Fundamentos da Matemática

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1 Fundmentos d Mtemátic PROF. VLAMIR TEIXEIRA º SEMESTRE LETIVO: 0

2 ÍNDICE. CONJUNTOS NUMÉRICOS.... INTERVALOS.... EXERCÍCIOS.... EXPRESSÕES ALGÉBRICAS E REVISÃO GERAL PROPRIEDADES BÁSICAS DA ÁLGEBRA: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVIS.... EXERCÍCIOS.... POTENCIAÇÃO RADICIAÇÃO RACIONALIZAÇÃO EXERCÍCIOS CÁLCULO LGÉBRICO POLINÔMIOS.... EXERCÍCIOS.... FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS.... EXERCÍCIOS.... EQUAÇÃO E SISTEMA DO º GRAU.... EXERCÍCIOS EQUAÇÃO DO º GRAU EXERCÍCIOS A TRIGOOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO MEDIDAS DE ÂNGULOS E ARCOS; GRAUS E RADIANOS.... EXERCÍCIOS.... SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO.... LEI DOS SENOS...

3 . LEI DOS COSSENOS.... EXERCÍCIOS POTENCIAS E EXPONENCIAS DE BASE e EQUAÇÕES EXPONENCIAIS EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS EXERCÍCIOS NÚMEROS COMPLEXOS.... COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA.... COMPLEXOS NA FORMA POLAR.... COMPLEXOS NA FORMA EXPONENCIAL.... EXERCÍCIOS.... BIBLIOGRAFIA...

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS I) Números Nturis Pertencem o conjunto dos nturis os números inteiros positivos incluindo o zero. Representdo pel letr N miúscul. Os elementos dos conjuntos devem estr sempre entre chves. N = { 0,,,,... } Qundo for representr o Conjunto dos Nturis não nulos (excluindo o zero) devemos colocr * o ldo do N. N = {,,,... } II) Números Inteiros Pertencem o conjunto dos números inteiros, os números negtivos e tmbém os Números Nturis. Z = {..., -, -, 0,,,... } N = { 0,,,,,,6,... } Z = {..., -,-,-,0,,,,,... } N Z Todo número nturl é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z Inteiros não nulos são os números inteiros, menos o zero. N su representção devemos colocr * o ldo do Z. Z* = {..., -, -, -,,,,...} Inteiros não positivos são os números negtivos incluindo o zero. N su representção deve ser colocdo _ o ldo do Z. Z_ = {..., -, -, -, 0} Inteiros não positivos e não nulos são os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero. N su representção devemos colocr o _ e o * o ldo do Z. Z*_ = {..., -, -, -} Inteiros não negtivos são os números positivos incluindo o zero. N su representção devemos colocr o + o ldo do Z. Z + = { 0,,,,,...} O Conjunto Z + é igul o Conjunto dos N

5 Inteiros não negtivos e não nulos são os números do conjunto Z+, excluindo o zero. N su representção devemos colocr o + e o * o ldo do Z. Z* + = {,,,,...} O Conjunto Z* + é igul o Conjunto N* III) Números Rcionis São queles que podem ser expressos n form /b, onde e b são inteiros quisquer, com b diferente de 0. Q ={x/x = /b com e b pertencentes Z com b diferente de 0 } Esses números tem form b com, b Z e b 0. Números decimis extos são rcionis 0, 0 0, 00 0, Números decimis com expnsão infinit periódic são rcionis. São dízims periódics simples ou composts: 0,, ,08 0,... 0, ,... 90

6 O conjunto dos números rcionis é representdo pel letr Q miúscul. Q = {x = b, com Z e b Z*} subconjuntos de Q: Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q. Q * É o conjunto dos números rcionis diferentes de zero. Q É o conjunto dos números rcionis positivos e o zero. Q É o conjunto dos números rcionis negtivos e o zero. Q * É o conjunto dos números rcionis positivos. Q * É o conjunto dos números rcionis negtivos. Representção Geométric IV) Números Irrcionis São queles que não podem ser expressos n form /b, com e b inteiros e b diferente de 0. São compostos por dízims infinits não periódics. Exs: =,96... no número pi, pós virgul, não existe formção de períodos, por isso é considerdo irrcionl. =,70... é infinito e não é dízim periódic (pois os lgrismos depois d vírgul não formm períodos), então é irrcionl. A representção do conjunto dos irrcionis é feit pel letr I miúscul. 6

