MATEMÁTICA II - Engenharias/Itatiba MATRIZES

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1 MTEMÁTI II - Engenhris/Ittib o Semestre de 9 Prof Murício Fbbri -9 Série de Eercícios MTRIZES Um mtriz de dimensões m n é um conjunto ordendo de mn elementos, disostos em um grde retngulr de m linhs e n coluns NOTÇÃO: é o elemento d mtriz que está n linh i e n colun j m m m n n mn Um mtriz numéric é quel cujos elementos são números Em roblems de comutção ou de álgebr simbólic, ou n orgnizção de lnilhs, mtrizes não-numérics são utilizds r rmzenr qulquer tio de informção Trtremos neste curso ens de mtrizes numérics Se m n, mtriz é qudrd n é ordem, ou dimensão, d mtriz Um mtriz de um só linh, isto é, de dimensões n, é um mtriz linh Um mtriz de um só colun (dimensões m ) é um mtriz colun trnsost de um mtriz m n é mtri n m t tl que ( t ) ji, r i m, j n Um mtriz qudrd n n é simétric se ji, r i n e j n, isto é, t Um mtriz qudrd n n é nti-simétric se - ji, r i n e j n, isto é, t - Eercício : () Escrev mtriz qudrd de ordem tl que i+j Escrev tmbém mtriz t (b) Escrev mtriz qudrd de ordem tl que b i-j Escrev tmbém mtriz t (c) lcule s soms S j, r j,, e i (d) lcule s soms i b, r i,, e j (e) lcule som P k k b k Eercício : Se e ( ), () clcule i i (b) Escrev s mtrizes t e t i -9 Muricio Fbbri

2 IGULDDE Dus mtrizes são iguis se e só se els tem s mesms dimensões e os mesmos elementos ns mesms osições MULTIPLIÇÃO POR ESLR Se é um mtriz m n e λ um número (esclr), então λ b λ, i m, j n DIÇÃO E SUTRÇÃO Sendo e mtrizes m n, + c + b, i m, j n - c - b, i m, j n Eercício : Sendo e s mtrizes definids no eercício, encontre s mtrizes +, D - e E Eercício : Encontre e tis que: () (c) ( ) ( ) ( ) (b) ( ) ( ) ( ) LGUM MTRIZES ESPEIIS Um mtriz qudrd é digonl qundo r i j mtriz identidde de ordem n, denotd or I n, é um mtriz digonl onde todos os elementos d digonl são iguis Eercício : Sendo, encontre mtriz X tl que: () + X I (b) X I Eercício : (um mtriz tridigonl) Escrev mtriz,, tl que b - se se se i j i - j i j ou i - j -9 Muricio Fbbri

3 Eercício : (mtriz de ermutção) Dd um seqüênci de N objetos em um dd ordem, um ermutção dess seqüênci é obtid escrevendo esses mesmos objetos em um outr ordem Por eemlo: s ermutções ossíveis d seqüênci {vermelho, verde, zul, reto} são: P {vermelho, verde, zul, reto} P {vermelho, verde, reto, zul} P {vermelho, zul, verde, reto} P {vermelho, zul, reto, verde} etc É fácil mostrr que o número de ermutções ossíveis entre N objetos é N! N(N-)(N-) (eistem etmente ermutções entre os objetos cim, verifique!) d ermutção de N objetos ode ser reresentd or um mtriz, d seguinte mneir: - Tome N objetos e N osições Numere os objetos de N; isto vi definir um seqüênci inicil de objetos ocundo cd um um ds N osições; - um ermutção desses objetos é um configurção desses N objetos ocundo, cd um, um dos N lugres ossíveis d um ds configurções ossíveis ode ser reresentd or um se o objeto i ocu o lugr j mtriz P, N N, onde (note que s linhs corresondem os objetos, cso contrário e s coluns corresondem às osições) Por eemlo, sej {vermelho, verde, zul, reto} seqüênci inicil Então ermutção {vermelho, verde, reto, zul} será reresentd el mtriz Note que um mtriz de ermutção terá etmente um elemento em cd colun ou linh () escrev mtriz ermutção corresondente {vermelho, verde, zul, reto} {vermelho, reto, zul, verde} (b) escrev mtriz ermutção corresondente {vermelho, verde, zul, reto} {vermelho, verde, zul, reto} (c) escrev mtriz ermutção corresondente { } { } Eercício : (mtrizes de grfos) Um grfo é um rrnjo de ontos conectdos entre sí or segmentos Esss coneões odem ser reresentds or um mtriz G (chmd de mtriz de incidênci), de modo que g se os ontos i e j estão conectdos; cso contrário g convenção mis comum é de que o onto i não estej conectdo consigo mesmo, ou sej, g ii Por eemlo, r o grfo teremos G -9 Muricio Fbbri

