- Operações com vetores:

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1 TEXTO DE EVISÃO 0 - VETOES Cro Aluno(): Este texto de revisão deve ser estuddo ntes de pssr pr o cp. 03 do do Hllid. 1- Vetores: As grndezs vetoriis são quels que envolvem os conceitos de direção e sentido pr um complet crcterizção. Um vetor é imgem de um grndez vetoril, simolizdo por um set ( ). Assim o vetor velocidde é v, o vetor celerção é e o vetor forç é F. Um outr mneir de representrmos um vetor é escrevermos em negrito, ou sej, o vetor velocidde é v, o vetor celerção é e o vetor forç é F. Usrei est mneir de representr por ser menos trlhoso pr impressão dess postil. Um vetor tem s seguintes crcterístics : vlor (módulo do intensidde), direção e sentido. O vetor v o ldo present s seguintes crcterístics: v Vlor: 10 m/s (módulo ou mgnitude) r r Direção: horizontl Sendo v = 10 uniddes Sentido: pr direit (ou LESTE) Crcterístics de um vetor A ret r r é chmd de suporte do vetor e indic su direção. u O vlor de um vetor tmém pode ser indicdo n própri direção do vetor. O vetor u tem o vlor de dus uniddes vetoriis (uv). - Operções com vetores: ) Som de dois vetores: v v s v s = + v 1º) Ddos dois vetores e v, o vetor som v s (ou resultnte) é otido pel egr do prlelogrmo. Pr o cálculo do vlor do vetor som v s plicremos conhecimentos de trigonometri. v s = h + (v + m) lemre que ( + ) = + + e que h = sen θ v s = v 1 sen θ + (v + v m + m ) lemrr que m = cosθ v s = v 1 sen θ + v + v cos θ + v 1 cos θ v s = v 1 (sen θ + cos θ) + v + v cos θ lemrr que sen θ + cos θ = 1 v s = v 1 + v + v cos θ v s = + v + v cos θ Cso prticulr: θ = 90º v s cos 90º = 0 v s = v 1 + v v º ) Método do triângulo: ) Vetor som v = v s = + v v s v ) Diferenç de dois vetores: D +D = v A diferenç de dois vetores e v é um terceiro vetor D que v D = v - somdo o segundo, dá como resultnte o primeiro. A sutrção de vetores é um cso prticulr d ADIÇÃO.

2 Qundo se desejr o vlor do vetor diferenç plicremos Lei dos Co-senos: D = + v v cos θ c) Multiplicção de um vetor por um número rel: p = v. n ; se n > 0 então p = vn Um vetor multiplicdo por Um vetor multiplicdo por um número rel posi- um número rel neg- Sej p = v. tivo drá um vetor de tivo drá um vetor de v mesmo sentido. sentido oposto. No ex. n- O vetor v multiplicdo terior se o vetor v for mul- por drá o vetor p. tiplicdo por (-) teremos: p Sendo p = v - Componentes de um vetor: - P Projetndo o vetor v sore os eixos x e, otemos os vetores componentes v x e v v v v = v x + v v x x v = v x + v Os: ) Qundo dois vetores tiverem mesm direção e o mesmo sentido (θ = 0º), o vetor resultnte será: Intensidde: = + Direção: mesm de e Sentido: mesmo de e c) Qundo dois vetores tiverem mesm direção e os sentidos opostos (θ = 180º), o vetor resultnte será: intensidde. Intensidde: = - Direção: mesm de e Sentido: mesmo sentido do vetor de mior EXEMPLO 1: Sejm os vetores F 1 e F de vlores iguis 10 uv e 5 uv, respectivmente, cuj representção vetoril se encontr ixo. Trce resultnte e dê o seu vlor. Solução: = F 1 + F = F 1 F 1 = 15 = 5 5 uv F F

