ÁLGEBRA LINEAR - 1. MATRIZES

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR - 1. MATRIZES 1. Conceios Básicos Definição: Chmmos de mriz um el de elemenos disposos em linhs e coluns. Por exemplo, o recolhermos os ddos populção, áre e disânci d cpil referenes à quros ciddes do esdo de Pernmuco, podemos dispô-los n el: Populção Censo 14 Áre Km Disânci Cpil - Km Perolin Croó Slgueiro Cruru Ao srirmos os significdos ds linhs e coluns, emos mriz: Em um prolem em que o número de vriáveis e de oservções é muio grnde, ess disposição ordend dos ddos em form de mriz orn-se solumene indispensável. Exemplos. x 1 A= cos x senx 3 B= x senx cos x 1. C= 3 1 D= Os elemenos de um mriz podem ser números ( reis ou complexos), funções ou ind ours mrizes. Pr represenr um mriz A de m linhs e n coluns usremos s seguines noções: A 11 1 m1 1 m 1 n n mn

2 Pr loclizr um elemeno de um mriz, dizemos linh e colun (nes ordem) em que ele esá. Por exemplo, n mriz: 1 4 A x3 4 3 O elemeno que esá n primeir linh e n erceir colun é -4, iso é,. Definição: Dus mrizes A [ e B rxs [ rxs 13 4 são iguis, A = B, se els êm o mesmo número de linhs ( m = r) e coluns (n = s), e odos os seus elemenos correspondenes são iguis ( ). 3 1 log1 9 5 sen9º 4 5. Tipos Especiis de Mrizes Mriz Qudrd. É um mriz que possui o número de linhs é igul o número de coluns (m=n). Exemplos: A= , B= Oservção: Num mriz qudrd A de ordem n, os elemenos, em que i = j, consiuem digonl principl. Já os elemenos, em que i+j = n+1, consiuem digonl secundári. Mriz Nul. É um mriz n qul, pr odo i e j. Exemplos: A x, B 3x3 e C x3 Mriz-Colun. É um mriz que possui um únic colun ( n = 1). 1 Exemplos: e 1 c Anlogmene, emos: Mriz-Linh. É um mriz que possui um únic linh. Iso é, é quel onde m = 1. Exemplos: 1 e x y z Mriz Digonl. É um mriz qudrd (m=n) onde, pr i j, iso é, os elemenos que não esão n digonl principl são nulos.

3 Mriz Idenidde. É um mriz digonl n qul odos os elemenos d digonl principl são iguis 1, ou sej, 1 pr i=1,,...,n.. Exemplos: I [1 1, 1 I e 1 ii I 3 1 Mriz Tringulr Superior. É um mriz qudrd n qul odos os elemenos ixo d digonl principl são nulos, iso é,, pr i j. 1 1 Exemplos: x y 1 z e c Mriz Tringulr Inferior. É um mriz qudrd n qul odos os elemenos cim d digonl principl são nulos, iso é,, pr i j. x y c 1 e d Operções com Mrizes Adição de Mrizes A som de dus mrizes de mesm ordem, A [ e B [, é um mriz de ordem, denod por A+B, cujos elemenos são soms dos elemenos correspondenes de A e B. Iso é, A B [ Proprieddes: Dds s mrizes A, B e C de mesm ordem, emos: A1) A B B A ( comuividde) A) A ( B C) ( A B) C ( ssociividde) A3) A A, onde deno mriz nul. A4) A + (-A)=, -A deno mriz opos d mriz A.

4 Muliplicção por Esclr Sej A [ um mriz de ordem e k um número rel(ou complexo), enão definimos um nov mriz k A [ k Proprieddes: Dds s mrizes A e B de mesm ordem e número k, k 1 e k, emos: ME1) k( A B) ka kb ME) ( k1 k) A k1a ka ME3) A ( se muliplicrmos o número zero por qulquer mriz A, eremos mriz nul.) ME4) k k A) ( k k ) A 1( 1 Trnsposição de Mrizes Dd um mriz A linhs são s coluns de A, iso é, A [ [, podemos oer um our mriz ji. A mriz, cujs A é denomind rnspos de A. Se A 5 3, enão A Proprieddes: i) ( A B) ii) A B ( ka) ka, k é um esclr qulquer. Mriz Siméric e Ani-siméric Dizemos que um mriz A é siméric se x y 1 x 1 e y 1 c A A. Se A é l que x y A A, dizemos que A é ni-siméric. x y 1 1

5 Muliplicção de Mrizes Sejm A [ e B [ rs nxp. Definimos AB [ c uv mxp onde Oservções: c uv n k 1 uk kv u1 1v... só podemos efeur o produo de dus mrizes A e B se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund.. Além disso, mrizresuldo C= AB erá o número de linhs de A e i número de coluns de B. o elemeno c é oido, muliplicndo os elemenos d i-ésim linh d primeir mriz pelos elemenos correspondenes d j-ésim colun d segund mriz, e somndo eses produos. Proprieddes: i) Em gerl AB BA ii) AI IA A iii) A( B C) AB AC iv) ( A B) C AC BC v) ( AB) C A( BC) ( ssociividde) vi) ( AB) B A vii) A e A un nv. Mriz Invers Dd um mriz qudrd A de ordem n, chmmos de invers de A um mriz B l que A B B A In, onde I n é mriz idenidde de ordem n. denomos mriz 1 invers de A por A. Oservções: 1) Se A e B são mrizes qudrds de mesm ordem, ms inversíveis, enão A B é inversível e ( AB ) B A Com efeio, ( AB)( B A ) A( BB ) A AIA AA I. Anlogmene, emos ( B 1 A 1 )( AB) I 1 ) ( A 1 ) A 3) Nem od mriz em invers. 4) Se A é um mriz que em invers enão de( A ) e de( A 1 ) 1 de( A)

6 Exercícios Sejm A, B 1 1 e 3 1 Enconre: ) A + B ) AC c) BC 1 C. 4 x. Sej A. Deermine o vlor de x de modo que A sej siméric. x 1 3. Se A e B são mrizes is que AB=, enão é correo firmr que BA =. Jusifique Dds A 1 3, B e C Mosre que AB = AC. 5. Suponh que A e AB AC onde A, B, C são mrizes is que muliplicção esej definid. ) B = C? ) Se exisir Y, l que YA = I, onde I é mriz idenidde, enão B = C? 1 6. Se A A A. Clcule Explique por que, em gerl, ( A B) A AB B. 8. Um consruor em conros pr consruir 3 esilos de cs: moderno, medierrâneo e colonil. A qunidde de meril empregd em cd ipo de cs é dd pel mriz: Moderno Medierrâneo Colonil Ferro Mdeir Vidro Tin Tolo ) Se ele vi consruir 5, 7 e 1 css dos ipos moderno, medierrâneo e colonil, respecivmene, quns uniddes de cd meril serão empregds? ) Suponh gor que os preços por unidde de ferro, mdeir, vidro, in e olo sejm, respecivmene, 15, 8, 5, 1 e 1 u.c.p. Qul é o preço uniário de cd ipo de cs? c) Qul é o cuso ol do meril empregdo? 9. Dizemos que A e B são mrizes semelhnes se exise um mriz P l que 1 B P AP. Mosre que se A e B são semelhnes, enão de A de B.