7 V) Números Reis É reunião (união) do conjunto dos números irrcionis com o dos rcionis. Números Nturis (N): 0,,,,,, 6, 7, 8, 9, 0,,,,,, 6, 7,... Números Inteiros (Z):..., 8, 7, 6,,,,,, 0,,,,,, 6, 7, 8,... Números Rcionis (Q): /, /, 0,, /, Números Irrcionis (I):,,,,698...,,9... Resumindo: Intervlos : Sendo e b dois números reis, com < b, temos os seguintes subconjuntos de R chmdos intervlos. Intervlo fechdo nos extremos e b:, b x R / x b Intervlo fechdo em e berto em b:, b x R / x b Intervlo berto em e fechdo em b:, b x R / x b Intervlo berto em e b:, b x R / x b Temos tmbém:, x R / x, b x R / x b Exercícios resolvidos ) Represente n ret rel os intervlos: ) [;7] b) [;9[ Note que não inclui o ponto 9. 7

8 ) Sendo A=[;7] e B=[;9[, determine os conjuntos bixo: ) A B Anlisndo s rets bixo, consttmos que intersecção entre A e B é dd pel áre compreendid entre e 7. Logo: A B = [;7] b) A U B Novmente nlisndo s rets, constmos que união entre A e B é dd pel áre compreendid entre e 9, não contndo 9, pois [;9[ Logo: A U B = [;9[ Exercícios: ) Represente n ret rel os seguintes intervlos: ) ] ;] b) [;] c) [;+ [ d) ] ;] ) Sendo A=] ;] e B=[;[, determine: ) A B b) A U B ) Sendo A=[;] e B=] ;], determine: ) A U B b) A B 8

9 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Adição e Subtrção + + = + + = + = = + N som de dois números inteiros com sinis iguis, o vlor bsoluto será som ds prcels, e o sinl será o mesmo ds prcels. Exercício Resolvido: (+ ) + (+ ) = + 9 ( ) + ( ) = 9 N som de dois números inteiros com sinis diferentes, o vlor bsoluto será diferenç ds prcels e o sinl será o d prcel de mior vlor bsoluto. Exercício Resolvido: ( ) + (+ ) = A Som de dois números inteiros opostos é ZERO. Exercício Resolvido: (+ 0) + (- 0) = 0 9

10 Multiplicção ( + ). ( + ) = ( + ) ( + ). ( ) = ( ) ( ). ( + ) = ( ) ( ). ( ) = ( + ) Produto de dois números inteiros com sinis diferentes. (+) ( ) = 0 ( ) (+ ) = Produto de dois números inteiros com sinis iguis. (+ 8) (+) = + 0 ( 6) ( ) = + 90 Divisão ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) Observções: Não existe divisão por zero. Exemplo: 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero sej. Quociente de dois números inteiros com sinis iguis. Exercício Resolvido: ( 60) ( 0) = + 6 (+ 60) (+ 0) = + 6 Quociente de dois números inteiros com sinis diferentes. Exercício Resolvido: ( ) (+) = 9 (+) ( ) = 9 0

11 Potencição de Números Reis Número inteiro no expoente 6 8 ) ) 6 ) ) : Exercícios Proprieddes d potencição Multiplicção de potêncis de mesm bse: conservr bse e somr os expoentes ) ). ) :. Exercícios y x y x Divisão de potêncis de mesm bse: conservr bse e subtrir os expoentes ) ( ) ( 8 : : ) : 6 )....,, : ) : : sej ou Exercícios y x y x

12 Potênci de potênci. 8.. y x y x Multiplicção de potêncis de mesmo expoente: conservr os expoentes e multiplicr s bses (.6).6 ) (. x x x b b Divisão de potêncis de mesmo expoente: conservr os expoentes e dividir s bses. 7 6 ) (6 6 ) ( x x x b b Exemplos: ) ³ =..=8 ) 0 0 ) 0 0 ) ) 0 6 6) 7) 6 6 8) 9 9) 6 6 0) 9

13 Rdicição Dd seguinte expressão: n x rdicl rdicndo n índice x riz * Qundo n=, riz n-ésim chm-se riz qudrd, qundo n=, chm-se riz cúbic, qundo n= chm-se riz qurt, etc. Rízes exts Aplicndo o uso d ftorção pr o cálculo de rízes. Exemplo.. Ftorndo riz qudrd de é Exemplo 6. Ftorndo 6 riz qudrd de 6 é 6

