UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MAT - ALGEBRA LINEAR I-A PROF.: GLÓRIA MÁRCIA LISTA DE EXERCÍCIOS ) Sejm A, B e C mtries inversíveis de mesm ordem, encontre epressão d mtri X, nos itens bio: ) AB t X C AB CX I (CB) - AX I (AB) t XC I ) Encontre mtri LRFE de cd um ds seguintes mtries: A B C - - D - F ) Descrev tods s possíveis mtries que estão n form LRFE. ) Considere A um mtri qudrd de ordem n LRFE. Verifique prtir de eemplos que, se A I n então A possui pelo menos um linh nul. ) Verifique se são verddeirs ou flss s seguintes firmções ) Mtries linh equivlentes possuem mesm ordem Qulquer que sej mtri A, eiste um mtri M tl que A ~ M e M est n form LRFE. Tod mtri n form LRFE é qudrd. Tod mtri qudrd está n form LRFE. e) Um mtri M está n form LRFE se, e somente se, M é identidde. ) Verifique que tod mtri LRFE é tringulr superior. Eib um contr eemplo pr mostrr que recíproc dest firmção é verddeir. 7) Considere s mtries: - A E e E ) Dig, justificndo se E e E são mtries elementres e, em cso firmtivo, indique s operções elementres O e O que trnsformm mtri identidde de ordem em E e E, respectivmente.

2 Clcule s mtries B E A, C E B, D E E A Determine s mtries F, G e H tis que F é obtid de A plicndo-se ns linhs de A operção elementr O do item ) G é obtid de B plicndo-se ns linhs de A operção elementr O do item ) e H é obtid de A plicndo-se ns linhs de A operção elementr O e O, nest ordem. Compre s mtries encontrds nos itens e. Conclu sobre multiplicção de mtries elementres à esquerd de um mtri A e plicção de operções elementres ns linhs de A, correspondentes ás mtries elementres. 8) Determine o posto e nulidde de cd um ds seguintes mtries: A B C - D F 9) Dê eemplos, se possível, de mtries stisfendo s condições dds bio. OBS: N(A) nulidde de A e p(a) posto de A. ) B, p(b) C, p(c) D, p(d) F, N(F) e) G, N(G) f) H, N(H) g) J, p(j). ) Verifique se são verddeirs ou flss s seguintes firmções: ) O posto de um mtri é um número nturl mior ou igul ero e menor ou igul o número de linhs. O posto de um mtri é um número nturl mior ou igul ero e menor ou igul o número de coluns. Se N ( A) e A, então mtri B, tl que A~B e B está n form LRFE tem um linh nul. Se C é um mtri qudrd de ordem e possui um linh nul, então p(c ). e) Se p(d) e D n m com n, então m. ) Em cd um dos seguintes itens considere mtri esclond linh equivlente à mtri mplid de um sistem. A prtir desss mtries, discut o sistem originl e dê o conjunto-solução, qundo for o cso. ) ) Resolv os seguintes sistems )

3 ) Discut em função de os seguintes sistems: ) ) Determine os vlores de e b que tornm o seguinte sistem possível e determindo b b b 7 ) Considere s seguintes mtries inversíveis C B A )Encontre epressão de X tl que BAX C Determine, cso eist, invers d mtri X do item ) ) Mostre que mtri c b A é inversível,, b e c R e determine A - 7) Considere mtri B. Determine um mtri N, LRFE N ~B e um mtri inversível M de ordem tl que N MB. 8) Em que condições um mtri digonl é inversível? Qul é su invers? 9) Verifique se s mtries seguir são inversíveis e, em cso firmtivo, determine invers, usndo esclonmento ) - - ) Determine os vlores de e b pr que s mtries bio sejm inversíveis ) 7

