Cálculo Infinitesimal. Gabriela Chaves

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1 Cálculo Infinitesiml Gbriel Chves versão de Agosto de

2 ii

3 Índice Índice iii Proprieddes básics dos números. Operções de dição e multiplicção Relção de ordem Princípio de indução Funções (reis de vriável rel) 9. Generliddes sobre funções Som, multiplicção e composição de funções Monotoni, máimos e mínimos Gráficos Limites e continuidde 7. Limites Continuidde Derivds. Motivção e interpretção Definição e proprieddes básics Teorems de Rolle, Lgrnge e Cuchy Resolução de lguns eercícios Integris e Primitivs 7 5. Motivção e interpretção geométric Integris Primitivs Definição e primitivs elementres Primitivção por prtes Primitivção por substituição Primitivção de funções rcionis Resolução de lguns eercícios Integris impróprios Cálculo de comprimentos, volumes e áres de superfície Comprimentos de gráficos Volumes de sólidos de revolução Áres de superfície de sólidos de revolução Polinómios de Tylor 6. Polinómios de Tylor Máimos e mínimos locis Cálculo de vlores proimdos de funções Sucessões e séries 9 7. Sucessões Séries iii

4 iv ÍNDICE 8 Sucessões e séries de funções 9 8. Sucessões de funções Séries de funções Séries de potêncis Curvs em R n 7 A Coordends polres 99 B Funções eponenciis e logritmos C Funções trigonométrics Índice lfbético

5 Cpítulo Proprieddes básics dos números O objectivo deste cpítulo não é construção dos números reis; supõe-se conhecid eistênci destes e fr-se-á pens um resumo ds proprieddes mis importntes ds operções e d relção de ordem.. Operções de dição e multiplicção O conjunto dos números reis R, munido d dição e d multiplicção (designds respectivmente por + e.), verific s seguintes proprieddes:., y, z R ( + y) + z = + (y + z) (ssocitividde d dição). R + = + = ( é elemento neutro pr dição). R R + = + = (eistênci de inverso pr dição)., y R + y = y + (comuttividde d dição) 5., y, z R (.y).z =.(y.z) (ssocitividde d multiplicção) 6., y R.y = y. (comuttividde d multiplicção) 7., y, z R.(y + z) =.y +.z (distributividde d multiplicção reltivmente à dição) 8. R. =. = ( é elemento neutro pr multiplicção) 9. R\{} R. =. = (eistênci de inverso pr multiplicção pr qulquer elemento diferente de ) Por (R, +) stisfzer às proprieddes - diz-se que se trt de um grupo; por stisfzer às proprieddes - diz-se que se trt de um grupo comuttivo. Por (R, +,.) stisfzer às proprieddes -8 diz-se que se trt de um nel comuttivo com elemento unidde; por stisfzer às proprieddes -9 diz-se que se trt de um corpo.. Relção de ordem A relção em R verific s seguintes proprieddes:. R (refleividde)., y, z R ( y e y z) z (trnsitividde)., y R ( y e y ) = y (nti-simetri). R ( y ou y ) 5., y R ( e y) + y 6., y, z R y + z y + z 7., y R ( e y).y

6 CAPÍTULO. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS Observção: As proprieddes - envolvem pens ; 5-6 relcionm e +; 7 relcion e.. Por (R, ) stisfzer às proprieddes - diz-se que se trt de um conjunto totlmente ordendo; por (R, +, ) stisfzer às proprieddes -6 diz-se que se trt de um grupo comuttivo ordendo. Por (R, +,., ) stisfzer às proprieddes -7 diz-se que se trt de um corpo ordendo. { se Definição.. Pr cd R, chm-se vlor bsoluto (ou módulo) de = - se. Proposição..., y R : + y + y.., y R : y y.., y R : y = y.. R :. 5. R, R + :. Demonstrção:. Se e y, então + y e + y = + y, portnto + y = + y. Se e y, então + y, + y = y, + y = y e + y = + y. Se < < y e < y, então + y, + y = + y e + y = + y; or neste cso + y < + y, um vez que <. Anlogmente se trt o cso < < y e > y.. D líne nterior, conclui-se que (= y + y ) y + y y (= y + ) y + = y +. Então y y e y y, portnto y y.. Trivil.. Trivil. 5. Definição.. Sej A R. ( e ) ou ( e ) ou.. Diz-se que A é mjordo (ou limitdo superiormente) sse eiste M R tl que A M. Um número M nests condições diz-se um mjornte de A.. Diz-se que A é minordo (ou limitdo inferiormente) sse eiste m R tl que A m. Um número m nests condições diz-se um minornte de A.. Diz-se que A é limitdo sse eiste l R tl que R l. Observções:. O conjunto dos mjorntes de um conjunto não vzio, A, é minordo (por qulquer elemento de A).. O conjunto dos minorntes de um conjunto não vzio, A, é mjordo (por qulquer elemento de A).. O conjunto A é limitdo sse é mjordo e minordo. Definição.. pertence A.. Chm-se máimo (ou último elemento) de um conjunto A um mjornte de A que. Chm-se mínimo (ou primeiro elemento) de um conjunto A um minornte de A que pertence A. Observções:

7 .. RELAÇÃO DE ORDEM. Um conjunto mjordo pode não ter máimo e um conjunto minordo pode não ter mínimo.. Um conjunto não pode ter mis de um máimo nem mis de um mínimo. Proprieddes de N e Z:. Qulquer prte não vzi de N tem primeiro elemento.. Qulquer prte mjord não vzi de N tem último elemento.. Qulquer prte minord não vzi de Z tem primeiro elemento.. Qulquer prte mjord não vzi de Z tem último elemento. Definição..5 Sej A R.. Diz-se que M é o supremo de A sse M for o mínimo do conjunto dos mjorntes de A. Notção: M = sup A.. Diz-se que m é o ínfimo de A sse m for o máimo do conjunto dos minorntes de A. Notção: m = inf A. Propriedde de R: Qulquer prte mjord de R tem supremo. Observção: Est propriedde de R, ssim como s proprieddes de N e Z mencionds cim, não serão qui demonstrds. Demonstrá-ls só teri sentido no conteto de um construção ou descrição iomátic dos números, o que está pr lem dos objectivos deste curso. Lem..6. Sej A um prte mjord de R e sej M o conjunto dos mjorntes de A. Então o conjunto A = {, A} é minordo e o conjunto dos minorntes de A é M.. Sej A um prte minord de R e sej M o conjunto dos minorntes de A. Então o conjunto A = {, A} é mjordo e o conjunto dos mjorntes de A é M. Demonstrção:. Sej M. Então = em que é um mjornte de A, isto é A. Resumindo, M A, de onde A, isto é, M A, portnto qulquer elemento de M é um minornte de A. Reciprocmente, sej um minornte de A. Então A, de onde A, portnto é um mjornte de A, isto é, M, ou sej, M.. Demonstrção nálog. Proposição..7 Qulquer prte minord de R tem ínfimo. Demonstrção: Sej A um prte minord de R. Então, pelo lem nterior, sbemos que A é mjordo; pel propriedde de R enuncid cim, eiste sup( A), designemo-lo por s. Então s é o mínimo do conjunto M dos mjorntes de A, e é imedito que s é o máimo de M, ms, pelo lem nterior, M é o conjunto dos minorntes de A, logo s é o ínfimo de A. Proposição..8 (trivil) Se sup A A então sup A é o máimo de A; se inf A A então inf A é o mínimo de A. Proposição..9 Sej A um conjunto não vzio e M um mjornte de A. Então M = sup A sse ɛ > A : M ɛ <. Demonstrção:. Suponhmos que M = sup A e sej ɛ >. Por definição de supremo, M ɛ não é um mjornte de A (porque o supremo de A é o menor dos mjorntes de A). Então eiste um elemento de A tl que > M ɛ.. Suponhmos que M é um mjornte de A tl que ɛ > A : M ɛ <. Sej M um número menor do que M e sej ɛ = M M. Tem-se ɛ >, portnto eiste A tl que > M ɛ, ms M ɛ = M, portnto M não é mjornte de A. Conclui-se que nenhum número M menor do que M é mjornte de A, logo M é o supremo de A. Proposição.. Sej A um conjunto não vzio e m um minornte de A. Então m = inf A sse ɛ > A : < m + ɛ. Demonstrção: nálog à nterior

