Geometria Analítica Prof Luis Carlos

Transcrição

1 ul 1: Vetores trtmento geométrico eometri nlític rof uis rlos 1. Segmentos orientdos: Um segmento orientdo é determindo por um pr ordendo de pontos (, ). é dito origem e extremidde do segmento. (, ): segmento orientdo de pr. (, ): segmento orientdo de pr. ogo, (, ) (, ) bservção: se =, temos um segmento orientdo nulo. té. eometricmente, o segmento orientdo (, ) será indicdo por um flech de omprimento: cd segmento orientdo, podemos ssocir um número rel (positivo ou nulo), seu comprimento, que é su medid. Utilizremos u.c.: unidde de comprimento, pr designr unidde de medid do segmento. ireção e sentido: dos dois segmentos orientdos não nulos (, ) e (, ) dizemos que eles têm mesm direção se s rets e são prlels (ou coincidentes). Só podemos comprr os sentidos de dois segmentos orientdos se eles têm mesm direção. 1

2 xemplos: mesmo sentido sentidos contrários 2. Vetores: Um vetor é o conjunto de todos os segmentos orientdos que têm mesm direção (prlelos), o mesmo sentido e o mesmo comprimento. xemplo: // // // otção:, ou 2

3 bservções: i) Um mesmo vetor pode ter vários representntes: e, pr citrmos um vetor, bst citr (ou desenhr) um deles. ii) norm (ou módulo, ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qulquer um de seus representntes. otção: ou o exemplo cim, temos: sos prticulres de vetores: : vetor oposto de - = - ou : vetor nulo ( origem coincide com extremidde) Se é tl que = 1, então ele é um vetor unitário Versor: cd vetor não nulo podemos ssocir dois vetores unitários de mesm direção u e - u. xemplo: u - u 3

4 u 5 u.c. u 1u.c. u 1 5 vetor u que tem mesmo sentido de é um versor de. Vetores prlelos: xemplos: u w v x prlelos de mesmo sentido prlelos de sentidos contrários Vetores ortogonis: xemplos: w v x u Vetores coplnres: qundo estão no mesmo plno. xemplos: u v w u, v e w são coplnres 4

5 w u v u, v são coplnres w não é coplnr u e v bservção: dois vetores quisquer são sempre coplnres. xercícios resolvidos: 1) figur bixo é constituíd por 9 qudrdos congruentes: lssifique em verddeiro (V) ou flso (): ) 5

6 (V) os vetores são iguis pois têm mesm direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. b) (V) os vetores são iguis pois têm mesm direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. c) (V) os vetores são iguis pois têm mesm direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. d) () pois esses vetores têm sentidos opostos. e) (V) esses vetores têm mesm direção. f) () esses vetores não têm mesm direção. g) (V) esses vetores têm mesm direção. h) (V) esses vetores são ortogonis. i) (V) esses vetores são ortogonis. j) () esses vetores não são ortogonis. k) (V) esses vetores são ortogonis. l) (V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguis. m) (V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguis. 6

7 2) figur bixo represent um prlelepípedo retângulo: lssifique em verddeiro (V) ou flso (): ) b) c) d) e) f) g) h) i) (V) os vetores são iguis pois têm mesm direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. () o vetor é o vetor que tem sentido oposto o do vetor. (V) esses vetores são ortogonis. (V) esses vetores são ortogonis. (V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguis. (V) pois os comprimentos desses dois vetores são iguis. () esses vetores não têm mesm direção. () esses vetores não estão no mesmo plno. (V) os vetores, e estão no mesmo plno. 7

8 perções com vetores 1. dição / Subtrção de vetores: Vmos fzer dição de vetores de dus mneirs: 1.1. onsideremos um representnte qulquer do vetor = e o representnte do vetor b que tem origem. Sej extremidde deste último. ic ssim determindo o vetor que por definição é um representnte do vetor som de com b. xemplo: b b + = 1.2. Regr do prlelogrmo: onsiste em tomr representntes de e b com mesm origem e construir o prlelogrmo. vetor (um ds digonis) é um representnte do vetor som + b e o vetor ( outr digonl) é um representnte do vetor diferenç - b. xemplo: 8

9 b = + b = - b bservção: - b = + (- b ): som do vetor com o vetor oposto de b. bservções: ) Sendo // b, temos: b + b mesmo sentido + b b sentidos contrários b) r se determinr som de três vetores ou mis, o procedimento é nálogo. xemplo: 9

10 b c b + + = c + b + c roprieddes: 1 comuttiv: + b = b + 2 ssocitiv: ( + b ) + c = + ( b + c ) 3 elemento neutro: + 0 = 4 elemento oposto: + (- ) = 0 2. ultiplicção de número rel por vetor: Sendo v 0 e 0 ( é um número rel), chm-se produto do número rel pelo vetor v, o vetor i) ódulo: v v ii) ireção: v // v iii) Sentido: v, se < 0. v tl que: v tem o mesmo sentido de v, se > 0; v tem o sentido oposto o de xemplos: 10

11 3 3 b -2b 3. Som de ponto com vetor: dos um ponto e v um vetor, definimos + v = Q. u sej, som do ponto com o vetor v é um ponto Q, sendo Q v. xemplo: v Q xercício resolvido: ponto : om bse n figur bixo, determinr os vetores, expressndo-os com origem no 11

12 ) = b) = c) = 12

13 13 d) = e) = f) = = = - = = =

14 g) = = = = = - = = h) = = = = = - = = = = = RRÊS R, vn de; US, ulo. eometri nlític: um trtmento vetoril. São ulo: erson, STRUY, lfredo; WTR, ulo. eometri nlític. São ulo: kron ooks, WTR, ulo. Vetores e eometri nlític. São ulo: kron ooks,