4 ) Verifique se os conjuntos ddos seguir têm estrutur de espço vetoril, com s operções dds. I. V R, :R R R e. : R R R (, ) (, ),.(, ) (,) II. V M(R), :M(R) M(R) M(R) e. : R M(R) M(R). w w w w w w III. V R, :R R R e. : R R R.. ) Verifique em cd item seguir se W é um subespço vetoril de V. I. V R ) W {(,,) R W {(,, ) R } W {(,,) R } W Q,Q o conjunto dos rcionis. e) W {(,,) R. } f) W {(,,) R } II. V M n (R), n. ) W {A V A é simétric} W {A V A é inversível} c )W {A V A é não inversível} W {A V A A} III. V é o espço vetoril de tods s funções f : R R. ) W {f V f() } W {f V f(7) f()} ) Verifique se o conjunto ds soluções do sistem de equções lineres de n incógnits, AX B, é subespço vetoril de Mn ( R), sendo: ) B (sistem homogêneo). B (sistem não homogêneo). ) Utilindo os resultdos do eercício nterior, verifique se W i é subespço vetoril de Vi, em cd item seguir: ) V R,W {(,,) R } V R,W (,,) R e { } M(R),W V e w w M(R),W V e w w P (R),W t t t w V P (R),W t t V V V e) V { } f) { } V

5 RESPOSTAS ) ) X ( B t ) - A - C X C - ( I AB ) X A - CB X [(AB t ] - C - ) ) R e ) ) V V F F e) F ) A mtri é tringulr superior ms não é LRFE. 7) ) E é mtri elementr pois é obtid d identidde I prtir d operção elementr O : L L E é mtri elementr pois é obtid d identidde I prtir d operção elementr O : L L L. B C D C F B G H C Efetur um operção elementr sobre s linhs de um mtri A é equivlente multiplicr à esquerd de A um mtri elementr correspondente à operção elementr plicd. 8) p( A ) e N ( A ) p ( B ) N ( B ) p( C ) e N( C ) p ( D ) e N( D ), p( E ) e N( E ) 9) ) B impossível impossível F e) G f) H g) J OBS: Estes eemplos não são únicos ) ) V V V F e) F ) ) Sistem possível e indetermindo com dus vriáveis livres S { (,,, w) R w e w } Sistem possível e determindo S { (,, ) } Sistem impossível Sistem possível e indetermindo com um vriável livre S { (,, ) R e }

6 ) ) S { (,, ) } S (,, ) R e S { (,, ) R e } ) ) Se, então o sistem é possível determindo e S { (8, )}. Se, o sistem é impossível. Se, então o sistem é possível e indetermindo. Se, o sistem é impossível. Se, o sistem é possível, determindo e S { (,, ) }. Se, o sistem é indetermindo. Se e então o sistem é possível e determindo. Se, o sistem é impossível. Se, o sistem é possível, indetermindo e S { (,,) R e ) }. ) e b. ) ) X A - B - C ) A - c b 7) N c M X / / / / / / / / 8) Um mtri digonl A ( ij ) nn é inversível sss ii pr todo i,,...n. A invers de A é mtri B ( b ij ) nn tl que b ii pr todo i,,...n ) ) Não é inversível - / ) ) b ) Não eiste ) I.V não é espço vetoril ( propriedde ssocitiv d não é váli. II.V não é espço vetoril ( (.v.v b.v ). III.V é espço vetoril. O elemento neutro é e o oposto de é (. e. ). ). I. )Não. Contr-eemplo: (-).(,-,)(-,,-) W. ". " " : (,,)(,,)(,,) W. Sim. Não. Contr-eemplo:.(,,) Q. ii

7 e)não. Contr-eemplo: (,,)(-,-,)(,,) W. f) ". " " : (,,)(-,9,)(-,,) W. II. ) Sim. Não. Contr-eemplo: W. Não. Contr-eemplo: W. Não, pois se A e B pertencem W, não necessrimente AB pertencerá W, visto que: ( A B) A A.B B.A B. III. ) Sim Sim. ) Será resolvid em sl de ul. ) Os itens, d, e e f são subespços, pois s equções que os crcterim formm sist. lineres homogêneos. Já os itens b e c, não são subespços, porque s equções que os crcterim formm sist. lineres não homogêneos.