) vi corresponder um prcel com seguinte form: A + B ( α) + β com A e B constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f() = Como ( )( + + ) = = = ± i 3 podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde. Então + ( )( + + ) + ( )( + + ) = A + B + C ( + ) = A( + + ) + (B + C)( ) ( )( + + ) = (A + B) + (A B + C) + A C ( )( + + )

83 8 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Pelo método dos coeficientes indetermindos temos Assim: e P A + B = A B + C = A C = + ( )( + + ) = + ( + ) ( )( + + ) = P ( ) + P = log P A = B = C = ( + ) ( ) ( + ) ( ). ( + ) A primitiv ( ) P ( + ) clcul-se fzendo substituição = t, isto é, ϕ(t) = t (No cso gerl, sendo + ib riz, substituição é = bt). Então ( ) P f(ϕ(t)).ϕ 3 (t) = P ( = P 3 t) t + = rc tg(t), 3 portnto, Finlmente, P ( ( + ) ) = ( rc tg ). 3 P f() = log ( rc tg 3 + ) + C. 3 3 o cso: Q tem rízes comples de multiplicidde p, p >, isto é, Q dmite como divisores polinómios de gru que não têm rízes reis, precendo p vezes cd polinómio n fctorizção de Q. N decomposição, cd pr de rízes (α+iβ, α iβ) vi corresponder um som de prcels com seguinte form: A p + B p (( α) + β ) + A p + B p p (( α) + β ) + + A + B p ( α) + β com A p, A p,..., A, B p, B p,..., B constntes determinr. EXEMPLO: Clculemos primitiv d função f definid por f() = ( )( + )

84 4.3 Primitivção de funções rcionis 8 Como ( )( + ) = = = ±i e ( )( + ) tem gru 5, podemos concluir que ests rízes têm multiplicidde e multiplicidde, respectivmente. Então = A ( )( + ) + B + C ( + ) + D + E + = A( + ) + (B + C)( ) + (D + E)( )( + ) ( )( + ) Pelo método dos coeficientes indetermindos temos A = B = C = D = E = Assim: e ( ) P ( )( + ) ( )( + ) = + ( + ) + + = P ( ) + P = log + P ( ) + P ( + ) ( ) P ( + ) ( ) + ( + ( ) = log + P P ( + ) ( + = log + P ) ) ( ) ( ) rc tg. ( + ) A primitiv ( ) ( ) P = P ( + ) ( + ) clcul-se fzendo substituição = t, isto é, ϕ(t) = t. Então

85 8 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção P f(ϕ(t)).ϕ (t) = P = = = = = ( t (t + ) ) 4 P ( ) t (t + ) ( ) t 4 P (t + ) (t + ) ( P 4 4 ) t (t + ) P (t + ) ( P t(t + ) P ) (t + ) ( ) 4 (t + ) P + t t (t + ) = 4 t + 4 = 4 t + 4 = 4 t + 4 (P + ) t (t + ) P t (t + ) ( P t + P t ( ( rc tg(t) t + ) t (t + ) t + P )) t + = 4 t + t rc tg(t) 4 4 (t + ) + 8 rc tg(t) portnto, Finlmente, P t + = 8(t + ) rc tg(t), 8 ( ( + ) ) P f() = log 5 8 = + 4( + ) 8 ( ) rc tg ( ) rc tg. + 4( + ) + C.

86 4.3 Primitivção de funções rcionis 83 NOTA: Se P () dmite um decomposição d form que prece neste teorem, su Q() primitiv pode ser clculd recorrendo primitivs de funções d form A + B ( α) + β e C + D [( α) + β ] p, p >. Temos no primeiro cso, usndo substituição α = βt, { } A + B P ( α) + β = A(α + βt) + B P t β β t + β A (α + βt) + B P t β = P A α + B + A βt β t + β β(t + ) t= α β = P A α + B β(t + ) + P A βt β(t + ) = A α + B β P t + + A P t t + Portnto, = A α + B β rctg(t) + A log(t + ) P A + B ( α) + β = A α + B rctg β ( ) α No segundo cso, usndo mesm substituição, P C + D [( α) + β ] p = β { P t C(α + βt) + D (β t + β ) p β C (α + βt) + D P t β = P C α + D + C βt (β t + β ) p β p (t + ) p [ ( + A ) α log + ] + C. β } t= α β. = P C α + D β p (t + ) + P C βt p β p (t + ) p = C α + D β p = C α + D β p P P (t + ) + C p β P t p (t + ) p (t + ) C p β p p (t + ) p

87 84 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção Rest-nos clculr P Ms (t + ) p o que implic que (t + ) p = + t t (t + ) p = (t + ) p t (t + ) p P = P (t + ) p (t + ) P t p (t + ) p = P = P = isto é, o cálculo d primitiv de de (t + ) primitiv de é imedit. (t + ) P t p t (t + ) p (t + ) + t p (p )(t + ) P p (p )(t + ) p t p 3 + (p )(t + ) p p P (t + ), p ficou pens dependente do cálculo d primitiv (t + ) p, que por su vez pode, de modo nálogo, fzer-se depender do cálculo d p (t + ), e ssim sucessivmente té chegrmos à primitiv de p + t que Teorem Se P () é um função rcionl irredutível, se o gru de P é menor que Q() o gru de Q e se Q() = ( ) p ( b) q [( α) + β ] r [( γ) + δ ] s então função é decomponível num som d form P () Q() = A p ( ) p + + A + + B q ( b) q + + B b + + M r + N r [( α) + β ] r + + M + N ( α) + β V s + Z s [( γ) + δ ] s + + V + Z ( γ) + δ onde A p,..., A, B q,..., B, M r, N r,..., M, N, V s, Z s,..., V, Z são números reis.

88 4.4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis Primitivção de funções lgébrics irrcionis Vejmos gor lguns tipos de funções cuj primitivção pode reduzir-se à primitivção de funções rcionis com um substituição dequd. Introduz-se em primeiro lugr noção de polinómio e função rcionl em váris vriáveis. Definição 4.4. Design-se por polinómio em dus vriáveis, e y, com coeficientes reis, plicção P : R R R, dd por P (, y) = mn m y n + + y + + y +, com m, n N, ij R. Define-se o gru de P como o mior inteiro i + j tl que ij. Mis gerlmente define-se, de modo nálogo, polinómio em p vriáveis u,..., u p, como plicção P : R } {{ R } R, dd por p vezes P (u,..., u p ) = i...i p u i... u ip p, i,...,i p i,..., i p N, i...i p R e i,...,i p um som finit em i,..., i p. Definição 4.4. Se P (u,..., u p ) e Q(u,..., u p ) são dois polinómios em p vriáveis, chm-se função rcionl em p vriáveis um plicção d form R(u,..., u p ) = P (u,..., u p ) Q(u,..., u p ) definid nos elementos (u,..., u p ) R } {{ R } tis que Q(u,..., u p ). p vezes Anlisemos então lgums clsses de funções susceptíveis de serem rcionlizds por convenientes mudnçs de vriável. No que se segue R design um função rcionl dos seus rgumentos. Epressão Substituição f() = R( m n, p q,..., r s ) = t µ µ = m.m.c.{n, q,..., s} ( f() = R, ( +b c +d ) m n, ( ) p +b c +d f() = α ( + b β ) γ q,..., ( +b c +d ) r ) s +b c +d = tµ µ = m.m.c.{n, q,..., s} β = t

89 86 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção EXEMPLO : Consideremos função f() = + 3 = A substituição + 3 usr é = ϕ(t) = t 6 e primitiv clculr é ( P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t 3 + t 6t 5 6t5 = P t (t + ) = 6 P t3 t + = 6 P t t + ) t + ( ) t 3 = 6 3 t + t log t + = t 3 3t + 6t 6 log t + tendo-se ssim P + 3 = log( 6 + ) + C. + 3 EXEMPLO : Sej f() = A substituição + 3 = t4 permite resolver o problem. Temos ( P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t t t3 = P t5 t = P t 4 + t 3 + t + t + + ) t ( ) t 5 = 5 + t4 4 + t3 3 + t + t + log t e P f() = ( ( 4 + 3) 5 + ( 4 + 3) log( 4 ) + 3) + C + ( 4 + 3) ( 4 + 3) 3 EXEMPLO 3: Sej f() = +. Fçmos substituição 3 P f(ϕ(t))ϕ (t) = P t 3 ( + t) 3 t 3 = P t + t = t. Obtemos: que, como vimos nteriormente (eemplo ), se resolve fzendo substituição + t = z, isto é, 3 P t + t = 3 { Pz (z ) z z } z= +t = 3 { Pz (z 6 4z 4 + 4z ) } z= +t { } z 7 = 3 7 4z z3 3 z= +t = 3 ( ) 7 ( ) 5 ( ) 3 + t + t t 7 5

90 4.4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis 87 tendo-se finlmente 3 P + = 3 7 ( ) ( ) 5 ( ) C. 5 Epressão Substituição + b + c = + t se > + b + c = t + c f() = R(, + b + c) se c > + b + c = t ( α) ou + b + c = t ( β) se α e β são zeros reis distintos de + b + c EXEMPLO : Consideremos função f() =. Como = 3 podemos 3 + usr substituição 3 + = 3 + t, tendo-se: o que implic ϕ (t) = 3t t 3 ( 3t + ) A primitiv clculr é 3 + = 3 + 3t + t 3t = t = t + 3t = ϕ(t) P ( ) t 3 + t 3t t 3 3t + 3t + t ( 3t + ) 3t t 3 = P 3( t ) + t( t )( 3t + ( 3t + t + 3) = P ( 3 3t + 3t + t)( t )

91 88 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção o que implic que P = P t = P ( = log t log + t = log ) t + + t t + t 3 + = log C. EXEMPLO : Primitivemos função f() = Tendo em cont que = = = 3 podemos usr substituição = t( 3) = t( 3) ( 3)( ) = t( 3) ( 3)( ) = t ( 3) ( ) = t ( 3) = 3t + t + = ϕ(t) o que implic ϕ 4t (t) = (t + ) A primitiv clculr é o que implic que P P = P ( ) 3t + 3t t + t + t (3t + )(3t + 3t 3) = P 3t + = 3 rc tg( 3t) = 3 rc tg( 3 4t (t + ) ) + C. 3

92 4.4 Primitivção de funções lgébrics irrcionis 89 Epressão Substituição = cos(t) ou = sen(t) = sec(t) ou = cosec(t) + = tg(t) ou = cotg(t) EXEMPLO : Sej f() = ϕ (t) = 3 cos(t) e 9 Fçmos substituição = 3 sen(t) = ϕ(t). Temos e, ssim, P f(ϕ(t))ϕ (t) = 9 9 sen (t) sen (t) P 3 cos(t) = P cos(t) 9 sen (t) sen (t) = P cos (t) sen (t) = P cotg (t) = P (cosec (t) ) = cotg(t) t P 9 = cotg(rc sen( 3 )) rc sen( 3 ) + C = 9 rc sen( 3 ) + C EXEMPLO : Consideremos função f() = ϕ(t). Temos ϕ (t) = 4 sec(t) tg(t) e e substituição = 4 sec(t) = 3 6 e, ssim, P f(ϕ(t))ϕ (t) = P 4 3 sec 3 (t) 4 sec(t) tg(t) 6 sec (t) 6 = tg(t) P 4 3 sec (t) sec (t) = P tg(t) 4 3 sec (t) tg(t) = 4 P 3 sec (t) = 4 P 3 cos (t) = ( ) t sen( t) P 3 6 = 4 3 EXEMPLO 3: Pr clculr s primitivs de f() = ( rc sec( 4 ) + sen( rc sec( )) ) 4 + C 4 podemos fzer subs- + 4

93 9 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção tituição = tg(t) = ϕ(t). Temos ϕ (t) = sec (t) e P f(ϕ(t))ϕ (t) = P 4 tg (t) 4 tg (t) + 4 sec (t) = sec (t) P 4 tg (t) tg (t) + = P sec (t) 4 tg (t) sec(t) = 4 P sec(t) tg (t) = P cotg(t) cosec(t) 4 = 4 cosec(t) e, ssim, P + 4 = 4 cosec(rc tg( )) + C = C

94 4.5 Primitivção de funções trnscendentes Primitivção de funções trnscendentes Epressão f() = R(sen(), cos()) f() = R(sen(), cos()) R( y, z) = R(y, z), y, z Substituição tg( ) = t tg() = t e f() = R(e ) e = t ( ) A substituição tg = t conduz um função rcionl de t. De fcto, de ( ) ( ) sen() = sen. cos = = tg ( ) + tg ( ) = t + t ( ) ( ) cos() = cos sen = = ( ) tg + tg ( ) = t + t conclui-se, tendo em cont que tg ( ) + tg ( + tg ( ) + tg ( ( ) ) tg + tg ( ( ) tg = t = rc tg(t) = ϕ(t) ϕ (t) = + t, { ( t P f() = P t R + t, ) } t. + t + t tg( )=t A substituição indicd serve no cso gerl, ms em certos csos prticulres são preferíveis outrs substituições. Assim, por eemplo, se R(sen(), cos()) é função pr em sen() e cos() (isto é, se não se lter o mudrmos simultnemente sen() pr sen() e cos() pr cos()), pode fzer-se substituição tg() = t, ou sej, ϕ(t) = rc tg(t) e ) ) sen() = t + t e cos() = + t EXEMPLO : Clculemos s primitivs de f() = A substituição indicd cos() +

95 9 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção ( ) é tg = t: P t + t + + t = P 3 t ( + ) 3 t 3 + t = P 3 = ( log 3 t + log 3 + t ) = 3 + t log t o que implic que P cos() + = ( ) 3 + tg log 3 ( ) 3 tg + C. EXEMPLO : Pr clculr s primitivs de f() = fzemos substituição tg() = t e obtemos e, portnto, cos () sen () P + t t + t = P t + t = ( P t + ) + t = ( log t + log + t ) = log + t t P cos () sen () = log + tg() tg() + C EXEMPLO 3: Pr primitivr função f() = e + us-se substituição e = t: e P t + t = P + t + P t P = log + t + log t = log t + t ( ) e e + = log + C. e + As funções do tipo f() = sen()sen(b), com e b constntes, b, podem primitivr-se tendo em cont que sen().sen(b) = [cos( b) cos( + b)]

96 4.5 Primitivção de funções trnscendentes 93 e conclui-se que De modo nálogo, P sen().sen(b) = P cos(). cos(b) = sen( b) ( b) sen( b) ( b) + sen( + b) ( + b) sen( + b) ( + b) Se pretendermos primitivr um produto de vários fctores sen( m ) e cos(b n ) podemos começr por substituir por um som o produto de dois dos fctores; depois substituem-se por soms os novos produtos obtidos por ssocição de novos pres de fctores; e ssim sucessivmente té esgotr todos os fctores. EXEMPLO: P sen(3) cos(5)sen(6) = P (sen(8) + sen( )) sen(6) + C + C = P (cos() cos(4)) P (cos( 4) cos(8)) = 4 P cos() 4 P cos(4) 4 P cos(4) + 4 P cos(8) ( = sen() sen(4) sen(4) + sen(8) ) + C As funções do tipo f() = p()e, onde p é um polinómio de gru n em e é um constnte, primitivm-se por prtes: P p()e = e p() P e p (). A primitiv que prece no segundo membro é ind do mesmo tipo, ms mis simples, pois o gru de p () é inferior em um unidde o gru de p(). Aplicndo novmente o mesmo processo té chegr um polinómio de gru zero, obtém-se P f() = e ( p() p () + p () + + ( ) n p(n) () n EXEMPLO: Primitivemos função f() = ( + + )e 3. ) + C. P ( + + )e 3 = 3 ( + + )e 3 P ( + )e3 3 (( + + )e 3 3 ( + )e3 + 3 ) P e3 = 3 = ( 3 e3 ( + + ) 3 ( + ) + ) + C. 9

97 94 4. Funções Reis de Vriável Rel: Primitivção As primitivs que obtivemos form sempre funções elementres, isto é, funções lgébrics, função eponencil, s funções trigonométrics e s trigonométrics inverss e, de um modo gerl, s funções que se possm obter por composição dests em número finito. Por outrs plvrs, prendemos clculr primitivs de funções elementrmente primitiváveis. Nem tods s funções estão nest situção. No entnto, Teorem Tod função contínu num intervlo [, b] é primitivável nesse intervlo.

