3.1 Integral Tripla em um bloco retangular e o Teorema de Fubini

Transcrição

1 Objetivos 3. Os objetivos dest Aul são: introduzir o conceito de integrl tril; enuncir o Teorem de Fubini que, nlogmente o cso d Integrl ul, ermite clculr integrl tril or meio d integrl reetid; utilizr integrl tril r encontrr o volume de regiões do esço limitds or suerfíces; usr coordends cilíndrics e coordends esférics no esço 3 r clculr integrl tril em regiões com certos tios de simetri. 3. Integrl Tril em um bloco retngulr e o Teorem de Fubini A definição de integrl tril segue etmente os ssos d integrl dul. As dificulddes que gerlmente ocorrem estão n descrição ou n decomosição do domínio de integrção, que é gor um região do esço tri-dimensionl cujo bordo é formd or um união de suerfícies. eetiremos ssim, de modo sumário o que foi feito ns seções nteriores. Primeirosso: integrltrilemumblocoretngulr. Sej =,b] c,d],q] 3 um bloco retngulr. Sej f : U 3 é um função contínu definid em um berto U que contém e P um rtição de em blocos ijk = i, i+ ] y j,y j+ ] z k,z k+ ] formd rtir de rtições de cd um dos intervlos. Ou sej, considermos = < < 2 <... < n = b, y = c < y < y 2 <... < y l = d e z = < z < z 2 <... < z m = q. Como nteriormente, o tmnho de um rtição P é denotd P = m{( i+ i ),(y j+ y j ),(z k+ z k )} e s(f,p) = f( i,y j,z k )( i+ i )(y j+ y j )(z k+ z k ), onde ( i,y j,z k ) é um onto qulquer do bloco ijk. efinição 3.. A integrl tril d função f(,y,z) no bloco retngulr é igul : f(,y,z)dv = lim s(f,p) P Note que se f(,y,z) =, então s(f,p) é igul o volume do bloco, ou sej (b )(d c)(q ). Logo dv = (b )(d c)(q ), o que justific chmrmos dv de elemento de volume em coordends crtesins. Segundo sso: utilizmos o chmdo Teorem de Fubini, que de mneir semelhnte cso bi-dimensionl, firm que r fzer um integrl tril odemos fzer s integris iterds que gor serão três. Conforme ordem em que fzemos integrl reetid escrevemos dv = ddydz ou qulquer um ds ermutções de d, dyedz. e mneir mis recis:

2 Teorem 3.. (Fubini) Se f : U 3 é um função contínu definid em um conjunto berto que contém um bloco retngulr =,b] c,d],q] então f(,y,z)dv = q d b c f(, y, z)d]dy]dz e fto, odemos clculr integrl usndo qulquer um ds ermutções do elemento de volume. Entretnto, é reciso tenção r que ordem em que escrevemos o limites de integrção sej comtível. Assim, no enuncido cim, temos: f(,y,z)dv = b q d c f(, y, z)dy]dz]d Vejmos lguns eemlos de como clculr integrl tril em um bloco retngulr utilizndo o Teorem de Fubini: Eemlo 3.2 Vmosclculr f(,y,z)dv onde =,],],],f(,y,z) = yz. Como função dd é simétric or ermutções ds vriáveis, não há vntgem de escolh d ordem de integrção. Assim, escrevemos: A rimeir integrl A segund Finlmente yz 2 z 4 yz2 yzd = 2 4 ] dy = zy2 = z 4. z2 d = 8 = 8. yzdv = = yz 2. yzd]dy]dz Eemlo 3.3 =,],],2], f(,y,z) = e y z 2. Observe que se escolhermos integrr rimeir rcel n ordem ddydz, então rimeir integrl será ey d que envolve um integrção or rtes. Entretnto, se escolhermos integrr rimeirmente em relção y, então teremos: ey dy = e y = e e, bem mis fácil (e ráido). Assim sendo escrevemos e y z 2 dv = 2 e y z 2 dy]d]dz. É clro que já vimos este tio de escolh n integrl dul. O Teorem de Fubini é imortnte orque nos ermite trocr ordem de integrção conforme noss conveniênci. Prosseguindo com o eemlo: e y z 2 ]dy = e e 2z 2 e e 2z 2 ]d = e +e 2z 3 3 ] = e e 2z 3! " # $ % & ' ( ) *! ' ( * ( '! *