8 CAPÍTULO. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS Proposição... Se B é mjordo (resp. minordo) e A B, então A é mjordo (resp. minordo).. Se A e B são mjordos (resp. minordos) então A B e A B são mjordos (resp. minordos). Demonstrção: trivil. Proposição.. Sejm A e B dois conjuntos limitdos não vzios.. A B inf B inf A sup A sup B. sup(a B) = m{sup A, sup B}. Se A B então sup(a B) min{sup A, sup B}. inf(a B) = min{inf A, inf B} 5. Se A B então inf(a B) m{inf A, inf B} 6. Se A e B forem intervlos e A B então sup(a B) = min{sup A, sup B} e inf(a B) = m{inf A, inf B}. 7. Se A b B b então sup A inf B, e sup A = inf B sse ɛ > A, b B : b < ɛ. Demonstrção:. Sej m um minornte de B. Então b B m b. Como A : B, tem-se A m. Conclui-se que todos os minorntes de B são minorntes de A, logo inf B (que é um minornte de B) é um minornte de A e portnto é menor ou igul do que inf A (que é o mior dos minorntes de A). Mostr-se nlogmente que sup A sup B. É trivil que inf A sup A (porque A, portnto A, e então inf A sup A).. De A A B e B A B conclui-se, pel líne nterior, que sup A sup(a B) e sup B sup(a B), logo m{sup A, sup B} sup(a B). Por outro ldo, m{sup A, sup B} sup A e m{sup A, sup B} sup B, portnto m{sup A, sup B} é um mjornte de A e um mjornte de B, ou sej, é um mjornte de A B e portnto é mior ou igul do que sup(a B).. De A B A e A B B, conclui-se, pel líne., que sup(a B) sup A e sup(a B) sup B, logo sup(a B) min{sup A, sup B}.. Análog à demonstrção de. 5. Análog à demonstrção de. 6. Sejm e os etremos do intervlo A e b e b os etremos do intervlo B. Então sup A =, inf A =, sup B = b e inf B = b. Por outro ldo, A B é um intervlo de etremos m{, b }, min{, b }, portnto inf(a B) = m{, b } e sup(a B) = min{, b }. 7. Sej A. Como b B b, conclui-se que é um minornte de B, logo inf B. Então A inf B, isto é, inf B é um mjornte de A, portnto sup A inf B. Suponhmos que sup A = inf B, sejm α = sup A = inf B e δ >. Por se ter α = sup A, eiste A tl que > α δ; por se ter α = inf B, eiste b B tl que b < α + δ. Então b < δ. Sej gor ɛ > ; plicndo o rciocínio nterior δ = ɛ/, vemos que eistem A, b B tis que b < ɛ. Por outro ldo, se sup A < inf B, então A, b B, tem-se b inf B sup A, portnto, se ɛ < inf B sup A, não eistem A, b B tis que b < ɛ. Proposição.. Se A é tl que, y A : y < l, então eiste um intervlo fechdo, I, de comprimento l, tl que A I. Demonstrção: Sej A; pr todo o A, tem-se < l, logo l < < + l, portnto A é limitdo. Sejm α = inf A, β = sup A e I = [α, β]; tem-se obvimente A I, portnto bst mostrr que β α l. l l l

9 .. RELAÇÃO DE ORDEM 5 Suponhmos que β α > l, e sej ɛ = β α l ; eistem A tl que < α + ɛ e A tl que > β ɛ, isto é, < α+β l e > β+α+l. Ms então > β+α+l α+β l = l, o que contrdiz hipótese sobre A. Conclui-se que β α l. Observção: não eiste necessrimente um intervlo berto I, de comprimento l, tl que A I. Teorem.. (do encie de intervlos) Pr cd n N sej I n = [ n, b n ] um intervlo. Se n N I n+ I n então n N I n. Demonstrção: De I n+ I n conclui-se que se k < l então I l I k e portnto l k e b l b k. Sej A = { i, i N} e B = {b j, j N}, e sejm n N e m N. Se p designr o máimo de {n, m} temos n p b p b m, portnto A y B y. Conclui-se d líne 7 d proposição.. que sup A inf B. É imedito que n N [sup A, inf B] I n, portnto [sup A, inf B] n N I n. Eemplos. A =], [ {mjorntes de A} = [, + [; {minorntes de A} =], ] sup A = ; inf A = ; A não tem máimo nem mínimo.. A = {} ] 5, [ {mjorntes de A} = [, + [; {minorntes de A} =], ] sup A = ; inf A = ; A não tem máimo; min A =.. A = { n n ; n N} {mjorntes de A} = [, + [; {minorntes de A} =], ] sup A = ; inf A = ; m A = ; A não tem mínimo.. A = { Q : } {mjorntes de A} = [, + [; {minorntes de A} =], ] sup A = ; inf A = ; A não tem máimo nem mínimo. 5. A = { R \ Q : } {mjorntes de A} = [, + [; {minorntes de A} =], ] sup A = ; inf A = ; m A = ; min A = 6. A = {5} {mjorntes de A} = [5, + [; {minorntes de A} =], 5] sup A = 5; inf A = 5; m A = 5; min A = 5 Observção: A R : inf A = sup A A é constituido por um único elemento. 7. A = {, }; B = [, ] m A = sup A = ; m B = sup B = min A = inf A = ; min B = inf B = Neste cso, A B, A B e sup A = sup B, inf A = inf B. 8. A = {,, }; B =], 5] m A = sup A = ; m B = sup B = 5 min A = inf A = ; inf B = ; B não tem mínimo Neste cso, A B, A B e sup A < sup B, inf A > inf B. 9. A = [, [ {6}; B = [, [ {} m A = sup A = 6; m B = sup B = min A = inf A = ; min B = inf B = A B = [, [; sup(a B) = ; min(a B) = inf(a B) = ; A B não tem máimo Neste cso sup(a B) < min{sup A, sup B}; inf(a B) = m{inf A, inf B}.

10 6 CAPÍTULO. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS. A = { n, n N}; B = { n, n N} m A = sup A = ; sup B = ; B não tem máimo A não tem mínimo; inf A = ; min B = inf B = A B = { }; m(a B) = sup(a B) = min(a B) = inf(a B) = Neste cso sup(a B) < min{sup A, sup B}; inf(a B) > m{inf A, inf B}.. A = [, ]; B = {} m A = sup A = ; m B = sup B = min A = inf A = ; min B = inf B = Neste cso A b B : < b e sup A < inf B. A = {, }; B = { + n, n N} m A = sup A = ; m B = sup B = ; min A = inf A = ; inf B = ; B não tem mínimo Neste cso A b B : < b e sup A = inf B. Princípio de indução Sej A um conjunto de números nturis tl que A e n N (n A n + A). Então A = N. Eemplos de demonstrção por indução. n N : = n+ n. n+ Demonstrção: Sej A = {n N; n = n+. n } Tem-se A porque + = 9.. Suponhmos que m A, isto é, que m = k+. m. Então isto é, m + A. De A e m A m + A conclui-se que A = N.. n N : k= m + m+ = m+. m + m+ n Ck n = n, em que Ck n = ( n n! k) = k!(n k)!. = (m+ ). +. m+ = m+ +. m+ = m+. m+ Demonstrção: Comecemos por verificr que k {,,..., n} se tem C n+ k C n k + C n k = Sej gor A = {n N : n k= Cn k = n }. Tem-se A, porque C + C = + =. = = n! k!(n k)! + n! (k )!(n k + )! n!(n + k) + n!k k!(n + k)! n!(n + ) k!(n + k)! = C n+ k = Ck n + Cn k. Com efeito, tem-se