98 Cpítulo 5 Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl 5. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes Definição 5.. Sejm, b R, < b. Ddos n + pontos = < < < < n < n < n+ = b, o conjunto dos subintervlos d form [ i, i+ ], i =,,..., n, chm-se prtição de [, b]. NOTAS:. A prtição é um conjunto de subconjuntos, mis precismente: P = {[ i, i+ ] : i N, i n}. O nome prtição result de n i=[ i, i+ ] = [, b] e do fcto de ddos dois quisquer elementos de P su intersecção ou é vzi ou se reduz um ponto.. A prtição P fic bem definid pelo conjunto P ={=,,,..., n, n, n+ = b} pelo que podemos identificr prtição P com o conjunto P. É clro que, pelo modo como definimos prtição, considermos o conjunto P ordendo, isto é, i < i+, i =,,..., n. Definição 5.. Sejm, b R, < b. Dds dus prtições P e P, diz-se que P é mis fin que P se todos os elementos de P estão contidos em elementos de P. NOTA: Tendo em cont Not, seguir à definição nterior, se P e P forem os conjuntos de pontos que definem P e P, respectivmente, Definição 5.. poderi ser enuncid do seguinte modo: P é mis fin que P se P P. Proposição Sejm, b R, < b. Dds dus prtições de [, b], P e P, eiste um prtição de [, b], P 3, mis fin que P e P. Demonstrção: Tendo em cont Not seguir à Definição 5.. e not seguir à Definição 5.., se P e P são os conjuntos de pontos que definem P e P, bst tomr prtição P 3 definid por P 3 = P P.

99 96 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Definição 5..3 Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função itd e P um prtição de [, b]. Chm-se som inferior de Drbou de f, reltiv à prtição P s P (f) = n ( i+ i ) inf f(). [ i, i+ ] i= Chm-se som superior de Drbou de f, reltiv à prtição P S P (f) = n i= ( i+ i ) sup [ i, i+ ] f(). NOTAS:. As soms superior e inferior estão bem definids. Como f é itd em [, b], f é itd em [ i, i+ ], isto é, o conjunto {f() : [ i, i+ ]} é itdo e, portnto, tem ínfimo e supremo.. É óbvio que s P (f) S P (f). Veremos que est propriedde se pode generlizr: pr um função itd em [, b], qulquer som superior é mior ou igul qulquer som inferior. 3. Se f é um função não negtiv em [, b], dd um prtição P, som inferior de Drbou é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento i+ i e inf f() (ver Figur 5.). [ i, i+ ] y b Figur 5.: Som inferior de Drbou. Anlogmente, som superior de Drbou é igul à som ds áres dos rectângulos cujos ldos têm comprimento i+ i e sup [ i, i+ ] f() (ver Figur 5.).

100 5. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 97 Figur 5.: Som superior de Drbou. Proposição Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função itd, P e P dus prtições de [, b], P mis fin que P. Então: s P (f) s P (f) S P (f) S P (f). Demonstrção: D Definição 5.., pr cd [ i, i+ ] P, eistem [y j, y j+ ] P, j = k i,..., p i, tis que p i j=k i [y j, y j+ ] = [ i, i+ ]. Então pelo que p i j=k i (y j+ y j ) inf f() inf f(), j = k i,..., p i, [ i, i+ ] [y j,y j+ ] inf f() [y j,y j+ ] p i j=k i (y j+ y j ) inf f() = [ i, i+ ] pi = inf f() (y j+ y j ) = ( i+ i ) inf f(). [ i, i+ ] [ i, i+ ] j=k i Somndo ests epressões (de i = i = n) obtém-se s P (f) s P (f). Anlogmente se obtinh S P (f) S P (f). A proposição fic demonstrd tendo em cont que s P (f) S P (f) (ver Not seguir à Definição 5..3). Proposição 3 Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função itd, P e P dus prtições de [, b]. Então: s P (f) S P (f) e s P (f) S P (f). Demonstrção: Pel Proposição eiste um prtição P 3 mis fin que P e P. Pel Proposição, s P (f) s P3 (f) S P3 (f) S P (f) e s P (f) s P3 (f) S P3 (f) S P (f). NOTA: Result dest proposição que se, b R, < b, f : [, b] R é um função itd, o conjunto ds soms superiores é minordo (tods s soms inferiores são minorntes) e o conjunto ds soms inferiores é mjordo (tods s soms superiores são mjorntes); estes conjuntos têm, pois, ínfimo e supremo, respectivmente.

101 98 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Definição 5..4 Sejm, b R, < b e f : [, b] R um função itd. Ao ínfimo do conjunto ds soms superiores de f chm-se integrl superior de f em [, b] e represent-se por f() d. Ao supremo do conjunto ds soms inferiores de f chm-se integrl inferior de f em [, b] e represent-se por f() d. Se f() d = f() d, diz-se que f é integrável à Riemnn em [, b]; este número chm-se integrl de f em [, b] e represent-se f() d = f() d = f() d. NOTAS:. Sejm, b R, < b e f : [, b] R um função itd. O integrl superior de f em [, b] e o integrl inferior de f em [, b] eistem (ver not ntes d definição). No entnto função pode não ser integrável; consideremos, por eemplo, função, [, ] Q f() =, [, ] \ Q Como entre quisquer dois pontos eistem rcionis e irrcionis, dd um prtição qulquer, P, f() d =. inf f() = e sup f() =, pelo que [ i, i+ ] [ i, i+ ] f() d = e. Se f é contínu, não negtiv e integrável em [, b], o integrl de f é igul à áre d figur itd pelo gráfico de f e pels rects =, = b e y = (eio dos ) (ver Figur 5.3). Pr nos convencermos deste fcto, bst ter em cont s figurs 5. e 5. e definição. O integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, que são tods miores ou iguis que quel áre (ver Figur 5.), portnto o integrl é mior ou igul que áre d figur referid. Por outro ldo, o integrl tmbém é o supremo do conjunto ds soms inferiores, que são tods menores ou iguis que quel áre (ver Figur 5.) portnto o integrl é menor ou igul que áre d figur referid. Conclui-se ssim que o integrl é igul à áre d figur. Proposição 4 Se < b e f() = c, [, b], então f() d = c (b ) Demonstrção: Qulquer que sej prtição P, s P (f) = S P (f) = c (b ). Proposição 5 Se < b e f, g : [, b] R são dus funcões integráveis em [, b] tis que f() g(), [, b], então f() d g() d.

102 5. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 99 Figur 5.3: O integrl é igul à áre d figur indicd. Demonstrção: Qulquer que sej prtição P, s P (f) s P (g) pelo que, os integris, (que, por hipótese, eistem e são iguis os supremos dos conjuntos ds soms inferiores) verificm desiguldde. Proposição 6 Sejm, b R, < b e f : [, b] R um função itd. f é integrável se, e só se, pr todo o ε > eiste um prtição P tl que S P (f) s P (f) < ε. Demonstrção: Suponhmos que f é integrável e sej ε >, qulquer. Visto que o integrl é o supremo do conjunto ds soms inferiores, eiste um prtição P tl que s P (f) > f() d ε/; (5.) nlogmente, visto que o integrl é o ínfimo do conjunto ds soms superiores, eiste um prtição P tl que S P (f) < f() d + ε/. (5.) Então, S P (f) ε/ < f() d < s P (f) + ε/ donde obtemos S P (f) < s P (f) + ε. Se tomrmos um prtição P, mis fin que P e P então, pel Proposição, S P (f) S P (f) < s P (f) + ε s P (f) + ε. Reciprocmente, suponhmos que pr todo o ε > eiste um prtição P tl que S P (f) s P (f) < ε, isto é, S P (f) < s P (f) + ε. Então, f() d S P(f) < s P (f) + ε f() d + ε, pelo que, pr todo o ε >, f() d f() d ε, o que só é possível se f() d = f() d. Proposição 7 Se < b e f, g : [, b] R são dus funcões integráveis em [, b] então f + g é integrável em [, b] e (f + g)() d = f() d + g() d.

103 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Demonstrção: Visto que, pr cd i, e então inf f() f() sup f(), [ i, i+ ] [ i, i+ ] [ i, i+ ] inf g() g() sup g(), [ i, i+ ], [ i, i+ ] [ i, i+ ] inf f()+ [ i, i+ ] pelo que inf [ i, i+ ] g() f()+g() sup inf f() + [ i, i+ ] inf g() [ i, i+ ] sup (f() + g()) [ i, i+ ] [ i, i+ ] f()+ sup [ i, i+ ] inf (f() + g()) [ i, i+ ] sup f() + [ i, i+ ] sup g() [ i, i+ ] g(), [ i, i+ ], Usndo ests desigulddes e recorrendo à definição, obtemos, pr qulquer prtição, s P (f) + s P (g) s P (f + g) S P (f + g) S P (f) + S P (g) (5.3) Sej ε >, qulquer. Pel Proposição 6 (desigulddes 5. e 5.) eistem prtições P, P, P 3 e P 4 tis que e f() d ε s P (f) S P (f) g() d ε s P 3 (g) S P4 (g) f() d + ε g() d + ε Se considerrmos um prtição P mis fin que P, P, P 3 e P 4, s últims desigulddes continum válids, com s P i substituíds por P e, dicionndo, f() d+ g() d ε s P (f)+s P (g) S P (f)+s P (g) Usndo gor s desigulddes 5.3, obtemos f() d + g() d ε s P (f + g) S P (f + g) f() d+ f() d + g() d+ε g() d + ε. Concluímos ssim que f() d + g() d é o supremo ds soms inferiores e o ínfimo ds soms superiores de f + g, isto é, f() d + g() d = (f() + g()) d. Proposição 8 Se < b, se f : [, b] R é integrável em [, b] e c R, então c f é integrável em [, b] e (c f)() d = c f() d.

104 5. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes Demonstrção: Se c =, cf em [, b] e plic-se Proposição 4. Se c >, sej P um prtição de [, b]. Como, pr cd i, inf (cf()) = c [ i, i+ ] inf [ i, i+ ] (f()) e sup [ i, i+ ] (cf()) = c sup [ i, i+ ] (f()), então s P (cf) = c s P (f) e S P (cf) = c S P (f). Tomndo o supremo ds soms inferiores e o ínfimo ds soms superiores, obtemos: (c f)() d = c f() d = c f() d = c f() d = (c f)() d Se c =, inf ( f()) = sup (f()) e sup ( f()) = [ i, i+ ] [ i, i+ ] [ i, i+ ] que s P ( f) = S P (f) e S P ( f) = s P (f); então, inf [ i, i+ ] (f()), pelo ( f)() d = f() d e ( f)() d = f() d e dests igulddes concluímos que ( f)() d = f() d. Tendo em cont os csos estuddos proposição fic demonstrd (se c <, bst observr que c = ( c) e plicr o que se mostrou nteriormente). Proposição 9 Se < b, se f : [, b] R é integrável em [, b] e se g difere de f pens num ponto, então g é integrável em [, b] e f() d = g() d. Demonstrção: Sej M > tl que f() M g() M, [, b]. Ddo ε > qulquer, consideremos um prtição P de [, b] tl que f() d ε s P (f) S P (f) f() d + ε. Tomemos um prtição P, mis fin que P, tl que i+ i < ε, i =,..., n. Como 8M f e g diferem pens num ponto, digmos c, s respectivs soms superiores e inferiores diferem (eventulmente) pens ns prcels que contêm c (dus no cso de c ser um dos i, um no cso contrário). Como f(c) g(c) M, s soms superiores e inferiores diferem, qundo muito de ε/. Então, donde deduzimos o resultdo. f() d ε s P (g) S P (g) f() d + ε, Corolário Se < b, se f : [, b] R é integrável em [, b] e se g difere de f pens num número finito de pontos, então g é integrável em [, b] e f() d = g() d.