3 E finlmente, 2 e e 2z 3 ]dz = ez e z z2 3,] 2 = e e 4 3 e y z 2 dv = e e = e e. Cbe gor ergunt: em que tio de regiões do esço lém dos blocos retngulres odemos definir integrl tril? Vejmos lgums resosts: I) O rimeiro tio de região segue imeditmente d integrl dul ois é região do tio roduto I, de um região ln limitd or dois gráficos de funções e um intervlo I =,b] Anlisemos o seguinte eemlo: =: {(,y) b;φ() y ψ()}, I =,q]. O cálculo é feito or meio d integrl reetid (Teorem de Fubini). Observe que fidos e y, então função F(,y) = q f(,y,z)dz é um função contínu. Logo odemos clculr integrl dul F(,y)dA como fizemos nteriormente: F(,y)dA = b ψ() φ() F(, y)dy]d 8 Eemlo 3.4 Encontre ( + y + z)dv, r definid els desigulddes y 2 e z. Solução: Pelo Teorem de Fubini, clculmos integrl iterd em. Já sbemos que z. Portnto, bst descrever região ln que corresonde os ontos do domínio de integrção. Porém, est região é definid els desigulddes y 2. Vemos que s curvs y = e y = 2 que limitm região se intersectm em = 2 ou sej r os vlores = e =. ess form, região é descrit els desigulddes z, y 2 e. Logo, 2 (+y +z)dv = (+y +z)dzdyd. Clculmos gor integrl iterd: 2 (+y+z)dzdyd = 2 (+y)z+ z2 2 ] dyd = 2 +y+ 2 ]dyd., -., / , , +

4 : ; 2 +y + 2 ]dyd = 2 y + y2 2 + y 2 ] 2 d +y + 2 ]dyd = ]d = 7 3 II) Pr regiões limitds or gráficos g(, y) z h(, y) sobre um retângulo =,b] c,d] o rocedimento é semelhnte: integrl F(,y) = h(,y) g(,y) f(,y,z)dz define um função contínu de modo que o Teorem Fubini imlic em f(,y,z)dv = F(,y)dA = h(,y) g(,y) f(,y,z)dz]da. III) egião do esço limitd elo gráfico de dus funções: g(,y) z h(,y). Observe que não está esecificd região do lno que corresonde à integrl. evemos rimeirmente resonder à ergunt: Qul é o conjunto dos ontos do lno (,y) que corresondem à região? Melhor dizendo, qul é o conjunto de ontos (,y) r os quis é válid desiguldde g(,y) h(,y)? Eemlo 3.5 Se g(,y) = 2 + y 2 e h(,y) = 2 2 y 2 e o domínio de integrção é ddo or := 2 +y 2 z 2 2 y 2 então estmos interessdos em obter o subconjuto := {(,y) 2 +y y 2 }. Or, determinr signific descrever os ontos que stisfzem à inequção 2 +y y 2 2 isto é, 2 +y 2. Ou sej é o conjunto de ontos interiores o círculo de rio. < No cso gerl, rocedemos d mesm mneir, rimeirmente obtemos o conjunto de ontos do lno que stisfzem à inequção g(,y) h(,y) e, em seguid, usmos novmente o Teorem de Fubini r obter: f(,y,z)dv = F(,y)dA = h(,y) g(,y) f(,y,z)dz]da. Um recomendção: r fzer integrção neste tio de região, é útil ter um bom esboço dos gráficos ds funções envolvids r seguir, determinr região dos ontos do lno que corresonde o domínio de integrção. Observe que é recismente imgem do domínio el rojeção ortogonl π(,y,z) = (,y). Logo, é região ln limitd el curv de equção g(,y) h(,y) =. 9! " # $ % & ' ( ) *! ' ( * ( '! *

5 >? Eemlo 3.6 Encontre zdv r região do esço limitd elos gráficos = z 2, =, entre os lnos y = e y =. Solução: observe que el descrição d região de integrção, é mis conveniente escrever dv = ddzdy n integrl iterd. Assim descrevemos os limites de integrção n seguinte form: fidos y e z vrição de é dd el desiguldde z 2. A intersecção dos gráficos é dd or z 2 = ou sej z = e z =. Portnto, s seguintes desigulddes definem os limites de integrção r integrl iterd: z 2, z e y. Portnto, zdv = z 2 z( z 2 )]]dzdy = zddzdy = z2 2 z4 4 ] z( z 2 )]]dzdy dy = 2 Eercício 3.7 Como seri integrl reetid escrit n form ddydz? oteiro 3.8 Em qulquer um ds situções descrits r clculr integrl tril, integrl reetid é obtid rtir d descrição d região de integrção d seguinte form. Suonh que escolhemos fzer integrção n ordem dyddz: rimeirmente, fimos dus vriáveis e z e obtemos um desiguldde envolvendo gráficos de funções, or eemlo, h(,z) y g(,z). Em seguind, rojet-se região em um região de integrção ds demis vriáveis. Fid vriável z, região tmbém é descrit or um desiguldde do tio φ (z) φ 2 (z). Finlmente, rojeção d região sobre o eio Oz é um intervlo descrito or um desiguldde: z b. Temos então: f(,y,z)dv = 3.2 Coordends Cilíndrics b φ2 (z) g(,z) φ (z) h(,z) f(,y,z)dyddz Se usrmos coordends olres no lno Oy e coordend crtesin usul no eio Oz, obteremos um sistem de coordends no 3 denomindo Coordends Cilíndrics definido or: = rcos(θ), y = rsen(θ) e -., / , , =