14 Exemplo Qul medid d rest de um cubo que possui volume igul 79 cm³? Arest : x Volume do cubo : L x x x 79 x x x ( x x x) A medid d rest de um cubo que possui 79 cm³ de volume é igul 9 cm. Rízes não-exts As rízes que não possuírem como resultdo um número inteiro positivo, terá como resultdo um número irrcionl. Exemplo Simplifique o seguinte rdicl: 80 Temos que 80 Exemplo 7 Exemplo Outros exemplos: ) 7 b) c) não existe d) 7 - d) 9 e) 9

15 Proprieddes d Rdicição: ) b. b ) ) b m b m ) m n n m ) n m n p m p Exemplos: ) ) 9 ) ) 9 9 ).. 6 6) 7) 8 : ) ) Rcionlizção Existem frções cujo denomindor é irrcionl. Como:,, Pr fcilitr os cálculos, é conveniente trnsformá-ls em um outr, equivlente, de denomindor rcionl.

16 6 º Cso: nte rcionliz Ftor º Cso: 6 rcionliznte Ftor º cso: nte rcionliz Ftor º Cso: rcionliznte Ftor º Cso: ) ( rcionliznte Ftor

17 Resolv: 7 ) 0 ). ) ). ) 6) b 6 b 7) 8 8) 9) Cálculo Algébrico Expressões Algébrics são quels que contém termos literis e numéricos x² + bx Vriáveis são s prtes literis ds expressões lgébrics que representm um número rel e que de princípio não possuem um vlor definido. x prte numéric prte literl x Vlor numérico de um expressão lgébric é o número que obtemos substituindo s vriáveis por números e efetumos sus operções. Sendo, x = e y =, clcule o vlor numérico (VN) d expressão: x² + y ² + = Portndo o vlor numérico d expressão é. 7

18 POLINÔMIOS Monômio: um termo onde prte numéric e literl estão ligdos pens por produtos. x Polinômio: é som ou subtrção de monômios. x + y Neste cso temos um binômio. Termos semelhntes: são queles que possuem prtes literis iguis ( vriáveis ) x³ y² z e x³ y² z são termos semelhntes pois possuem mesm prte literl. Adição e Subtrção de expressões lgébrics Pr determinrmos som ou subtrção de expressões lgébrics, bst somr ou subtrir os termos semelhntes. Assim: x³ y² z + x³ y² z = x³ y² z ou x³ y² z x³ y² z = x³ y² z Convém lembrr ds regrs de sinis. N expressão ( x³ + y² + ) ( y ² - ) = = x³ + y² + y² + = = x³ + y² + Multipliccão e Divisão de expressões lgébrics N multiplicção e divisão de expressões lgébrics, devemos usr propriedde distributiv. ) ( x + y ) = x + y ) ( + b)(x + y) = x + y + bx + by Pr multiplicrmos potêncis de mesm bse, conservmos bse e sommos os expoentes. x ( x ² + y ) = x³ + xy N divisão de potêncis de mesm bse devemos conservr bse e subtrir os expoentes. ) x² x = x ) ( 6 x³ - 8 x ) x = x² 8

19 ) (x x + 9x 7x +) (x x + ) = x x + [Resolução] Exercícios: ) Clcule: Exemplo: (x² + x ) + ( x² + x + ) = x² + x x² + x + = x² + 6x + ) ( b + c) + ( 6 b c) + ( + b c) b) (x² /) (6x² /) c) (ª b + b) ( b + b) ) Efetue e simplifique: Exemplo: (x + ).(x + ) = 8x² + x + x + = 8x² + x + ) ( + b).( b) b) (x y).(x² xy + y²) c) (x y).(x + y).(x y) ) Simplifique: Exemplo: 0x y x y xy 8 b b ) 8 b) 8x y 6x y c) ) O vlor d expressão ³ ² x² y², pr = 0, x = e y = é: ) Se A = (x y)/xy, x = / e y = /, então A é igul : 9