105 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Demonstrção: Se g difere de f em m pontos, p, p,..., p m, bst plicr proposição m vezes: consider-se função f que é igul f ecepto em p, onde é igul g, e plic-se proposição; consider-se função f que é igul f ecepto em p, onde é igul g, e plic-se Proposição; ssim sucessivmente, té chegrmos f m, que é igul g. Proposição Se c < d b e se f : [, b] R é integrável em [, b], então f é integrável em [c, d] e d f() d = g() d onde c f(), se [c, d] g() =, se / [c, d] Demonstrção: Ddo ε > qulquer, consideremos um prtição P de [, b] tl que S P (f) s P (f) < ε/ (Proposição 6). Se o conjunto dos pontos que definem P crescentrmos c e d, obtemos um prtição P, mis fin que P, pelo que S P (f) s P (f) < ε/. Se considerrmos gor prtição P de [c, d], que se obtém de P por considerr pens os elementos contidos em [c, d], verific-se obvimente S P (f) s P (f) < ε/. Pel Proposição 6, deduzimos que f é integrável em [c, d]. Flt-nos demonstrr iguldde dos integris. Supomos que < c < d < b. Se = c ou d = b, s dptções (de fcto, simplificções) são evidentes. Procedemos, gor, de modo semelhnte o d demonstrção d Proposição 9. Sejm M tl que g() M, [, b] e P um prtição de [, b], mis fin que P, tl que os elementos de P em que c é etremo direito e os elementos de P em que d é etremo esquerdo têm comprimento menor ou igul ε/(m). Se P é prtição de [c, d] que se obtém de P por considerr pens os elementos contidos em [c, d], s P (f) e s P (g) pens diferem (eventulmente) em dus prcels: s que correspondem o elemento de P em que c é etremo direito e o elemento de P em que d é etremo esquerdo. O mesmo contece em relção S P (f) e S P (g). Então, pelo que concluímos que s P (f) ε s P (g) S P (g) S P (f) + ε d c f() d = g() d. Proposição Se < c < b e f : [, b] R é integrável em [, b], então f() d = c f() d + f() d. c Demonstrção: Consideremos s funções f(), [, c] g() =, ]c, b], [, c[ e h() = f(), [c, b]

106 5. Integrl de Riemnn: Definição e proprieddes 3 Obvimente, f = g + h. Pels Proposições e 7: f() d = (g + h)() d = g() d + h() d = c f() d + c f() d Definição 5..5 Sejm, b R, < b e f : [, b] R um função integrável. Define-se b f() d = f() d e tmbém f() d = Proposição Quisquer que sejm, b, c R, sempre que os três integris eistm. f() d = c f() d + c f() d, Demonstrção: Se < c < b, trt-se d Proposição. Se c < < b, então, pel Proposição, f() d = f() d + f() d = c f() d + f() d, donde c c obtemos o resultdo. Os restntes csos resolvem-se do mesmo modo. Proposição 3 Sejm, b R e < b. Se f, g : [, b] R são dus funções integráveis em [, b], então fg é integrável em [, b]. Não demonstrremos est proposição. A su demonstrção, embor possível este nível, seri demsido long pr os propósitos deste curso.

107 4 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl 5. Clsses de funções integráveis Teorem 5.. Sejm, b R, < b. Se f é contínu em [, b] então é integrável em [, b]. Demonstrção: Pelo Teorem de Cntor, f é uniformemente contínu em [, b]. Ddo ε >, qulquer, eiste θ > tl que, y [, b], y < θ f() f(y) < ε/(b ). Se tomrmos um prtição, P, em que todos os seus elementos tenhm comprimento menor que θ, então f() f(y) < ε/(b ),, y [ i, i+ ], i =,..., n pelo que sup f() [ i, i+ ] Dqui se conclui que inf [ i, i+ ] f() = m [ i, i+ ] f() min [ i, i+ ] f() < ε/(b ), i =,..., n. S P (f) s P (f) = n i= ( i+ i ) ( sup [ i, i+ ] f() inf f()) < [ i, i+ ] < n ε ( i+ i ) b i= Pel Proposição 6, f é integrável em [, b]. ε = (b ) b = ε. Teorem 5.. Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função itd. Se f é contínu em [, b], ecepto num número finito de pontos, então é integrável em [, b]. Demonstrção: Suponhmos que f é contínu em [, b] ecepto num ponto c ], b[. Sejm ε >, qulquer e M > tl que f() M, [, b]. Então pelo Teorem 5.., f é integrável em [, c ε/(m)] e em [c + ε/(m), b] (podemos sempre tomr ε suficientemente pequeno pr nenhum destes intervlos ser vzio ou se reduzir um ponto), pelo que, pel Proposição 6, eistem prtições P e P de [, c ε/(m)] e [c+ε/(m), b], respectivmente, tis que S P (f) s P (f) < ε/3 e S P (f) s P (f) < ε/3. Se considerrmos prtição P, de [, b], formd pelos elementos de P, por C = [c ε/(m), c + ε/(m)] e pelos elementos de P, então S P (f) s P (f) < ε (note-se que sup C f() inf C f() M e que o comprimento de C é ε/(6m)). Tendo em cont Proposição 6, f é integrável em [, b]. Se f não for contínu num dos etremos do intervlo, procede-se do mesmo modo, com s dptções evidentes. O mesmo contece pr o cso em que há vários pontos de descontinuidde. Apens temos que considerr vários conjuntos C, um pr cd ponto de descontinuidde, e dptr s constntes. Teorem 5..3 Sejm, b R, < b e f : [, b] R um função itd. Se f é monóton em [, b], então é integrável em [, b]. Demonstrção: Vmos fzer demonstrção supondo que f é crescente. Pr f decrescente, s técnics são s mesms com s dptções evidentes.

108 5. Clsses de funções integráveis 5 Sejm ε > e M = sup f() inf f() = f(b) f(). Se M =, então f é [,b] [,b] constnte em [, b], pelo que é integrável. Se M >, sej P um prtição de [, b] tl que todos os seus elementos têm comprimento menor que ε/m. Como f é crescente, então inf f() = f( i) e [ i, i+ ] sup [ i, i+ ] f() = f( i+ ), pelo que s P = n ( i+ i ) f( i ) e S P = i= n ( i+ i ) f( i+ ) i= donde (note-se que f( i+ ) f( i ) ) S P s P = n ( i+ i ) (f( i+ ) f( i )) i= n i= ε M (f( i+) f( i )) = = ε n (f( i+ ) f( i )) = ε M M i= Pel Proposição 6, f é integrável em [, b]. (f(b) f()) = ε. EXEMPLO: A função f() =, se =, n, se n + < n, n N tem um infinidde de descontinuiddes em [, ], ms é integrável, visto ser crescente.

109 6 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl 5.3 Teorems Fundmentis Teorem 5.3. (Teorem d médi) Sejm, b R e < b. Se f : [, b] R é contínu, então eiste c [, b] tl que f() d = f(c) (b ) Demonstrção: Como f é contínu, sbemos que é integrável e que tem máimo e mínimo em [, b]: eistem [, b] e [, b] tis que isto é, f( ) = min f() f() m f() = f( ), [, b] [,b] [,b] Pels Proposições 4 e 5, f( ) (b ) = f( ) d f() d f() d f( ) f( ). b Pelo Teorem de Bolzno eiste c, entre e, tl que f(c) = f() d b Teorem 5.3. (Teorem Fundmentl do Cálculo Integrl) f( ) d = f( ) (b ) Sejm, b R, < b. Se f : [, b] R é contínu, então função F () = f(t) dt é diferenciável em [, b] e F () = f(), [, b], isto é, F é um primitiv de f (tmbém conhecid por integrl indefinido de f). Demonstrção: Sejm [, b] (qulquer) e h R tl que + h [, b]. Então F ( + h) F () = = +h f(t) dt f(t) dt + +h f(t) dt f(t) dt f(t) dt = +h f(t) dt. Pelo Teorem 5.3., eiste c [, +h] tl que F (+h) F () = pelo que F () = h F ( + h) F () h = c f(c) = f() +h f(t) dt = f(c) h

110 5.3 Teorems Fundmentis 7 (note-se que, pr cd h, c está entre e + h, pelo que, qundo h tende pr, c tende pr ). NOTA: Do Teorem nterior obtemos, em prticulr, que tod função contínu em [, b] é primitivável em [, b]. Corolário (Regr de Brrow) Sejm, b R, < b. Se f : [, b] R é contínu e G é um primitiv de f em [, b], então f() d = G(b) G() = [G()] b Demonstrção: Vimos no Teorem 5.3. que função F () = f(t) dt é um primitiv de f. Então G() F () = c, [, b]; ms F () = f(t) dt =, pelo que c = G() F () = G(). Por outro ldo, c = G() = G(b) F (b) donde se conclui que f(t) dt = F (b) = G(b) G(). Teorem (Integrção por prtes) Sejm, b R, < b. Se f : [, b] R é contínu em [, b], se F é um primitiv de f em [, b] e se g C ([, b]) então f() g() d = [F () g()] b F () g () d Demonstrção: Como o produto de funções contínus é um função contínu, tnto f g com F g são integráveis em [, b]. Como (F g) () = F () g() + F () g () = f() g() + F () g (), pel Regr de Brrow, [F () g()] b = f() g() d + F () g () donde se conclui o resultdo pretendido. Teorem (Integrção por substituição) Sejm, b R, < b, f : [, b] R um função contínu em [, b] e φ : [α, β] [, b] um função de clsse C tl que φ(α) = e φ(β) = b. Então f() d = β α f(φ(t)) φ (t) dt Demonstrção: Sejm G : [, b] R um primitiv de f e H : [α, β] R função definid por H(t) = G(φ(t)). Então H (t) = G (φ(t)) φ (t) = f(φ(t)) φ (t), pelo que, pel Regr de Brrow, β f(φ(t)) α φ (t) dt = H(β) H(α) = G(φ(β)) G(φ(α)) = G(b) G() e f() d = G(b) G().

111 8 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl 5.4 Áres de figurs plns o CASO Se f é integrável em [, b] e f(), [, b], áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f (figur 5.3) é dd por f() d, como vimos trás. EXEMPLO: A áre d figur pln itd pels rects =, = π, pelo eio dos 4 e pelo gráfico de cos() é dd por: π 4 cos() d = sen(π 4 ) sen() =. o CASO Se f é integrável em [, b] e f(), [, b], áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f (figur 5.4) é dd por f() d. De fcto, se considerrmos simetri em relção o eio dos, obtemos um figur com mesm áre ( simetri em relção um rect mntém s áres invrintes), que é itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f (figur 5.5). Visto que função f é não negtiv em [, b], estmos reduzidos o o cso e áre é dd por f() d = f() d. EXEMPLO: A áre d figur pln itd pels rects = π, = π, pelo eio dos e pelo gráfico de cos() é dd por: π π cos() d = (sen(π) sen( π )) = sen(π ) =. Figur 5.4

112 5.4 Áres de figurs plns 9 Figur 5.5 NOTAS:. Não esquecer que áre de um figur não degenerd (isto é, não reduzid um ponto ou segmento de rect ou curv, etc.) é um número positivo.. Em mbos os csos, e, áre é dd por f() d. 3 o CASO Figur 5.6 Se f é integrável em [, b], áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f (figur 5.4) é dd por f() d (note-se que os csos nteriores são csos prticulres deste). De fcto, se f mud de sinl em [, b] (figur 5.6), considermos os subintervlos em que f é positiv (nestes subintervlos áre é dd pelo integrl de f, isto é de f ) e os subintervlos em que f é negtiv (nestes subintervlos áre é dd pelo integrl de f, isto é de f ); áre totl, que é som de tods ests áres é, pois, dd por f() d (Proposição ).

113 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl EXEMPLO: A áre d figur pln itd pels rects =, = π, pelo eio dos e pelo gráfico de cos() é dd por: π cos() d = π/ cos() d + 3π/ cos() d + π/ π cos() d = sen(π/) sen() + ( sen(3π/) + sen(π/)) + sen(π) sen(3π/) = 3π/ ( ) + + ( ) = 4. 4 o CASO f f Figur 5.7 Se f e f são integráveis em [, b] e f () f (), [, b], áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo gráfico de f e pelo gráfico de f (figur 5.7) é dd por (f () f ()) d (= f () f () d visto que f () f (), [, b]). Vmos justificr este resultdo. Sej k R tl que f () + k, [, b]; então f () + k f () + k, [, b] e áre pretendid é igul à áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo gráfico de f +k e pelo gráfico de f +k (trt-se de um trnslção d figur nterior). Ms figur pln itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f +k contém figur pln itd pels rects =, = b, pelo eio dos e pelo gráfico de f + k. A áre pretendid é, pois, diferenç entre s áres dests dus figurs, isto é, f () f () d = (f () f ()) d. EXEMPLO: A áre d figur pln itd pels rects =, =, pelo gráfico de f() = e e pelo gráfico de cos() é dd por (e cos()) d = e sen() e +sen() = e sen(). 5 o CASO Se f e f são integráveis em [, b], áre d figur pln itd pels rects =, = b, pelo gráfico de f e pelo gráfico de f (figur 5.7) é dd por f () f () d. Rciocinmos de modo idêntico o do 3 o cso. Se f f mud de sinl em [, b] (figur 5.8), considermos os subintervlos em que f f (nestes subintervlos áre é dd pelo integrl de f f, isto é de f f ) e os subintervlos em que f < f (nestes

114 5.4 Áres de figurs plns Figur 5.8 subintervlos áre é dd pelo integrl de f f, isto é de f f ); áre totl, que é som de tods ests áres é, pois, dd por f () f () d (Proposição ). EXEMPLO: A áre d figur pln itd pels rects =, = π, pelo gráfico π de cos() e pelo gráfico de sen() é dd por: sen() cos() d = π/4 (cos() sen()) d + π (sen() cos()) d = sen(π/4) + cos(π/4) sen() cos() cos(π) π/4 sen(π) + cos(π/4) + sen(π/4) = / + / ( ) + / + / =. 6 o CASO Figur 5.9 Se f e f são integráveis, áre d figur pln itd pelos gráficos de f e f (figur 5.9) é clculd do seguinte modo: em primeiro lugr clculmos os pontos de intersecção dos gráficos; considermos s bcisss destes pontos, isto é, os y R tis que f (y) = f (y); sejm o menor dos y e b o mior; áre pretendid é dd por f () f () d (trt-se do 5 o cso, porque s rects = e = b têm, cd um, um ponto comum com figur). Note-se que eistênci de e b é grntid pelo fcto de figur ser itd.

115 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl EXEMPLO: A áre d figur pln itd pelos gráficos ds funções e é dd por (( ) ) d = ( ) d = /3 ( ( ) ( )/3) = 4 4/3 = 8/3.

