I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS

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2 I REVISÃO DE CONCEITOS BÁSICOS. Elementos Básicos de Mtemátic. Regrs de Sinis ADIÇÃO: - qundo os números tem o mesmo sinl, somm-se os módulos e tribui-se o resultdo o sinl comum. E: (+)+(+9)=+4 ou 4 (-)+(-)= -8 - qundo os números tem sinis contrários, subtrem-se seus módulos e tribui-se o resultdo o sinl do mior número em módulo. E: (+7)+(-)=+ ou (+4)+(-6)= - SUBTRAÇÃO: - n subtrção ou diferenç de dois números reltivos, deve-se somr o primeiro número com o simétrico do segundo. E: (+)-(+)= (+) + (-) = + ou E: (+)-(-)= (+) + (+) = +8 ou 8 E: (-)-(-)= (-) + (+) = - E: (-)-(+)= (-) + (-) = -8 Obs: qundo se oper com diversos números reltivos, primeiro somm-se todos os positivos entre si e todos os negtivos entre si. Por fim plic-se regr nterior. E: = +0 9 = + ou = +6 6 = -7 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO - Pr multiplicção (ou produto) de dois números reltivos, multiplicm-se os módulos e tribui-se o resultdo o sinl positivo (+), se os dois números possuírem sinis iguis; e o sinl negtivo ( -), se os dois números possuírem sinis contrários. A mesm regr é utilizd pr divisão de dois números reltivos. E: (+). (+) = +9 ou 9 (+). (-8) = -40 (+) : (+) = +6 ou 6 (-00) : (-) = +4 ou 4 (-). (-). (-) = -0 (-). (+6). (-7) = +4 ou 4

3 .. Teori dos Conjuntos - Noções de Conjuntos Símbolos : pertence : eiste N : não pertence : não eiste : está contido : pr todo (ou qulquer que sej) : não está contido : conjunto vzio : contém : não contém / : tl que : implic que : se, e somente se N: conjunto dos números nturis N=0,,,,, n, Z: conjunto dos números inteiros Z:, 4,,,,0,,,,4, Q: conjunto dos números rcionis (conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, com p e q inteiros e q 0) p Q: 0,,,,,, ;,,, q Q'= I: conjunto dos números irrcionis (não dmite representção por nº inteiro em form de frção; nº não eto cuj representção deciml infinit não é periódic). E., 446 R: conjunto dos números reis (englob os nº reis e irrcionis).. Conceitos de conjuntos Conjuntos são coleções de elementos de qulquer tipo (objetos, pessos, nimis, plnts, fenômenos, números,...). São gerlmente indicdos por letr miúsculs do lfbeto ltino. Um conjunto é bem definido qundo está clro se um objeto pertence ou não ele. A su notção usul é escrever seus elementos seprdos por vírguls e entre chves, por eemplo, A, b, c. Um conjunto pode conter um número finito ou infinito de elementos. Pr epressr o fto de ser elemento do conjunto A escrevemos A (Lê-se o elemento pertence o conjunto A). De form semelhnte, se o elemento d não é elemento do conjunto A, representmos: d A (Lê-se o elemento d não pertence o conjunto A). Conjunto Universo: é um conjunto o qul pertencem todos os elementos com crcterístic definid. Gerlmente é indicdo por U. Conjuntos com pens um elemento são denomindos unitários. Conjunto vzio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vzio é representdo por { } ou. Subconjuntos: qundo todos os elementos de um conjunto A qulquer pertencem um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou sej A B (lê-se A está contido em B). Observções: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou sej ;

4 4 O conjunto vzio, por convenção, é subconjunto de qulquer conjunto, ou sej União de Conjuntos: ddos os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B o conjunto representdo por, formdo por todos os elementos pertencentes A ou B, ou sej: AB Intersecção de Conjuntos: ddos os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B o conjunto representdo por, formdo por todos os elementos pertencentes A e B, simultnemente, ou sej: Diferenç de Conjuntos: ddos os conjuntos A e B, define-se como diferenç entre A e B (nest ordem) o conjunto representdo por A-B, formdo por todos os elementos pertencentes A, ms que não pertencem B, ou sej

5 A - B Produto Crtesino: ddos os conjuntos A e B não vzios, chm-se produto crtesino A com B, o conjunto AB, formdo por todos os pres ordendos (,y), onde é elemento de A e y é elemento de B, ou sej Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então eistirão n subconjuntos de A. Símbolos ds operções : A intersecção B : A união B - b: diferenç de A com B < b: menor que b : menor ou igul b > b: mior que b : mior ou igul b : e b : ou b

