Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES

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1 Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - CAPES MATRIZES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez

2 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I UNIDADE - MATRIZES. INTRODUÇÃO Mtrizes são tbels de números reis utilizds em quse todos os rmos ds ciêncis, formds por um grupo ordendo de números dispostos em linhs e coluns. São utilizds n Esttístic, n Economi, n Administrção, n Físic, n Mtemátic, n Engenhri, etc. Em muits situções d economi, d físic, ou de outro rmo d ciênci, s idéis costumm ser expresss por um número grnde de equções, s quis envolvem muits vriáveis. As mtrizes constituem um form dequd de representá-ls e de resolvê-ls. Vejmos um exemplo de mtriz. Considere tbel bixo que indic um indústri do rmo frmcêutico que fbric três tipos de remédios, sendo eles denomindos pelos números I, II e III. As empress A, B e C encomendm em lotes cd um desses remédios. Empress Remédios A B C I 6 II 7 III A quntidde de lotes de remédios solicitd pels empress em um determindo mês é express n tbel. Se quisermos sber quntidde de lotes que empres C encomendou do remédio II, vmos procurr ess informção n segund linh, d terceir colun, onde obteremos o resultdo de lotes encomenddos. A tbel represent um mtriz, n qul os números dispostos n horizontl formm s linhs e os números dispostos n verticl formm s coluns. Cd um desses números represent um elemento d mtriz. Dess form, mtriz representd n tbel cim possui três linhs e três coluns e pode ser representd d seguinte form:

3 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I 6 7 x Onde se lê mtriz de ordem x Pr representr o elemento de um mtriz, usremos um letr minúscul com dois índices: o primeiro indicrá linh em que o número se encontr e o segundo indicrá colun. Por exemplo, é o elemento que se encontr n ª linh e n ª colun, no cso, o número. O elemento genérico de um mtriz será indicdo por ij, em que i indicrá linh e j colun onde se encontr o elemento. Costum-se representr o número de linhs de um mtriz pel letr m e o número de coluns por n. Os vlores de m e de n são s dimensões d mtriz. Ou sej, podemos dizer que mtriz tem ordem m x n ou é um mtriz do tipo m x n.. DEFINIÇÃO Denomin-se mtriz tod tbel retngulr formd por m x n números reis, dipostos em m linhs e n coluns. Um mtriz A ( ) com i m e j n ij mxn, onde m é o número de linhs d mtriz e n é o número de coluns. Notção: Indicmos um mtriz A por A ( ) ou A [ ] ij mxn ij mxn ou A ij dupls. mxn, com seus elementos entre prênteses, colchetes ou brrs. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Sendo A [ ] ij um mtriz m por n, teremos: mxn m linhs (i),, m,,, m,,n,n m,n n coluns (j)

4 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I 4. TIPOS DE MATRIZES 4.. Mtriz Linh e Mtriz Colun A mtriz linh possui um únic linh (m=) e mtriz colun possui um únic colun (n=). A 9 e x 4.. Mtriz Qudrd A 9 x Mtriz qudrd é quel em que o número de linhs é igul o número de coluns (m=n). Podemos dizer que ordem dess mtriz é m x m ou simplesmente m. A 7 x é um mtriz qudrd de ordem. Num mtriz qudrd de ordem m, os elementos ij onde i j, ou sej,,, mm, formm digonl principl. Os elementos ij com i j n, formm digonl secundári d mtriz. A Digonl secundári Digonl principl 4.. Mtriz Nul e Mtriz Digonl Qundo todos os elementos d mtriz são iguis zero el é chmd de mtriz nul, ou sej, qulquer ij. N mtriz digonl, todos os elementos cim e bixo d digonl principl são nulos. A mtriz nul 6 A mtriz digonl 4

5 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I 4.4. Mtriz Identidde A mtriz qudrd em que todos os elementos d digonl principl são iguis e todos os outros elementos são iguis zero, é chmd mtriz identidde. Logo, ij, pr i j e ij, pr i j. I 4.. Mtriz Simétric e Anti-Simétric Se os elementos em relção à digonl principl forem simetricmente iguis dizemos que mtriz é simétric (mtriz A). Qundo os elementos d digonl principl forem nulos e os elementos dispostos em relção el forem opostos chmmos mtriz de nti-simétric (mtriz B). 6 A 7 mtriz simétric 6 B 4 4 mtriz nti-simétric 4.6. Iguldde de Mtrizes Dus mtrizes são iguis qundo têm mesm ordem e os elementos de mesm posição (tmbém chmdos de elementos correspondentes) são iguis. 4 Sendo A e B, dizemos que s mtrizes são 6 4 iguis pois possuem mesm ordem (mtrizes qudrds de ordem ) e os elementos correspondentes são iguis, logo A B.