116 5.5 Integris impróprios Integris impróprios N definição de integrl de Riemnn de um função f num intervlo I, eige-se que o intervlo sej fechdo itdo e que f sej itd nesse intervlo. Vmos estudr generlizções d noção de integrl qundo não se verific lgum dests condições. Pr motivr vi que doptámos nest generlizção do conceito de integrl, suponhmos que, sendo, b R e < b, função f é integrável em qulquer intervlo [, ] com [, b[. Nests condições, se função f for itd em [, b], será integrável em [, b] e tem-se f(t) dt = b f(t) dt, devido à continuidde do integrl indefinido. Pode, no entnto, contecer que, não sendo f itd em [, b], o integrl indefinido f(t) dt tenh ite finito qundo b. Então podemos fzer por definição f(t) dt = b f(t) dt. De modo nálogo, se g for um função integrável no intervlo [, ], >, e se o integrl indefinido g(t) dt tem ite finito qundo +, poderemos escrever g(t) dt = + g(t) dt. A. Integris impróprios de espécie: definição e critérios de convergênci Definição 5.5. Sejm R e f um função definid no intervlo [, + [. Suponhmos que f é integrável em qulquer intervlo [, ] com >. Sej, pr cd >, F () = f(t) dt. Chm-se integrl impróprio de espécie de f em [, + [ + f(t) dt

117 4 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl e design-se por f(t) dt. ) Se F () tem ite finito qundo +, diz-se que f é integrável (em sentido impróprio) no intervlo [, + [ ou que o integrl impróprio f(t) dt eiste, tem sentido ou é convergente. b) Se F () não tem ite ou tem ite infinito qundo +, diz-se que f não é integrável no intervlo [, + [ ou que o integrl impróprio é divergente. EXEMPLO : Consideremos o integrl e este ite não eiste. + f(t) dt = EXEMPLO : Consideremos o integrl Como d = + t dt = o integrl impróprio é divergente. EXEMPLO 3: O integrl e d = Not: Se o integrl + f(t) dt não eiste ou cos() d. Este integrl é divergente porque: [ sen(t) + ] = sen() + d. É um integrl impróprio de espécie. + [ log(t) ] = log() = + + e d é um integrl impróprio de espécie convergente: e t dt = f() d é convergente então [ ] e t = + + ( e + ) =. ) o ite de f qundo +, se eistir, é igul zero; b) qulquer que sej h >, o integrl de f no intervlo [, + h] (ou o vlor médio de f no mesmo intervlo), tende pr zero qundo +. Teorem 5.5. Se f e g são tis que os integris g(t) dt são convergentes e se α, β R, então o integrl (α f + β g)(t) dt = α f(t) dt e (α f + β g)(t) dt é convergente e f(t) dt + β g(t) dt.

118 5.5 Integris impróprios 5 Teorem 5.5. Se o integrl b f(t) dt é convergente e f(t) dt é convergente e se b > então o integrl f(t) dt = f(t) dt + b f(t) dt. Nem sempre nos interess sber o vlor do integrl impróprio e outrs vezes não é possível clculá-lo porque função não é elementrmente primitivável (considere-se, por eemplo, o integrl e d). Precismos então de critérios que nos permitm sber se um determindo integrl impróprio é ou não convergente. Esses critérios chmm-se critérios de convergênci. Teorem O integrl impróprio de espécie é convergente se, e só se, eiste um constnte M tl que O vlor do integrl impróprio não ecede M. Demonstrção: Sej F () = definição, o integrl f(t) dt M, >. f(t) dt, com f(t), t, f(t) dt. Como f(t) t, F (),. Por f(t) dt é convergente se eistir e for finito o ite A função F é crescente, pois se y vem F (y) F () = y f(t) dt f(t) dt = y f(t) dt F (). + porque f(t) t. Suponhmos que F é itd superiormente, isto é, eiste um constnte M tl que F () M,. Como F é crescente, eiste e é finito o ite F (). Além + disso, F () M. + Se F não é itd superiormente então pr cd M eiste sempre um tl que F () > M. Como F é crescente divergente. F () = +, o que signific que f(t) dt é + Tod função rel f itd e monóton num prte não mjord X de R tem ite qundo + e f() = sup f() ou f() = inf f() conforme f é crescente ou decrescente. + X + X

119 6 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Teorem Sejm f() d e b g() d dois integris impróprios de espécie com funções integrnds não negtivs e suponhmos que eiste c R tl que f() g(), > c. ) Se b) Se b g() d é convergente então f() d é divergente então b f() d é convergente. g() d é divergente. Demonstrção: Sej d = m {, b, c}. Consideremos os integris Sendo > d temos f() d d d e f(t) dt d d g() d. g(t) dt. (5.4) Se o integrl Ms por (5.4), d d g(t) dt é convergente, pelo Teorem eiste M tl que f(t) dt d usndo, novmente o Teorem Se d d g(t) dt M, > d. g(t) dt, > d, pelo que f(t) dt é divergente então, pelo Teorem 5.5.3, que implic, por (5.4), que é divergente. Corolário Sejm d g(t) dt tmbém não é itd e, portnto, d f(t) dt é convergente, f(t) dt não é itd, o d d f() d e b g() d g() d dois integris impróprios de espécie com funções integrnds não negtivs e suponhmos que eistem c, k R tis que f() k g(), > c. ) Se b) Se b g() d é convergente então f() d é divergente então b f() d é convergente. g() d é divergente.

120 5.5 Integris impróprios 7 Demonstrção: Bst notr que pelo que c + c plicndo o Teorem. k g(t) dt = k g(t) dt = k + k g() d é convergente se, e só se, c c + c g(t) dt g() d é convergente; termin-se EXEMPLO : Consideremos o integrl 3 d. É um integrl impróprio de + 3 espécie e função integrnd é positiv no intervlo [, + [. Como (+) 3 + 3, , < , e + d = + + t dt = + [ log( + t) ] = log( + ) = +, + isto é, o integrl d é divergente, concluímos, pelo Teorem 5.5.4, que o + integrl em estudo é divergente. Como se pode ver pelo eemplo nterior, é útil conhecer nturez de lguns integris impróprios de modo fcilitr o uso dos critérios de convergênci. Um eemplo de tis integris é o seguinte: EXEMPLO : Estudemos o integrl impróprio de espécie sendo > e α R. Se α = e se α tendo-se α d t dt = [ log(t) ] = log() log() [ t α+ t dt = α α + + t α dt = ] = α+ α + α+ α + +, se α α+ α +, se α >

121 8 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Então o integrl converge se, e só se, α >. EXEMPLO 3: Consideremos o integrl d. É um integrl impróprio de + 3 espécie e função integrnd é positiv no intervlo [, + [. Como + 3 > 3, > + 3 > 3, > < <, > e d é convergente, podemos concluir, pelo Teorem 5.5.4, que o integrl em 3 estudo é convergente. Teorem Sejm f() d e b g() d dois integris impróprios de espécie com funções integrnds positivs e suponhmos que o ite f() + g() eiste finito e diferente de zero. Então os integris são d mesm nturez, isto é, são mbos convergentes ou mbos divergentes. Demonstrção: Sej f() + g() = L, L R+. Por definição, δ > M >, M f() g() L < δ. Sej δ = L. Então eiste M > tl que f() g() L < L, M, ou sej, M, L < f() g() L < L L < f() g() < 3L L g() < f() < 3L g(). Pelo Teorem 5.5. e pelo Corolário do Teorem temos o resultdo pretendido.

122 5.5 Integris impróprios 9 Teorem Sejm f() d e espécie com funções integrnds positivs. Se então ) se b) se Se então ) se b) se b b Demonstrção: g() d é convergente, f() d é divergente, g() d é divergente, f() d é convergente, f() + g() b f() + g() =, b g() d dois integris impróprios de f() d é convergente. g() d é divergente. f() + g() = +, b f() d é divergente. g() d é convergente. = δ > M > M f() g() < δ. Ms como s funções são mbs positivs, f() g() < δ f() g() < δ f() < δg(). O resultdo é consequênci do Corolário do Teorem EXEMPLO : O integrl d é um integrl impróprio de espécie (note-se que >, ). Como d é convergente e = = 3, pelo Teorem podemos concluir que o integrl ddo é convergente.

123 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl EXEMPLO : Consideremos os integris α e d, α R, e integris impróprios de espécie sendo o segundo convergente. Como o integrl EXEMPLO 3: O integrl + e = + α e α+ = =, α R, + + e α e d é convergente. e em estudo é convergente. = e Teorem Se o integrl integrl e f() d e verific-se desiguldde: d. São d é um integrl impróprio de espécie. Como d é convergente, podemos concluir que o integrl f() d é convergente então o mesmo contece o f() d f() d. Demonstrção: f() f() f(),. Sej g() = f() f(). Visto que o integrl f() d é convergente, o mesmo contece o integrl pelo Teorem 5.5.4, tmbém converge o integrl Como f() = f() g() o integrl g() d = D desiguldde f() f() f(),, deduzimos f() d f() d e, ( f() f()) d. f() d é convergente (Teorem 5.5.). f() d f() d, ou sej, f() d f() d.

124 5.5 Integris impróprios Definição 5.5. Diz-se que o integrl o integrl f() d é convergente. Diz-se que o integrl f() d é simplesmente convergente se for convergente e f() d é bsolutmente convergente se f() d divergente. EXEMPLO: A função integrnd no integrl impróprio de espécie não é sempre positiv. Ms e o integrl sen() d sen(), d é convergente. Pelo Teorem o integrl sen() d é convergente. Pelo Teorem o integrl em estudo é convergente e diz-se bsolutmente convergente. Definição Sejm R e f um função definid no intervlo I =], ]. Suponhmos que f é integrável em qulquer intervlo [, ] com <. Sej G() = f(t) dt. ) Se G() tem ite finito qundo, diz-se que f é integrável (em sentido impróprio) no intervlo I ou que o integrl impróprio f(t) dt eiste, tem sentido ou é convergente. b) Se G() não tem ite ou tem ite infinito qundo, diz-se que f não é integrável no intervlo I ou que o integrl impróprio f(t) dt não eiste ou é divergente. A estes integris tmbém se dá o nome de integris impróprios de espécie. É óbvio que o estudo dos integris impróprios com intervlo de integrção ], ] é idêntico o dos integris sobre intervlos do tipo [, + [. De resto, qulquer integrl dquel form pode reduzir-se um dest últim: bst efectur no integrl substituição = t pr se concluir que os integris f() d e f( ) d são mbos convergentes ou mbos divergentes e, n primeir hipótese, são iguis. f() d

125 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl Definição Sej f : R R um função integrável em qulquer intervlo itdo. Diz-se que o integrl de f em R é convergente se eiste R tl que os dois integris f() d e f() d são convergentes. É evidente que em tl hipótese tmbém convergem os integris f() d e b f() d qulquer que sej b R e verificr-se-ão s igulddes: = = f() d + f() d + f() d + b f() d f() d + f() d f() d + b f() d Este fcto legitim que, em cso de convergênci, o integrl sej definido pel epressão: f() d = f() d + f() d com R rbitrário. A este integrl tmbém se chm integrl impróprio de espécie. EXEMPLO : Sendo >, e + e t dt = e t dt = o integrl ddo é divergente. EXEMPLO : Sej >. e d = + e d = e d + [ e t ] = + ( e + e d. Como ) = [ ] e t = ( + ) e = + e d + e d = e d + e d

126 5.5 Integris impróprios 3 Como + e t dt = e o integrl considerdo é convergente e e t dt = [ ] ( et = ) e = e d =. EXEMPLO 3: d é um integrl impróprio de espécie. Consideremos o ( integrl ) d, que sbemos ser divergente. Como o integrl ddo tmbém é divergente. = = EXEMPLO 4: Consideremos o integrl impróprio de espécie d. Como o integrl se pode escrever ( ) d d, temos dois integris impróprios de espécie com funções integrnds não negtivs. O integrl ( ) d é convergente e = =, 3 portnto, o integrl d é convergente De modo nálogo se conclui que o integrl d é convergente. D convergênci dos dois integris conclui-se convergênci do integrl ddo.

127 4 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl EXEMPLO 5: Consideremos o integrl d. A função integrnd é + sen () negtiv ou nul no intervlo de integrção, tendo-se + sen(), ], ]. Estudemos o integrl divergente e sen () sen () + sen () + + sen () + + sen () + d. Este integrl é divergente porque + d é + = + = Dd últim desiguldde podemos concluir que o integrl em estudo é divergente. Not: Sej f integrável em qulquer intervlo itdo. Diz-se que f() d é convergente em vlor principl se eiste (em R) o ite qundo + d função F() = f(t) dt. É este ite, se eistir, que se chm vlor principl de Cuchy do integrl f() d, e que se design por vp Se o integrl for convergente teremos = = = vp f() d = + + f(t) dt + + f(t) dt f() d. f() d. f() d + f(t) dt f() d Portnto, se o integrl converge então é convergente em vlor principl, sendo este vlor igul o integrl. Ms eistênci do vlor principl de Cuchy não implic que o

128 5.5 Integris impróprios 5 integrl sej convergente. Por eemplo: vp d = π e o integrl + 3 d é divergente. + B. Integris impróprios de espécie: definição e critérios de convergênci Definição Suponhmos que função f é integrável em qulquer intervlo [, b ε], ε >, ms não é integrável em [, b]. Fic ssim definid um função F : [, b[ R, F () = Ao integrl finito o ite f(t) dt. f() d chm-se integrl impróprio de b f(t) dt diz-se que o integrl impróprio é convergente e escreve-se f() d = b f(t) dt. espécie. Se eistir Se o ite não eistir ou não for finito diz-se que o integrl impróprio de espécie é divergente. Tl como no cso dos integris impróprios de espécie, é útil o conhecimento d nturez de lguns integris, como por eemplo: EXEMPLO: d, α R. Se α trt-se de um integrl de Riemnn, ms (b ) α se α > função integrnd tem ite infinito qundo tende pr b e o integrl só terá sentido se eistir e for finito o ite b (b t) α dt. Se α = b t dt = [ log(b t) ] = log(b ) + log(b )

129 6 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl e se α tendo-se [ (b t) dt = (b t) α+ α α + b (b t) α d = Então o integrl converge se, e só se, α <. ] (b ) α+ (b ) α+ = + α + α + +, se α (b ) α+, se α < α + Definição Suponhmos que função f é integrável em qulquer intervlo [+ε, b], ε >, ms não é integrável em [, b]. Fic ssim definid um função F : ], b] R, F () = Ao integrl finito o ite f(t) dt. f() d chm-se integrl impróprio de + f(t) dt diz-se que o integrl impróprio é convergente e escreve-se f() d = + f(t) dt. espécie. Se eistir Se o ite não eistir ou não for finito diz-se que o integrl impróprio de espécie é divergente. EXEMPLO: O integrl ( ) d, α R, é um integrl impróprio de α espécie se, e só se, α >. Se α trt-se de um integrl de Riemnn. O integrl só terá sentido se eistir e for finito o ite Se α = e se α + (t ) dt. α t dt = [ log(t ) ]b = log(b ) log( ) [ (t ) α+ (t ) dt = α α + ] b = (b ) α+ α + ( ) α+ α +

130 5.5 Integris impróprios 7 tendo-se + (t ) α d = Então o integrl converge se, e só se, α <. +, se α (b ) α+, se α < α + Definição Suponhmos que função f é integrável em qulquer intervlo [ + ε, b ε ], ε, ε >, ms não é integrável em [, b ε ] nem em [ + ε, b]. Define-se f() d = c f() d + c f() d, < c < b. Este integrl é tmbém um integrl impróprio de espécie. O integrl do primeiro membro é convergente se, e só se, os dois integris do segundo membro forem convergentes. Se lgum dos integris do segundo membro for divergente, então o integrl do primeiro membro é divergente. EXEMPLO: O integrl 3 d é um integrl impróprio de espécie nos dois ites de integrção. Temos de estudr os dois integris + 3 d e 3 d. [ t 3 dt = 3 ] ( t + 4 ( t ) 3 = ) 4 ( ) 3 = 3 4 t 3 t [ dt = 3 ] ( 4 ( t ) 3 = 3 ) 4 ( ) = Portnto, o integrl ddo é convergente e 3 d =. Definição Se c é um ponto interior do intervlo [, b] e f é um função integrável em qulquer intervlo [, c ε ], ε >, e [c + ε, b], ε >, ms não é integrável em [, b], define-se o integrl impróprio de espécie f() d = c f() d + c f() d. O integrl do primeiro membro é convergente se, e só se, os dois integris do segundo membro forem convergentes. Se lgum dos integris do segundo membro for divergente, então o integrl do primeiro membro é divergente.