6 6 A B : A está contido em B A B : A contém B.. Conjuntos Numéricos Os conjuntos numéricos eistentes são: - Conjunto dos Números Nturis (N): represent os números positivos, juntmente com o zero, N 0,,,,4,,6,. podendo ser representdo em um ret orientd: - Conjunto dos Números Inteiros (Z): são os números nturis crescidos dos números negtivos. Su representção é:, 4,,,,0,,,,4,. Assim: N Z N. Os números que se encontrm à mesm distânci do zero, em um representção gráfic, são denomindos números opostos: + é o oposto de -; +4 é o oposto de -4; +n é o oposto de n. Módulo ou vlor bsoluto de um número inteiro é distânci desse número té o vlor zero em um representção gráfic. N prátic, bst usr o vlor desprovido de seu sinl. A notção mtemátic pr módulo é colocção do número entre dus brrs verticis: + = (Lê-se: módulo de + é igul ); -4 =4 (lê-se: módulo de -4 é igul 4). - Conjunto dos Números Rcionis (Q): é o conjunto dos números inteiros, crescentds s frções positivs e negtivs. Este conjunto dmite números representdos por meio de frções dos seguintes tipos: I) todos os decimis etos; II) tods s dízims periódics; III) todos os números inteiros; IV) todos os números nturis. Su representção é: Q /, com Z e b 0. b Z Q Assim, N Q N Z Q - Conjunto dos números irrcionis (I): são números que não podem ser escritos sob form de,44... um frção; são números decimis infinitos e não periódicos. E:, ,496...,44... Podemos dizer que fzem prte do conjunto dos números irrcionis, lém do número, tods s rízes não ets e todos os decimis infinitos e não periódicos. - Conjunto dos Números Reis (R): brnge todos os números rcionis unidos com os irrcionis. Podemos representr o conjunto dos números reis por: R Q I / Q ou I. Assim, são números reis: I) todos os números irrcionis; II) todos os números rcionis; III) todos os números inteiros; IV) todos os números nturis. Assim: I R Q R Z R N N Z R Q R

7 - Conjunto dos Números Compleos (C): é constituído por todos os números que podem ser representdos d form b i onde e b são números reis e i é unidde imginári, ou sej, i. Assim, podemos dizer que R C..4. Potêncis Potênci é um produto de ftores iguis à bse, sendo tomdos tntos ftores qunto for o epoente. n onde : n ftores bse n epoente m epoente ) 0 b ) m n mn c) E. 8 6 m n mn 4 d) com 0 EX. 9 n e) E. 4 0, 06 n 4 n m mn f) E n n g) pr b 0 E. 0, 6 n b b m n m h) n E., 908 n n n n i) b c b c E Observções: - Qundo bse é positiv potênci do número é positiv; - Qundo bse é negtiv, o sinl d potênci depende do epoente: bse negtiv e epoente pr potênci do número positiv; bse negtiv e epoente ímpr potênci do número negtiv. n qundo o epoente é inteiro negtivo,, quisquer que sejm o número rel, não nulo, n e o inteiro n. - Potêncis de 0: o uso de notção científic s potêncis de 0 tem grnde plicção em tods s áres ,8 0 Eemplos: 0, 0 0 0, , 4, 0,004 4, ,0 0, Rdicis: chm-se riz enésim de um número rel Y, o número rel A que elevdo n é n n igul Y. A Y onde A é o rdicndo e n é o índice d riz e Y é riz A Y. 7

8 Eemplos: R (não eiste número rel que, elevdo o qudrdo, resulte em -6). 8 - Anlisndo os eemplos nteriores, podemos deduzir que: ) se o índice do rdicl é um número ímpr, su riz é únic e tem o mesmo sinl do rdicndo; b) os números negtivos não tem riz de índice pr no cmpo dos números reis; c) se o índice do rdicl é pr, os números positivos tem sempre dus rízes reis diferentes e simétrics; Aind: é possível retirr um ftor do rdicl; pr isso, bst dividir o epoente do rdicndo pelo índice do rdicl E n 4 9 m mn De form recíproc, pr introduzir um ftor no rdicl, multiplic-se o epoente do ftor pelo índice do rdicl - E: n b n n b ) Adição e subtrção de rdicis semelhntes: E b) Multiplicção e Divisão de rdicis de mesmo índice: E c) Redução dos rdicis o mesmo índice. 4 6 E. e m.m.c(4,6) divide - seo m.m.c pelo vlor do rdicl e multiplic - seo vlor do resultdo pelo vlor do epoente do rdicl, pr determinr o novo índice; cresent - seo mesmo vlor d divisão pelo m.m.c.como epoente do rdicndo. 4 6 e d) Multiplicção ou divisão do índice e do epoente do rdicndo pelo mesmo número: E