4 () O que significm s soms dos elementos de cd linh de G, L i g? j (b) O que significm s soms dos elementos de cd colun de G, i N N j g? (c) Escrev s mtrizes de incidênci dos seguintes grfos: MULTIPLIÇÃO DE MTRIZES Se o número de coluns d mtriz é igul o número de linhs d mtriz, isto é: é um mtriz m n é um mtriz n definimos o roduto de como sendo mtriz, m, tl que c k n ik b kj Ou sej, o elemento c de é obtido multilicndo os termos d linh i de com os termos corresondentes d colun j de Por eemlo, se, com e, então o elemento c será: c ()(-) + (-)() + ()(-) O resultdo finl será PROPRIEDDES DO PRODUTO O roduto de mtrizes não é comuttivo, isto é, em gerl, Dizemos que s mtrizes e comutm qundo (este é um cso bstnte esecil) O roduto é ssocitivo, isto é, () () (reseitndo ordem) -9 Muricio Fbbri

5 O roduto é distributivo, isto é, ( + ) + () t t t (note ordem dos ftores!) mtriz identidde I de ordem n é tl que I, r qulquer mtriz m n, e I r qulquer mtriz n Se é um mtriz qudrd de ordem n, então I I Eercício 9: Sendo e encontre s mtrizes, D e R - Eercício : Encontre s mtrizes e, sendo mtriz definid no eercício 9 Eercício : Encontre mtriz t, onde é mtriz definid no eercício 9 Eercício : Um vetor no esço crtesino tem três coordends, e ode ser reresentdo or um mtriz linh, or eemlo, V (, -, ) O roduto esclr entre dois vetores e é definido como t, e norm de um vetor V é V V V O ângulo entre e é Ddos os vetores (,, -) e (-,, ) encontre,, cos e o ângulo entre e Eercício : Encontre e de modo que X, onde, X e Eercício : () Encontre dus mtrizes qudrds e de ordem tis que, ms nenhum dels é mtriz ( mtriz tem todos os elementos iguis zero) (b) Se, odemos firmr que s mtrizes e são iguis? Eemlifique Eercício Encontre mtriz X tl que X Eercício Definindo um sistem de eios crtesinos e no lno, cd onto P do lno ode ser reresentdo or um mtriz colun P, contendo s coordends desse onto (ess mtriz é o vetor de coordends do onto) Se multilicrmos esse vetor or um mtriz numéric qudrd T,, obtemos s coordends de um novo onto P ( P TP ) mtriz T define um trnsformção liner no lno, ou memento liner; idéi é que cd onto P é medo r o onto P el trnsformção T O onto P é chmdo de imgem de P gerd el trnsformção T P P T -9 Muricio Fbbri