131 8 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl EXEMPLO: 3 O integrl 3 = +. Temos de estudr os dois integris d é um integrl impróprio de espécie porque 3 d e 3 d. + 3 t 3 t [ dt = 3 3 ] ( t = ) = 3 [ dt = 3 3 ] ( t = ) = Portnto, o integrl ddo é convergente e 3 d = 6. Pr os integris impróprios de espécie, os critérios de convergênci são idênticos os obtidos pr os integris impróprios de espécie. As demonstrções podem ser efectuds de mneir semelhnte, com dptções evidentes, pelo que s omitimos. Teorem O integrl impróprio de espécie no ite superior (inferior, respectivmente) um constnte M tl que f(t) dt, com b > e f(t), t ], b[, é convergente se, e só se, eiste f(t) dt M, < b ( f(t) dt M, < b, respectivmente). Teorem Sejm f() d e g() d dois integris impróprios de espécie (no mesmo ite de integrção) com funções integrnds não negtivs e suponhmos que f() g(), < b (ou, < b). ) Se g() d é convergente então f() d é convergente. b) Se f() d é divergente então g() d é divergente.

132 5.5 Integris impróprios 9 Teorem 5.5. Sejm f() d e g() d dois integris impróprios de espécie (no mesmo ite de integrção) com funções integrnds positivs e suponhmos que o ite ( ) f() f() ou, b g() + g() é finito e diferente de zero. Então os integris são d mesm nturez, isto é, são mbos convergentes ou mbos divergentes. EXEMPLO : O integrl 4 d é impróprio de espécie, porque pr = função integrnd se torn infinit. Consideremos o integrl impróprio de espécie convergente ( ) d. Tendo em cont que 4 ( ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) podemos concluir que os dois integris têm mesm nturez, ou sej, o integrl ddo é convergente. EXEMPLO : O integrl ( ) 3 é um integrl impróprio de espécie nos dois ites de integrção. Estudemos os integris d e d. ( ) 3 ( ) 3 Como o integrl + 3 d é divergente e ( ) = 3 ( ) 3 d = + ( ) 3 = 3

133 3 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl o integrl d é divergente. Podemos então concluir que o integrl ddo ( ) 3 inicilmente é divergente. Teorem 5.5. Sejm f() d e g() d dois integris impróprios de espécie (no mesmo ite de integrção) com funções integrnds positivs. Suponhmos que ( ) f() b g() = f() ou, + g() =. ) Se g() d é convergente então f() d é convergente. b) Se f() d é divergente então Suponhmos que f() b g() = + g() d é divergente. ( ) f() ou, + g() = +. ) Se g() d é divergente então f() d é divergente. b) Se f() d é convergente então g() d é convergente. Teorem 5.5. Sej f() d um integrl impróprio de espécie. Se o integrl f() d é convergente o mesmo contece o integrl Definição Diz-se que o integrl impróprio de espécie f() d é bsolutmente convergente se o integrl é convergente e f() d é simplesmente convergente. EXEMPLO: Consideremos o integrl f() d. f() d é convergente. Se o integrl f() d é divergente, diz-se que o integrl cos(π) d. f() d

134 5.5 Integris impróprios 3 É um integrl impróprio de espécie no ite superior de integrção, ms função integrnd mud de sinl no intervlo de integrção. No entnto, cos(π), <. Estudemos o integrl d = ( ) ( + ) d. O integrl ( ) d é convergente e ( ) ( + ) ( ) = ( + ) =, o que implic que o integrl d é convergente. Pelo Teorem 5.5.9, o integrl cos(π) d é convergente. Pelo Teorem 5.5., o integrl ddo é convergente e diz-se bsolutmente convergente. C. Integris impróprios mistos Podem ind considerr-se integris impróprios mistos: por eemplo, com lgum ite de integrção infinito e em que função integrnd se torne iitd num número finito de pontos do intervlo de integrção. Neste cso, definição do integrl fz-se dividindo o intervlo de integrção por form que se obtenhm integris dos tipos nteriores; se os integris ssim obtidos são convergentes diz-se que o integrl misto é convergente e o seu vlor é igul à som dos vlores dos integris correspondentes os subintervlos. Se lgum dos integris obtidos é divergente o integrl misto é divergente. EXEMPLO : O integrl 3 + d é um integrl impróprio misto porque 3 + = ( + )( + ), podendo fzer-se decomposição 3 + d = 3 + d d d,

135 3 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl sendo os dois primeiros integris do o membro de espécie e o último de espécie. Como o integrl d é divergente e o integrl = EXEMPLO : O integrl ( 4) = + ( + )( + ) = + = 3 d é divergente. Então o integrl misto é divergente. 3 + d = 3 ( 4) 3 5 ( 4) 3 5 d é um integrl impróprio misto, tendo-se d + 3 ( 4) 3 5 d + ( 4) 3 5 O primeiro dos integris do o membro é de espécie e os outros dois são de espécie. Consideremos o integrl de espécie convergente Temos o que implic que o integrl O integrl de espécie o que implic que o integrl O integrl de espécie 3 3 ( 4) d. = 6 5 ( 4) 3 5 = ( 4) 3 5 d é convergente. ( ) 3 5 d é convergente e ( 4) 3 5 ( ) = ( ) 3 5 d é convergente. ( 4) 3 5 d é convergente e ( + ) 3 5 ( 4) 3 5 ( + ) 3 5 = + ( ) 3 5 = = d.

136 5.5 Integris impróprios 33 o que implic que o integrl d é convergente. ( 4) 3 5 Podemos então concluir que o integrl ddo é convergente. D. A função Gm (Γ) e função Bet (β) Suponhmos que queremos estudr nturez do integrl 3p d (5.5) + 5 pr todos os vlores do prâmetro rel p. Tendo em cont que + 5, R, este integrl é de espécie se p e misto se p <. Em qulquer cso podemos escrever 3p + 5 d = 3p + 5 d + 3p + 5 d, onde o segundo integrl do o membro é sempre de espécie e o primeiro é de Riemnn se p e de espécie se p <. Suponhmos que p <. O integrl 3p + 5 d = d. (5.6) 3p ( + 5) 3p d converge se, e só se, 3p <, isto é, p > 3. Como + 3p ( + 5) 3p o integrl (5.6) converge se, e só se, p > 3. = = 5 Se p, o integrl que cbámos de estudr é de Riemnn. Podemos então concluir que o integrl (5.6) converge se, e só se, p > 3. O integrl 3p d converge se, e só se, 3p >, isto é, p < 3 e + 3p + 5 = + 3p + 5 =

137 34 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl pelo que podemos concluir que o integrl de espécie converge se, e só se, p < 3. Então o integrl (5.5) converge se, e só se, 3 < p < 3. Consideremos o integrl 3 7 d. (5.7) ( + ) α (3 ) β+ É um integrl de Riemnn se α e β + e é um integrl impróprio de espécie se α > ou β + >. Podemos escrever este integrl n seguinte form: Estudemos o primeiro integrl. α <, e + 7 d + ( + ) α (3 ) β+ 3 Como o integrl 7 d. ( + ) α (3 ) β+ 7 ( + ) α (3 ) β+ 7 = + (3 ) = 7 β+ 5 β+ ( + ) α d converge se, e só se, ( + ) α podemos concluir que o integrl é convergente se, e só se, α < e β R. 3 Ddo que o integrl d converge se, e só se, β + <, isto é, β <, e (3 ) β+ 3 7 ( + ) α (3 ) β+ 7 = 3 ( + ) = 7 α 5 α (3 ) β+ podemos concluir que o segundo integrl converge se, e só se, β < e α R. O integrl (5.7) será convergente se, e só se, α < e β <. Entre os integris com prâmetros há dois especilmente importntes: Γ(p) = p e d e β(p, q) = p ( ) q d, p, q R. Estes integris, qundo convergentes, definem dus funções: função Gm, no primeiro cso, e função Bet, no segundo. Pretendemos estudr o domínio dests funções, isto é, sber pr que vlores dos prâmetros são convergentes os integris que s definem. Comecemos por estudr o integrl Γ(p) = p e d (5.8)

138 5.5 Integris impróprios 35 Podemos escrever este integrl do seguinte modo: p e d + p e d. O primeiro integrl é de Riemnn se p e de espécie se p <, enqunto o segundo é de espécie qulquer que sej p R. + Sbemos que o integrl d é convergente. Ddo que p e + =, p R podemos concluir que o integrl de espécie é convergente qulquer que sej p R. O integrl impróprio de espécie d é convergente se, e só se, p <, isto p é, p >. Além disso, p e = + e =, + p o que implic que o integrl de espécie é convergente se,e só se, p >. Então o integrl (5.8) converge se, e só se p >, isto é, função Γ tem domínio R +. Consideremos o integrl Podemos sempre escrever este integrl como som p ( ) q d + p ( ) q d (5.9) p ( ) q d onde o primeiro integrl é de Riemnn se p e de espécie se p < e o segundo é de Riemnn se q e de espécie se q <. O integrl d converge se, e só se, p <, isto é, p >. Como p p ( ) q + p = +( )q = podemos concluir que o primeiro integrl é convergente se, e só se, p >. O integrl d converge se, e só se, q <, isto é, q >. Como ( ) q p ( ) q = p = ( ) q

139 36 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl podemos concluir que o segundo integrl é convergente se, e só se, q >. Então o integrl (5.9) converge se, e só se, p > e q >, isto é, função Bet tem sentido pr p > e q >. E. Áres de domínios iitdos Vejmos lguns eemplos de plicção dos integris impróprios o cálculo de áres de domínios plnos iitdos. EXEMPLO : Clculemos áre do domínio determindo pel imgem d função f() = e o eio dos (ver Figur 5.). + Figur 5. O vlor d áre é ddo pelo vlor do integrl impróprio Clculndo esse integrl obtemos + d. + d = + + d + + d = d = t dt = + [ rc tg(t) ] = rc tg() = π +

140 5.5 Integris impróprios 37 EXEMPLO : Clculemos áre do domínio determindo pel imgem d função f() =, s rects = 3 e = e o eio dos (ver Figur 5.). Figur 5. O vlor d áre é o vlor do integrl impróprio 3 d. 3 d = 3 d + d = 3 dt + t + t dt [ ] [ = t + ] t 3 + ( = + ) ( 3 + ) = 3 + +

141 38 5. Funções Reis de Vriável Rel: Cálculo Integrl

142 Cpítulo 6 Eercícios 6. Funções Trigonométrics Inverss NOTA: Considere-se, em todos os eercícios, s restrições principis do seno, coseno, tngente e cotngente.. Clcule: () rc sen ( ) 3 ; ( ( )) (b) cotg rc sen 3 ; ( ) (c) π 3 rc tg 3 3 ; ( )] 43 [ (d) sen rc cotg [ (e) tg 3 rc tg ( 3 (f) rc tg() + rc tg )] ; ; ( ).. Clcule o número rel designdo por: [ ( () sen rc cos )] ; ( (b) tg π4 + rc cotg ( 3 )) ; ( ( )) (c) cos π6 rc cos 35 ; (d) cos [ ( ) rc tg 34 + rc sen 3. Simplifique s seguintes epressões: ( )] 3.

143 4 6. Eercícios () sen (π + rc cos()); ( ) (b) cos rc cos() ; (c) cotg ( rc cotg( ) ),. 4. Mostre que: () rc sen( 4 5 ) + rc tg(3 4 ) = π ; (b) rc tg( ) + rc tg( 5 ) + rc tg( 8 ) = π 4 ; ( ) ( ) (c) rc sen + = rc cos +, com R + ; ( ) (d) rc sen + rc tg( ) =, com R Considere s funções reis de vri vel rel definids por: ( f() = cos + π ) ( 3 + 3; g() = sen 3 π ) 5 ; ) ; h() = sen( π 3 ) + 3 tg( ); i() = 5 cotg ( + π 6 j() = 3 rc sen( ); m() = rc cos( + ); p() = 3 4 rc tg( 3 ); q() = π ( ) rc cotg. Determine o domínio e o contrdomínio de cd um ds funções. 6. Considere s funções f e g definids em R por: ( π ) ( ) f : cos + rc sen e g : 3 4 sen 4 () Determine o domínio e o contrdomínio de f; ( + π ). 3 (b) Determine um epressão designtóri que defin função invers d restrição principl de g. 7. Considere s funções f e g, reis de vriável rel, tis que: f : π ( ) 3 3 rc cos, g : rc cotg ( + 3) π 4. () Determine o domínio e o contrdomínio de f e de g; (b) Pr cd um ds funções, crcterize invers d restrição principl.