9 e) Potencilizção de rdicis: E De um modo gerl, n divisão de rdicis de mesmo índice, mntemos o índice e dividimos os rdicis. E. = Se os rdicis forem diferentes, devemos reduzi-los o mesmo índice e depois efetur operção. E. E. f) Rdicição de Rdicis: n m n Y m Y ; Y 0 e n, m Z 4 6 E. 7 g) Epoente frcionário: h) Rcionlizção de denomindores: - A rcionlizção de denomindores consiste em obter um frção com denomindor rcionl, equivlente um nterior que possuí um ou mis rdicis em seu denomindor. Considere frção onde seu denomindor é um número irrcionl. Multiplicndo o numerdor e o denomindor dest frção por, obtendo um frção equivlente:. Agor frção equivlente possui um denomindor rcionl. Principis csos de rcionlizção: º cso: O denomindor é um rdicl de índice. é o ftor rcionliznte de, pois X = = º cso: O denomindor é um rdicl de índice diferente de.

10 0 é o ftor rcionliznte de. é o ftor rcionliznte de é o ftor rcionliznte de é o ftor rcionliznte de.6. Logritmos: Logritmo do número N rel e positivo, em determind bse rel, positiv e diferente de, é o epoente que se deve elevr bse de modo se obter N. log N N N 0 logritmn do ou ntilogri tmo 0 bse logritmo N é o ntilogritmo - nti log N N log 4 4 E. log 8 nti log Note-se que: pois: 8 - O logritmo de em qulquer bse é igul 0 (zero); 0. 0 log 0, pois - O logritmo d bse, qulquer que sej el, é igul. log pois. log N - A potênci de bse e epoente log N N. N, pois o logritmo de N n bse é justmente o epoente que se deve dr à bse pr que potênci fique igul N. - Se dois logritmos em um mesm bse são iguis, então os logritmndos tmbém são iguis. log C log B log C B C, pois log B log C B C B. Eemplos:

11 log log 6 4 log log log log log nti log nti log log nti log nti log Sistem deciml é quele cuj bse vle 0. E. log 0 log ; qundo o logritmo for deciml indicção é somente log. - Sistem de logritmos neperinos (ou nturl) é quele que possui bse e (e é um número irrcionl que vle, e o nome deriv de John Npier); qundo o logritmo for neperino indicção será somente ln. Proprieddes: log A B Produto: log A log B log log log E. log log log A Quociente: log log A log B B log log log 0,7609 E. log log log m Potênci: log A m log A log E. log log Riz: log log,00 4 m log 4log,79 A log m log A A m

12 log E. log log 7 log 0,7487 log 0, log Mudnç de Bse: Em lgums situções podemos encontrr no cálculo vários logritmos em bses diferentes. Como s proprieddes logrítmics só vlem pr logritmos num mesm bse, é necessário fzer, ntes, conversão dos logritmos de bses diferentes pr um únic bse conveniente. Ess conversão chm-se mudnç de bse. Pr fzer mudnç de um bse pr um outr bse b us-se: log log log b b.7 Produtos Notáveis É muito comum ns epressões lgébric o precimento de certos produtos. Pr simplificr o trblho nos cálculos será muito útil plicção dos produtos notáveis. Vej o qudro bio: Produtos notáveis Eemplos (+b) = +b+b (+) = +6+9 (-b) = -b+b (-) = -6+9 (+b)(-b) = -b (+)(-) = -9 (+)(+b) = +(+b)+b (+)(+) = ++6 (+b) = + b+b +b (+) = (-b) = - b+b -b (-) = (+b)( -b+b ) = +b (+)( -+4) = +8 (-b)( +b+b ) = -b (-)( ++4) = -8 Eercícios: ) Desenvolv: ) (+y) (+y) = () +..y+y = 9 +6y+y b) ((/)+ ) ((/)+ ) = (/) +.(/). +( ) = (/4) c) ((/)+4y ) ((/)+4y ) = (/) -.(/).4y +(4y ) = (4/9) -(6/)y +6y 6 d) (+y) (+y) = () +.().y+..(y) +(y) = 8 +6 y+4y +7y