11 .. PRINCÍPIO DE INDUÇÃO 7 Suponhmos que m A, isto é, que m k= Cm k = m. Então m+ k= C m+ k = C m+ + m k= C m+ k + Cm+ m+ ( m ) = + (Ck m + Ck ) m + k= m m = C m + Ck m + Ck m + Cm m = k= k= m m Ck m + k= C m k k= = m + m porque m A = m+ De A e m A m + A conclui-se que A = N.. Sej ( n ) n sucessão definid por Então n N : n <. { = n+ = n n > Demonstrção: Sej A = {n N : n < }. Tem-se A porque = <. Suponhmos que m A, isto é, que m <. É fácil ver que n N : n >, portnto de m < conclui-se que m <, logo m/ <, isto é, m+ <. Portnto m + A. Conclui-se que A = N.. n N : n(n + 5) é múltiplo de 6. Demonstrção: Sej A = {n N; n(n + 5) é múltiplo de 6}. Tem-se A porque.( + 5) = 6, e 6 é múltiplo de 6. Suponhmos que m A, isto é, que m(m +5) é múltiplo de 6, ou sej, que eiste k N tl que m(m +5) = 6k. Então (m + )((m + ) + 5) = m((m + ) + 5) + (m + ) + 5 = m(m m + ) + m + m + 6 = m(m + 5) + m + m + 6 = 6k + m(m + ) + 6 = 6(k + ) + m(m + ). Ms m(m + ) é pr (porque m é pr ou m é ímpr e neste cso m + é pr), portnto m(m + ) é múltiplo de 6. Tem-se então que (m + )((m + ) + 5) é som de dois múltiplos de 6, portnto é múltiplo de 6, isto é, m + A. Conclui-se que A = N. 5. n N : n < n! Demonstrção: Sej A = {n N : n < n!}. Tem-se A porque = < =.!. Suponhmos que m A, isto é, que m < m!. Então m+ =. m <.m! (n + ).m! = (m + )!, isto é, m + A. Conclui-se que A = N. Eemplos de subconjuntos de R que verificm A e R ( A + A) e tis que A R N, Z, Q, N (R \ Q), [, + [, ], + [, { R : 6 Z}, n N [n, n + [

12 8 CAPÍTULO. PROPRIEDADES BÁSICAS DOS NÚMEROS

13 Cpítulo Funções (reis de vriável rel) O objectivo principl deste curso é o estudo de funções reis de vriável rel, isto é, em que o domínio e o conjunto de chegd são prtes de R. No entnto, um grnde prte ds noções e resultdos vistos neste cpítulo plicm-se funções definids em quisquer conjuntos.. Generliddes sobre funções Sej f : A B um função de domínio A e conjunto de chegd B ( não confundir com contrdomínio). Definição.. Chm-se contrdomínio de f o conjunto ds imgens por f de elementos de A, isto é, {f(); A}, ou ind {b B; A : f() = b}. Notção: f(a) ou Im(f). Definição... Diz-se que f é sobrejectiv sse f(a) = B, isto é, sse b B A : f() = b.. Diz-se que f é injectiv sse elementos distintos de A têm sempre imgens distints, isto é, sse, A : f( ) = f( ) =.. Diz-se que f é bijectiv sse f é sobrejectiv e injectiv, isto é, sse b B A : f() = b. Eemplos:. f: R R + 5 f é bijectiv porque pr cd y R, portnto eiste um único R tl que f() = y.. f: ], [ [, + [ R + 5 f() = y + 5 = y = y 5, f não é sobrejectiv, um vez que, por eemplo, não eiste ], [ [, + [ tl que f() = 7. f é injectiv, pois f( ) = f( ) + 5 = + 5 =.. f: R R 6 + f não é injectiv, pois f() = f() =. f(r) = [ 5, + [ Se y < 5, não eiste R tl que 6 + = y (porque 6 ( y) < ). f( + y + 5) = f( y + 5) = y, portnto y f(r). Observções:. f não é sobrejectiv Se y 5 então. Se y = 5 eiste um único R tl que f() = y; trt-se de =. Se y > 5 eistem dus soluções d equção f() = y, pois + y + 5 y

14 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL). f: ], + [ [ 5, + [ 6 + f é injectiv. De fcto, suponhmos que f( ) = f( ) = y. Então = + y + 5 ou = y + 5 e = + y + 5 ou = y + 5. Ms ], + [, ], + [ e y + 5. Logo = = + y + 5. f(], + [) =], + [ Demonstrção: Se y >, então + y + 5 > e f( + y + 5) = y, portnto y f(], + [). Se y, então não eiste ], + [ tl que f() = y, porque ou y < 5, cso em que já vimos não eistir R tl que 6 + = y, ou 5 y, cso em que s soluções em R de 6 + = y são + y + 5 e y + 5, ms + y + 5 e y f: ], + [ [ 5, + [ 6 + f não é injectiv, porque f( 5 ) = f( 7 ) = 9. f é sobrejectiv, porque pr y [ 5, + [ eiste ], + [ tl que f() = y. Bst tomr = + y f: [, ] [, ] 6 + f é bijectiv. Demonstrção: Sej y [, ]. A equção 6 + = y tem como soluções reis = + y + 5 e = y + 5. Or + y + 5 [, ] e y + 5 [, ], portnto equção f() = y tem um e um só solução. Definição... Sej f : A B e A A. Chm-se restrição de f A à função f A : A B. f(). Sej f : A B e A A. Diz-se que g : A B é um prolongmento de f A sse A : g() = f() (isto é, se f = g A ). Observção: Em gerl eiste mis de um prolongmento de f A. Eemplo : f: [, ] R, g : R R, g : R R, se [, ], se, se g : [, ] { R, g : R R, se, se [, ], se, se, se > g, g, g e g são prolongmentos de f. f é restrição [, ] de g, de g, de g e de g., Definição.. Sejm f : A B, A A, B B.. Chm-se imgem de A por f o contrdomínio de f A (={f(); A } = {b B; A : f( ) = b}) Notção: f(a ). Chm-se imgem recíproc de B por f o conjunto { A : f() B }. Notção: f (B ). Observção: f (B) = A. Eemplos:. f: R R f(r) = f({}) = f([, ]) = f(q) = {} Qulquer que sej A R, A, tem-se f(a ) = {}. f ({}) = f ([ 5, [) = f ({π}) = f ({} {}) = f ({}) = f (Q) = f (R) = f ([, ]) = f (], ]) = R { f Pr cd B R tem-se (B ) = R, se B f (B ) =, se B

15 .. GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES. f: ], [ R f([, ]) = [, ]; f(q ], [) = Q ] 5, 5[; f({5}) = { 5 } f (], [) =]6, 8[; f (], + [) =], [; f (], 7]) =]6, [; f ([ 8, ]) =], ]. f: R R 8 f(], 6[) = [ 6, [; f(r) = [ 6, + [;f([, + [) = [ 6, + [; f({,, 5, 8}) = { 5, } f ({}) = {, 8}; f ({ 7}) = {, 7}; f (], 6]) = {}; f (R + ) =], [ ]8, + [;f (R ) =], 8[. f: R R +, se < 5, se [ 5, ], se > f(r) =], [ [, + [; f(], [) = [, [ ], + [; f([ 6, ]) = [, [ [, 5]; f({-,})={} f (], ]) =], 5[ [, ] [, + [; f ([, ]) = [, ] [, + [;f ({}) = {, }; f (], [) = 5. id A : A A (função identidde em A) A A : id A (A ) = A A A : id A (A ) = A 6. Sej A R. χ A : R R χ A (A ) = χ A (B ) = { se A se A {} se A A {} se A A = {, } se A A e A A R se {, } B A se B, B R \ A se B, B se B, B Proposição..5 Sej f : A B. (função crcterístic de A). Qulquer que sej A A tem-se A f (f(a )).. f é injectiv sse A A : A = f (f(a )).. Qulquer que sej B B tem-se f(f (B )) B.. f é sobrejectiv sse B B : f(f (B )) = B. 5. A A f(a ) f(a ) 6. B B f (B ) f (B ) Demonstrção:. Sej A A. Se A, então, por definição de f(a ) tem-se f() f(a ). Ms, por definição de f (f(a )), isso quer dizer que f (f(a )).. Suponhmos que f é injectiv e sej A A. Pel líne nterior, tem-se A f (f(a )). Sej f (f(a )), isto é f() f(a ). Então eiste A tl que f() = f(), por definição de f(a ). Ms f é injectiv, portnto =, isto é, A. Suponhmos gor que A A : A = f (f(a )). Sejm, A tis que f( ) = f( ) e ponhmos X = { }. Tem-se X = f (f(x )); ms f( ) = f( ) f(x ), portnto f (f(x )) = X = { }, isto é, =.