144 6. Funções Trigonométrics Inverss 4 8. Dd função rel de vriável rel, definid por: f() = π 4 3 rc sen (), e considerndo restrição principl do seno, determine: () O domínio de f; (b) O contrdomínio de f; (c) Um epressão de f ; (d) Os zeros de f; { (e) R : f() = π } Considere função f() = π 3 + rc sen( ). () Clcule o domínio e o contrdomínio de f; (b) Verifique que f não tem zeros.. Sejm f e g funções reis de vriável rel, tis que: f : + cos () e g : + sen (). Crcterize s funções inverss de f, g e f g, considerndo s respectivs restrições principis.. Resolv s equções: ( ) () rc sen() = rc tg 34 rc cos ( ) ; ( ( )) (b) rc cos sen 7π6 = + π, em [π, π[.. Determine s soluções de cd um ds seguintes equções: () rc tg ( + ) = rc sec( ); ( ) ( ) (b) rc tg + = rc cotg ; ( ) (c) rc cos ( ) = rc cos ; (d) rc cos () rc cos() = π 3.

145 4 6. Eercícios 6. Noções Topológics. Determine o interior, o eterior, fronteir, o derivdo, derênci, o conjunto dos minorntes, o conjunto dos mjorntes, o supremo, o ínfimo, o máimo e o mínimo (cso eistm) dos seguintes conjuntos: A = [, 3 [ [ 4, [, B =] 5, 7 [ {5}.. Determine o interior, o eterior, fronteir, o derivdo e derênci dos seguintes conjuntos: () A = { R : < 5}; (b) B = { : é irrcionl e < 5}. 3. Considere o conjunto A = { R : = + ( ) n + ( )n n } n N. () Determine o interior, o eterior, o derivdo, fronteir e derênci de A. (b) Averigúe se o conjunto A é berto ou fechdo. 4. Determine o eterior, o interior, fronteir e o derivdo do conjunto: { A = { Q : + 3 < 5} : é irrcionl } Ddo o conjunto { C = R : = ( )n n } n N { R : = + ( )n n n N } ] 3, 3 4 ] () Determine fronteir, o interior, o eterior e o derivdo de C; (b) Averigúe se o conjunto é itdo. 6. São ddos os conjuntos e Determine: B = A = { R : } ( {y R : y = ( ) n+ + ( ) n + ) } n N. n

146 6. Noções Topológics 43 () int(a B); (b) (A B). Reltivmente B indique quis os pontos fronteiros e verigúe se o conjunto é itdo. 7. Ddos os conjuntos e A = B = { R : + < } { y R : y = + n } n n N () Determine A sob form de intervlos de números reis. (b) Determine, cso eistm, o supremo e o ínfimo de A B. 8. Ddo o conjunto B = ( { R : = ( ) n+ + ) }, n N n determine: () B e B; (b) int(b); (c) et(b). { R : = ( ) 3n n +, n N} n Justifique que o conjunto B é itdo, indicndo o ínfimo e o supremo de B. 9. Considere função g : sen ( ( π) ). cos Determine D g. () A respeito de D g determine o interior, o eterior, fronteir e o derivdo. (b) Dig, justificndo, se D g é um conjunto berto ou fechdo. (. Sej A o conjunto dos termos d sucessão u n = sen n π ) [ 4, n N e B = ],. Determine o supremo, o ínfimo, o interior e fronteir do conjunto A B.. Sendo B o domínio d epressão log(cos em R, determine fronteir e o ()) eterior de B e indique, justificndo, se B é berto.

147 44 6. Eercícios. Ddos os conjuntos A = { R : 4 > } B = { R : + 3} e () Prove que A B = [, [. (b) Indique, cso eistm, o conjunto dos mjorntes, o conjunto dos minorntes, o supremo, o ínfimo, o máimo e o mínimo de B. 3. Indique o supremo e o ínfimo, se eistirem, do seguinte conjunto: { } A = R \ {} : 4 5. { 4. Considere o conjunto B = R : = m + m } m N. Indique, se eistirem, os mjorntes, o ínfimo e o máimo de B. 5. Considere, em R, s seguintes condições: p() : + < 3 e q() : + <. () Determine sob form de intervlo de R o conjunto A = { R : p() q()}. (b) Indique, cso eistm, o supremo e o ínfimo de A. 6. Sendo { S = R : + determine fronteir e o interior de S. 5 k= ( k ) },

148 6.3 Indução Mtemátic Indução Mtemátic. Prove que (n ) = n n.. Prove que () n = n(n + )(n + ) n ; 6 [ ] n(n + ) (b) n 3 = n. 3. Prove que n(n + 5) é divisível por 6 qulquer que sej n N. 4. Prove que: () n < n n N; (b) + n 3 n n N; (c) n < 8 (n + ) n N; (d) Se < < b, então ( b ) n+ < ( b ) n n N. 5. Prove que log(... n ) = log + log + + log n, pr todo o n, onde cd i é um rel positivo. 6. Prove que + r + r + + r n = ( rn ) r, onde n é um inteiro positivo e e r são reis, r.

149 46 6. Eercícios 6.4 Sucessões. Prove, por definição, que s seguintes sucessões (u n ) são infinitmente grndes positivos, ou sej, que u n = + : n () u n = n; (b) u n = n ; (c) u n = n; (d) u n = n.. Prove, por definição, que s seguintes sucessões (u n ) são infinitésimos, ou sej, que n u n = : () u n = n ; (b) u n = n ; (c) u n = n ; (d) u n = n. 3. Se (u n ) e (v n ) são sucessões convergentes, prove que: () (u n + v n ) = u n + v n ; (b) (u n v n ) = u n v n ; (c) (u n ) p = ( u n ) p, p N; (d) un v n = un v n, n N e v n ; (e) (u n ) /p = ( u n ) /p, se p for pr deverá ser u n, n N; (f) u n = u n ; (g) ( p N n p : u n > ) u n ; (h) ( p N n p : u n v n ) u n v n. 4. Sejm (u n ) e (v n ) dois infinitmente grndes positivos e (w n ) um infinitmente grnde negtivo, prove que: () (u n + v n ) = + ; (b) (u n v n ) = + ; (c) (u n w n ) = ; (d) u p n = + p N;

150 6.4 Sucessões 47 (e) w p n = p N; (f) u n = w n = + ; (g) Sendo (z n ) um sucessão tl que p N n > p z n u n, prove que z n = Considere sucessão de termo gerl n, em que R. Prove que: () Se >, n = + ; n (b) Se <, n = ; n (c) Se <, n n = ; (d) Se =, n n = ; (e) Se =, sucessão é divergente. 6. Clcule, se eistir, o ite de cd um ds seguintes sucessões: () u n = n 4n + 3 ; (b) u n = n + 3n + ; (c) u n = 3n 4n 3 + ; (d) u n = n3 + 4n 3 7 ; (e) u n = n + 3n n + n n. 7. Sejm ( n ) R um sucessão, n, P () = p + + p e Q() = b q + + b q dus funções polinomiis de coeficientes reis, p, q N,, b. Mostre que () (b) P ( n ) = p n =. P ( n) Q( n ) = p n b q n b se p = q, se p > q, = se p < q. 8. Clcule, se eistir, o ite de cd um ds seguintes sucessões: n () u n = 4n + ;

151 48 6. Eercícios n (b) u n = n ; (c) u n = n + n ; (d) u n = ( n + n ) n + ; (e) u n = n + + n n + n. 9. Diz-se que sucessão (u n ) cresce mis rpidmente que sucessão (v n ) se u n v n +. () Prove que n n cresce mis rpidmente que n!. (b) Prove que n! cresce mis rpidmente que e n. (c) Coloque por ordem decrescente, qunto à rpidez de convergênci, s sucessões de termos geris: n, n, n, e n, n!, log(n), n, n 3, n n.. Sejm (u n ) e (v n ) dois infinitésimos, v n n N. Diz-se que (u n ) é de ordem superior (v n ) se u n v n =. Ordene os seguintes infinitésimos: n,, n, n e, n n!, log(n), n, n, 3 n. n. Clcule os ites de cd um ds seguintes sucessões : () u n = ( n+3 n+) n; (b) v n = ( n+5 n+) n; (c) w n = ( 3 n ) n.. Mostre que () Se u n u (u R ) então u + + u n u. n (b) Se R, >, então n =. (c) Se u n >, n N e u n+ u n b, (b R, b ) então n u n b. Observção: em prticulr n n. (d) n u n b u n+ u n b, (u n >, n N). 3. Clcule, se eistir

152 6.4 Sucessões 49 () n (n + )!; n (b) n n(n + ) n. n n! 4. Determine p R tl que n (p n) = 3. n 5. Clcule os ites ds seguintes sucessões: ( ) () cos (n) sen ; n (b) n (n ) (n ) (n 3) (n + ) (n + ) (n + 3) ; (c) (cos()) n, R; ( ) n n (d) n! ; n (e) n + n ; (f) (g) (h) (i) (j) (k) n (n + )! n!; ; n n + n n + + n n + n + ; ( ) n n n + n n ; n + (n + ) + + ( n) ; n n n n4 + + n n4 + n. 6. Qundo possível dê eemplos de sucessões u n +, v n, w n, que verifiquem s condições indicds ns línes seguintes: () u n + v n ; (b) u n + v n ; (c) u n + w n ; (d) u n w n ; (e) v n w n + ;

153 5 6. Eercícios (f) u n w n. 7. Sejm ( n ) e (y n ) dus sucessões de números reis tis que n e y n y. Mostre que sucessão de termo gerl z n = min{ n, y n } converge e que z n min{, y}. 8. Estude, qunto à convergênci, sucessão rel definid por u =, u n = u n, n >. Indique, cso eist, o ite de u n. 9. Considere sucessão (u n ) definid por recorrênci u = 5 u n+ = 5u n 4 u n () Prove por indução que n N u n > 4. (b) Prove que sucessão é convergente. (c) Mostre que 4 é o ínfimo do conjunto dos termos d sucessão.. As sucessões (u n ) e (v n ) verificm s seguintes condições: i) n N < u n < v n ii) v n é decrescente Dig, justificndo, se são verddeirs ou flss s seguintes firmções () v n é convergente. (b) u n é convergente. (c) u n é decrescente.. Determine os ites superiores e inferiores ds sucessões de termos geris () n ( )n ; (b) cos(n π/3); (c) n ( ) n n ; ( n π ) (d) sen ; 4 (e) n ( ) n n ; ( n π ) ( ( n π )) n; (f) n cos + cos

154 6.4 Sucessões 5 (g) ( )n n + 3 ; n + ( n π ) (h) sen +, R; ( ) n (i) + 3 n + n (( )n 3 + 3); (j) (( )n+3 ( ) n ) n n +. Mostre que s seguintes sucessões são de Cuchy em Q: () n ; (b). n 3. Mostre que sucessão de termo gerl n não é de Cuchy em Q. 4. Considere sucessão de termo gerl u n = n+. Estude nturez d sucessão n+ usndo definição de sucessão de Cuchy. 5. Mostre que sucessão = 3, n+ = n + n é um sucessão em Q que verific n. Use este resultdo pr mostrr que ( n ) é um sucessão de Cuchy em Q que não converge em Q. SUGESTÃO: i) Mostre que v n = n verific v n 4 n ; ii) use relção n m = n m n + m.

155 5 6. Eercícios 6.5 Continuidde. Estude continuidde d função f() :] π, π [ R definid por f() =, se = tg() sen(), se. Considere função rel de vriável rel, definid por: + rc cos(), se < h() =, se =, + 5, se < 4 3 () Mostre que h é contínu em todo o seu domínio. (b) Aplicndo o teorem de Bolzno, mostre que: c ], 4[: h(c) = c. 3. Considere função rel f() = sen( ) definid em R \ {}. Sej g um prolongmento de f R. Determine o vlor tribuir g() de modo que g sej contínu em =. 4. Determine o vlor de e b que tornm contínus s seguintes funções nos pontos indicdos: 3 7, se 3 () f () =, = , se < 3 +, se < (b) f () = 3 + b, se, =, =. + 3, se > sen(), se (c) f 3 () =, =. + b, se > 5. Considere função rel definid por: +, se f() = ( ) 5 + 6, se > () Determine o vlor de de form que f sej contínu em =.

156 6.5 Continuidde 53 (b) Mostre que pesr de se ter f() f(4) <, não se pode plicr o teorem do vlor intermédio de Bolzno no intervlo [, 4]. sen() 6. Sbendo que =, estude continuidde em = d função , se f() = sen(), se = Obs: Considere f pens definid em [ π, π ]. cos() 7. Sbendo que sen( ) = ±, estude continuidde em = d função sen(), se f() = cos(), se = Obs: Considere f pens definid em [ π, π ]. 8. Mostre, recorrendo à definição, que s seguintes funções são contínus nos seus domínios: () f() = ; (b) g() = cos(); (c) h() = + sen(). 9. Sejm f e g funções contínus em [, b] tis que f() > g() e f(b) < g(b). Mostre que os gráficos de f e g se intersectm num ponto de bciss c ], b[.. Sejm f e g funções contínus em [, b] tis que f() = g(b), f(b) = g() e f() g(). Mostre que f g tem pelo menos um riz pertencente o intervlo [, b].. Sej f um função rel de vriável rel contínu em [, b]. Sbendo que f() < e f(b) > b, prove que f tem pelo menos um ponto fio no intervlo ], b[. Obs: c é ponto fio se f(c) = c.. Prove que se h : D R R é um função contínu em = b, ponto interior D, se tem: () Se h(b) > então eiste um vizinhnç V de b tl que h() >, V. (b) Se h(b) < então eiste um vizinhnç V de b tl que h() <, V.