13 e) ( 4 +(/ )) ( 4 +(/ )) = ( 4 ) +.( 4 ).(/ )+. 4.(/ ) +(/ ) = (/ 6 ) f) ((/)+(4y/)).((/)-(4y/)) ((/)+(4y/)).((/)-(4y/)) = (/) -(4y/) = (4/9) -(6/)y ) Efetue s multiplicções: ) (-)(-) (-)(-) = +((-)+(-))+(-).(-) = -+6 b) (+)(-4) (+)(-4) = +(+(-4))+.(-4) = +-0 ) Simplifique s epressões: ) (+y) -y (+y) -y = +y+y -y = y b) (+)(-7)+(-)(+) (+)(-7)+(-)(+) = +(+(-7))+.(-7) + +(-+)+.(-) = = -7-9 c) (-y) -4(-y) (-y) -4(-y) = () -..y+y -4 +4y = 4-4y+y -4 +4y = y II EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (COM UMA VARIÁVEL) Equção é tod sentenç mtemátic bert que eprime um relção de iguldde. Eemplo de equções; + 8 = 0 4 = b c = 0 Não são eemplos de equções: = 7 + (não é um sentenç bert ) (não é um iguldde) - (não é sentenç bert, nem iguldde) A equção gerl do primeiro gru é dd por: b 0 onde e b são os números conhecidos (constntes) rcionis e 0. Pr resolver, subtrímos b em mbos os ldos, obtendo: b b. Dividindo gor (em mbos os ldos): Considere equção 8 = 0. A incógnit d equção (elemento desconhecido) é. Tudo o que ntecede o sinl d iguldde denomin-se º membro e o que o sucede, º membro: 8 0 º membro º membro. Qulquer prcel do º ou do º membro é um termo d equção. Entende-se como sentenç fechd quel que não possui um elemento vriável; por consequênci, sentenç bert é quel que possui pelo menos um elemento vriável.

14 Rízes de um equção Os elementos do conjunto verdde de um equção são chmdos rízes d equção. Pr verificr se um número é riz de um equção, devemos obedecer à seguinte sequênci: - Substituir incógnit por esse número. - Determinr o vlor de cd membro d equção. - Verificr iguldde; sendo um sentenç verddeir, o número considerdo é riz d equção. Eemplos: - Verifique quis dos elementos do conjunto universo são rízes ds equções bio, determinndo em cd cso o conjunto verdde. Resolv equção - = 0, sendo U = {0,,, }. Pr = 0 n equção - = 0 temos: 0 - = 0 => - = 0. (F) Pr = n equção - = 0 temos: - = 0 => - = 0. (F) Pr = n equção - = 0 temos: - = 0 => 0 = 0. (V) Pr = n equção - = 0 temos: - = 0 => = 0. (F) - Verificmos que é riz d equção - = 0, logo V = {}. Resolv equção - =, sendo U = {-, 0,, }. Pr = - n equção - = temos:. (-) - = => -7 =. (F) Pr = 0 n equção - = temos:. 0 - = => - =. (F) Pr = n equção - = temos:. - = => - =. (F) Pr = n equção - = temos:. - = => - =. (F) - A equção - = não possui riz em U, logo V = Ø. Resolução de um equção Resolver um equção consiste em relizr um espécie de operções de operções que nos conduzem equções equivlentes cd vez mis simples e que nos permitem, finlmente, determinr os elementos do conjunto verdde ou s rízes d equção. Resumindo: Resolver um equção signific determinr o seu conjunto verdde, dentro do conjunto universo considerdo. N resolução de um equção do º gru com um incógnit, devemos plicr os princípios de equivlênci ds igulddes (ditivo e multiplictivo). Eemplos: 4 Sendo, resolv equção. MMC (4, 6) = -9 = 0 => Multiplicdor por (-) 9 = -0 Como, então. Sendo, resolv equção:

15 . ( - ) -. ( - ) =. ( - 4). - Inicimos plicndo propriedde distributiv d multiplicção: = = = - Como Q, então V Equções impossíveis e identiddes Sendo, considere seguinte equção:. (6-4) =. (4 - ). Observe, gor, su resolução: = = - - = = Como nenhum número multiplicdo por zero é igul, dizemos que equção é impossível e, portnto, não tem solução. Logo, V = Ø. Assim, um equção do tipo + b = 0 é impossível qundo e Sendo, considere seguinte equção: = -. Observe su resolução: - + = = 0 - Como todo número multiplicdo por zero é igul zero, dizemos que equção possui infinits soluções. Equções desse tipo, em que qulquer vlor tribuído à vriável torn equção verddeir, são denominds identiddes. Pres ordendos Muits vezes, pr loclizr um ponto num plno, utilizmos dois números rcionis, num cert ordem. Denominmos esses números de pr ordendo. Eemplos: Assim: Indicmos por (, y) o pr ordendo formdo pelos elementos e y, onde é o º elemento e y é o º elemento. Observções: De um modo gerl, sendo e y dois números rcionis quisquer, temos:. Eemplos:

