ÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

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1 EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS

2 Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre equção d form EQUAÇÃO LINEAR ns incógnits x, x, x,..., x, x x x... + x onde,,,..., são os coeficientes d equção Exemplos: ) 3x = n 2 3 n n n 2 3 n x, x, x,..., x termos desconhecidos(incógnits) d equção b) 3x 5x = 8 2 c) 2x - x + x = 2 3 Solução de um Equção Liner em são tmbém chmdos vriáveis. com n incógnits A solução de um equção liner com n incógnits é sequênci de n números reis que torn iguldde que define equção um sentenç verddeir. Nos exemplos nteriores temos: 5 ) S = 3 b) dupl ou pr ordendo (,) é um solução c) tern ordend (,,0) é um solução As equções b) e c) n verdde têm infinits dupls ou terns ordends, respectivmente como solução. Exercício Proposto.. Escrev 3 equções lineres com 2, 3 e 4 incógnits respectivmente. 2. A equção 2x + 3y - t + z = 4 tem infinits quádrupls como solução. Determine pelo menos um dels. 3. As quádrupls (, -2, 3, 4), (, -2, 3, ) stisfzem equção 2

3 2x + 3y - t + z = 4? Justifique su respost. SISTEMA LINEAR Sistem Liner Sej m, n * Sistem Liner de m equçõe e n incógnits é um conjunto de m equções, com cd um desss equções contendo n incógnits e considerds simultnemente. S: x 2x2 3x nxn 2x 22x2 23x nxn 2... mx m2x2 m3x mxn m Observção : ) se m=n o sistem é chmdo Exemplos: sistem liner de ordem n. 2) se = =... = 0 o sistem é 2 3 m chmdo sistem Liner Homogêneo. 4x - 2y = 8 ) onde m= 2 e n = 2 2x + 5y = 6 2x + 3y + z= 3 b) onde m= 2 e n = 3 2x - 5y - 3z= 0 2x + 3y + z= 3 c) 4x - 9y - 0z = - onde m= 3 e n= 3 2x - 5y - 3z = 0 Solução de um Sistem Liner m x n Sej o sistem liner S de m equções e n incógnits. 3

4 S: x 2x2 3x nxn 2x 22x2 23x nxn x x x... + x m m2 2 m3 3 m n m A solução do sistem S, cim, é n-upl ordend de números (b, b, b,...,b ) tl que substituindo-se 2 3 n x, x, x,..., x por b, b, b,...,b ness mesm ordem, 2 3 n 2 3 n em cd equção do sistem, iguldde se verific verddeir pr cd um equção do sistem. Exemplos: 4x - 2y = 8 ) onde m= 2 e n = 2 2x + 5y = 6 A solução é S= 3,2, pois, = 8 (V) = 6 (V) x - y + z = b) 2x + y + 2z = 0 onde m= 3 e n=3 3x - y + z = 2 A solução é S= 0,-,, pois, 3 3 4

5 = (V) = 0 (V) = (V) 3 Clssificção do Sistem Qunto Solução Com relção solução, um sistem liner pode ser: ) Consistente e determindo ou possível e determindo ou comptível e determindo qundo tem sòmente um solução. 2) Consistente e indetermindo ou possível e indetermindo ou comptível e indetermindo qundo tem mis de um solução. 3) Inconsistente ou impossível ou incomptível qundo não tem solução. Sistems Equivlentes Sejm S e S sistems de equções lineres m x n. O sistem S é equivlente o sitem S e escrevemos S se têm mesm solução. 5 6x + 5y = 27 2x + y = 9 Exemplo: S S 3 5x - 4y = -2 5x - 4y = -2 Os sistems S e S são equivlentes, pois,o pr ordendo (2,3) é solução do sistem S e do sistem S. Fremos então comprovção: = = 9 S S = = = = 9 S S 0-2 = = -2 S, se e só 5

6 Exercício Proposto.2 ) O que é um sistem liner? 2) O que é um solução de um sistem liner? 3) Com relção solução como podem ser clssificdos os sistem lineres? 4) O que são sistems equivlentes? 5) Resolv os sistems lineres: x - y - 2z= 3x + 2y = 6 x + 2y = 6/3 -x + y + z = 2-2x - 3y = 7-2x - 3y = 7/4 2x -2y + z =-2 6