6 () Encontre s imgens dos ontos trnsformção T, (b) (diltção) Qul o efeito d memento lno?, e gerds el T qundo licdo os ontos de um figur no (c) (refleão) Qul o efeito de T? (d) (rotção de 9 o ) lique trnsformção T os vértices do triângulo d figur o ldo O que esse memento fz? (e) Mostre que dus trnsformções lineres T e V, licds sucessivmente e ness ordem (rimeiro T e deois V), é equivlente um únic trnsformção liner P, que ode ser encontrd fzendo o roduto VT, isto é, P VT (f) Dê um eemlo de dus trnsformções lineres que comutm, isto é, VT TV (g) Dê um eemlo de dus trnsformções lineres que não comutm, isto é, VT TV (h) Um trnsformção liner é róri se o determinnte de T não é nulo Mostre que um ret, qundo med or um trnsformção liner róri, result em outr ret (i) Encontre trnsformção liner que mei o triângulo no triângulo, em cd um dos seguintes csos: () () () (j) Encontre trnsformção liner no lno que corresonde um rotção de um ângulo θ, no sentido nti-horário, o redor d origem - REFERENIS Fuller, LE; sic Mtri Theor Prentice_hll, 9 Mumford, D, Series, nd Wright, D; Indr s Perls The vision of Feli Klein mbridge Universit Press, -9 Murício Fbbri MT/INPE: htt://wwwlsinebr/~fbbri Universidde São Frncisco USF Ittib/mins htt://wwwsofrnciscoedubr São Pulo - rzil Permitido uso livre r fins educcionis, sem ônus, desde que sej citd fonte -9 Muricio Fbbri

7 -9 Muricio Fbbri RESPOSTS Eercício : () ; t (b) ; t (c) S S S S (d) - - (e) P - Eercício : () S (b) ( ) t ; t Eercício : D 9 9 E Eercício : () (b) (c) Eercício : () X (b) X Eercício : Eercício : () (b) I (c)

8 -9 Muricio Fbbri Eercício : Eercício 9: R D Eercício : Eercício : Eercício : o Eercício : e - Eercício : () or eemlo, e (b) bst que (-) Por eemlo, Eercício : X Eercício : () (b) o efeito é dobrr s coordends de todos os ontos d figur, resultndo num figur dus vezes mior (c) refletir um onto em torno do eio (como se o eio fosse um eselho) (d) (,) (,) ; (,) (,) e (,) (-,) o efeito é girr o triângulo no sentido nti-horário de 9 o em relção à origem : (f) um diltção (or eemlo, ) e um refleão (or eemlo, ) (g) um refleão (or eemlo, ) e um rotção (or eemlo, ) (h) Lembremos que os ontos (,) estão todos sobre um ret se +, onde, e são constntes e e não são simultnemente nulos trnsformção liner s r q T, licd um onto do lno, result no onto + + s r q Portnto + + s r q Multilicndo rimeir equção or (-r), segund or () e somndo, obtemos (s-rq) -r Multilicndo rimeir or (-s), segund or (q) e somndo, obtemos (rq-s) q -s Defin λ (s-rq), o determinnte de T Note que devemos ter λ r que T reresente um memento ceitável de (,) r (, ) hegmos então às equções λ λ () () s q r gor suonh que (,) estej sobre um ret, ou sej, que + Multilique equção () or (), equção () or (-), e some s dus Obtemos um relção d form M +N P, com M, N e P constntes Portnto, os ontos (, ) tmbém estrão sobre um ret onfir que, sendo λ, s constntes M e N não serão simultnemente nuls

9 (i) () / / / () () / / (j) Há um técnic eficiente r se encontrr mtriz de um trnsformção liner desejd st notr que um onto qulquer do lno ode ser escrito como +, trtndo e como esclres Se mtriz de um trnsformção T é, então o resultdo dess b q trnsformção sobre o vetor é o vetor rimeir colun de T E o resultdo de T é b o vetor segund colun de T Portnto, bst encontrr o resultdo do memento T q sobre os vetores-bse e O resultdo de um rotção nti-horári de um ângulo θ o redor d origem, sobre o vetor, é cosθ o vetor, e sobre sen θ sen θ, result cosθ sen θ Portnto T cosθ Note que o sen θ cosθ determinnte de T é igul θ P P P θ P -9 Murício Fbbri MT/INPE: htt://wwwlsinebr/~fbbri Universidde São Frncisco USF Ittib/mins htt://wwwsofrnciscoedubr São Pulo - rzil Permitido uso livre r fins educcionis, sem ônus, desde que sej citd fonte -9 Muricio Fbbri