16 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL). Sejm B B e y f(f (B )). Então eiste f (B ) tl que y = f(); ms f (B ), logo f() B, isto é, y B.. Suponhmos que f é sobrejectiv. Sej B B. Pel líne nterior, tem-se f(f (B )) B. Sej y B. Como f é sobrejectiv, eiste A tl que f() = y. Ms y = f() B, isto é, f (B ), portnto y f(f (B )). Suponhmos gor que B B : f(f (B )) = B. Sej y B. Então f(f ({y})) = {y}, isto é, por definição de f(f ({y})) eiste f ({y}) tl que f() = y. 5. trivil 6. trivil Proposição..6 Sej f : A B.. A, A A : f(a A ) = f(a ) f(a ). A, A A : f(a A ) f(a ) f(a ). B, B B : f (B B ) = f (B ) f (B ). B, B B : f (B B ) = f (B ) f (B ) Demonstrção:. De A A A e A A A conclui-se que f(a ) f(a A ) e f(a ) f(a A ). Então f(a ) f(a ) f(a A ). Por outro ldo, se y f(a ) (resp. f(a )) então eiste A (resp. A ) tl que f() = y; ms tem-se A (resp. A ) A A, portnto A A, logo y f(a A ).. De A A A e A A A conclui-se que f(a A ) f(a ) e f(a A ) f(a ), portnto f(a A ) f(a ) f(a ). Dizer que f (B B ) é equivlente dizer que f() B B, o que é equivlente dizer que f() B ou f() B, o que é equivlente dizer que f (B ) ou f (B ), o que é equivlente dizer que f (B ) f (B ).. nálog à nterior. Eemplos:. f: R R + f (f({})) = {} f (f({})) = f ({}) = {, } {} f (f([, ])) = f ([, 8]) = [, ] [, ] f(f ({})) = {} f(f (R)) = f(r) = [, + [ R f(f ({})) = f( ) = {}. f: R R A = [, + [; A =], ]; A A = {} f(a ) = f(a ) = [, + [; f(a A ) = {} [, + [= f(a ) f(a ) A = {, }; A = {, }; A A = {} f(a ) = {, }; f(a ) = {, 9}; f(a A ) = {} = f(a ) f(a )

17 .. GENERALIDADES SOBRE FUNÇÕES. f: R \ {} R A = {}; A = {, }; f(a ) = {}; f(a ) = {, }; A = {}; A = {, }; f(a ) = {}; f(a ) = {}; Neste cso A A, A A e f(a ) = f(a ). Definição..7 Sej f : R R. Diz-se que f é pr sse R : f( ) = f().. Diz-se que f é ímpr sse R : f( ) = f().. Diz-se que f é periódic sse eiste p R \ {} tl que R : f( + p) = f(); (*) um número p R que verific condição (*) diz-se um período de f. Observções:. Se f é ímpr, então f() =.. Se f é pr e ímpr, então f é função nul.. Se p é um período de f, então n Z, np tmbem é um período de f.. Se f é periódic, contínu (ver cpítulo ) e não constnte, o conjunto {p R + ; p é um período de f} tem mínimo; em gerl, epressão o período def refere-se este mínimo do conjunto dos períodos positivos de f. Eemplos:. f: R R n, n N f é pr se n for pr; f é ímpr se n for ímpr.. f: R R f é ímpr.. f: R R 5 f nem é pr nem ímpr.. f: R R [] f é periódic; o período de f é. 5. f: R { R se Q se Q f é periódic; qulquer número rcionl diferente de é um período de f. 6. f: R R sen f é ímpr; f é periódic; o período de f é π. 7. f: R R cos(5 + ) f é periódic; o período de f é π f: R R sen cos(6 ) f é periódic; o período de f é π.

18 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL). Som, multiplicção e composição de funções Dds dus funções f, g : A B, design-se por f + g função A B f() + g() e por f.g função A B Se g nunc se nulr design-se por f função A B f().g() g f() g() Sej f : A B e g : B C. Define-se compost g f : A C por g f() = g(f()). Eemplos:. f: R { R, se >, se f + g: R R +, se < +, se +, se <. f: R { R, se, se > g(f()) = = g: R { R, se, se < { f(), se f() f() +, se f() < = f.g: R R ( ), se < ( ), se, se < g: R { R, se +, se <, se e ( ), se > e +, se e < ( ) +, se > e < g f: R R, se ], ] ( ), se [, + [ +, se ], ] + 6, se ], [ Proposição.. Sejm f : A B e g : B C.. Se f é injectiv e g é injectiv então g f é injectiv.. Se f é sobrejectiv e g é sobrejectiv então g f é sobrejectiv.. Se g f é injectiv e f é sobrejectiv então g é injectiv.. Se g f é sobrejectiv e g é injectiv então f é sobrejectiv. 5. Se g f é injectiv então f é injectiv. 6. Se g f é sobrejectiv então g é sobrejectiv. Demonstrção:, se e f() ( ), se > e f() +, se e f() < ( ) +, se > e f() < =, se ], ] ( ), se [, + [ +, se ], ] + 6, se ], [. Sejm, A tis que (g f)( ) = (g f)( ), isto é, g(f( )) = g(f( )). Como g é injectiv conclui-se que f( ) = f( ); ms f é injectiv, portnto isso implic que =.. Sej z C. Como g é sobrejectiv, eiste y B tl que g(y) = z; como f é sobrejectiv, eiste A tl que f() = y. Ms então (g f)() = g(f()) = g(y) = z.. Sejm y, y B tis que g(y ) = g(y ). Como f é sobrejectiv, eistem, A tis que f( ) = y e f( ) = y. Então (g f)( ) = g(y ) = g(y ) = (g f)( ), e de g f ser injectiv deduz-se que =, portnto y = y.. Sej y B e sej z = g(y). Como g f é sobrejectiv, eiste A tl que (g f)() = z = g(y). Ms como g é injectiv tem-se então f() = y.

19 .. SOMA, MULTIPLICAÇÃO E COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 5 5. Sejm, tis que f( ) = f( ). Então (g f)( ) = (g f)( ); ms g f é injectiv, portnto =. 6. Sej z C. Como g f é sobrejectiv, eiste A tl que (g f)() = z. Então z = g(y), em que y = f(). Eemplos:. f: R { R, se +, se > g f: R { R ( ), se ( + ), se > ; g: R R Neste cso g f é injectiv, f é injectiv ms g não é injectiv.. f: ], ] R ; g: R R + + g f: ], ] R + Neste cso g f é sobrejectiv, g é sobrejectiv ms f não é sobrejectiv.. f: [, ] [ 5, 5] g f: [, ] [ 5, 5] ; g: [ 5, 5] [ 5, 5] Neste cso g é sobrejectiv ms g f não é sobrejectiv.. f: ], [ R + g f: ], [ R ; g: R + R Neste cso g é injectiv ms g f não é injectiv. Definição.. Sej f : A B.. Diz-se que g : B A é invers à direit de f sse f g = id B.. Diz-se que g : B A é invers à esquerd de f sse g f = id A.. Diz-se que g é invers de f sse g é invers à direit e invers à esquerd de f. Notção: f Eemplos:. f: R R ; f : R R. f: R R + ; g : R + R g : R + R ; g : R + { R, se Q, se Q g, g e g são inverss à direit de f; nenhum é invers à esquerd de f; f não tem invers à esquerd.. f: ], ] R g : R { ], ] +, se, se < ; g : R { ], ] +, se, se < g e g são inverss à esquerd de f; nenhum è invers à direit de f; f não tem invers à direit.