7 GEOMETRIA DAS EQUAÇÕES LINEARES Vetores Geométricos São entes mtemáticos definidos por segmento de ret orientdo. Notção: AB - vetor AB de origem em A e extremo em B. 2 Correspondênci entre Vetores Geométricos e Pontos do Plno ( ) 7

8 2 2 Ao ponto P = (x2 -x 2 Ao vetor AB podemos ssocir o ponto do plno P de coordends (x -x, y -y ). Sejm A(x, y ) e B(x, y ) AB = B - A = (x, y ) - (x, y ) = (x -x, y -y ) , y -y ) podemos ssocir o vetor OP de origem O (0, 0). P = (x -x, y -y ) = P - O = (x -x, y -y ) - (0, 0) = OP. Exercício: O vetor AB tem origem no ponto A=(3, 5) e estrimidde no ponto B=(5, 8). ) Ache o vetor OP que tem origem no O(0, 0), ssocido o vetor AB. b) Fç representção gráfic. Vetor Oposto - Sej o vetor v=. O vetor oposto de v é o vetor designdo por -v =. b -b 3 N figur temos representção gráfic do vetor v = e do seu oposto 2-3 -v=. -2 Observção: A notção usul do vetor é n form de colun v=. Entretnto, b muits vezes por comodidde de espço escrevemos no formto horizontl v = (, b). Usmos sempre minúsculs. 8

9 Som de Vetores c Sejm os vetores u = e v = b d + c Som dos vetores u e v é vetor u + v = b + d (-2) Exemplo: sej u = e v = u + v = Diferenç de Vetores c Sejm os vetores u = e v = b d Diferenç dos vetores u e v é vetor u - v = u + (-v) A diferenç de dois vetores u e v é som do primeiro vetor com o oposto do segundo. -c -c u - v = u + (-v) = + = b -d b-d Exemplo: sej u = e v = u - v = =

10 Produto de um Vetor por um Número. Sej o vetor v = e um número rel. Então.v =. = b b. b "Pr multiplicr um número por um vetor multiplic-se cd compontente do vetor pelo número" Exemplo: z =, w =2. =, w = 2.z

11 Combinção Liner Sejm v, v, v,..., v n vetores. 2 3 n 2 3 n Chm-se combinção liner dos n vetores v, v, v,..., v tod expressão do tipo v + v +... v onde,,..., são números re- 2 2 n n 2 n is e tmbém chmdos esclres. Exemplo: expressão 3.(, 2) + 2.(3, 2) é um combinção liner dos vetores (, 2) e (3, 2). Consequênci d definição: O resultdo d expressão 3. (, 2) + 2. (3, 2) é o vetor (9, 0), pois, temos 3. (, 2) + 2. (3, 2) = (4, 6) + (3, 5)= (9, 0). Assim, dizemos que o vetor (9, 0) é um combinção liner dos vetores (, 2) e (3, 2).

12 Representção Gráfic d Combinção Liner Imgem Geométric do Sistem Liner 2 x 2: x + 2y = 8 x=2-2x + y = - y = = + = =. Sendo -2 - est iguldde verddeir, 8 2 é combinço liner ds coluns e

13 Imgem Geométric ds Linhs do Sistem Imgem Geométric ds Coluns do Sistem 3

14 Exercício Proposto. 3 ) O que são vetores geométricos? 2) Represente no plno lguns vetores geométricos. 3) Ddo o vetor AB de origem O(3, 4) e extremo B(-2, 5). Qul é o ponto do plno ssocido o vetor AB? 2-3 4) Ddo os vetores v= e u=. 3 ) Qul o oposto de u? b) Qul o oposto de v? 3 2 5) Sej os vetores u =, v = e z = ) Determine os vetores u+v, v+z e u+z. b) Fç representção de cd som. 3 6) Ddos os vetores u =, v =. 3 2 ) Determine u - v e v - u. b) Fç representção de cd diferenç. c) Determine os produtos: -2u e 3v. d) Fç representção gráfic de cd produto. 2 7) ) Sendo u =, v =, determine o vetor ddo pel expressão -2u + 3v 3 5 e represente grficmente. b) Sej z o vetor encontrdo no ítem nterior. O vetor z é um combinção liner dos vetores u e v? c) Determine outro vetor que sej combinção liner de u e v. 8) Verifique se o vetor (-3, 2) é combinção liner: ) dos vetores v=(,3) e u = (3,2) b) dos vetores j= -,2 e t=(-2,4) x + by = c 9) Escrev n form de equção mtricil o sistem: x + b y = c 0) ) Escrev mtriz ssocid o sistem nterior. b) Escrev mtriz umentd do sistem nterior