20 Ftorção Ftorr é trnsformr equções lgébrics em produtos de dus ou mis expressões, chmds ftores. Ex: x + y =.(x + y) Ftor Comum em evidênci Ddo o polinômio: x + y Colocmos o ftor comum em evidênci. Form ftord =.(x + y) Exemplos: ) bx + by bz = b.(x + y z) b) x xy = x(x y) c) x z + xz xz = xz.(x + z ) d) ( + b)x + ( + b)y = ( + b).(x + y) e) x + x x = x.(x + x ) Ftorção por grupmento Como por exemplo: x + y + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o ftor, os dois últimos termos possuem em comum o ftor b. Colocndo esses termos em evidênci:.(x + y) + b.(x + y) Agor o polinômio possui um novo termo em comum (x + y) e colocndo-o em evidênci: (x+y).(+b) Portnto: x + y + bx + by = (x + y).( + b) Exemplo I: x x x F. C. x e x( x ) ( x ) Novo F. C. ( x ) Form ftord ( x ).( x ) Exemplo II: b b c c F. C. b ec b ( ) c ( ) Novo F. C. ( ) Form ftord b c ( )( ) 0

21 Ftorção por diferenç de qudrdos: Trnsformr s expressões em produtos d som pel diferenç, e extrindo riz qudrd de cd qudrdo. Exemplos: ) b = ( + b). ( b) b) 6 = ( + ). ( ) c) x 9 = (x + ). (x ) c) 6x ( x ( x ).( x ) ).[( x).( x)] Repre que podemos ftorr expressão dus vezes Ftorção do trinômio qudrdo perfeito: Os trinômios ( ) ( ) b b e b b são qudrdos perfeitos porque são obtidos qundo se elev ( + b) e ( - b) o qudrdo. ( + b) = + b + b ( b) = b + b Ftorndo I: x xy + 9y x 9y x y.x.y = xy é igul o segundo termo de x xy + 9y Portnto é um trinômio do qudrdo perfeito. form ftord de x xy + 9y (x y)

22 Ftorndo II: x + xy + 9y x 9y x y.x.y = xy é igul o segundo termo de x + xy + 9y Portnto é um trinômio do qudrdo perfeito. Exemplo I: form ftord de x + xy + 9y (x + y) ) x 0x + = [Solução] (x ) b)6x + xy + 9y = [Solução] (x + y) Exemplo II: ) x 6x FC.. ( x x) Agor temos um trinômio do qudrdo perfeito Ftorndo ( x x ), teremos ( x ) Então : ( x ) b) 00b FC...( b ) Então : Agor temos um qudrdo d som pel diferenç Ftorndo b teremos b b ( ), ( ).( ).( b).( b)

23 Exercícios Exemplos: x + = (x + ) ² b² = ( + b)( b) ² b + b² = ( b)² x² = (x² ) = (x + )(x ) Ftore, colocndo os ftores comuns em evidênci: ) x 7y = b) x³ x² + x = c) x³y² + x²y² + xy² = d) ²b² b³ = e) ² + b + c + bc = f) x² b² = g) x² = h) x y = 9 6 i) x² + x + = j) ² + 6b + 9b² = l) x² = m) b + c + 0b + 0c = n) ² = o) x³y xy³ = p) x² + 6x + 6 = q) x² + x + =

24 Equção e sistem do º gru Chmmos equção do º gru n incógnit x tod equção que pode ser escrit n form x + b = 0, onde é diferente de 0. Pr resolver equções do º gru, bst colocr s incógnits de um ldo do sinl (=) e os "números" do outro. Exemplos: I) x 8 = 0 x = x = 8 x = 9 V = {9} II) 7.( x) = (x + 9) 7 + x = x 9 x + x = x= 0 x = 0 V= {0} Exercícios ) Resolv s seguinte equções: ) x = 7 b) x + 7 = x 8 c) 7( x) = (x 9) d) (x + 7) + (x ) = (x + ) e) x x x 6 8 f) x x x 6 g) x x x

