MATRIZES. 1) (CEFET) Se A, B e C são matrizes do tipo 2x3, 3x1 e 1x4, respectivamente, então o produto A.B.C. (a) é matriz do tipo 4 x 2

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1 MATRIZES ) (CEFET) Se A, B e C são mtrizes do tipo, e 4, respectivmente, então o produto A.B.C () é mtriz do tipo 4 () é mtriz do tipo 4 (c) é mtriz do tipo 4 (d) é mtriz do tipo 4 (e) não é definido ) (FUVEST) Considere s mtrizes: A=( ij ), 4 7 onde ij = i - j B=( ij ), 7 X 9 onde ij = i C=(c ij ), tl que C = AB O elemento C 6 é () - () -8 (c) -9 (d) (e) Não eiste ) (PUC) Sendo A = 4 e B, então o produto AB é igul : 6 7 () () (c) (d) (e)

2 4) Dds s mtrizes reis A m n 4, B, C 4 e sendo-se que AB = C, podemos concluir que () m + n = () m - n = 8 (c) m.n = -48 (d) m/n = (e) m n =44 5) (FGV) A mtriz A é do tipo 57 e mtriz B é do tipo 75. Assinle lterntiv corret. () A mtriz AB tem 49 elementos () A mtriz BA tem 5 elementos (c) A mtriz (AB) tem 65 elementos (d) A mtriz (BA) tem 49 elementos (e) A mtriz (AB) dmite invers 6) (UFRGS) Se mtriz A tem n-m linhs e 5 coluns, mtriz B tem n+m linhs e colun, A pode multiplicr B e B pode multiplicr A, então n e m são, respectivmente, iguis () e () e (c) e (d) 4 e (e) 5 e 7) (UFRGS) Um mtriz A = ( ij ), qudrd de ordem n, é tl que ij = sempre que i j > i + j. Cso contrário, ij =. A som de todos os elementos d mtriz é () n () n - (c) n + (d) n+ (e) n

3 8) (UNIRIO) Sej X = (X) ij um mtriz qudrd de ordem, onde X ij = i + j se i = j, X ij = - j se i > j e X ij = se i < j. A som dos seus elementos é igul : () - () (c) 6 (d) 7 (e) 8 9) A figur, denomind de grfo, represent cminhos entre s ciddes de Considere mtriz A = ( ij ), de ordem 8, definid por ij =, se há um cminho direto entre s ciddes i e j. ij = ij=, em cso contrário. A lterntiv verddeir é () A som de todos os elementos d mtriz é 5. () A linh d mtriz com mior número de zeros é ª. (c) A linh d mtriz com menor número de zeros é 4ª. (d) A digonl principl não é formd pens por zeros. (e) A mtriz é simétric. ) (UFAL) Considere mtriz A = ( ij ) 4, n qul ij = i - j, se i j e ij = i.j se i > j. O elemento que pertence à ª linh e à ª colun d mtriz A t, trnspost de A, é () 4 () (c) (d) - (e) -

4 ) (FGV) Dds s mtrizes A z y, B w 6 4, C w z w y E sendo A = B + C, então () + y + z + w = () + y + z + w = (c) + y- z - w = (d) + y - z - w = - (e) + y + z + w > ) (UFGO) Sejm s mtrizes: A 6 7, B log ( ) 8 9 c Pr que els sejm iguis, deve-se ter: () = - e = -c = -4 () = e = c = -4 (c) = e = -c = 4 (d) = - e = c = -4 (e) = - e = c = 4 ) Um mtriz qudrd é digonl qundo ij = pr ij. A invers de um mtriz digonl, qundo eistir, é () própri mtriz. () mtriz opost. (c) otid invertendo-se os elementos d digonl. (d) su trnspost. (e) trnspost d su mtriz opost. 4

5 4) Considere A e B mtrizes, O mtriz nul e I identidde, tods de ordem. Qunto às lterntivs: (I) O não tem invers. (II) A.B=O A=O ou B=O. (III) A =A A=O ou A=I. Podemos firmr: () Tods são verddeirs. () Só (I) é verddeir. (c) Só (I) é fls. (d) Só (II) é fls. (e) Só (III) é fls 5) (SANTA CASA) Se um mtriz qudrd A é tl que A t = -A, el é chmd mtriz ntissimétric. Se-se que M é ntissimétric e: 4 M c c 8 Os termos, e de M vlem respectivmente: () -4, - e 4 () 4, e -4 (c) 4, - e -4 (d), -4 e (e) nd 6) (FEI) As mtrizes io comutm. e. O vlor de é () () (c) (d) - (e) 5