20 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL). f: R ], 5[ + se + se ], ] + se > ; f : ], 5[ R se se ], [ se [, 5[ Observção: f não pode ter mis do que um invers. De fcto, se g e g são inverss de f, tem-se Proposição.. Sej f : A B.. f tem invers à direit sse f é sobrejectiv.. f tem invers à esquerd sse f é injectiv.. f tem invers sse f é bijectiv Demonstrção: g = g (f g ) = (g f) g = g.. Suponhmos que g é invers à direit de f; então f g = id B é sobrejectiv, logo f é sobrejectiv. Por outro ldo, se f é sobrejectiv, pr cd B escolh-se um elemento de f ({}) (f ({}) não é vzio porque f é sobrejectiv); sej g função definid por g: B A Então B : f(g()) =, isto é, g é um invers à direit de f. Observção: g não é necessrimente determind por f, um vez que pr cd B se pode escolher como g() qulquer dos elementos de f ({}) e este conjunto pode ter mis de um elemento.. Suponhmos que g é um invers à esquerd de f; então g f = id A é injectiv, logo f é injectiv. Por outro ldo, se f é injectiv, sej um elemento qulquer de A e sej g função definid por g : B { A o único elemento A tl que f() =, se f(a), se f(a) Sej A e b = f(). Então g(f()) = g(b) e g(b) é o único elemento de A tl que f( ) = b; or f() = b, portnto =. Conclui-se que g f() =, isto é, g é um invers à esquerd de f. Observção: g não é necessrimente determind por f, um vez que s imgens por g de elementos que não pertencem o contrdomínio de f não interferem com o fcto de g ser ou não invers à esquerd de f.. Do que foi visto em. e. conclui-se que se f tem invers então f é bijectiv. Suponhmos que f é bijectiv e sej g função definid por g: B A o único elemento de A tl que f() = b Então é fácil verificr que g é invers de f. Observção: Se f : A B é um função injectiv, então função f: A f(a) f() invers. Por buso de notção design-se frequentemente por f função f : f(a) A.. Monotoni, máimos e mínimos Definição.. Sej f : A B.. Diz-se que f é crescente sse, A : < f( ) f( ).. Diz-se que f é estritmente crescente sse, A : < f( ) < f( ).. Diz-se que f é decrescente sse, A : < f( ) f( ).. Diz-se que f é estritmente decrescente sse, A : < f( ) > f( ). 5. Diz-se que f é monóton sse f é crescente ou decrescente. é bijectiv e portnto tem 6. Diz-se que f é estritmente monóton sse f é estritmente crescente ou estritmente decrescente.

21 .. MONOTONIA, MÁXIMOS E MÍNIMOS 7 Observção: f é monóton não é equivlente, A : (f( ) f( ) ou f( ) f( )). Eemplos:. f: R R + 5 f é estritmente crescente, crescente, estritmente monóton e monóton.. f: R R f é estritmente decrescente, etc.. f: R { R, se, se = f não é crescente (por eemplo < e f() > f()). f não é decrescente (por eemplo < e f( ) < f()).. f: R { R, se < +, se f é crescente ms não estritmente crescente. Proposição.. Se f : A B é um função bijectiv estritmente crescente (resp. estritmente decrescente) então f : B A tmbem é estritmente crescente (resp. estritmente decrescente). Demonstrção: Sej f : A B um função bijectiv estritmente crescente e sejm y, y B tis que y < y ; queremos mostrr que f (y ) < f (y ). Como f é bijectiv, não se pode ter f (y ) = f (y ). Por outro ldo, se f (y ) > f (y ), como f é estritmente crescente, ter-se-i f(f (y )) > f(f (y )), isto é, y > y, o que é contrário à hipótese. Conclui-se que f (y ) < f (y ). Demonstr-se nlogmente o cso em que f é estritmente decrescente. Definição.. Se A A diz-se que f é crescente (resp. estritmente crescente, decrescente, estritmente decrescente) em A sse f A é crescente (resp. estritmente crescente, decrescente, estritmente decrescente). Observção: De f ser crescente (resp. estritmente crescente, decrescente, estritmente decrescente) em A e em A não se pode concluir que f é crescente (resp. estritmente crescente, decrescente, estritmente decrescente) em A A. Eemplo: f: R { R, se, se = f é decrescente em ], [ e em ], + [ e não é decrescente em ], [ ], + [. Definição.. Sej f : A B.. Diz-se que f é limitd sse f(a) é limitdo (isto é, sse l R A : f() l).. Diz-se que f é mjord sse f(a) é mjordo (isto é, sse M R A : f() M).. Diz-se que f é minord sse f(a) é minordo (isto é, sse m R A : f() m).. Chm-se m(f) o máimo de f(a) (cso eist). 5. Chm-se min(f) o mínimo de f(a) (cso eist). 6. Chm-se sup(f) o supremo de f(a) (cso eist). 7. Chm-se inf(f) o ínfimo de f(a) (cso eist). 8. Diz-se que f tem um máimo globl em sse f() = m(f) (isto é A : f() f()). 9. Diz-se que f tem um mínimo globl em sse f() = min(f) (isto é A : f() f()).

22 8 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL). Diz-se que f tem um máimo estrito globl em sse f() = m(f) e A, : f() < f().. Diz-se que f tem um mínimo estrito globl em sse f() = m(f) e A, : f() > f().. Diz-se que f tem um máimo locl em sse eiste lgum intervlo berto I contendo tl que f I A tenh um máimo globl em.. Diz-se que f tem um mínimo locl em sse eiste lgum intervlo berto I contendo tl que f I A tenh um mínimo globl em.. Diz-se que f tem um máimo estrito locl em sse eiste lgum intervlo berto I contendo tl que f I A tenh um máimo estrito globl em. 5. Diz-se que f tem um mínimo estrito locl em sse eiste lgum intervlo berto I contendo tl que f I A tenh um mínimo estrito globl em. Proposição..5 Se f, g : A R são funções mjords (resp. minords), então f + g é mjord (resp. minord) e sup(f + g) sup(f) + sup(g) (resp. inf(f + g) inf(f) + inf(g)). Demonstrção: Suponhmos f e g mjords. Tem-se A : f() sup(f) e g() sup(g). Então (f + g)()(= f() + g()) sup(f) + sup(g), logo f + g é mjord por sup(f) + sup(g), portnto sup(f + g) sup(f) + sup(g). A demonstrção é nálog pr o ínfimo. Eemplos:. f: R R + f não é mjord; f é minord; min(f) = ; f tem um mínimo estrito globl em.. f: R R sen f é limitd; m(f) = ; min(f) = ; pr cd k Z, f tem um máimo globl (e um máimo estrito locl) em kπ + π ; f tem um mínimo globl (e um mínimo estrito locl) em kπ π ; f não tem máimo estrito globl nem mínimo estrito globl em nenhum ponto.. f: R { R, se, se f não é minord; f é mjord; m(f)=; pr cd f tem um máimo globl em ; f não tem máimo estrito globl nem locl em nenhum ponto; pr cd < f tem um mínimo locl em.. f: R R f não é mjord nem minord; f tem um máimo estrito locl em e um mínimo estrito locl em. 5. f: [, 5] R f é limitd; m(f) = 5; min(f) = ; f tem um máimo estrito globl em 5 e um mínimo estrito globl em. 6. f: R { R, se < +, se f não é mjord; f é minord; f não tem mínimo; inf(f)=. 7. f: [, ] R, g: [, ] R, f + g: [, ] R inf(f) + inf(g) = < = inf(f + g); sup(f + g) = < = sup(f) + sup(g). Definição..6 Sej f : A B e A.