25 ) Resolv os seguintes sistems: x y 0 ) x y x y 0 b) x y c) x x y 7 y 7 ( x ) ( y ) d) 8( x ) ( y ) 9 ) Problems com sistems já montdos: ) Em um terreiro há glinhs e coelhos, num totl de nimis e 8 pés. Qunts são s glinhs e os coelhos? [Solução] x + y = x + y = 8 b) A som ds iddes de dus pessos é nos e diferenç entre esss iddes é de nos. Qul idde de cd um? [Solução] x + y = x y = c) A som de dois números é 0 e o mior deles é igul o dobro do menor, menos. Quis são os números? [Solução] x + y = 0 x = y d) Dus pessos gnhrm, junts, 0 reis por um trblho e um dels gnhou % do que outr. Qunto gnhou cd pesso? [Solução] x + y = 0 x = /y e) O preço de um cnet é o dobro do preço de um lpiseir e dus cnets junts custm 0. Qul o preço d cnet e d lpiseir? [Solução] x = y x + y = 0

26 Equção do º Gru x + = 0, o expoente d vriável x é igul. Dess form, ess equção é clssificd como do º gru. x² + x + 6 = 0, temos dus vriáveis x nest equção, onde um dels possui o mior expoente, determindo por. Ess equção é clssificd como do º gru. x³ x² + x = 0, nesse cso temos três incógnits x, onde o mior expoente igul determin que equção é clssificd como do º gru. Denomin-se equção do segundo gru, tod equção do tipo x²+bx+c, onde é o coeficiente do monômio de gru, b é o coeficiente do monômio de gru e c é o termo independente. Exemplos: Equção b c x²+x+ x-x²- - - Clssificção: - Incomplets: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos um equção do º gru incomplet. º cso: b = 0 x² 9 = 0 x² = 9 x = 9 x = V = {+, } º cso: c = 0 x² 9x = 0 Bst ftorr o ftor comum x x.(x 9) = 0 x = 0 e x 9 = 0 x = 9 V = {0, 9} º cso: b = c = 0 x² = 0 x = 0 V = {0} Fórmul de Bháskr: b x onde:. b.. c 6

27 Exemplo I: Vmos determinr pelo método de Bhskr os vlores d seguinte equção do º gru: x² x = 0. Portnto, os coeficientes d equção x² x = 0 são =, b = e c =. º psso: determinr o vlor do discriminnte ou delt ( ) = b²..c = ( )²..( ) = + = 6 º psso b x. ( ) 6 x. x 6 x' x'' V {, } Exemplo II: Determinr solução d seguinte equção do º gru: x² + 8x + 6 = 0. Os coeficientes são: = b = 8 c = 6 = b² c = 8² 6 = 6 6 = 0 b x. 8 0 x. 8 0 x' 8 0 x'' V { } 7

28 Exemplo III: Clcule o conjunto solução d equção 0x² + 6x + 0 = 0, considerd de º gru. = b²..c = 6² 0 0 = 6 00 = 6 V = { } ou vzio Dus rízes reis e diferentes Dus rízes reis e iguis Nenhum riz rel Exercícios: ) Complete o qudro conforme o exemplo: Equção Coeficientes b c 6x² x + = 0 6 x² = / + x y² = y 6x² = 0 ) Determine s rízes ds seguintes equções: ) x² x + = 0 b) y² y + = 0 c) x² + 7x 0 = 0 d) x² x + 7 = 0 e) y² = 0 f) x² = 0 g) x² 0x = 0 h) + x² = 9 i) 7x² x = x + x² j) z² 8z + = 0 8

29 Trigonometri no triângulo Retângulo O triângulo é figur mis simples e um ds mis importntes d Geometri, ele é objeto de estudos desde os povos ntigos. A som dos ângulos internos do triângulo totliz 80º e de cordo com o tmnho de seus ldos pode ser clssificdo d seguinte form: Equilátero: possui os ldos com medids iguis. Isósceles: possui dois ldos com medids iguis. Escleno: possui todos os ldos com medids diferentes. Qunto os ângulos, os triângulos podem ser denomindos: Acutângulo (Agudo): possui os ângulos internos com medids menores que 90º e miores que 0.º Obtusângulo(Obtuso): possui um dos ângulos com medid mior que 90º e menor que 80º. Ângulo reto: possui um ângulo com medid igul 90º. Um importnte relção no triângulo retângulo é o Teorem de Pitágors. hipotenus cteto cteto As relções trigonométrics existentes no triângulo retângulo dmitem três csos: seno, cosseno e tngente. Vmos determinr s relções de cordo com o triângulo BAC com ldos medindo, b e c. senob = b/ cossenob = c/ tngenteb = b/c senoc = c/ cossenoc = b/ tngentec = c/b A trigonometri possui diverss plicções no cotidino, brnge áres relcionds à Astronomi, Físic, Geometri, Nvegção entre outrs. 9

