C Sistema destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 Pr Ordendo RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 06 RELAÇÕES E FUNÇÕES O pr ordendo represent um ponto do sistem de eixos rtesinos. Este sistem é omposto por um pr de rets perpendiulres. A ret horizontl é hmd de eixo x, eixo ds sisss ou Ox. A ret vertil é o eixo y, eixo ds ordends ou Oy. Os eixos x e y dividem o plno em qudrntes numerdos onforme mostr figur: y º qudrnte º qudrnte x º qudrnte º qudrnte Representção do pr ordendo Um ponto P é representdo pelo pr ordendo (m, n), portnto, s oordends de P são (m, n), ou ind, siss de P é m e su ordend é n. D mesm form qulquer ponto do plno rtesino está ssoido um únio pr ordendo. y P(, ) x P(m, n) siss ordend IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

2 Iguldde de pres ordendos Dizemos que dois pres ordendos são iguis se possuírem sisss e ordends iguis. (, ) = (r, s) = r e = s Teste o que prendeu. Lolizr no plno rtesino os pontos (, 0), (-, ), (-, ), (, -) e (0, ).. Determine e pr que: ( +, + ) = (0, ) Produto Crtesino Chm-se produto rtesino de A por B (A B) o onjunto de pres ordendos onde s sisss são pontos de A e s ordends são pontos de B. Exemplo: Sejm os onjuntos A = {0,, 5}, B={, 7} A B = {(0, ), (0, 7), (, ), (, 7), (5, ), (5, 7)} Anlogmente temos: B A = {(, 0), (, ), (, 5), (7, 0), (7, ), (7, 5)} Oserve que: A B B A Oserve tmém que A tem elementos, B tem elementos e A B tem 6 elementos. De form gerl, pr dois onjuntos quisquer vle: n(a B) = n(a) n(b) IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

3 Teste o que prendeu. Sendo A = {-, 0, } e B = {,, } determine:. A B. B A. A A. O onjunto A B tem elementos, A tem elementos. Quntos elementos possui B? Relção Consider-se relção de A em B todo suonjunto de A B que oedee um lei de formção. Exemplo: Sejm os onjuntos A = {0,, 5}, B={, 7} A B = {(0, ), (0, 7), (, ), (, 7), (5, ), (5, 7)} Vmos determinr o onjunto R A B tl que x < y, onde x é siss e y é ordend: R = {(0, ), (0, 7), (, 7), (5, 7)} Oserve que os pres ordendos (, ) e (5, ) firm de for porque não oedeim à lei de formção(x <y). Função Função mtemáti é um relção de A em B em que, pr todo x em A temos um únio y em B, onde x e y oedeem um lei de formção. Nos digrms seguir identifimos lgums funções: IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

4 É função, pois d elemento de A está ssoido e um únio elemento de B e não sorm elementos em A. d Não é função, pois o elemento d A não está ssoido e nenhum elemento de B É função, pois d elemento de A está ssoido lgum elemento de B e não sorm elementos em A. Não é função pois A está ssoido dois elementos distintos em B. Domínio, Imgem e Contrdomínio Consideremos os onjuntos A = {0,, } e B = {0,,,,, 5}. A função f : A B definid por y = x + ou f(x) = x + tem omo digrm: IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

5 0 A 0 B 5 Define-se: O onjunto A é denomindo domínio d função, que é indido por D. No exemplo im D = {0,, }. O onjunto {,, }, que é um suonjunto de B, é denomindo onjunto imgem d função, que indi-se por Im = {,, }. O onjunto B, tl que Im B, é denomindo ontrdomínio d função. Oserve que: f(0) = f() = f() = Exemplo: Ddos os onjuntos A = {-, -, 0, } e B = {-, 0,,,, }, determinr o onjunto imgem d função f : A B definid por f(x) = x +. Resolução: f(-) = (-) + = - f(-) = (-) + = f(0) = 0 + = f() = + = Portnto: Im = {-,,, } IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

6 Teste o que prendeu Considerndo o digrm seguinte, que represent um função de A em B, determine o que se pede: ) D ) f(-) ) f(0) d) f() e) Im f) A lei de formção Estudo do domínio de um função Qundo definimos um função, o domínio D, que é o onjunto de todos os vlores possíveis d vriável independente x, pode ser ddo expliit ou impliitmente. Assim: f(x) = x 5, om x 0, está expliito que o domínio d função onsiste em todos os números reis entre e 0: D = { x R x 0} f(x) = x 5, sem expliitr o domínio D, está implíito que x pode ser qulquer número rel, ou sej, D = R. x f(x) =, sem expliitr o domínio D, está implíito que x pode ser x qulquer número rel, om exeção de, pois se x =, teremos: () f() = =, o que não é definido. 0 Portnto: D = { x R x } f(x) = x, sem expliitr o domínio, está implíito que (x ) pode ser qulquer número rel não-negtivo, ou sej, x 0 ou x. D = { x R x } IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