157 54 6. Eercícios 3. Sej f : [, b] R um função contínu, injectiv e tl que f() < f(b). Utilize o teorem do vlor intermédio de Bolzno pr concluir que f é estritmente crescente no seu domínio. Sugestão: Comece por mostrr, utilizndo o método de redução o bsurdo, que não eiste ], b[ tl que f() < f() ou f() > f(b). 4. Sej f : [, + [ R um função contínu. Suponh que eiste b [, + [ tl que, pr qulquer > b se tem f() < f(). Prove que f tem máimo em [, + [. 5. Sej f : R R um função com ite finito qundo e tl que f() > R \ {}. Indique, justificndo, o vlor de f(). 6. Sej f um função definid em R e verificndo s seguintes condições: i) R, f() Z; ii) f() = c, c R. + Recorrendo à definição de ite, justifique que: () c é um número inteiro. (b) Eiste R tl que f() = c, sempre que >. 7. Considere função f definid por: f() = +, se Z + +, se Z Estude- qunto à continuidde. 8. Sej f um função definid num conjunto X R. Mostre que se f é contínu em, eiste um vizinhnç de, n qul f é itd. 9. () Sendo g : [, + [ R contínu no seu domínio, mostre que função f() = g( ) tem máimo e mínimo. (b) Se n líne ) considerássemos g definid em ], + [, poderímos continur grntir pr f eistênci de máimo e mínimo? Justifique.. Sej f um função contínu em R, com ites positivos qundo e + e tl que f() <. Nests condições mostre que: () equção f() = tem pelo menos dus rízes reis. (b) c R R f(c) f(). Dê um eemplo de um função que verifique tods s condições eigids no enuncido ecepto n continuidde em R, que deve ser substituíd pel continuidde em R \ {} e pr qul s firmções epresss ns línes ) e b) sejm flss.

158 6.6 Continuidde Uniforme Continuidde Uniforme. Estude qunto à continuidde uniforme nos intervlos indicdos s seguintes funções: () f() = em R; (b) f() = sen () em R;, se < (c) f() =, se em ], b[,, b R, < b; (d) f() = em ], b[ com ; ( ) (e) f() = sen em ], b[ com.. Mostre, usndo definição, que função f definid por f() = ( ) + é uniformemente contínu em qulquer intervlo itdo de R. 3. Considere função 7 +, se > 3 g() = 3, se 3 Justifique que g não é uniformemente contínu no intervlo [, 5]. 4. Mostre, usndo definição, que função f() = é uniformemente contínu no intervlo [, 8]. 5. Diz-se que um função f definid num conjunto X R verific condição de Lipschitz, se eiste um número k > tl que se tem, pr quisquer, y X: f() f(y) k y. Mostre que tod função lipschitzin é uniformemente contínu. 6. () Prove que o produto de dus funções lipschitzins itds ind é um função lipschitzin. (b) Prove, usndo líne ), que função f() = sen() é uniformemente contínu em ], [, R. { 7. Sej α 3, },, 3. Pr que vlores de α é uniformemente contínu no intervlo [, + [ função f() = α?

159 56 6. Eercícios 8. Prove que, se f é uniformemente contínu () A restrição de f qulquer prte do seu domínio é uniformemente contínu. (b) f é itd se o seu domínio é itdo. (c) f tem ite finito em qulquer ponto de cumulção (finito) do seu domínio. 9. Indique, ds seguintes funções definids em R, quis s que são uniformemente contínus: () f() = sen(); (b) f() = 3 +.

160 6.7 Diferencibilidde. Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy Diferencibilidde. Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy. Sej f um função diferenciável em R e g um função definid por g() = f(e ). () Defin função derivd de g. (b) Supondo que f tmbém é diferenciável, determine g ().. Sendo f() = 4, g um função diferenciável em R e h tl que h() = (g f)(sen()), defin função derivd de h. 3. Sej f um função diferenciável e injectiv e g() = 3. Aplicndo s regrs d derivção d função invers e d função compost, determine um epressão pr função derivd de (f g). 4. Clcule o diferencil ds funções: () f() = ; (b) f() = log(); (c) f() = e. 5. Clcule, utilizndo o diferencil, vlores proimdos de: ().99 3 ; (b) Considere s funções f() = e g() = 3 ( ). Recorrendo o teorem de Rolle, que se pode firmr sobre eistênci de pontos c, c ], [ tis que f (c ) = g (c ) =? 7. Mostre que f() = stisfz s condições do teorem de Rolle no intervlo [ 3, 3]. Determine os vlores c ] 3, 3[ que stisfçm f (c) =. 8. Prove, recorrendo o teorem de Rolle, que equção = tem, pelo menos, um solução no intervlo ], [. 9. Sej f um função contínu em [, b], diferenciável em ], b[ e tl que f() = f(b) =. Dig se função g() = f()e 3, no mesmo intervlo, obedece às condições do teorem de Rolle. Mostre que eiste c em ], b[ tl que f (c) = 3f(c).. Prove que equção = tem 3 rízes reis.. Mostre que equção 3 + = tem pens um riz rel. Mostre ind que ess riz se encontr no intervlo ], [.

161 58 6. Eercícios. Considere função rel de vriável rel definid por f() = ( )( 3)( 5)( 7). Quntos zeros podemos grntir pr f e f? 3. Prove que, qulquer que sej k (rel), função f() = k não pode ter dois zeros no intervlo ], [. 4. A função f está definid em [, π] por: tg(), se < π f() =, se = π () Verifique que f( π ) = f(π 4 ). (b) Mostre que f é contínu e diferenciável no intervlo ] π 4, π [. (c) Neste intervlo f não tem zeros. Isto contrdiz o teorem de Rolle? Justifique. 5. Considere s funções f() = ( ) + e 4 + 3, se g() = 5, se = () Mostre que, no intervlo [, 3], função f stisfz s condições do teorem de Rolle e que g não stisfz. (b) Determine s coordends do ponto do gráfico de f onde tngente à curv é horizontl. 6. Considere seguinte função rel de vriável rel, e, se f() = + log(), se >. Mostre que: () f é contínu em R; (b) f tem derivd finit em R; (c) em nenhum intervlo de R é plicável f o teorem de Rolle. 7. Considere função rel de vriável rel, definid por: e, se [, ] f() = 6 ( ) π rc sen, se ], 4]. 4

162 6.7 Diferencibilidde. Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy 59 () Averigúe se é possível plicr o teorem de Rolle o intervlo [, ]. Em cso firmtivo determine o número de Rolle correspondente. (b) Prove que f é itd. 8. Sej f um função definid e diferenciável num intervlo I e g() = f(cos()) f(sen()). Suponhmos ind que I contém os pontos e por form que g tenh por domínio R. () Clcule g () e mostre que, em qulquer ponto (, b) do gráfico de g tl que tg() =, tngente esse gráfico é horizontl. (b) Admitindo que f er dus vezes diferenciável em I, o que poderímos dizer sobre o número de rízes d equção g () =? 9. Em cd um dos seguintes csos verificr se o teorem do vlor médio de Lgrnge se plic. Em cso firmtivo encontrr o número c em tl que f f(b) f() (c) =. b () f() =, =, b = 3 (b) f() =, =, b = 3 (c) f() = cos(), =, b = π (d) f() = tg(), = π 4, b = 3π 4 (e) f() =, =, b = (f) f() = 3, =, b = (g) f() =, =, b =. Considere função g() = e 4 +. () Determine s coordends dos pontos do gráfico d função que têm bciss -,. (b) A função está ns condições do teorem de Lgrnge no intervlo [, ]? (c) Determine um equção d rect tngente o gráfico de g, prlel à rect definid pelos pontos considerdos em ).. Sej f : R R função definid por: 5, se f() = 3 +, se >. () Mostre, prtir d derivd de f, que função é contínu em R.

163 6 6. Eercícios (b) Aplique o teorem do vlor médio de Lgrnge o intervlo [, 3]. Determine os vlores de c que se refere o teorem.. Sej f : R R função definid por f() = sen() cos(). () Mostre que pr cd [, π ], f (). (b) Utilize o teorem de Lgrnge pr verificr que, pr cd [, π ], + f() Utilizndo o teorem de Lgrnge mostre que: () rc tg(), R + ; (b) log( + ) <, > ; ( ) + (c) log <, > ; (d) e > +, > ; (e) + rc tg() < rc tg() < rc tg() + + +, > ; (f) sen(θ) sen(α) θ α, θ, α R; (g) sen(θ) < θ, θ R. 4. Aplicr, cso sej possível, o teorem de Cuchy às seguintes funções nos intervlos indicdos. () f() = e + e g() = em [, ]. (b) f() = cos() e g() = sen() em [ π 3, π 3 ]. (c) f() = 3 e g() = em [, ]. 5. Sejm f e g funções diferenciáveis em R tis que f () > g () >, R e f() = g(). Utilizndo o Teorem de Cuchy, demonstre que: () f() > g(), >. (b) f() < g(), <. 6. Clcule, plicndo o teorem do vlor médio de Cuchy, o seguinte ite: tg( + ) tg( ) rc tg( + ) rc tg( ).

164 6.7 Diferencibilidde. Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy 6 7. Sej f um função contínu em [, b] e diferenciável em ], b[. Demonstre s seguintes firmções: () Se f (), ], b[, então f é injectiv em [, b]. (b) Se f () (resp. f () ), ], b[ então f é função decrescente (resp. crescente). 8. Sejm f e g dus funções contínus num intervlo [, b] e diferenciáveis em ], b[. Mostre que: () se f () g (), ], b[, então f(b) f() g(b) g(). (b) se f () g (), ], b[, então f(b) f() g(b) g(). 9. Clcule os seguintes ites: () ( + 3 tg ()) cotg() ; ( ) log (+ ) (b) ; + (c) (d) (e) + tg() sen() ; log ( ) + log ( e + cotg() ; (f) sen() ; (g) ); ( + ) log ; + (h) π (i) (j) (k) (l) [ + + (m) cos() π ; log(sen(4)) log(sen(3)) ; ( tg ( ) π )] ; [ log 4 + ( e ) ]; e ( [ + ) ] ; [ (log ) + log ] ; sen(π)

165 6 6. Eercícios (n) (o) ( sen() ( + b + c 3 ) ( sen() sen() ) ; ),, b, c R Determine os números reis e b tis que sej um número rel diferente de zero. sen() 3 + b 3. Determine os números reis e b de form que ( cos() log( + ) + b ) =.

166 6.8 Fórmul de Tylor Fórmul de Tylor. Desenvolv os polinómios P () = 4 e P () = em potêncis inteirs de ( 3) e ( ), respectivmente.. Escrev fórmul de Tylor de ordem n no ponto ddo, ds seguintes funções: () f() = + 3, =, n = 3; (b) f() = e, =, n = 4; (c) f() = sen (), =, n = 4; (d) f() = tg(), =, n = 4; (e) f() =, =, n = Utilize fórmul de Tylor pr proimr função f() = cos() por um polinómio de gru 4. Use esse polinómio pr clculr um proimção de cos(.5). Obtenh um estimtiv pr o erro d proimção. 4. Use fórmul de Tylor pr estbelecer s seguintes desigulddes: () log( + ) , > ; (b) sen( + h) sen() h cos() h, h R; (c) ( ) ( ), < Escrev fórmul de Mc-Lurin de ordem n de cd um ds seguintes funções: () f() = e ; (b) f() = + ; (c) f() = sen(); (d) f() = cos(); (e) f() = Observe que s funções f() = sen() e g() = k, com k pequeno, se intersectm ns proimiddes de = π. Aplicndo fórmul de Tylor de ordem 3 no ponto π à função g() = sen() k, determine um solução proimd de sen() = k. 7. Utilize fórmul de Tylor pr clculr os seguintes ites:

167 64 6. Eercícios () sen() ; e π + cos() ( π) (b) ; π ( π) (c) cos() ; (d) log() + ( ). 8. Sej g() = αe k +, com <, α <, k >, constntes. Determine os etremos reltivos d função g.

168 6.9 Estudo de um função Estudo de um função. Considere função e, se f() = log 4 (), se > () Estude continuidde de f. (b) Estude diferencibilidde de f. (c) Determine os etremos e monotoni de f. (d) Determine os pontos de infleão e concviddes de f. (e) Determine o contrdomínio de f.. Considere função f() = +, se e 3, se > () Estude continuidde de f. (b) Estude diferencibilidde de f. (c) Determine os etremos e monotoni de f. (d) Determine os pontos de infleão e concviddes de f. (e) Determine o contrdomínio de f. 3. Sej f definid por f() = 4, se ( + ), se < e, se > () Estude nliticmente f qunto à continuidde e derivbilidde. (b) Determine os etremos reltivos de f. (c) Mostre, por definição, que f é uniformemente contínu no intervlo ], ]. 4. Considere função definid por f() = e +. 5 () Estude f do ponto de vist d continuidde, derivbilidde, monotoni e etremos.

169 66 6. Eercícios (b) Indique, justificndo, se função é uniformemente contínu no intervlo ], [. 5. Sej f definid por f() = π + π, se < cos(π), se < 3, se 3 () Estude nliticmente f qunto à continuidde e derivbilidde. (b) Determine os etremos reltivos de f. (c) Esboce o gráfico d função. (d) Mostre, usndo definição, que f não é uniformemente contínu no intervlo [, + [. 6. Sej f definid por f() = sen() +, se log() + b, se < < 4 + 3, se () Determine e b de modo que f tenh derivd finit no ponto =. (b) Mostre, por definição, que f é uniformemente contínu no intervlo [3, 4]. 7. Considere função f definid por e, se f() = ( ) + e, se > () Estude nliticmente f qunto à continuidde e derivbilidde. (b) Determine os etremos reltivos, intervlos de monotoni e pontos de infleão de f. (c) Mostre, por definição, que f é uniformemente contínu no intervlo ]3, 4]. 8. Sej f definid por cos(π( )), se < f() = , se 4, se > 4

170 6.9 Estudo de um função 67 () Estude nliticmente f qunto à continuidde e derivbilidde em todos os pontos do seu domínio. (b) Determine os etremos reltivos de f. (c) A função f é uniformemente contínu no intervlo [, ]? E no intervlo ], 5]? Justifique respost.