6 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I 4.7. Mtriz Opost e Mtriz Trnspost Dd um mtriz A mxn, chmmos de mtriz opost quel formd por elementos opostos os d mtriz A. A som de um mtriz com su opost é igul mtriz nul. 4 4 Se A, então su mtriz opost será A pois: 4 4 A -A mtriz nul Sendo mtriz A mxn, chmmos de mtriz trnspost quel obtid trvés d troc ordend ds linhs pels coluns e representremos por A t. Sendo A su trnspost será 7 A t 7 Observe que primeir linh de A é primeir colun de A t e segund linh de A é segund colun de A t. Qundo mtriz for simétric, teremos A = A t : 7 Dd mtriz simétric A 8 teremos 8 A t OPERAÇÕES COM MATRIZES. Adição A dição de mtrizes se dá trvés d som dos elementos correspondentes entre dus mtrizes de mesm ordem. 7 Dds s mtrizes A e B, som A B é um mtriz C, tl que C C 9 6

7 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I.. Subtrção de Mtrizes A diferenç de dus mtrizes A e B, de mesm ordem, se dá trvés d som d mtriz A com opost de B. A e 7 B 4 A B = 4 + = 4 = 4 A B A B (opost de B ).. Multiplicção de Mtrizes Multiplicção de um número rel por um mtriz Pr se multiplicr um número rel α por um mtriz A mxn, multiplicmos esse número rel α por cd elemento (ij) d mtriz: ( 9) 4 Sendo A e,.a =. = =.. Multiplicção de mtrizes Observe o exemplo: Durnte primeir fse d Cop do Mundo de futebol, relizd no Jpão e n Coréi do Sul em, o grupo C er formdo por qutro píses: Brsil, Turqui, Cost Ric e Chin. Observe os resultdos de cd um registrdos em um tbel e em um mtriz: Vitóris Emptes Derrots Brsil Turqui Cost Ric Chin 7

8 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I 8 Registrndo os ddos em um mtriz A 4x, temos: A Pelo regulmento d Cop cd resultdo tem pontução correspondente pontos (vitóri), ponto (empte) e ponto (derrot). Registrndo os ddos em um mtriz B x temos: B Termind primeir fse, foi verificdo o totl de pontos de cd pís. Ess pontução pode ser registrd num mtriz que é representd por A.B (produto de A por B). Vejmos como clculr pontução de cd pís: Brsil:.+.+.= Turqui:.+.+.= Cost Ric:.+.+.=4 Chin:.+.+.= Ess pontução pode ser representd pel mtriz 4 C, obtid pelo produto ds mtrizes A e B, ssim clculdo: x =

9 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I Então: Sejm s mtrizes Am p e p n A (observe que o número de coluns de A é igul o número de linhs de B), com elementos genéricos ik e b k j. Chm-se o produto d mtriz A pel mtriz B (indic-se o produto AB) mtriz do tipo m x n, cujo elemento genérico c i j é ddo por ci j i.b j i.b j i.b j... ip. bpj. O elemento c i j é obtido multiplicndo-se linh i de A pel colun j de B ordendmente, elemento por elemento, somndo-se os produtos em seguid. i. b j i. b j b b j j B ip. b pj b pj i i... ip c ij c ij i.b j i.b j... ip. b pj A AB Observção: A multiplicção de mtrizes não é comuttiv, isto é, pode ocorrer que A.B B.A. Sendo A e B 7, teremos o produto A.B. 7 9

10 Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis I A.B enqunto que B.A. 7 =..7.. = 6, logo 7 6 A B B A, ou sej, s mtrizes A e B não comutm. Porém pode hver um situção em que A. B = B. A e nesse cso dizemos que s mtrizes comutm: Sejm A= 9 4 e B= , e o produto A.B=. 9 9, ssim A. B = enqunto que B.A= B.A =