6 7) (UCMG) O vlor de, pr que o produto ds mtrizes A= e B= sej um mtriz simétric, é () - () (c) (d) (e) 8) (UFRGS) Um mtriz qudrd de ordem tem seguinte configurção: ,,,, , A som dos elementos d vigésim linh é () 4 () 8 (c) 7 (d) 5 (e) 58 9) Um mtriz tridimensionl A=( ijk ) de ordem, chmd de tensor, é definid por ijk =i+j+k, com i, j, k{,, }. Cd elemento ocup um ponto de um cuo no sistem de eios ijk, conforme figur. A som dos elementos d digonl do cuo, cuj ret supote contém origem é K =9 () 6 () 9 (c) (d) 5 i j (e) 8 6

7 ) Um hologrm é formdo por pontos de luz (, y, z) de um sistem de eios crtesinos tridimensionl, com {,}, y{,,} e z{,}, que podem estr cesos ou não, cd um de form independente dos demis. A quntidde de hologrms possíveis de serem otidos, formndo um imgem com significdo ou não é () 845 () 95 (c) 4 (d) 48 (e) 495 7

8 RESOLUÇÃO ) (A B) C 4 4 ) A B C=AB tem ordem 49, tendo pens 4 linhs. O elemento C 6 estri n linh 6, que não eiste. ) A tem ordem e B tem ordem. Logo, AB tem ordem. Então, lterntiv com respost corret respost só pode ser (). Relmente, m 4) n n m A B. 4 n 4 n m 4 Se AB=C, então. Logo, n 4 n m 4 n m 4 n 4 (-) n 8 + m - 8 = 4 m= e n=-4 Logo, m.n=-48. 5) (FGV) A mtriz A é do tipo 57 e mtriz B é do tipo 75. Assinle lterntiv corret. () A mtriz AB tem 49 elementos: Flso. A B tem ordem 55. Logo, tem 5 elementos () A mtriz BA tem 5 elementos: Flso. B A tem ordem 77. Logo, tem 49 elementos (c) A mtriz (AB) tem 65 elementos: Flso. Como vimos n lterntiv (), AB tem ordem 55. (AB) =ABAB tmém tem ordem 55. Logo, tem 5 elementos (d) A mtriz (BA) tem 49 elementos: Verdde. 8

9 Como vimos n lterntiv (), BA tem ordem 77. (BA) =BABA tmém tem ordem 77. Logo, tem 49 elementos (e) A mtriz (AB) dmite invers: Flso. Não se pode grntir que AB tenh invers. Por eemplo, se for um mtriz nul, não tem. 6) A tem ordem (n-m)5 e B tem ordem (n+m). Se A pode multiplicr B, então 5=n+m. Se B pode multiplicr A, então =n-m. n m 5 n m + n = 6 n= e m=. 7) Vmos oservr um mtriz de ordem 4 e ssinlr os elementos onde ij>i+j. A= Oservmos que ij>i+j dei de ocorrer pens pr os elementos d primeir linh, d primeir colun e pr. Estes devem ser iguis e os demis iguis zero. A som dos elementos d mtriz é quntidde destes elementos. N primeir linh há n elementos e n primeir colun tmém há n elementos, totlizndo n elementos. Contudo, está nestes dois conjuntos, tendo sido, portnto, contdo dus vezes. Assim, nestes conjuntos, primeir linh e primeir colun, há n- elementos distintos. Acrescentndo o elemento, há n elementos distintos. 8) X ij = i + j se i = j; X ij = - j se i > j e X ij = se i < j. =. A som dos elementos é