16 6 Dois pres ordendos (, y) e (r, s) são iguis somente se = r e y = s. Representção gráfic de um Pr Ordendo: Podemos representr um pr ordendo trvés de um ponto num plno. Esse ponto é chmdo de imgem do pr ordendo. Coordends Crtesins: Os números do pr ordendos são chmdos coordends crtesins. Eemplos: A (, ) ==> e são s coordends do ponto A. Denominmos de bsciss o º número do pr ordendo, e ordend, o º número desse pr. Assim: Plno Crtesino Representmos um pr ordendo num plno crtesino. Esse plno é formdo por dus rets, e y perpendiculres entre si. A ret horizontl é o eio ds bscisss (eio ). A ret verticl é o eio ds ordends (eio y). O ponto comum desss dus rets é denomindo origem, que corresponde o pr ordendo (0, 0). Loclizção de um Ponto Pr loclizr um ponto num plno crtesino, utilizmos seqüênci prátic: - O º número do pr ordendo deve ser loclizdo no eio ds bscisss. - O º número do pr ordendo deve ser loclizdo no eio ds ordends. No encontro ds perpendiculres os eios e y, por esses pontos, determinmos o ponto procurdo. Eemplo: Loclize o ponto (4, ).

17 7 Produto Crtesino Sejm os conjuntos A = {,, } e B = {, 4}. Com uílio do digrm de flechs o ldo formremos o conjunto de todos os pres ordendos em que o º elemento pertenç o conjunto A e o º pertenç o conjunto B. Assim, obtemos o conjunto: {(, ), (, 4), (, ), (, 4), (, ), (, 4)} Esse conjunto é denomindo produto crtesino de A por B, e é indicdo por: A e y B Logo: - Ddos dois conjuntos A e B, não-vzios, denominmos produtos crtesino A B o conjunto de todos os pres ordendos (, y) onde A e y B AB, y / A e y B Lê-se: o produto crtesino AB é igul o pr ordendo,y tl que (/) pertence A e Y pertence B.. Inequções de º gru Inequção de º gru é um desiguldde condiciond em que incógnit é de º gru. Símbolos de desiguldde: >, <, ;. Eemplos: > 4 < A vercidde d desiguldde está condiciond o vlor d vriável. Pr lguns vlores d vriável, inequção será verddeir e, pr outros, será fls. - Resolução de um inequção de º gru: pr determinr o conjunto-solução de um inequção do º gru, deve-se isolr vriável no primeiro membro de form nálog à solução de um equção do º gru.

18 Observção: sempre que se multiplicr ou dividir inequção por um número negtivo, inverte-se o sinl d desiguldde. Eemplo: III. EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (COM DUAS VARIÁVEIS) Considere equção: - 6 = - y Trt-se de um equção com dus vriáveis, e y, pode ser trnsformd num equção equivlente mis simples. Assim: + y = y = ==> Equção do º gru n form + by = c. Denominmos equção de º gru com dus vriáveis, e y, tod equção que pode ser reproduzid sob form + by = c, sendo e b números diferentes de zero, simultnemente. N equção + by = c, denominmos: y - vriáveis ou incógnit - coeficient e de b - coeficient e de y c - termo independen te Eemplos: y 0 y 4y 0 7y 48 y 0 y 8 Solução de um equção de º gru com dus vriáveis Quis os vlores de e y que tornm sentenç - y = 4 verddeir? bio: Observe os pres = 6, y = - y = = = 4 4 = 4 (V) = 8, y = - y = = = 4 4 = 4 (V)

19 9 = -, y = - - y = (-) = = 4 4 = 4 (V) Verificmos que todos esses pres são soluções d equção - y = 4. Assim, os pres (6, ); (8, ); (-, -) são lgums ds soluções dess equção. Um equção do º gru com dus vriáveis tem infinits soluções - infinitos (, y) -, sendo, portnto, seu conjunto universo. Podemos determinr esss soluções, tribuindo-se vlores quisquer pr um ds vriáveis, clculndo seguir o vlor d outr. Eemplo: - Determine um solução pr equção - y = 8. Atribuímos pr o o vlor, e clculmos o vlor de y. Assim: - y = 8. () - y = 8 - y = 8 -y = ==> Multiplicmos por - y = - O pr (, -) é um ds soluções dess equção. V = {(, -)} Resumindo: Um pr ordendo (r, s) é solução de um equção + by = c ( e b vlores não-nulos simultnemente), se pr = r e y = s sentenç é verddeir. Gráfico de um equção de º gru com dus vriáveis: Sbemos que um equção do º gru com dus vriáveis possui infinits soluções. Cd um desss soluções pode ser representd por um pr ordendo (, y). Dispondo de dois pres ordendos de um equção, podemos representá-los grficmente num plno crtesino, determinndo, trvés d ret que os une, o conjunto ds solução dess equção. Eemplo: Construir um gráfico d equção + y = 4. Inicilmente, escolhemos dois pres ordendos que solucionm ess equção. º pr: A (4, 0) º pr: B (0, 4) A seguir, representmos esses pontos num plno crtesino.

