Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA.. Proprieddes dos números nturis Neste conjunto são definids dus operções fundmentis, dição e multiplicção, que presentm s seguintes proprieddes, onde,, c N: Conjuntos Numéricos Prof.: Rogério Dis Dll Riv Conjuntos Numéricos.Conjunto dos números nturis.conjunto dos números inteiros.conjunto dos números rcionis.conjunto dos números reis.intervlos 6.Conjunto dos números complexos 7.Resumo.. Proprieddes dos números nturis [A.] Associtiv d dição ( + ) + c = + ( + c) [A.] Comuttiv d dição + = + [A.] Elemento neutro d dição + 0 =. Conjunto dos números nturis.. Proprieddes dos números nturis Chm-se conjunto dos números nturis símolo N o conjunto formdo pelos números N O conjunto N = { 0,,,, } N { 0} * é denotdo porn * = {,,, } OBS: De um modo gerl, se A é um conjunto numérico qulquer, tem-se A * = A { 0} [M.] Associtiv d multiplicção ( ) c = ( c) [M.] Comuttiv d multiplicção = [M.] Elemento neutro d multiplicção = 6

2 .. Proprieddes dos números nturis. Conjunto dos números inteiros [D] Distriutiv d multiplicção reltivmente à dição ( + c) = + c distinguimos três sucon- No conjunto juntos notáveis: Z { 0,,,, } Z = = N + conjunto dos inteiros não negtivos { } Z =,,,,0 conjunto dos inteiros não positivos {,,,,,,, } * Z = conjunto dos inteiros não nulos A dição e multiplicção nos números nturis.. Proprieddes dos números inteiros O conjunton é fechdo pr dição e multiplicção, ou sej, som dos números nturis é sempre um número nturl e o produto de números nturis é sempre um número nturl. Em símolos escrevemos:, N,( + ) N e ( ) N Note que sutrção e divisão nem sempre têm significdo no conjunto dos números nturis. Por exemplo, 7 N e 0 N. Por isso, o conjunton não é fechdo pr sutrção e divisão. 8 Neste conjunto são definids tmém s operções de dição e multiplicção, que presentm, lém de [A.], [A.], [A.], [M.], [M.], [M.] e [D], propriedde: [A.] Simétrico ou oposto pr dição Pr todo Z existe Z tl que + ( ) = 0. Conjunto dos números inteiros.. Proprieddes dos números inteiros Chm-se conjunto dos números inteiros símolo o conjunto formdo pelos números Z {,,,,0,,,, } Z = Devido à propriedde [A.], podemos definir emz operção de sutrção, estelecendo que = + ( ) pr todos, Z 9

3 .. Operções no conjunto dos números inteiros.. Os números inteiros e ret O conjuntoz é fechdo pr dição, multiplicção e sutrção. Isto é, dição, multiplicção e sutrção de dois números inteiros result sempre num número inteiro. Em símolos escrevemos:, Z,( + ) Z, ( ) Z e ( ) Z Exercício : Quis ds proposições ixo são verddeirs? N ( ) Z ( ) N ( )( ) ) 0 f) ) g) Z c) N Z h) 0 Z ( ) d) N Z = Z i) Z e) Z Z = Os números inteiros e ret.. Os números inteiros e ret Os números inteiros podem ser representdos sore um ret orientd por meio do seguinte procedimento: ) sore ret estelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem), que represent o inteiro 0 (zero): Exercício : Sendo que um número inteiro p é primo qundo p 0, e -, e D p = {, -, p e p}, pergunt-se: Quis dos elementos de Z, ixo relciondos, não são primos? {,,0,,,,,,, 9,} Os números inteiros e ret. Conjuunto dos números rcionis ) A prtir de 0, no sentido positivo, mrcmos um segmento unitário u 0 cuj extremidde representrá o inteiro : c) pr cd inteiro positivo n, prtir de 0, mrcmos um segmento de medid nu no sentido positivo cuj extremidde representrá n e mrcmos um segmento de medid nu no sentido negtivo cuj extremidde representrá o inteiro n. u u u u u u u u u 0 0 Ddo um número inteiro q e, o inverso de q não existe em Z : Z. Por isso não podemos q definir em Z operção de divisão, dndo significdo o símolo. A superção dess dificuldde p q se drá com introdução dos números rcionis. 8