10 9) () A som de todos os elementos d mtriz é 5: Flso. Teri que ter pens 5 elementos iguis. N figur, cont-se mis do que 5 cminhos. Logo, há mis de 5 elementos ij iguis. () A linh d mtriz com mior número de zeros é ª: Flso. A cidde não tem cminho direto com s ciddes, 5, 6, 7, 8. Logo há 5 zeros n linh. A cidde não tem cminho direto com s ciddes, 4, 5, 6, 7, 8. Logo, há 6 zeros n linh. Há mis zeros n cidde do que n. (c) A linh d mtriz com menor número de zeros é 4ª: Flso. As ciddes 4 e 6 têm cminhos diretos com ciddes cd um. Logo, s linhs 4 e 6 têm mesm quntidde de zeros e uns. (d) A digonl principl não é formd pens por zeros: Flso. Como não há cminho que ligue um cidde si própri, ii =, pr todo i. (e) A mtriz é simétric: Verdde. Se há cminho direto entre s ciddes i e j, então há cminho direto entre s ciddes j e i. Assim, ij = ji, pr todo i e j. Logo, mtriz é simétric. ) A = ( ij ) 4, n qul ij = i - j, se i j e ij = i.j se i > j. Queremos o elemento que pertence à ª linh e à ª colun d mtriz A t. O elemento solicitdo é o d trnspost, que é o elemento d A. Em, i j. Logo, =-=-. y 6 4 y ) A, B, C z w w z w E sendo.a = B + C, então. z y w 6 4 w z w y z y 4 w z w 6 y w

11 6 4 w w w z z y y 6 4 w w z y + y + z + w = = ) (UFGO) Sejm s mtrizes: A B c log ( ), c 8 log c =-4 =- c=-4 =- e =c=-4 ) Vmos considerr um mtriz digonl não nul de ordem : A=. Vmos determinr invers t z y :. t z y t z y t z y A, que é otid d A, invertendo-se os elementos d digonl principl. 4) (I) O não tem invers: Verddeir. Um mtriz nul multiplicd por qulquer outr mtriz sempre resultrá em um mtriz nul, nunc se otendo mtriz identidde. (II) A.B=O A=O ou B=O: Fls. A.B=. e nem A, nem B é nul. (III) A =A A=O ou A=I: Fls. Pr A=, temos que A =A.A=.. Logo, A =A e, no entnto, A não é nem um mtriz nul, nem um mtriz identidde. = y = 8 y = 4 z = - + z =

12 5) M t = -M. 4 M c c 8 M t 4 c c 8 e 4 M. c c c = c 8 c c 8 Os termos com s mesms posições devem ser iguis: N digonl: 4 + = -4-8 =- =-4. + = - - = -4 =-. c - 8 = -c + 8 4c = 6 c=4. Aind, =-=4, =-= e =-c= ). = 6 6 Comutndo-se, os resultdos devem ser iguis: 6. = =. Pr isto, tem que ser ) A.B=. =. Pr ser simétric, +=, ou sej, =. 8) ,,,, , Vmos determinr o primeiro elemento d vigésim linh: N sequênci (,, 4, 7,...), temos os créscimos: (,, 4, 7,...). Assim, o vigésimo elemento é o primeiro mis os 9 créscimos. Acréscimos: = Logo, =+9=9. A vigésim linh é formd pelos elementos d sequênci (9, 9, 9,...,).. A som destes elementos é 9 4

13 9) k i j Os elementos d digonl solicitd são: =++=, =++=6 e =++=9. A som destes elementos é = 8. ) Sej (, y, z) um ponto de luz. pode ssumir vlores: ou. y pode ssumir vlores:, ou. z pode ssumir vlores: ou. Há = pontos de luz que podem estr ou não cesos. cso: somente ponto ceso: há possiiliddes de se escolher pr cender, que equivle C. cso: somente pontos cesos: há cso: somente pontos cesos: há... C possiiliddes de se escolher pr cender. C possiiliddes de se escolher pr cender. cso: pontos cesos: há C = possiilidde de se escolher pr cender. Totl: C + C + C C. Não pode ocorre de todos os pontos estrem pgdos, pois, dest form, não há hologrm. Logo, não há o termo Com este termo terímos C = C + C + C + C C = = 496. Descontndo o primeiro, C, temos 495 hologrms possíveis.

14 RESPOSTAS ) B ) E ) B 4) C 5) D 6) A 7) A 8) D 9) E ) D ) B ) D ) C 4) B 5) B 6) A 7) C 8) A 9) E ) E 4