3 EXEMPLO : Ddo o digrm vetoril, trce o vetor resultnte e dê o seu vlor: θ = 60º = 4uv θ = 3 uv Solução: = + + cos θ = cos 60º = / = 37 u v EXEMPLO 3: Trce resultnte do sistem de vetores ixo: c Solução: Um vetor equipolente é um outro vetor de mesmo módulo, mesm direção e mesmo sentido. v Os vetores e v são equipolentes ( = v ) De um ponto qulquer, trçm-se vetores equipolentes os vetores, e c, construindo-se um polígono. A resultnte é um vetor que lig origem do primeiro vetor trçdo o finl do último vetor: = + + c c EXECÍCIOS DE APENDIZAGEM: 1) Mrin nd 40 metros pr o leste e cert distânci pr o norte, de tl form que fic fstd 50 metros do ponto de prtid. Determine distânci percorrid pr o norte. esp.: 1) 30m ) Os deslocmentos sucessivos efetudos por um veículo, qundo se moviment de um Ponto A pr outro B, form: 40 Km pr o norte, 40 Km pr o leste e 10 Km pr o sul. Pr retornr de B pr A, qul menor distânci ser percorrid? esp.: ) 50 Km 3) Considere dois vetores : um cujo módulo sej 30 e outro cujo módulo sej 40. Determine como os vetores podem ser comindos pr que som tenh módulo: ) 70 ) 10 c) 50 sp.: 3) ) θ = 0º ) θ = 180º c) θ = 90º 4) Um rco desenvolve, em relção à águ de um rio, velocidde de 3 m/s. A velocidde d correntez é de 6 m/s, em relção às mrgens. Determine velocidde resultnte do rco em relção às mrgens qundo: ) ele desce o rio; ) ele soe o rio. esp.: 4) ) 9 m/s ) 3 m/s

4 - Decomposição de um vetor sore dois eixos ortogonis: Ddo um vetor e um sistem de dois eixos ortogonis x e : Projetndo ortogonlmente s extremiddes do vetor nos eixos P P x e, otemos sus componentes retngulres x e. Anliti- cmente temos: o triângulo OP P é retângulo, portnto: OP x θ cos θ = = x =. cos θ 0 x P x OP PP sen θ = = =. sen θ OP EXEMPLO 4: Determine o módulo ds componentes retngulres do vetor de módulo 10 metros, conforme figur: 30º Solução: Pelo ponto de origem do vetor, consideremos um sistem de eixos coordendos x e, como mostr figur: Projetndo o vetor, nos eixos x e, temos: Componente segundo x Componente segundo x =. cos 30º =. sen 30º x = / = 10. 1/ x x x = 5. 3 m = 5 m EXECÍCIO DE APENDIZAGEM: 6) Um corpo é lnçdo com velocidde de 500 m/s, fzendo um ângulo de 60º com horizontl. Determine s componentes verticl e horizontl d velocidde do corpo. esp.: 6) 433 m/s e 50 m/s Exercícios de Fixção: 7) Os vetores o ldo têm: ) mesmo módulo. ) mesmo sentido c) mesm direção. d) direções diferentes e prlels. e) simetri. 8) São ddos os vetores e. Assinle o vetor que melhor represent diferenç ( - ) ) ) c) d)

5 9) Dois vetores têm módulos 4 m/s e 5 m/s e formm entre si um ângulo de 60º. A rzão entre o módulo do vetor som e o módulo do vetor diferenç é proximdmente : ),3 ) 1,7 c) 3 d) 4, 10) Dois vetores têm módulos iguis v e formm entre si um ângulo de 10º. A resultnte entre eles tem módulo: ) v ) v c) 3v d) d/ 11) Um rco lcnç velocidde de 18 Km/h, em relção às mrgens de um rio, qundo se desloc no sentido d correntez e de 1 Km/h qundo se desloc em sentido contrário o d correntez. Determine o módulo d velocidde do rco em relção às mrgens e o módulo d velocidde ds águs em relção às mrgens. 1) Um homem ndndo em um rio prlelmente às sus mrgens, vi de um mrco P outro Q em 30 minutos e volt pr P em 15 minutos. Se velocidde d correntez é de 1Km/h, qul distânci entre P e Q? 13) Um pescdor rem perpendiculrmente às mrgens de um rio, com um velocidde de 3 m/s em relção às águs. As águs possuem velocidde de 4 m/s em relção às mrgens. Determine velocidde do pescdor em relção às mrgens. Grito exercícios de fixção: 7) c 8) c 9) 10) 11) v = 15 Km/h v c = 3 Km/h 1) 1 Km 13) 5 m/s eferênci: Este texto utiliz como se unidde 4, disponíveis n págin do Prof. Hélder M. Medeiros