23 .. MONOTONIA, MÁXIMOS E MÍNIMOS 9. Diz-se que f é crescente em sse eiste um intervlo berto I contendo tl que { I A, > f() f() I A, < f() f(). Diz-se que f é decrescente em sse eiste um intervlo berto I contendo tl que { I A, > f() f() I A, < f() f(). Diz-se que f é estritmente crescente em sse eiste um intervlo berto I contendo tl que { I A, > f() > f() I A, < f() < f(). Diz-se que f é estritmente decrescente em sse eiste um intervlo berto I contendo tl que { I A, > f() < f() I A, < f() > f() Observções:. f ser crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em não é equivlente f ser crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em {}; f é sempre crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em {}.. Se f é crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) num intervlo berto, então é crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em qulquer ponto desse intervlo, ms f pode ser crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) num ponto e não ser crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em nenhum intervlo berto contendo. Eemplos:. f: R R, se Q e >, se Q e >, se =, se Q e <, se Q e < f é estritmente decrescente em e no entnto não eiste nenhum intervlo berto I contendo tl que f sej decrescente em I; f não é decrescente em nenhum outro ponto de R.. f: R { R + sen, se, se = f é contínu (ver cpítulo ) e estritmente crescente em ms não eiste nenhum intervlo berto I contendo tl que f sej crescente em I. Proposição..7 Sej f : [, b] R.. f é crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em sse f tem um mínimo (resp. máimo, mínimo estrito, máimo estrito) locl em.. f é crescente (resp. decrescente, estritmente crescente, estritmente decrescente) em b sse f tem um máimo (resp. mínimo, máimo estrito, mínimo estrito) locl em b. Demonstrção: Se f é crescente em eiste um intervlo berto I =] δ, + δ[ tl que { > f() f() I [, b] < f() f() Ms I [, b] = [, + δ[, portnto I [, b] : f() f(), logo f tem um mínimo locl em.

24 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL) Reciprocmente, se f tem um mínimo locl em, então eiste um intervlo berto I =] δ, + δ[ tl que I [, b] : f() f(). Ms I [, b] = [, + δ[, portnto { > f() f() I [, b] < f() f() de onde se conclui que f é crescente em. Os outros csos demonstrm-se de mneir nálog.. Gráficos Ddos dois conjuntos não vzios A e B, define-se o produto crtesino A B por Sej f : A B. A B = {(, b); A, b B}. Definição.. O gráfico de f é o subconjunto de A B Gr(f) = {(, f()); A} = {(, b) A B; b = f()}. Sej X A B. Dizer que X é o gráfico de lgum função f : A B, equivle dizer que qulquer rect verticl (isto é, qulquer conjunto Y = {(, y); y B}, X) intersect X num e num só ponto. Se f : A B e A, então {(, y); y B} Gr(f) = {(, y); y = f()} = {(, f())}. Portnto qulquer rect verticl intersect Gr(f) num único ponto. Supondo gor que X A B e que qulquer rect verticl intersect X num único ponto, sej f função definid por f: A B. Então Gr(f) = X. o único ponto b de B tl que (, b) X Proposição... f é sobrejectiv sse qulquer rect horizontl (isto é, qulquer conjunto X b = {(, b); A}, b Y ) intersectr Gr(f).. f é injectiv sse nenhum rect horizontl intersectr Gr(f) em mis do que um ponto.. f é bijectiv sse qulquer rect horizontl intersectr Gr(f) num único ponto. Demonstrção:. f é sobrejectiv sse b B A : f() = b, isto é, sse b B A : (, b) Gr(f), isto é, sse qulquer rect horizontl intersect Gr(f).. f é injectiv sse, A : f( ) = f( ) =, isto é, sse, A, y B : (, y) Gr(f) e (, y) Gr(f) =, ou ind, sse y B : {(, y); A} Gr(f) não tem mis de um elemento, o que contece sse qulquer rect horizontl intersect Gr(f) no máimo num ponto.. consequênci trivil de. e. Se A e B são dois conjuntos não vzios, chm-se projecção de A B em A (resp. de A B em B) à função p : A B A (resp. p : A B B ). (, y) (, y) y Proposição.. Sej f : A B, A A, B B.. f(a ) é projecção sobre B de Gr(f) (A B).. f (B ) é projecção sobre A de Gr(f) (A B ). Demonstrção:. Se y f(a ) então eiste A tl que f() = y, portnto (, y) Gr(f) (A B), ou sej, y pertence à projecção sobre B de Gr(f) (A B). Reciprocmente, se y pertence à projecção sobre B de Gr(f) (A B), então eiste um A tl que (, y) Gr(f) (A B). De (, y) A B conclui-se que A, e de (, y) Gr(f) conclui-se que y = f(), logo y f(a ).

25 .. GRÁFICOS. Se f (B ), então f() B, portnto (, f()) Gr(f) (A B ), ou sej, pertence à projecção sobre A de Gr(f) (A B ). Reciprocmente, se pertence à projecção sobre A de Gr(f) (A B ), então eiste y B tl que (, y) Gr(f) (A B ). De (, y) A B conclui-se que y B, e de (, y) Gr(f) conclui-se que y = f(), logo f() B, isto é, f (B ). Proposição... f é pr sse o gráfico de f é simétrico em relção o eio dos yy.. f é ímpr sse o gráfico de f é simétrico em relção à origem. Demonstrção:. f é pr sse R : f( ) = f(), isto é, sse R : (, y) Gr(f) (, y) Gr(f), ms isto quer dizer que o gráfico de f é simétrico em relção o eio dos yy.. f é ímpr sse R : f( ) = f(), isto é, sse R : (, y) Gr(f) (, y) Gr(f), ms isto quer dizer que o gráfico de f é simétrico em relção à origem. Proposição..5 Sej f : A B um função bijectiv. Então o gráfico de f : B A é o simétrico do gráfico de f reltivmente à rect de equção y =. Demonstrção: Tem-se (, b) Gr(f) b = f() f (b) = (b, ) Gr(f ) Or (, b) e (b, ) são pontos simétricos em relção à rect de equção y =, de onde se conclui que os pontos do gráfico de f são os simétricos dos pontos do gráfico de f reltivmente à rect de equção y =. Eemplos:. f: [, 7] R 6 + ; g: [, ] R + f g f: [, ] R ; g : [, 6] { R se se < g e g são prolongmentos de f; f é restrição de g e de g. ; g : [, 6] R se [, ] se se >

26 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL) f g g f : [, ] R [] ; f : [, ] R cos(5 + ) ; f : [, ] R sen cos(6 ) f, f e f são periódics; os respectivos períodos são, π/5 e π f f f: [, ] R / + f é pr; g é ímpr. ; g: [, ] R f 6.5 g f: [, 6] { R se se > ; g: [, 6] { R se + se < ; g f: [, 6] R se [, ] 6 se ], ] + se < + 6 se

27 .. GRÁFICOS 8 f g gof f: [, ] [, 6] ; g : [, 6] [, ] ; g : [, 6] { [, ] se [] pr se [] ímpr g e g são inverss à direit de f. f 5.5 g g f: [, ] [ 6, 5] ; g : [ 6, 5] { [, ] + se se < ; g : [ 6, 5] { [, ] + se se < g e g são inverss à esquerd de f. f g g f: [, + [ [, 5[ + se [, ] + se ], ] + se > ; f : [, 5[ [, + [ se [, ] se ], [ se [, 5[

28 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL) f 6 - f f: [ 6π, 6π] { R + sen se se = f Os eemplos seguintes mostrm csos em que f (f(c)) C e f(f (D)) D. D - f( f (D)) f(c) C - f (f(c)) - f (D) Observções:. Dd um função f : A R e R, o gráfico d função g: { : A} R é o trnsltdo f( ) do gráfico de f de uniddes n horizontl (pr direit se >, pr esquerd se < ).