20 0 y Finlmente, unimos os pontos A e B, determinndo ret r, que contém todos os pontos soluções d equção. A ret r é chmd ret suporte do gráfico d equção. Sistems de Equções Considere o seguinte problem: Um jogdor, em su últim prtid, certou rremessos de pontos e y rremessos de pontos. Ele certou rremessos e mrcou pontos. Quntos rremessos de pontos ele certou? Podemos trduzir ess situção trvés de dus equções, sber: + y = (totl de rremessos certos) + y = (totl de pontos obtidos) Esss equções contém um sistem de equções. Costum-se indicr o sistem usndo chve. y y O pr ordendo (0, ), que torn mbs s sentençs verddeirs, é chmdo solução do sistem. Um sistem de dus equções com dus vriáveis possui um únic solução.

21 Resolução de Sistems A resolução de um sistem de dus equções com dus vriáveis consiste em determinr um pr ordendo que torne verddeirs, o mesmo tempo, esss equções. Estudremos seguir lguns métodos: Método d substituição y 4 y Solução: - Determinmos o vlor de n ª equção. = 4 - y - Substituímos esse vlor n ª equção.. (4 - y) -y = - Resolvemos equção formd. 8 - y -y = -y = - => Multiplicmos por - y = y - Substituímos o vlor encontrdo de y, em qulquer ds equções, determinndo. + = 4 = 4 - = - A solução do sistem é o pr ordendo (, ) - V = {(, )} Método d dição Sendo U =, observe solução de cd um dos sistems seguir, pelo método d dição. Resolv o sistem bio: y 0 y 6 Solução: - Adicionmos membro membro s equções: = 6 = 8 - Substituímos o vlor encontrdo de, em qulquer ds equções, determindo y: 8 + y = 0 y = 0-8 y =

22 - A solução do sistem é o pr ordendo (8, ) V = {(8, )} IV FUNÇÕES Função é um relção R de A em B que ssoci cd elemento A um único elemento y B, tl que (,y) R, denomind função de A em B e é indicd por: f : A B ou f : y y f ou f Ou sej, de um modo gerl, ddos dois conjuntos A e B, e um relção entre eles, dizemos que ess relção é um função de A em B se e somente se, pr todo A eiste um único y B de modo que se relcione com y. O conceito de função é um dos mis importntes em tod mtemátic. O conceito básico de função é: tod vez que temos dois conjuntos e lgum tipo de ssocição entre eles, que fç corresponder todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre um função. O uso de funções pode ser encontrdo em diversos ssuntos. Por eemplo, n tbel de preços de um loj, cd produto corresponde um determindo preço. Outro eemplo seri o preço ser pgo num cont de luz, que depende d quntidde de energi consumid. Domínio e Imgem de um Função: O domínio de um função é sempre o próprio conjunto de prtid, ou sej, D=A. Se um elemento A estiver ssocido um elemento y B, dizemos que y é imgem de (indic-se y=f() e lê-se y é igul f de ). Eemplo: se f é um função de N em N (isto signific que o domínio e o contrdomínio são os números nturis) definid por y=+. Então temos que: A imgem de trvés de f é, ou sej, f()=+=; A imgem de trvés de f é 4, ou sej, f()=+=4; De modo gerl, imgem de trvés de f é +, ou sej: f()=+. Num função f de A em B, os elementos de B que são imgens dos elementos de A trvés d plicção de f formm o conjunto imgem de f. Eistem dus condições pr que um relção f sej um função: ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de prtid, ou sej, todo elemento de A deve ter um correspondente vlor em B; se tivermos um elemento de A sem elemento em B, relção não é função. ª) Cd elemento de A deve ter um únic correspondênci em B; se um elemento de A tiver mis de um vlor de correspondênci, relção não é função. Observções: Como e y têm seus vlores vrindo nos conjuntos A e B, recebem o nome de vriáveis (ou incógnits). A vriável é chmd vriável independente e vriável y, vriável dependente, pois pr obter o vlor de y dependemos de um vlor de. Um função f fic definid qundo são ddos seu domínio (conjunto A), seu contrdomínio (conjunto B) e lei de ssocição y=f().