4 . Conjunto dos números rcionis. Conjunto dos números rcionis Chm-se conjunto dos números rcionis símolo Q o conjunto dos pres ordendos (ou frções), em que Z e Z *, pr os quis dotm-se s seguintes definições: ) iguldde: c = d = c d c d + c ) dição: + = d d ) multiplicção: c c = d d 9 São válids s mesms proprieddes formis vists pr os números inteiros. Além desss, temos tmém seguinte: [M.] Simétrico ou inverso pr multiplicção Pr todo e, existe Q 0 tl que Q =. Conjunto dos números rcionis. Conjunto dos números rcionis Q + Q Q * No conjuntoq destcmos os suconjuntos: : conjunto dos rcionis não negtivos : conjunto dos rcionis não positivos : conjunto dos rcionis não nulos Devido à propriedde [M.], podemos * definir emq operção de divisão, estelecendo que c d = d c pr e c rcionis quisquer não nulos. d 0. Conjunto dos números rcionis.. Representção deciml N frção, é o numerdor e o denomindor. Se e são primos entre si, isto é, se mdc(, ) =, dizemos que é um frção irredutível. Assim, s frções, e 7 são irredutíveis, ms 6 não é. 7 0 Notemos que todo número rcionl pode ser representdo por um número deciml. Pss-se um número rcionl pr form de número deciml dividindo o inteiro pelo inteiro. N pssgem de um notção pr outr podem ocorrer dois csos:

5 .. Representção deciml.. Representção deciml o ) o número deciml tem um quntidde finit de lgrismos, diferentes de zero, isto é, um deciml ext. Exemplos: 0, = = 0,0 0 = = 0,07 Qundo deciml é ext, podemos trnsformá-lo em um frção cujo numerdor é o numerl deciml sem vírgul e cujo denomindor é o lgrismo seguido de tntos zeros qunts forem s css decimis do numerl ddo. Exemplos: 7 0,7 = 00 6,6 = ,98 = Representção deciml.. Determinção d frção gertriz o ) o número deciml tem um quntidde infinit de lgrismos que se repetem indefinidmente, isto é, um dízim periódic. Exemplos: 0, 0, (período ) = = Qundo deciml é um dízim periódic, devemos procurr su gertriz, conforme o exemplo seguir: Como exemplo, vmos determinr frção gertriz do número, 0,8787 0,87 (período 87) 7 = =,8,8 (período ) 6 = = 6 Sej x frção procurd. Então, x =, 9.. Representção deciml.. Determinção d frção gertriz Podemos notr tmém que todo número n form de deciml ext ou de dízim periódic pode ser convertido à form de frção e, portnto, represent um número rcionl. o psso: Multiplicmos o número por um potênci conveniente de dez (isto é, 0, 00, 000, etc ), com o propósito de deslocr vírgul de modo posicioná-l imeditmente ntes do primeiro período. Neste exemplo, vírgul deve deslocr-se um cs pr direit. Pr isso, st multiplicr o número por 0. 0x =, () 7 0

6 .. Determinção d frção gertriz.. Determinção d frção gertriz o psso: Multiplicmos o número otido, novmente, por um potênci conveniente de dez, de modo que vírgul se desloque e se posicione imeditmente ntes do segundo período. No exemplo, vírgul deve deslocr-se dus css pr direit. Pr isso, multiplicmos mos os memros d iguldde () por 00, otendo iguldde(): 00 0x = 00, Exercício : Colocr n form de um frção irredutível os seguintes números rcionis: ) 0, ) 0, c) 0, d), e), 000x =, ().. Determinção d frção gertriz. Conjunto dos números reis Sutrindo iguldde () d iguldde (), memro memro, eliminmos tods s css decimis. Em seguid, é só isolr x e simplificr frção otid. 000x =, 0x =, 990x = 990x = x = x = Números irrcionis: Existem números cuj representção deciml com infinits css decimis não é periódic. Por exemplo, o numerl deciml 0, (em que o número de lgrismos 0 intercldos entre os lgrismos vi crescendo) é não periódico. Ele represent um número não rcionl. Outros exemplo de números irrcionis:, ,000000, Determinção d frção gertriz. Conjunto dos números reis Exercício : Quis ds seguintes proposições são verddeirs? ) N Q f), Q 7 ) Z Q g) Q Z c) 0 Q h) Q Z 7 d) 7 Q i) Q Z e) 0,777 Q j) é irredutível Chm-se conjunto dos números reis - - quele formdo por todos os números com representção deciml, isto é, s decimis exts ou periódics (que são números rcionis) e s decimis não exts e não periódics (chmds números irrcionis). Dess form, todo número rcionl é número rel, ou sej: Q R R 6 6

7 . Conjunto dos números reis. Conjunto dos números reis Além dos rcionis, estão em como: R números No conjuntor destcmos os suconjuntos: =,6 π =,96 =, chmdos números irrcionis. R + R : conjunto dos reis não negtivos : conjunto dos reis não positivos R * : conjunto dos reis não nulos 7 0. Conjunto dos números reis.. Operções no conjunto dos números reis Se quisermos outros números irrcionis, poderemos otê-los, por exemplo, por meio d expressão p, em que p é primo e positivo. São irrcionis:,, 7, etc. As operções de dição e multiplicção emr gozm ds mesms proprieddes vists pr o conjunto Q. EmR é tmém definid operção de sutrção e em * R é definid divisão. 8. Conjunto dos números reis.. Os números reis e ret Outro recurso pr construção de irrcionis é usr o fto de que, se α é irrcionl e r é rcionl não nulo, então: α + r, α. r, α/r e r/α são todos irrcionis. Já vimos que os números inteiros podem ser representdos por pontos de um ret: u Exemplos: +,,, são irrcionis. 9 7