15 RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES Existem vários métodos de resolução de um sistem liner, entre os quis, o método de Crmer e o método de eliminção de Guss-Jordn. O primeiro tem sus limitções e o segundo é mis gerl. Veremos seguir os conceitos que fundmentm o método de eliminção Guss-Jordn. Mtriz m por n sobre ( M m x n ( )) Sejm m e n números nturis não-nulos. Chm-se mtriz m por n sobre um tbel M formd de números reis distribuidos em m linh e n coluns n n Exemplos:, - 0-3, Mtriz Genéric m m2 m3... m n m x n Operções Elementres sobre s Linhs de um Mtriz ) (Troc) Trocr dus linhs entre si. b) (Mudnç de escl) Multiplicr um linh por um número diferente de zero. c) (Substituição) Substituir um linh pel som del com outr linh multiplicd por um número diferente de zero. ) (Troc) Trocr dus linhs entre si. Troc d ª e 3ª linhs A = A 2= b) (Mudnç de escl) Multiplicr um linh por um número diferente de zero. Multiplicção d 2ª linh por / A 2= A 3= 2/3 -/3 2/

16 c) (Substituição) Substituir um linh pel som del com outr linh multiplicd por um número diferente de zero. Substituição d 3ª linh pel ª linh multiplicd por (-2), somd com 3ª linh -2 x + 2 = 0, -2 x (-) + (-) =, -2 x (-) + = 3, -2 x (-) + (-) =, A 3= 2/3 -/3 2/3 A 4= 2/3 -/3 2/ Form Esclond de Um Mtriz Sej M um mtriz retngulr A mtriz M está n form esclond se são stisfeits s seguintes condições: i) Tods s linhs não-nul d mtriz estão cim de qulquer linh nul. ii) O primeiro elemento d ª linh é não-nulo e todos elementos bixo dele são nulos. iii) O número de "primeiros elementos nulo", prtir d 2ª linh é mior que o número de "primeiros elementos nulo" d linh nterior. A mtriz M está n form esclond reduzid se está n form esclond e ind são stisfeits s seguintes condições: i) Em cd linh o º elemento não-nulo é igul. ii) Em cd colun os elementos cim do elemento igul é nulo. * # # # # # * # # # # # * # # # # # 0 * # # # # 0 * # # # # 0 * # # # # Mtrizes Esclonds 0 0 * # # # 0 0 * # # # * # * # # * # # * * #

17 Mtrizes Associds um Sistem Liner Sej o Sistem Liner x 2x2 3x nx n 2x 22x2 23x nxn 2 S :... mx m2x2 m3x mxn m n n m m2 m3 m n É chmd Mtriz do Sistem ou Mtriz dos Coeficientes n n 2... m m2 m3... m n É chmd Mtriz Aumentd do Sistem ou Mtriz Complet do Sistem 2.. É chmd Mtriz dos Termos Independentes " Se s mtrizes umentds de dois sistems lineres forem equivlentes por linh, os dois sistems são equivlentes e então têm mesm solução." Notção Mtricil de um Sistem Liner x 2x2 3x nxn 2x 22x2 23x nxn 2 Sej o Sistem Liner S:... mx m2x2 m3x mxn m... x 2 3 n x n.. = m m2 m3 m n x n m ou A.X = b onde 7

18 A = n n m m2 m3 m n Mtriz do Sistem ou Mtriz dos Coeficientes x x2 2 X =. Mtriz ds Vriáveis e b =. Mtriz dos Termos Independentes.. x n m Exercício: Usndo o método de Guss-Jordn, resolv o sistem liner: x - 2x 2 + 3x 3-5x 4 + 2x 5 = - -x - 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 3 2x x 2 + 4x 3 + 5x 4 + 3x 5 = 5x + 5x 2 + 3x 3-6x 4-8x5 = - 8

19 Exercício Proposto.4 ) Resolv os sistem 3x3 usndo Regr de Crmer e o método de Guss(Esclonme nto) 9

20 2) Resolv os sistem 4x4 usndo o método de Guss(Esclonmento) 20