29 .. GRÁFICOS 5. Dd um função f : A R e R, o gráfico d função g: A R f() + de f de uniddes n verticl (pr cim se >, pr bio se < ). é o trnsltdo do gráfico Eemplo f: R R ; f : R R ( ) ; f : R R ; f : R R (+) + ; f f f f

30 6 CAPÍTULO. FUNÇÕES (REAIS DE VARIÁVEL REAL)

31 Cpítulo Limites e continuidde. Limites As figurs seguintes mostrm gráficos de funções que ilustrm o significdo geométrico d eistênci de lim f(). f() f f f l l f() f() l f f5 f5() Tem-se lim f () = l f(); lim f () = l ; lim f () = l ; não eiste lim f (); lim f () = f (); não eiste + lim f () nem lim f (); lim f 5 () = f 5 (). + Definição... Diz-se que é um ponto de cumulção (resp. ponto de cumulção à direit, ponto de cumulção à esquerd) de um conjunto A sse pr qulquer δ > eiste ] δ, + δ[ (A \ {}), (resp. ] δ, [ A, ], + δ[ A).. Diz-se que é um ponto de cumulção bilterl de A sse é um ponto de cumulção à direit de A e é um ponto de cumulção à esquerd de A. Sej f : A B. Observção: Sempre que se escrever f(), supõe-se que pertence o domínio de f, embor isso por vezes não sej eplicitmente menciondo, pr não sobrecrregr eposição. Definição... Diz-se que l é limite de f qundo tende pr sse é ponto de cumulção de A e ɛ > δ > : < < δ f() l < ɛ. 7

32 8 CAPÍTULO. LIMITES E CONTINUIDADE. Diz-se que l é limite à esquerd de f qundo tende pr sse l for limite de f A ],[ qundo tende pr.. Diz-se que l é limite à direit de f qundo tende pr sse l for limite de f A ],+ [ qundo tende pr. Proposição.. Se l e l são limites de f qundo tende pr então l = l. Demonstrção: Suponhmos que l l ; então l l >. Sej δ > tl que < < δ f() l < l l / (eiste tl δ porque l é limite de f qundo tende pr ). Sej δ > tl que < < δ f() l < l l / (eiste tl δ porque l é limite de f qundo tende pr ). Sej gor δ = min{δ, δ } e sej ] δ, + δ[\{}. Então < < δ f() l < l l / e f() l < l l / (l f()) + (f() l ) l f() + f() l < l l / + l l / = l l l l < l l o que é impossível. Conclui-se que l = l. Notção: Se l é (o único) limite de f qundo tende pr, escreve-se lim f() = l; se l é (o único) limite à esquerd de f qundo tende pr, escreve-se lim f() = l; se l é (o único) limite à direit de f qundo tende pr, escreve-se lim f() = l. + Proposição.. lim f() = l.. Sej um ponto de cumulção bilterl de A. Então lim f() = l sse lim f() = l e +. Sej um ponto de cumulção à esquerd ms não à direit (resp. à direit ms não à esquerd) de A. Então lim f() = l sse lim f() = l (resp. sse lim f() = l). + Demonstrção:. Pr um ponto de cumulção bilterl de A, é trivil que se l é limite de f qundo tende pr então l é limite à direit de f qundo tende pr e l é limite à esquerd de f qundo tende pr. Suponhmos que Se δ = min{δ, δ }, então lim f() = l e lim f() = l e sej ɛ >. Sejm δ > e δ > tis que + < < + δ f() l < ɛ e δ < < f() l < ɛ. Logo ɛ > δ > : < < δ f() l < ɛ. < < δ < < + δ ou δ < < < < + δ ou δ < < f() l < ɛ. demonstrção trivil Proposição..5 Eiste l R tl que lim f() = l sse é ponto de cumulção de A e ɛ > δ >, ] δ, + δ[\{} : f() f( ) < ɛ. Demonstrção: Suponhmos que l = lim f() e sej ɛ > ; eiste então δ > tl que < < δ f() l < ɛ/. Sejm, ] δ, +δ[\{}; então tem-se < < δ e < < δ, portnto f() l < ɛ/ e f( ) l < ɛ/, de onde f() f( ) = f() l + l f( ) f() l + l f( ) < ɛ/ + ɛ/ = ɛ. Suponhmos gor que ɛ > δ >, ] δ n, + δ n [\{} : f() f( ) < ɛ. Pr cd n N, sej δ n > tl que, ] δ, +δ[\{} : f() f( ) < /n e tl que δ n < δ n se n >. Sej n um ponto do domínio de f tl que n < δ n. Então, pr ] δ n, + δ n [\{} tem-se f() f( n ) < /n, portnto f(] δ n, + δ n [\{}) está contido no intervlo [f( n ) /n, f( n ) + /n], que tem comprimento /n. Dqui podemos concluir eistênci de um sucessão decrescente de intervlos fechdos I n, tl que

33 .. LIMITES 9. n N comprimento de I n /n;. n N : f(] δ n, + δ n [\{}) I n. Bst pôr I = [f( ), f( ) + ] e I n+ = I n [f( n+ ) n+, f( n+) + n+ ] pr n. Pelo teorem do encie de intervlos, eiste l n N I n; tem-se mesmo n N I n = {l}, visto que o comprimento de I n tende pr. Vejmos que l é limite de f qundo tende pr. Pr todo o ɛ > sejm n N tl que n > /ɛ, δ = δ n e n tl que n < δ e n pertence o domínio de f; se < < δ então f() l f() f( n ) + f( n ) l < /n + f( n ) l. Or f( n ) e l pertencem I n, logo f( n ) l /n, portnto f() l < /n + /n = /n < ɛ. Conclui-se que f() = l. lim Eemplos:. f: R R + lim f()=6 5 Demonstrção: Sej ɛ >. Queremos mostrr que eiste δ > tl que < 5 < δ f() 6 < ɛ. Ms f() 6 = + 6 = 5 = 5. Então 5 < ɛ/ f() 6 < ɛ, isto é, bst tomr δ = ɛ/.. f: R { R se + se > Não eiste lim f(); lim f()=; lim f()= + Demonstrção: Pr > tem-se f() > e pr <, f() <. Então, se δ > tem-se f(δ/) > e f( δ/) <, logo f(δ/) f( δ/) >. Conclui-se que se ɛ = então δ > = δ/, = δ/ : <, < δ e f() f( ) > ɛ. Logo não eiste lim f(). Pr >, tem-se f() = + =. Logo se < < δ, então f() < δ. Conclui-se que ɛ > δ > : < < δ f() < ɛ (pr cd ɛ > bst tomr δ = ɛ/). Logo lim f()=. + Pr < tem-se f() =. Logo se δ < < então f() = < δ. Conclui-se que ɛ > δ > : δ < < f() < ɛ (pr cd ɛ > bst tomr δ = ɛ). Logo lim f()=.. f: R R ; R lim f()= Demonstrção: Suponhmos ( demonstrção pr > é nálog). Sej ɛ >. Queremos mostrr que eiste δ >, tl que < < δ < ɛ. Or = +. Se < então < <, de onde < + < +, e, portnto, + < m{, + }, que é porque < ; logo + <. Então, se δ = min{,. f: R \ {} R cos(/) Não eiste lim f() nem lim f(). + = + ɛ < ( ) (porque < ) ɛ ɛ < ( ) (porque < ). = ɛ } tem-se, pr todo o tl que < δ, Demonstrção: Pr qulquer inteiro k tem-se f( kπ ) = e f( kπ ) =, isto é, rbitrrimente próimo de dos dois ldos temos pontos cuj imgem é e pontos cuj imgem é. Mis precismente, sejm ɛ =, δ >. e k um número inteiro positivo tl que kπ > /δ (então tmbem kπ + π > /δ); pr = kπ e