23 EXERCÍCIOS: ) Considere função f: A B representd pelo digrm seguir: A B Determine: ) o domínio (D) de f; b) f(), f(-), f() e f(); c) o conjunto imgem (Im) de f; d) lei de ssocição Resolução: ) O domínio é igul o conjunto de prtid, ou sej, D=A. b) f()=, f(-)=9, f()=9 e f()=4. c) O conjunto imgem é formdo por tods imgens dos elementos do domínio, portnto: Im = {,4,9}. d) Como =, (-) =9, =9 e =4, temos y=. ) Dd função f:r R (ou sej, o domínio e contrdomínio são os números reis) definid por f()= -+6, clcule: ) f(), f() e f(0); b) o vlor de cuj imgem vle. Resolução: ) f()= -()+6 = = 0 f()= -()+6 = 9-+6 = 0 f(0)= 0 -(0)+6 = = 6 b) Clculr o vlor de cuj imgem vle equivle resolver equção f()=, ou sej, - +6=. Utilizndo fórmul de Bháskr encontrmos s rízes e 4. Portnto os vlores de que têm imgem são e 4. Obtenção do Domínio de um Função: O domínio é o subconjunto de R no qul tods s operções indicds em y=f() são possíveis. Vmos ver lguns eemplos:

24 4 ) f ( ) 4 Como 4 sóé possívelem R se 4 0, ou sej, D { R / }, então, ) f ( ) Como é denomindor, ele não poderá ser nulo (pois não eiste divisão por zero). Portnto 0, ou sej,. Então : D { R / } ) f ( ) Vmos nlisr primeiro o numerdor : como - está dentro d riz, então devemos 0, ou sej, (condição ) ter Agor o denomindor: como - está dentro d riz devemos ter - 0, ms lém disso ele tmbém está no denomindor, portnto devemos ter - 0. Juntndo s dus condições devemos ter: - > 0, ou sej, < (condição ). Resolvendo o sistem formdo pels condições e temos: Devemos considerr o intervlo que stisfz s dus condições o mesmo tempo. Portnto, D={ R < }. Rízes de um Função: Dd um função y=f(), os vlores, os vlores de pr os quis f()=0 são chmdos rízes de um função. No gráfico crtesino d função, s rízes são bscisss dos pontos onde o gráfico cort o eio horizontl. Observe o gráfico bio: y

25 FUNÇÃO DE º GRAU Definição: Chm-se função polinomil do º gru, ou função fim, qulquer função f de R em R dd por um lei d form f() = + b, onde e b são números reis ddos e 0. N função f() = + b, o número é chmdo de coeficiente de e o número b é chmdo termo constnte. Vej lguns eemplos de funções polinomiis do º gru: f() = -, onde = e b = - f() = - - 7, onde = - e b = - 7 f() =, onde = e b = 0 Gráfico O gráfico de um função polinomil do º gru, y = + b, com os eios O e Oy. 0, é um ret oblíqu Eemplo: Vmos construir o gráfico d função y =. Como o gráfico é um ret, bst obter dois de seus pontos e ligá-los com o uílio de um régu: ) Pr = 0, temos y = 0 - = -; portnto, um ponto é (0, -). b) Pr y = 0, temos 0 = - ; portnto, e outro ponto é. Mrcmos os pontos (0, -) e no plno crtesino e ligmos os dois com um ret. y 0-0 Já vimos que o gráfico d função fim y = + b é um ret. O coeficiente de,, é chmdo coeficiente ngulr d ret e, como veremos dinte, está ligdo à inclinção d ret em relção o eio O. O termo constnte, b, é chmdo coeficiente liner d ret. Pr = 0, temos y 0 b b. Assim, o coeficiente liner é ordend do ponto em que ret cort o eio Oy. Zero e Equção do º Gru Chm-se zero ou riz d função polinomil do º gru f() = + b, tl que f() = 0. Temos: 0, o número rel f() = 0 + b = 0 Vejmos lguns eemplos: Obtenção do zero d função f() = - :