30 Medid de ângulos e rcos Num circunferênci de centro O e rio r, temos dois pontos A e B, os quis dividirão circunferênci em dois rcos. Cso s extremiddes A e B sejm coincidentes, temos um rco com um volt complet. O rco AB e de um ângulo centrl representdo por α. med(aôb) = med(ab). O comprimento de um rco depende do vlor do ângulo centrl. Medids em Gru A circunferênci é um rco de 60º com o ângulo centrl medindo um volt complet, ou sej, 60º. Medids em Rdinos Dd circunferênci de centro O e rio R, com um rco de comprimento s e α o ângulo centrl do rco. O rco mede um rdino qundo o comprimento do rco for igul à medid do rio. Então, devemos clculr quntos rios d circunferênci são precisos pr se ter o comprimento do rco. Portnto: Podemos destcr um regr de três pr converter s medids dos rcos. medid em grus x medid em rdinos α 80 π 0

31 Exercícios Resolvidos de conversões: ) 70º em rdi b) π/ em grus o o x 80 o 80.. x 900 x 7 o Seno de um ângulo O segmento OR será o seno de PR. Cosseno de um ângulo O segmento OR será o cosseno de PR. Tngente de um ângulo A tngente de um rco é dd por um terceiro eixo que prlelo o eixo Y (eixo dos senos). Prolongndo o rio d circunferênci té o eixo ds tngentes, definimos que se x є ºQ, Tgx = AR > 0

32 Lei dos senos Em csos envolvendo triângulos quisquer (triângulos não retângulos) utilizmos lei dos senos ou lei dos cossenos no intuito de clculr medids e ângulos desconhecidos. Fórmul que represent lei dos senos: N lei dos senos utilizmos relções envolvendo o seno do ângulo e medid opost o ângulo. Exercício Resolvido : Determine o vlor de x no triângulo seguir. [Solução] x 00 c senb sena senc x 00 sen0º senº Sen 0º = sen(80º 0º) = sen 60º = / ou 0,86 Sen º = / ou 0,70 x 00 sen60º senº x 00 0,866 0, 707 0, 707. x 0, ,6 x 0,707 x,

33 Exercício Resolvido No triângulo seguir temos dois ângulos, um medindo º, outro medindo 0º, e um dos ldos medindo 90 metros. Com bse nesses vlores determine medid de x. [Solução] Descobrindo o vlor do terceiro ângulo do triângulo. α + 0º + º = 80º α + 0º = 80º α = 80º 0º α = 0º Aplicndo lei dos senos x 90 senº sen0º x 90 0, 707 0, 0,x 0, ,6 x 0, x 7, 6 Lei dos cossenos Exercício Resolvido Utilizndo lei dos cossenos, determine o vlor do segmento x no triângulo seguir: [Solução] = 7, b = x e c = ² = b² + c² * b * c * cosө 7² = x² + ² * * x * cos60º 9 = x² * x * 0, 9 = x² + 9 x x² x 0 = 0

34 Resolvendo equção do º gru, por Bháskr temos: x = 8 e x = Por se trtr de medids descrtmos x = e utilizmos x = 8. Então o vlor de x no triângulo é 8 cm. Exercício Resolvido Em um triângulo ABC, temos s seguintes medids: AB = 6 cm, AC = cm e BC = 7 cm. Determine medid do ângulo A. Vmos construir o triângulo com s medids fornecids no exercício. [Solução] Aplicndo lei dos cossenos = 7, b = 6 e c = ² = b² + c² * b * c * cosө 7² = 6² + ² * 6 * * cos A 9 = * cos A 9 6 = 60 * cos A = 60 * cos A = 60 * cos A /60 = cos A cos A = 0, O ângulo que possui cosseno com vlor proximdo de 0, mede 78º. Exemplo Clcule medid d mior digonl do prlelogrmo d figur seguir, utilizndo lei dos cossenos. [Solução] cos 0º = cos(80º 0º) = cos 60º = 0, b c.. c.cos x² = ² + 0² * * 0 * cos 60º x² = * ( 0,) x² = + 0 x² = 7 x² = 7 x = ² * 7 x = 7 Portnto, digonl do prlelogrmo mede 7 cm.