34 CAPÍTULO. LIMITES E CONTINUIDADE = kπ, tem-se + < δ e f( ) f( ) = ( ) = > ɛ. Então eiste ɛ > tl que pr todo o δ > eistem = kπ e = kπ+π miores do que tis que < δ e f( ) f( ) > ɛ. Conclui-se d proposição nterior que não eiste lim f(). De mneir nálog se conclui que não eiste + lim f(). 5. f: R \ {, } R sen lim Demonstrção: Pr tl que < < / tem-se > /, portnto /( ) <. Por outro ldo, pr qulquer tem-se sen(/). Sej gor ɛ >. Ponhmos δ = min{/, ɛ/} e sej tl que < < δ; por se ter δ /, deduz-se que < < /, portnto f() = /( ) sen(/) < ;e por se ter δ ɛ/ deduz-se que < ɛ/. Conclui-se pois que se < < δ então f() < ɛ. 6. f: R \ {} R lim / f()=- Demonstrção: f() ( ) = + = = ( /) Se / < /, então > /, portnto ( /) < 8 /. Pr cd ɛ >, sej δ = min{/, ɛ/8} e consideremos tl que / < δ. Por se ter δ /, conclui-se que f() ( ) < 8 / ; por se ter δ ɛ/8 conclui-se que 8 / < ɛ. Então, pr tl que < / < δ, tem-se f() ( ) < ɛ. Sejm f : A B, l R, R. Definição..6. Diz-se que lim f() = l sse A não é mjordo e ɛ > R R : > R f() l < ɛ. +. Diz-se que lim f() = l sse A não é minordo e ɛ > R R : < R f() l < ɛ.. Diz-se que lim f() = + sse é ponto de cumulção de A e R R δ > : < < δ f() > R.. Diz-se que lim f() = + sse A não é mjordo e M R R R : > R f() > M. + Observções:. Define-se de mneir semelhnte: lim f() =, lim f() = +, lim f() = +, lim + lim f() =, lim f() =, lim f() = +, lim f() =. + f() =, +. As notções utilizds ns definições nteriores pressupõem prévi demonstrção d unicidde do limite em cd cso, demonstrção ess que não será qui feit por ser semelhnte à demonstrção d unicidde do limite de f() qundo tende pr R. Eemplos: + cos. lim = + Demonstrção: Pr > tem-se +cos = cos =. Pr cd ɛ > sej R = /ɛ; pr > R tem-se +cos < ɛ, portnto < ɛ lim = Demonstrção: Tem-se + 5 = + 5 ( ) ( ) = Pr < tem-se = + 5/ / 9 6 ;

35 .. LIMITES or 9 6 = 6 9, 6 9 < 6, e 6 9 < 9, portnto / 9 6 = / 6 9 < Então, se 5 9 < ɛ/ e 6 < ɛ/, tem-se +5 < ɛ. Ms < 9ɛ 9 < ɛ/ e < 5 ɛ 5 6 < ɛ/. Conclui-se que, pr cd ɛ >, eiste R R (R = min{ 9ɛ, 5 ɛ }) tl que < R +5 < ɛ.. lim = Demonstrção: Pr tl que < <, tem-se < + <, portnto < + <, de onde < ( ). Sej R R; se R, pondo δ =, tem-se δ < < /( ) < R, portnto /( ) < R. Se R<, pondo δ = min{, /(R)}, tem-se δ < < < (porque < < ) ( ) ( ) < (porque δ < < ) δ ( ) < R (porque δ < R δ < R). f: R R cos Não eiste lim f() + Demonstrção: Suponhmos que lim f() = l R. Então eiste R R tl que > R f() l <. Sej + k Z tl que kπ > l + e kπ > R. Então, pr = kπ, tem-se f() = kπ > l +, portnto kπ l >, o que é bsurdo. Por outro ldo, se lim f() = +, então eiste R R tl que > R f() >, ms se k Z é tl que + kπ + π/ > R, então pr = kπ + π/ tem-se > R e f() =. Anlogmente se mostr que não se tem 5. lim + n = +, pr todo o n N. lim f() =. + Demonstrção: Pr cd M R, sej R = m{, M}. Então > R n (porque > ) > M (porque R M) n > M { + se n pr 6. lim n = se n ímpr Demonstrção: Se n é pr, então < > ( ) n n Pr cd M R sej R = min{, M}. Então < R < n n > M

36 CAPÍTULO. LIMITES E CONTINUIDADE Se n é ímpr, então Pr cd M R sej R = min{, M}. Então Proposição..7 Sej R {, + }, c, l, l R.. lim c = c. lim = < > ( ) n n n < R < n n < M. Se lim f() = l e lim g() = l, então lim (f + g)() = l + l.. Se lim f() = l e lim g() = l, então lim (f.g)() = l l. 5. Se lim f() = l então lim /f() = /l. Demonstrção: A demonstrção só será feit no cso de R; nos outros csos o rciocínio é nálogo.. Sej ɛ > ; pr qulquer δ >, em prticulr, por eemplo pr δ =, tem-se < < δ c c < ɛ.. Sej ɛ > ; se tomrmos δ = ɛ, então < < δ < ɛ.. Sej ɛ > ; sejm δ, δ > tis que < < δ f() l < ɛ/ e < < δ g() l < ɛ/. Se tomrmos δ = min{δ, δ }, tem-se < < δ (f + g)() (l + l ) = f() l + g() l f() l + g() l < ɛ/ + ɛ/ = ɛ.. Sej ɛ > ; tem-se (fg)() l l = f()g() l l = f()g() l g() + l g() l l g() f() l + l g() l. Se g() f() l < ɛ/ e l g() l < ɛ/, então (fg)() l l < ɛ. Ms l g() l m{, l } g() l, portnto ɛ g() l < m{, l } l ɛ l g() l < m{, l } < ɛ/. Por outro ldo, g() l < l < g() < l + g() < l +. Se g() l < e f() l < ( l, +) ɛ então g() f() l < ( l + ) ( l = ɛ/. Or eistem δ +), δ, δ tis que < < δ f() l < ɛ ( l, < < δ ɛ +) g() l < (m{, l, < < }) δ g() l <. Se δ = min{δ, δ, δ }, então < < δ f()g() l l < ɛ + ɛ = ɛ. 5. Se f() então f() l = f() l f() l. Ms, se f() > l / então f() l < l. Como l, eiste δ > tl que < < δ f() l < l /; então < < δ l l / < f() < l + l / f() > l / (o que implic, em prticulr, f() ). Sej gor ɛ > ; do que vimos result que, pr tl que < < δ, se tem f() l < f() l l. Ms, por outro ldo, eiste δ > tl que < < δ f() l < ɛ l = ɛ l /. Pr δ = min{δ, δ }, tem-se então < < δ f() l < ɛ l l = ɛ. ɛ

37 .. LIMITES Observção: Os n.os,,5 d proposição nterior são válidos qundo l ou l são infinitos, se convencionrmos s seguintes regrs: se l R então l +(+ )=(+ )+l = +, l/(+ ) = l/( ) =, l +( )=( )+l = ; se l R \ {}, l.(+ ) = (+ ).l = (sinl de l), l.( ) = ( ).l = (sinl contrário o de l), (+ )/l = (sinl de l), ( ).l = (sinl contrário o de l), (+ ).(+ ) = ( ).( ) = +, (+ ).( ) = ( ).(+ ) =, (+ )+ (+ ) = +, ( ) + ( ) =. Eemplos:. lim + 5 = +. lim + + = + Neste cso, lim + + = + e lim + = +, portnto não se pode concluir nd sobre o limite do + quociente directmente prtir d proposição nterior. Ms, pr, + lim + lim + + = + + lim = Então lim + + = +. lim + + = Com efeito, pr,. lim 9 ( ) = + Pr, tem-se 5. lim ( 9) ( ) = Pr, tem-se ( 9) ( ) 6. lim 9 ( )( + ) = / lim + Com efeito, pr tem-se ( 7. lim ) = = + + = + = +. e + = + +. Or lim + + = = + + = +. Anlogmente se conclui que lim + + = + lim + + = +. 9 ( ) = + ( ). Or lim + = 6 e lim ( ) =, portnto lim 9 ( ) = +. = ( )( + ), de onde lim ( 9) ( ) =.6 =. 9 ( )(+) = + +, portnto lim = +, portnto não se pode concluir nd sobre o limite d diferenç direc- Tem-se lim = + e lim tmente prtir d proposição nterior. Ms = ( lim ) = lim = ( ).(+ ) =. ( ) + = ( + ) 8. lim + 9 = 6/ = /. ( )( + ), lim ( ) = e lim = +, portnto + lim = + e lim = + ; não se pode concluir nd sobre o limite d diferenç directmente + + ( + ) prtir d proposição nterior. Ms, pr, + + e lim =. + + ( + ( + ) ) = ( + )( + ) ( + ) = + + ( + ) = + +, +