8 .. Os números reis e ret.. Os números reis e ret Anlogmente, os números rcionis não inteiros tmém podem. Se queremos, por exemplo, representr o número ½ sore ret, mrcmos prtir de 0 um segmento de medid ½u no sentido positivo. A extremidde desse segmento represent ½. N figur ixo representmos sore ret vários números rcionis. N ret rel os números estão ordendos. Um número é menor que qulquer número x colocdo à su direit e mior que qulquer número x à su esquerd { x R / x < } { x R / x > } 6.. Os números reis e ret.. Os números reis e ret Os números rcionis, entretnto, não preenchem completmente ret, isto é, há pontos d ret que não representm nenhum rcionl. Por exemplo, entre os pontos, e, fic um ponto que represent =, (irrcionl). Exercício : Quis ds proposições ixo são verddeirs? ) R f) R Q ( ) ) N R g) R Q c) Z R h) R Q d) R Q i) Q e) R Q.. Os números reis e ret.. Os números reis e ret Qundo representmos tmém sore ret os números irrcionis, cd ponto d ret pss representr necessrimente um número rcionl ou irrcionl (portnto, rel), isto é, os reis preenchem completmente ret. Exercício 6: Mostrr que + = π 9 Ess ret, que represent ret rel ou ret numéric. R, é chmd 8

9 . Intervlos. Intervlos Ddos dois números reis e, com <, definimos: ) intervlo erto de extremos e é o conjunto ], [ = { x R / < x < } que tmém pode ser indicdo por. Exemplos: ] [ = { x R < x < } o ), / é intervlo erto [ ] = { x R x } o ), / é intervlo fechdo o ), 7 = x / x < 7 é intervlo fechdo à esquerd R o ), = x / < x é intervlo fechdo à direit R 9. Intervlos. Intervlos ) intervlo fechdo de extremos e é o conjunto [, ] = { x R / x } que tmém pode ser indicdo por. c) intervlo fechdo à esquerd (ou erto à direit) de extremos e é o conjunto [, [ = { x R / x < } Tmém considermos intervlos lineres os intervlos infinitos ssim definidos: ] [ = { R < } ), x / x que tmém podemos indicr por - ] ] = { R } ), x / x que tmém podemos indicr por - que tmém pode ser indicdo por. 0. Intervlos. Intervlos d) intervlo fechdo à direit (ou erto à esquerd) de extremos e é o conjunto ], ] = { x R / < x } que tmém pode ser indicdo por. Os números reis e são denomindos, respectivmente, extremo inferior e extremo superior do intervlo. ] + [ = { R > } c), x / x que tmém podemos indicr por + [ + [ = { R } d), x / x que tmém podemos indicr por + e) ], + [ =R que tmém podemos indicr por - + 9

10 .. Representção gráfic.. Representção gráfic Os intervlos têm um representção geométric sore ret rel como segue: ], [ [, ] [, [ ], ] ]-, ] ], + [ Exercício 9: Utilizndo representção gráfic dos intervlos sore ret rel, determinr AWB e AUB sendo A = [0, ] e B = [, ]... Representção gráfic.. Representção gráfic Exercício 7: Representr sore ret rel, cd um dos seguintes conjuntos { x R x } { x R x } { x R x x } { x R x x } A = / B = / 0 < < C = / 0 ou > D = / < < 0 ou Solução: A B AWB AUB 0 Então: AWB = [, ] e AUB = [0, ].. Representção gráfic.. Representção gráfic Exercício 8: Descrever, conforme notção d teori dos conjuntos, os seguintes intervlos: [ ] [ [ ] [ ] [ [ + [ ), ) 0, c), d), e), Exercício 0: Descrever os seguintes conjuntos 9 ) [, + [, ), 0,, [ ] [ ] [ ] 0

11 .. Representção gráfic 7. Resumo Exercício : Determinr os seguintes conjuntos ] ] ] [ [ ] [ ] ), 0, ),, Os conjuntos numéricos podem ser representdos esquemticmente pel figur ixo: N ZQRC Oservmos que N Z Q R C Conjunto dos números complexos Vimos que n R, qulquer que sej o rel não negtivo. Assim, por exemplo,,,, 7 8, e 6 π são números reis. Desde que o índice d riz sej ímpr, os n rdicis d form, em que R, tmém representm números reis. É o cso, por + exemplo, 7 de, e Conjunto dos números complexos Se o rdicndo é negtivo e o índice d riz é pr, entretnto, o rdicl não represent elemento de R. Por exemplo, não é rel, pois: e isso é impossível, pois se x R, então x 0. n = x = x 6