7 Teste o que prendeu Determine o domínio D d função definid por: x f ( x) = x 5 f ( x) = x x f ( x) = x + Função pr e função impr Considere função f(x) = x +. f() = + = f(-) = (-) + = f() = + = 6 f(-) = (-) + = 6 f() = f(-) = f() = f(-) = 6 Função pr: x R, f(x) = f(-x) Considere f(x) = 5x. f() = 5 = 5 f(-) = 5 (-) = -5 f() = 5 = 0 f(-) = 5 (-) = -0 f() = -f(-) = 5 f() = -f(-) = 0 Função impr: x R, f(x) =- f(-x) Função resente e função deresente IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

8 Oserve o gráfio: y ument y y x x x ument Note que umentndo o vlor de x, o vlor de y tmém ument. As funções que possuem est rterísti são hmds de resentes. Função resente: x R, x R, x > x f(x ) > f(x ) Oserve o gráfio: y diminui y y x x x ument Função deresente: x R, x R, x > x f(x ) < f(x ) Funções sorejetor, injetor e ijetor Função sorejetor: Um função é sorejetor qundo seu onjunto imgem é o próprio ontrdomínio. Em outrs plvrs, não sorm elementos no ontrdomínio. IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

9 Função Injetor Um função é injetor se pr d dois elementos distintos do domínio temos dus imgens diferentes no ontrdomínio: x x f(x ) f(x ). 5 5 É injetor Não é injetor Função ijetor As funções que são o mesmo tempo injetors e sorejetors são denominds funções ijetors. Portnto, elementos distintos do domínio possuem imgens diferentes, e o ontrdomínio é igul o onjunto imgem. Função invers Tod função ijetor possui su invers, ou sej, se f é um plição de A em B, su invers será um plição de B em A. IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

10 0 f f: A B f(0) = ; f() = ; f() = f - 0 f - : B A f() = 0; f() = ; f() = Os pres ordendo de f são (0, ), (, ), (, ) e os de f são (, 0), (, ), (, ), s sisss de f são s ordends de f, e s ordends de f são s sisss de f. Portnto pr determinr função invers st sustituir siss x pel ordend y. Oserve: f: A B f(x) = x + ou y = x + sustituindo x por y temos: x = y + y = x, por tnto função invers de f é f (x) = x Teste o que prendeu. Determinr função invers de f(x) = 6x +. Determinr função invers de f(x) = x. Determinr função invers de f(x) = x x Função Compost Considere dus funções f e g tl que f: A B e g: B C, onforme o digrm: IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

11 f g h Queremos determinr um úni função h : A C que relize s mesms operções que f e g. Est função deve levr um elemento do onjunto A diretmente pr C, sem pssr por B. A função h, ssim determind, será hmd de função ompost. Notção: h(x) = gοf(x) = g(f(x)) Pr determinr função ompost g(f(x)), devemos, n função g, sustituir x por f(x) e resolver s operções neessáris. Exemplo: Sejm f: R R onde f(x) = x + e g: R R onde g(x) = x. Determinr h(x) = gοf(x) Queremos determinr h(x) = gοf(x) = g(f(x)), portnto n função g sustituímos x pel função f(x: g(x) = x g(f(x)) = f(x) = (x + ) = x + Portnto: h(x) = x + Teste o que prendeu determine: ) fοg(x) ) gοf(x) ) (gοf) - (x) Dds s funções definids em R R tis que: f(x) = x + e x g ( x) =, IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

12 Testes ) Considere os onjuntos A e B tis que A B = {(-, 0), (, 0), (-, ), (, ), (-, ), (, )}. O número de elementos de A B é: ) 0 ) ) d) e) ) Se A = {0,, } e B = {0,,, 5} então o número de elementos distintos do onjunto (A B) (B A) é: ) ) 8 ) d) 0 e) ) Um função f de vriável rel stisfz ondição f(x + ) = f(x) + f(), qulquer que sej o vlor d vriável x. Sendo-se que f() =, podemos onluir que f(5) é igul : ) / ) ) 5/ d) 5 e) 0 ) Sej f função definid por f(x) = x. Então f(0) + f(-) + f( ) é: ) ) ) d) e) 5) Qul ds funções seguir é pr? ) f(x) = ) x f(x) = x ) f(x) = x e) nenhum ds nteriores d) f(x) = x 5 6) Sej função f(x) = x +. Se f(-) = e f() =, então e vlem, respetivmente: ) e ) e ) e d) e e) e 7) Sejm f dd por f(x) = x e g dd por g(x) = x +. Então g(f()) é igul : ) ) ) d) e) 5 8) Se f(x) = + e g(z) = z +, então g(f(x)) vle: ) + ) + ) d) + e) + 9) A função invers d função x f(x) = é: x + IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00

13 ) ) e) x + f (x) = x ) x f (x) = x d) x + f (x) = x f f x + (x) = x x (x) = x 0) Num seqüêni, têm-se que f() = e f(n+) = f(n). Determine o vlor de f(). ) ) 0 ) 8 d) 7 e) 5 Grito dos testes B D C C A C D D E A IETAV System- CGC: / Fone/Fx: () 60-00