Aula 6: Determinantes

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1 Aul 6: Determinntes GAN-Álg iner- G 8 Prof An Mri uz F do Amrl

2 Determinntes Relembrndo Vimos que: Se A é x e det(a) então existe A - ; Se existe A - então o sistem liner Axb tem solução únic (x A - b) Podemos concluir que estes conceitos estão relciondos: Determinntes ~ sistems lineres ~ invertibilidde

3 Definição Determinnte é: Um número rel ssocido um mtriz qudrd Um função rel de um vriável mtricil, isto é, é um função que ssoci um número rel um mtriz qudrd det : M n ( IR) IR A det( A)

4 omo obter o determinnte? Há váris forms equivlentes de se definir determinnte, o que fornece forms lterntivs de cálculo, dequds pr diferentes forms de mtrizes

5 Permutções (simples)

6 Produtos elementres Se A é um mtriz nxn, dizemos que um produto de n entrds de A, tis que não há dus d mesm linh ou colun de A é um produto elementr d mtriz A A produtos elementres omo A é x pr construir os produtos elementres devemos ter elementos de linhs distints, então estmos fzendo um permutção do conjunto {,} ns posições ds coluns

7 Produtos elementres produtos elementres De qunts mneirs diferentes podemos orgnizr os elementos do conjunto dos inteiros {,,}? omo A é x pr construir os produtos elementres devemos ter elementos de linhs distints, então estmos fzendo um permutção do conjunto {,,} ns posições ds coluns: _ produtos elementres,,,,

8 Produto elementr com sinl Um produto elementr j j Multiplicdo por + ou - é chmdo produto elementr com sinl de A Nós usmos o + se (j,j,,j n ) é um permutção pr e o se (j,j,,j n ) é um permutção ímpr n j n

9 omo determinr o sinl do produto elementr: Um permutção (j,j,,j n ) tem um inversão se um inteiro j r precede um inteiro menor j s

10 Finlmente, o determinnte de A é escrito simbolicmente como det( A) j j n jn onde o símbolo do somtório indic que os termos devem ser somdos sobre tods s permutções (j,j,,j n ) e o + ou é seleciondo de cordo com permutção sendo pr ou ímpr

11 Exemplo: determinnte de ordem + + Regr de Srrus:

12 Proprieddes d função determinnte Sej A um mtriz qudrd nxn D: O determinnte de um mtriz é único D: Se A tem um linh ou colun de zeros, então det(a) D: det(a)det(a T ) D: Se A é um mtriz tringulr então det(a) é o produto ds entrds d digonl principl det( A ) D5: Se B é mtriz que result qundo um únic linh (ou colun) de A é multiplicd por um esclr k, então det(b)k det(a) D6: Se B é mtriz que result qundo dus linhs (ou coluns) de A são permutds, então det(b) - det(a) nn

13 Mis proprieddes dos determinntes D7: Se B é mtriz que result qundo um múltiplo de um linh de A é somdo um outr linh de A, ou qundo um múltiplo de um colun de A é somdo um outr colun de A, então det(b) det(a) D8: Se A tem dus linhs proporcionis ou dus coluns proporcionis, então det(a)

14 álculo do determinnte por tringulrizção As proprieddes vists té gor nos permitem clculr o determinnte de um mtriz utilizndo s operções elementres Exemplo: lcule det(a) onde Observe que: A

15 álculo do determinnte por tringulrizção 6 ) ( ) det( A

16 Mis proprieddes dos determinntes D9: Sejm A e B mtrizes nxn e k um esclr qulquer temos que: det( ka) k n det( A) Exemplo: det( k ka ) k k k k k k k k D: Sejm A, B, mtrizes nxn que diferem em um únic linh (r-ésim), suponh que nest linh pr todo j,,n então: Exemplo: (Qudro) ( ) ( A) + ( B) rj rj det( ) det( A) + det( B) rj

17 Mis proprieddes dos determinntes D: Se B é um mtriz nxn e E é um mtriz elementr nxn então: onsequênci: D: Um mtriz qudrd é invertível se, e somente se, det(a) D: Se A e B são mtrizes qudrds de mesmo tmnho então: D: Se A é invertível então: det( EB ) det( E)det( B) det( EE ErB) det( E)det( E) det( Er )det( B) det( A B) det( A ) det( A)det( B) det( A) D5: Se A é ortogonl (A - A T ) então det(a - ) ou -

18 Determinntes, sistems e invertibilidde Teorem do urso : Se A é um mtriz nxn, então s seguintes firmções são equivlentes: ) A é invertível b) Ax só tem solução trivil c) A form esclond reduzid por linhs de A é I n d) A pode ser express como um produto de mtrizes elementres e) Axb é consistente pr cd vetor colun b de tmnho nx f) Axb tem extmente um solução pr cd vetor colun b nx g) det(a)

19 Expnsão em coftores Definição: (menor de ij ) Se A é um mtriz qudrd então o determinnte menor d entrd ij, ou simplesmente o menor de ij é denotdo por M ij e definido como o determinnte d submtriz que sobr qundo suprimido i- ésim linh e j-ésim colun de A Exemplo: Sej M A , o menor de Definição: (coftor de ij ): O número (-) i+j M ij é chmdo de coftor de ij e será denotdo por ij é

20 Expnsão em coftores Observe fórmul pr o determinnte de ordem : ( M + M + ) + M ( + + ) + ( ) (expnsão em coftores o longo d primeir linh)

21 Expnsão em coftores Teorem: O determinnte de um mtriz A (nxn) pode ser obtido pel som dos produtos dos elementos de um fil qulquer (linh ou colun) d mtriz A pelos respectivos coftores Ests soms são denominds expnsões em coftores de det(a) det( A ) i i i i in (expnsão em coftores o longo d linh i) in det( ) j j + j j A + + (expnsão em coftores o longo d colun j) nj nj

22 Expnsão em coftores Definição: (mtriz de coftores e djunt de A) Se A é um mtriz qudrd de ordem n e ij é o coftor de ij então mtriz A n n n n nn é chmd mtriz de coftores de A A trnspost dest mtriz é chmd djunt de A e denotd por dj(a)

23 Fórmul pr invers de um mtriz Teorem: Se A é um mtriz nxn, invertível então A Idéi d prov: Mostr se que: dj( A) det( A) A dj( A) det( A) I omo A é invertível, det(a) Portnto equção pode ser reescrit como: det( A) det( A) A dj( A) I ou A[ dj( A)] I Multiplicndo-se mbos os ldos à esquerd por A - obtemos: A dj( A) det( A)

Então, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) =

Então, det(a) = 1x3 1x2 = 3 2 = 1. Determinante de uma matriz 3 x 3 Regra de Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus) Definimos det(a) = Determinnte de um mtriz Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det - E.: Sej mtriz Então, det Determinnte de um mtriz Regr de Srrus Pierre Frédéric Srrus Sej um mtriz qudrd de ordem. Definimos det Regr

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