171 68 6. Eercícios 6. Primitivção. Determine s primitivs ds funções definids pels epressões nlítics seguintes: () 3 + 3; (b) ; (c) 5, constnte não nul; e (d) ; e (e) cos(6); (f) 3 ; (g) sen( 3); 3 (h) 5 + ; (i) + 9 ; (j) cos 5e ; (k) cos(); (l) ; 5 (m) ; (n) sen() cos (); (o) sen() + cos() + sen () ; (p) (cos () + cos()) sen(); k (q), k, b ; + b (r) sen 3 () +, ; log (s) ; (t) log.. Primitive, por prtes, s funções definids pels epressões nlítics seguintes : () rc tg(); (b) cos();

172 6. Primitivção 69 (c) ( + + ) e ; (d) ( + ) cos(); (e) cos () ; (f) log. 3. Primitive, por substituição, usndo em cd cso substituição indicd, s funções definids por : () 3 ( = t); (b) (c) (d) (e) e + e sen() + cos() ( = sen(t)); ( ) = t ; (e = t); ( ) (tg = t). 4. Determine s primitivs ds funções rcionis definids pels epressões nlítics seguintes : () (b) (c) (d) (e) 5 + ; ; ; 9 ; ( + )( 3) ; (f) ; 4 (g) ; (h) ; (i) t + t 4 + t ;

173 7 6. Eercícios (j) 3 ( + ). 5. Determine primitiv d função e que tom o vlor pr =. 6. Determine primitiv d função que tom o vlor 5π 4 pr =. 7. Determine primitiv d função (cos()) 3 5 sen 3 () + e que tom o vlor 7 pr = Determine função f tl que f () = ( + ), f () = e f() =. 3 + ( ) 9. () Mostre que, com substituição log = t, o cálculo de P R(log ), onde R design um função rcionl do seu rgumento, pode fzer-se depender do cálculo d primitiv de um função rcionl em t. 4 (b) Primitive f() = [(log ) 3 3 log ].. Sendo g() = cos n ()R(sen()), com n ímpr, onde R design um função rcionl do seu rgumento, mostre que substituição sen() = t permite primitivr g trvés d primitiv de um função rcionl.. Primitive s funções definids pels epressões nlítics seguintes : () sen( ); (b) rc tg(); (c) ; + (d) t + t + t + 3 ; (e) ( + )e ; 3 (f) tg(9); (g) (h) (i) (j) ; ; 9 e + e e e + ; ;

174 6. Primitivção 7 (k) rc tg(5); (l) + ; (m) ; (n) cos 4 (), ; (o) 5 3 ( + 3 ) ; (p) cos() ; (q) 3 e + ; 3 (r) (log + ) ; (s) (t) (u) sen() cos()( + cos ()) ; ; 3 ( + 3) ; (v) ( + ) 3 e ; (w) ; () + ; 3 + (y) (z) t t 4 t 3 + t t + ; tg() + cos().. Mostre por primitivção que: () P [(sen()) n sen((n + ))] = n (sen())n sen(n); (b) P [(cos ) m cos(n)] = m + n [cosm ()sen(n) + mp [cos m () cos((n ))]]. 3. Estbeleç seguinte fórmul de recorrênci : P (tg()) n = (tg())n n P (tg()) n, n.

175 7 6. Eercícios 4. Sej f n () = n + b. Mostre que : P f n () = n + b (n + )b n (n + )b P f n ().

176 6. Integris Integris. Tendo em cont que tod função contínu em [,b] é integrável nesse intervlo, use definição de integrl pr mostrr que se tem : () (b) d = b ; sen() d = cos() cos(b).. Sej f função definid por se Q f() = se Q Mostre que função f() é integrável no intervlo [, ], ms o mesmo não contece com função f(). 3. Clcule os seguintes integris: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) 3 π 4 π 6 e e π 4 π 4 π / π 4 π 3 d; d; sec () d; log d; tg() d; e d; + e ( + cos ()) d; rc sen () d; (sen()) 3 d; tg 3 () sec() d;

177 74 6. Eercícios (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) π π π π π 4 log π 3 4 4/3 3/4 / 4 d; sen() d; (sen() + cos() ) d; sen() cos() d; + d; e d; 3 + cos t dt; t + t + t dt; + 4 d; z z + dz; e 3 + e + e e d; u + u + + u + du. 4. Clcule os seguintes integris: () (b) (c) (d) (e) π e π 4 ( cos() + ) cos() d; cos(log ) d; ( )e d; e sen() d; d;

178 6. Integris 75 (f) (g) π 3 π ( cos(3) sen()) d; [(sen()) n sen((n + ))] d + π [sen(3) cos(5)] d. 5. Sej f um função de clsse C em [, ]. Mostre que: () Se f() = f( ) então (b) Se f() = f( ) então f() d = f() d =. 6. Sejm m e n dois inteiros. Mostre que: π se m n () sen(m)sen(n) d = π se m = n (b) π π sen(n) cos(m) d =. f() d; 7. () Sej f um função contínu e crescente em [, + [. Mostre que: ( )f() < f(t) dt < ( )f(). (b) Utilizndo o resultdo d líne nterior e sendo f(t) = log(t) mostre que e < < (e). 8. Sendo f um função rel definid e diferenciável em [, ], mostre que f ( ) d = 9. Determine s derivds ds funções F definids por : () F () = (b) F () = (c) F () = 3+ kb() () ++ te t dt, no ponto em que = ; f(u) du, k constnte; sen(t) t f() d f(). dt, no ponto em que =.. Considere função f() = e t (t 7 4 ) t dt. Determine:

179 76 6. Eercícios () O seu domínio e equção d rect tngente à linh que é su representção gráfic no ponto em que = /. (b) Os pontos em que função tem etremo reltivo e, em cd ponto, nturez do etremo.. Clcule. Clcule + sen(t 3 ) dt 4. 3t + 5 dt. 3. Sej n um inteiro não negtivo e sej I n = π (sen()) n d. () Mostre que I n+ = n + n + I n. (b) A prtir do resultdo d líne nterior conclu que com k inteiro positivo se tem e π π (sen()) k d = (sen()) k+ d = (c) Usndo substituição = π t, mostre que I n = (k )(k 3)...3 k(k )...4 π π k(k )...4 (k + )(k )...3. (cos()) n d.

180 6. Cálculo de áres Cálculo de áres. Determine áre de cd um dos seguintes domínios: () Domínio itdo pel prábol y = e pel rect y + 5 =. (b) Domínio itdo pels prábols y = e y = 4b + 4b,, b R +. (c) Domínio itdo pels representções gráfics ds funções f() = 3 g() = (4 + ). (d) Domínio itdo pels representções gráfics ds funções f() = e g() = 4. (e) Domínio itdo pels representções gráfics ds funções f() = e g() = e e por = e =. (f) Domínio itdo pels representções gráfics ds funções f() = 3 e g() = sen(π) e [, ]. (g) Domínio itdo pels representções gráfics ds funções f() =, g() =, h() = b,, b R +.. A prábol y = + determin no círculo itdo pel circunferênci + y = 3 dois domínios. Determine áre de cd um deles. e e

181 78 6. Eercícios 6.3 Integris Impróprios. Clcule, se eistir, o vlor de cd um dos seguintes integris impróprios: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) 6 3 e log d d d (4 ) 3 / 3 π/ π/ d d ( 4) 6/5 log(3 t) t dt 3 ( 4 + ) 3/ d d ; R+ d ; ( R+ ) /3 3 4 d cos() d t e t dt. Estude qunto à convergênci os seguintes integris impróprios: () (b) (c) (d) / t t 3 + dt sen() + d log d 5 e 6 d

182 6.3 Integris Impróprios 79 (e) (f) (g) (h) (i) (j) π 3 3 d ( 9) /4 sen() d cos() d log( + ) d e d rctg(t) t dt 3. Estude pormenorizdmente pr que vlores dos prâmetros reis p e q tem sentido cd um dos seguintes integris: () (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) e π/ e p d log () +p d 3 ( ) p d p d p d (cos()) p d ( ) p+ d ( ) p ( + ) q d 4. Sej f um função contínu não negtiv pr > > e suponh que eistem constntes reis M > e K > tis que f() M K, > () Mostre que, nests condições, o integrl impróprio f() d é convergente.

183 8 6. Eercícios (b) Aplique o resultdo d líne nterior pr mostrr que o integrl impróprio + d é convergente Determine um representção nlític d função F () = onde, se g() =, se g(t) dt 6. Determine, se eistir, áre do domínio plno iitdo definido por: () imgem ds funções f() = + e g() = e pelo semi-eio positivo dos ; (b) o eio dos, s rects = e = 5 e representção gráfic d função h() =. 7. Determine, se eistir, áre de cd um dos seguintes domínios plnos iitdos: () S = {(, y) : y e } (b) S = { (, y) : y e /} 8. Eme de Recurso de Análise Mtemátic I (5 Fev 995): () Clcule o vlor do integrl impróprio (b) Estude convergênci do integrl ( + ) ( + ) d d (sen()) /3 9. Eme de chmd de Análise Mtemátic I (3 Fev 995): () Estude, em função do prâmetro rel α, convergênci do integrl α ( + ) d (b) Estude convergênci do integrl d ( ) /3 ( + ) /3. Eme de chmd de Análise Mtemátic I (7 Jn 995): () Clcule o vlor do integrl impróprio π/ cos() sen() d

184 6.3 Integris Impróprios 8 (b) Estude, em função do prâmetro rel α, convergênci do integrl ( ) α α d. Eme de Recurso de Análise Mtemátic I (5 Abr 994): () Clcule áre do domínio plno iitdo definido pelo gráfico d função y = e pelo eio dos. + (b) Estude, em função do prâmetro rel α, convergênci do integrl α ( ) α/ d. Eme de chmd de Análise Mtemátic I ( Fev 994): Indique, justificndo, se são ou não convergentes os seguintes integris () (b) e d log d (Not: N líne (b), pode usr quer um critério de comprção, quer definição). 3. Eme de chmd de Análise Mtemátic I (7 Fev 994): Indique, justificndo, se são ou não convergentes os seguintes integris () (b) e 3 ( ) 3 / 5 + d /5 d 4. Eme de chmd de Análise Mtemátic I (7 Fev 994): Estude, em função do prâmetro rel α, convergênci do integrl ( ) α e d

185 8 6. Eercícios

186 Bibliogrfi [] APOSTOL, T. - Clculus, Blisdell, 967. [] CAMPOS FERREIRA, J. - Introdução à Análise Mtemátic, Fundção Clouste Gulbenkin, 98. [3] ELLIS, R.; GULLICK, D. - Clculus with Anlytic Geometry, 5 edição, Sunders College Publishing, 994. [4] FIGUEIRA, M. - Fundmentos de Análise Infinitesiml, Tetos de Mtemátic, vol. 5, Deprtmento de Mtemátic, Fculdde de Ciêncis d Universidde de Lisbo, 996. [5] HUNT, R. - Clculus, edição, Hrper Collins, 994. [6] LARSON, R.; HOSTETLER, R.; EDWARDS, B. - Clculus with Anlytic Geometry, 5 edição, Heth, 994. [7] SANTOS GUERREIRO, J. - Curso de Análise Mtemátic, Livrri Escolr Editor, 989. [8] SARRICO, C. - Análise Mtemátic, Leiturs e Eercícios, Grdiv, 997. [9] SPIVAK, M. - Clculus, World Student Series Edition, 967. [] STEWART, J. - Clculus, 3 edição, Brooks/Cole Publishing Compny, 995. [] SWOKOWSKI, E. W. - Cálculo com Geometri Anlític, vol., edição, Mkron Books, McGrw-Hill, 994. [] TAYLOR, A.; MANN, R. - Advnced Clculus, edição, Xero College Publishing, 97.

187 Índice Remissivo R, 9 derênci, binómio de Newton, 5 conjunto berto, dos termos d sucessão., 7 fechdo, itdo, mjordo, minordo, contrdomínio, 3 critérios de convergênci, 5 derivd, 37 à direit, 38 à esquerd, 37 de ordem n, 44 segund, 44 derivdo, descontinuidde removível, 8 domínio, 3 de definição, 3 epressão nlític, 3 eterior, etremos, 4 etremos reltivos, 46 fórmul de Leibnitz, 45 fórmul de McLurin, 58 fórmul de Tylor, 58 fecho, fronteir, função, 3 ímpr, 4 bijectiv, 5 contínu, 3 à direit, 3 à esquerd, 3 no conjunto B, 3 crescente, 4 decrescente, 4 diferenciável, 37 estritmente crescente, 4 estritmente decrescente, 4 estritmente monóton, 4 injectiv, 5 itd, 5 monóton, 4 pr, 4 primitivável, 67 prolongável por continuidde, 8 rcionl, 75 rel de vriável rel, 3 sobrejectiv, 5 uniformemente contínu, 3 de clsse C, 44 de clsse C n, 44 de clsse C, 44 derivd, 44 integrável, 98 função Bet, 34 função Gm, 34 função rcionl em p vriáveis, 85 irredutível, 76 gráfico, 3 gru de multiplicidde, 76

188 ÍNDICE REMISSIVO 85 indeterminções, 5 Indução mtemátic, 5 ínfimo, 3 infinitésimo, infinitmente grnde, 8 infinitmente grnde em módulo, 8 Integrção por prtes, 7 por substituição, 7 integrl, 98 impróprio de espécie divergente, 4 impróprio de espécie, 3,, bsolutmente convergente, convergente, 4 simplesmente convergente, impróprio de espécie convergente, 6 impróprio de espécie, 5 7 convergente, 5 divergente, 5, 6 impróprio misto, 3 inferior, 98 superior, 98 interior, ite, 6 à direit, 9 à esquerd, 9 lterl, 9 reltivo, 9 ite inferior, ite máimo, ite mínimo, ite superior, lipschitzin, 34 máimo, 4 locl, 46 reltivo, 46 mínimo, 3, 4 locl, 46 reltivo, 46 mjornte, máimo, 3 minornte, prtição, 95 mis fin, 95 polinómio, 75 em dus vriáveis, 85 em p vriáveis, 85 gru de um, 75 irredutível, 75 redutível, 75 ponto derente, de cumulção, eterior, fronteiro, interior, isoldo, ponto de estcionridde, 6 ponto de infleão, 64 ponto de máimo, 4 ponto de mínimo, 4 primitiv, 67 imedit, 68 primitivção de funções irrcionis, 85 de funções rcionis, 75 por prtes, 7 por substituição, 73 prolongmento, 8 rect cbd, rect tngente, 37 Regr de Brrow, 7 Regr de Cuchy, 5 Regr de l Hospitl, 54 representção nlític, 3 resto de Lgrnge, 58 restrição, 5 som inferior de Drbou, 96 som superior de Drbou, 96 subsucessão, 8

189 86 ÍNDICE REMISSIVO sucessão, 7 convergente, 9 crescente, 7 de Cuchy, decrescente, 7 estritmente crescente, 7 estritmente decrescente, 7 estritmente monóton, 7 fundmentl, itd, 7 itd inferiormente, 7 itd superiormente, 7 monóton, 7 supremo, 3 Teorem de Bolzno, 4 de Cntor, 35 de Cuchy, 5 de Drbou, 48 de Lgrnge, 49 de Rolle, 47 de Tylor, 57 de Weierstrss, 6 d médi, 6 Fundmentl do Cálculo Integrl, 6 termo gerl, 7 vlor principl de Cuchy, 4 vriável dependente, 3 independente, 3 vizinhnç,