26 6 f() = 0 - = 0 Cálculo d riz d função g() = + 6: g() = = 0 = - Cálculo d bsciss do ponto em que o gráfico de h() = cort o eio ds bscisss: O ponto em que o gráfico cort o eio dos é quele em que h() = 0; então: h() = = 0 = Crescimento e decrescimento Consideremos função do º gru y = -. Vmos tribuir vlores cd vez miores e observr o que ocorre com y: X Y Notmos que, qundo umentmos o vlor de, os correspondentes vlores de y tmbém umentm. Dizemos, então que função y = - é crescente. Observmos novmente seu gráfico: Regr gerl: - A função do º gru f() = + b é crescente qundo o coeficiente de é positivo ( > 0); - A função do º gru f() = + b é decrescente qundo o coeficiente de é negtivo ( < 0); Justifictiv: - Pr > 0: se <, então <. Dí, + b < + b, de onde vem f( ) < f( ). - Pr < 0: se <, então >. Dí, + b > + b, de onde vem f( ) > f( ). Sinl Estudr o sinl de um função qulquer y = f() é determinr os vlor de pr os quis y é positivo, os vlores de pr os quis y é zero e os vlores de pr os quis y é negtivo. Consideremos um função fim y = f() = + b e vmos estudr seu sinl. Já vimos que b ess função se nul pr riz. Há dois csos possíveis: º) > 0 ( função é crescente)

27 7 y > 0 + b > 0 > y > 0 + b < 0 < Conclusão: y é positivo pr vlores de miores que riz; y é negtivo pr vlores de menores que riz º) < 0 ( função é decrescente) y > 0 + b > 0 < y > 0 + b < 0 < Conclusão: y é positivo pr vlores de menores que riz; y é negtivo pr vlores de miores que riz. FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição: Chm-se função qudrátic, ou função polinomil do º gru, qulquer função f de R em R dd por um lei d form f() = + b + c, onde, b e c são números reis e 0. Vejmos lguns eemplos de função qudrátics: f() = - 4 +, onde =, b = - 4 e c =

28 f() = -, onde =, b = 0 e c = - f() = + +, onde =, b = e c = f() = - + 8, onde =, b = 8 e c = 0 f() = -4, onde = - 4, b = 0 e c = 0 8 Gráfico O gráfico de um função polinomil do º gru, y = + b + c, com 0, é um curv chmd prábol. Eemplo: Vmos construir o gráfico d função y = + : - Primeiro tribuímos lguns vlores, depois clculmos o vlor correspondente de y e, em seguid, ligmos os pontos ssim obtidos. y Observção: Ao construir o gráfico de um função qudrátic y = + b + c, notremos sempre que: se > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim; se < 0, prábol tem concvidde voltd pr bio; Zero e Equção do º Gru Chm-se zeros ou rízes d função polinomil do º gru f() = + b + c, 0, os números reis tis que f() = 0. Então s rízes d função f() = + b + c são s soluções d equção do º gru + b + c = 0, s quis são dds pel chmd fórmul de Bháskr: Temos: b b 4 c Observção: - A quntidde de rízes reis de um função qudrátic depende do vlor obtido pr o rdicndo, chmdo discriminnte, sber: - qundo é positivo, há dus rízes reis e distints;

29 9 - qundo é zero, há só um riz rel; - qundo é negtivo, não há riz rel. Coordends do vértice d prábol - Qundo > 0, prábol tem concvidde voltd pr cim e um ponto de mínimo V; - Qundo < 0, prábol tem concvidde voltd pr bio e um ponto de máimo V. Em qulquer cso, s coordends de V são. Vej os gráficos: Imgem O conjunto-imgem Im d função y = + b + c, pode ssumir. Há dus possibiliddes: ª - qundo > 0, 0, é o conjunto dos vlores que y

30 0 ª qundo < 0, Construção d Prábol É possível construir o gráfico de um função do º gru sem montr tbel de pres (, y), ms seguindo pens o roteiro de observção seguinte: - O vlor do coeficiente define concvidde d prábol; - Os zeros definem os pontos em que prábol intercept o eio dos ; - O vértice V indic o ponto de mínimo (se > 0), ou máimo (se < 0); - A ret que pss por V e é prlel o eio dos y é o eio de simetri d prábol; - Pr = 0, temos y = 0 + b 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que prábol cort o eio dos y.

31 Sinl Considermos um função qudrátic y = f() = + b + c e determinemos os vlores de pr os quis y é negtivo e os vlores de pr os quis y é positivos. Conforme o sinl do discriminnte = b - 4c, podemos ocorrer os seguintes csos: º - > 0 - Nesse cso função qudrátic dmite dois zeros reis distintos ( ). prábol intercept o eio O em dois pontos e o sinl d função é o indicdo nos gráficos bio: qundo > 0 y > 0 ( < ou > ) y < 0 < < qundo < 0 y > 0 < < y < 0 ( < ou > ) º - = 0

32 qundo > 0 qundo < 0 º - < 0

33 qundo > 0 qundo < 0