UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliografia: Curso de Matemática Volume Único

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1 ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA DETERMINANTES PROF. CARLINHOS NOME DO ALUNO: Nº TURMA: Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic Fundmentl - Volume Único Autores: Giovnni/Bonjorno&Givnni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicções Volume Único blog.portlpositivo.com.br/cpitcr

2 DETERMINANTES Determinnte é um número rel que se ssoci um mtriz qudrd. Regrs Prátics Pr o cálculo de determinntes de ordem n (n form: ), procede-se d seguinte Determinnte de ordem Pr mtriz A [] o determinnte é o próprio elemento. Det A Exemplo: A [ - ], logo det A - Determinnte de ordem Pr mtriz Pr mtriz o determinnte é igul à diferenç entre o produto dos elementos d digonl principl e o produto dos elementos d digonl secundári. det A - Exemplos ) A, logo det A..(-) +6 ) Resolv equção: x + x (x+)-(x-) x + x + x -7 x -7/ S { -7/ } Determinnte de ordem Pr mtriz de ª ordem define-se: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr

3 det A Regr de Srrus Pr clculr o determinnte de um mtriz de ordem : Repetem-se, à direit d mtriz, s dus primeirs coluns. Acompnhndo s flechs em digonl, multiplicm-se os elementos entre si, ssocindo-lhes o sinl indicdo. Somm-se lgebricmente os produtos obtidos, clculndo-se, ssim, o vlor do determinnte. EXEMPLO: A, logo: det A det A ( ) Menor Complementr O menor complementr D ij do elemento ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ij d mtriz qudrd A, é o determinnte que se obtém de A, eliminndo se del linh i e colun j, ou sej, eliminndo linh e colun que contém o elemento ij considerdo. Exemplo: Dd mtriz A, clculr D, D, D, D, e D. Resolução: D D D D + 6 D 8 blog.portlpositivo.com.br/cpitcr

4 Coftor Consideremos mtriz qudrd de ª ordem A Chm-se Coftor do elemento ij d mtriz qudrd o número rel que se obtém multiplicndo-se ( ) i+ j pelo menor complementr de ij e que é i j + representdo por A ij ( ). Dij.. Exemplo: Dd mtriz A 7, clculr: 8 ) A b) A c) A A A A ( ) + ( ) 7 8 ( ) + ( 8) 8 7 ( ) + ( 6 + 8) Teorem de Lplce O determinnte ssocido um mtriz qudrd A de ordem n é o número que se obtém pel som dos produtos dos elementos de um linh (ou de um colun) qulquer pelos respectivos coftores. Exemplo: EXEMPLO ) Sendo A um mtriz de ordem, podemos clculr o det A prtir de determinntes de ordem e d definição de Lplce. Escolhendo os elementos d primeir linh temos: det A A + + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + A + A ( 6) + ( ) ( ) + ( ) Observção: Pr se plicr esse método é melhor escolher linh ou colun que tiver o mior número de zeros. blog.portlpositivo.com.br/cpitcr

5 EXEMPLO ) Sej mtriz qudrd de ordem A, vmos clculr o 6 determinnte de A. Pr tnto, plicremos o teorem de Lplce, té chegrmos um determinnte de ª ordem, e depois empregremos regr de Srrus. Assim, desenvolvendo o determinnte cim, segundo os elementos d ª linh, temos: det A A + A + A A ( ) + + A ( ) A ( ) 6 + A ( ) 6 + A ( ) Substituindo em () temos: det A + PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ) Determinnte igul zero determinnte de um mtriz qudrd é igul zero, se mtriz possui: ) um fil nul; blog.portlpositivo.com.br/cpitcr

6 b) dus fils prlels iguis; c) dus fils prlels proporcionis; d) um fil que é combinção liner (C.L.) ds outrs fils prlels. Observe que C C + C, isto é, C é C.L. de Ce C ) Determinnte não se lter O determinnte de um mtriz qudrd não se lter se: ) Trocrmos ordendmente linhs por coluns. det A det A t b) Somrmos um fil um combinção liner de outrs fils prlels (TEOREMA DE JACOBI) ) Alterções no Determinnte O determinnte de um mtriz qudrd de ordem n lter-se: ) Trocndo de sinl, qundo dus fils prlels trocm de posição entre si. blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 6

7 b) Ficndo multiplicdo por K, qundo os elementos de um fil são multiplicdos por K. c) Ficndo multiplicdo por Kn qundo mtriz é multiplicd por K. Se A é mtriz n x n, então: Portnto: det (K. A) k n.det A ) Teorem de Binet Sendo A e B dus mtrizes qudrds de mesm ordem e AB mtriz-produto, então det AB det A det B Exemplo: A + 6 AB det A B det B det AB ( ) ( 6) ) O determinnte de um mtriz tringulr é igul o produto dos elementos d digonl principl. Exemplo: A det A EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM ) Clcule: ) 6 resp: - b) sen x cos x cos x sen x resp: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 7

8 c) resp: 7 d) resp: e) resp:- f) 9 / resp: ) Resolv s equções: ) - resp: S {-6} b) x x + x x resp: S {; } )Dds mtrizes A(ij)x, com ij i + i j, j, se se i < i j, e B(bij)x com j bij,, se se i + i + j, Clcule o det (A.B) resp: -7 j ) Resolv inequção x x < resp: S { x R/ < x < } ) Se det A, clcule: ) det (A t ). resp: b) det (A - ) resp: / 6) Se c b d, Clcule: ) b d c resp: - b) b c d resp: 7) Sej A um mtriz qudrd de ordem tl que det A m. Clcule o det ( A) resp: 8m 8) Sejm A e B dus mtrizes qudrds de mesm ordem. Sbendo que det A 6 e det B, clcule det (A.B). resp: blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 8

9 9) (UFOP-MG) O determinnte d mtriz cosπ log π sen π sen log cosπ senπ π tg é igul : log 7 ) b) c) d) e) n.d resp: c ) (ITA-SP) Sendo A,B e C mtrizes reis n x n, considere seguintes firmções:. A.(B.C) ( A. B). C. A. B B. A. A+B B+A. det(a.b) det A. det B. det(a+b) det A + det B Então podemos firmr que: ) e são correts b) e são correts c) e são correts d) e são correts e) e são correts resp: c ) (Unitu) Sendo B (bij)x, onde, b ij, se i j - ij, se i < j, se i > j j Clcule o det B : ) b) c) d) e) - resp: ) (Puccmp) Se A e B são mtrizes qudrds de ordem e tis que det A e det B, então é correto firmr que ) B A - ë det B det A b) B A ë det B det A c) det A det B së det A det B d) det (A+B) det A + det B e) det (A).det A resp: b blog.portlpositivo.com.br/cpitcr 9

10 . (Uel) A som dos determinntes indicdos seguir é igul zero ) quisquer que sejm os vlores reis de e de b b) se e somente se b c) se e somente se - b d) se e somente se e) se e somente se b resp: ) (Ufsc) Considere s mtrizes A e B seguir e n det(ab). Clcule 7 n. resp:. (Mckenzie) N função rel definid por: f (,) vle: ), b) - c) - d) - e), resp: d Bibliogrfi: Curso de Mtemátic Volume Único Autores: Binchini&Pccol Ed. Modern Mtemátic Fundmentl - Volume Único Autores: Giovnni/Bonjorno&Givnni Jr. Ed. FTD Contexto&Aplicções Volume Único Autor: Luiz Roberto Dnte Ed. Átic blog.portlpositivo.com.br/cpitcr