Assíntotas horizontais, verticais e oblíquas

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1 Assíntots horizontis, verticis e olíqus Méricles Thdeu Moretti MTM/PPGECT/UFSC INTRODUÇÃO Dizemos que um ret é um ssíntot de um curv qundo um ponto o mover-se o longo d prte etrem d curv se proim dest ret. Em outrs plvrs, ret ssintótic e curv ficm ritrrimente próims medid que se fstm d origem do sistem de coordends. Frequentemente no esoço de curv surgem ests rets que podem dr significdos importntes n interpretção de lgum fenômeno em estudo. Este conceito de ssíntot nos dá um modo de como encontrá-ls. As horizontis e verticis que são em gerl s mis comuns em livros de cálculo serão presentds logo seguir. Mis dinte trtremos tmém ds ssíntots olíqus que são incomuns nos cursos de cálculo. Os gráficos ds curvs e ds ssíntots dos eercícios trtdos neste teto estão presentdos no neo o finl, eles form trçdos com o softwre Winplot que é livre. Os interessdos podem oter cópi tulizd deste progrm em - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS Com se no conceito presentdo nteriormente, podemos estelecer que: - ret = k é um ssíntot verticl do gráfico de f() se o menos um dos limites seguir contece: lim f () =, k lim f () =, k lim f () =, lim f () = k k - ret = é um ssíntot horizontl do gráfico de f() se o menos um dos limites seguir contece: lim f () =, lim f () =

2 EXEMPLO. Sej função f rel dd por f () = Como lim = ssíntot horizontl de f. ou lim =, concluímos que = é únic Consttmos que de fto lim [f () ] = lim [ ] = 0. Isto signific dizer ± ± que medid que cresce ou decresce indefinidmente curv f () se proim ritrrimente d ret ssintótic = (ver gráfico no neo). EXEMPLO. Sej função f rel dd por f () =,. Como lim = lim = ou lim = lim =, podemos concluir que = é únic ssíntot horizontl de f. Além disso, verificmos que lim = ou que lim = concluir que ret verticl = é ssíntot verticl. Portnto, est curv possui dus ssíntots, s rets = e = (ver neo). pr - ASSÍNTOTAS OBLÍQUAS Consideremos um curv dd por f() e um ret de equção = m. Sej ind D(, f()) distânci entre o ponto (, f()) e ret = m que é dd por: f () m ) D(,f ()) = m Pr que sej um ssíntot olíqu, devemos ter: f () m ) lim = 0 ou m f () m ) lim = 0 m Um vez que o denomindor é constnte, estes limites só serão nulos somente se lim [f () m ] = 0 ou lim [f () m ] = 0 Dests igulddes podemos deduzir que se = m é um ssíntot, os coeficientes m e podem ser clculdos d seguinte mneir: m lim f () f () = ou m = lim

3 = lim [f () m] ou = lim [f () m] Cso estes limites eistem, com m 0 e = m definimos ssíntots olíqus. Pr o cso de m = 0, o cálculo de pss ser do mesmo jeito já definido nteriormente e usdo nos Eemplos e, ou sej, = lim f () ou = lim f (). EXEMPLO. Pesquisr s ssíntots d curv f () = f () = Equção dd. f () = Outro registro d equção nterior. lim = 0 lim = 0 = 0 é ssíntot verticl. A curv não possui ssíntots horizontis. lim = ou lim = N linh seguinte veremos que m 0 define ssíntot olíqu. m = lim = ± lim f () m = lim = lim = 0 ± ± ± = é ssíntot olíqu. EXEMPLO.. Pesquisr s ssíntots d curv (6 ) = 0 (6 ) = 0 Equção dd. = 6 Outro registro d equção nterior form eplícit. lim 6 = lim 6 = 6 m = lim = ± = lim 6 = A curv não possui ssíntot horizontl. N linh seguinte veremos que m 0 define ssíntot olíqu. = é ssíntot olíqu.

4 EXEMPLO.. Pesquisr s ssíntots d curv ( ) = 0 ( ) = 0 Equção dd. = ou = lim = lim = ± m = lim = e m = lim = = lim ( ) = e = lim ( ) = Outro registro d equção nterior. A curv possui simetri em relção ret = 0. Por est rzão pesquis ds ssíntots pode se restringir um desss equções pens. = é ssíntot verticl. Oservr que equção não é definid pr (0,]. A curv não possui ssíntot horizontl. N linh seguinte veremos que m 0 define ssíntots olíqus. = / e = / são ssíntots olíqus. EXEMPLO.. Pesquisr s ssíntots d hipérole de equção =. = = ou lim ( ) ± = = m = lim ( ) = m = lim ( ) = = lim ( ) = 0 = lim ( ) = 0 Equção dd. Oservr que > 0 e > 0 são constntes reis. Outro registro d equção nterior. A curv possui simetri em relção o eio. Por est rzão, pesquis ds ssíntots pode se restringir um desss equções. A curv não possui ssíntot horizontl. N linh seguinte veremos que m 0 define ssíntot olíqu. As rets = e procurds. = são s ssíntots

5 EXEMPLO.5 Pesquisr s ssíntots do Folium de Descrtes =, 0. = Equção dd. Oservr que est equção não pode ser colocd n form eplícit. t Outro registro d equção nterior n = t form prmétric. ( < 0) Relção entre o crescimento ritrário de t t e t n equção =. t t t = t, = e t ( > 0) t t m = lim ( ) lim t = = t m = lim ( ) lim t = = t t t = lim ( ) = lim ( ) t t t t(t ) t(t ) = lim = lim = t t t (t )(t t ) t t = lim ( ) = lim ( ) t t t t(t ) t(t ) = lim = lim = t t t (t )(t t ) Cálculos efetudos pr o cso > 0. A ret = é únic ssíntot. Pr < 0, oteremos mesm epressão = pr ssíntot olíqu. EXERCÍCIOS. Pesquisr s ssíntots ds curvs seguintes: ) = ) Diocles) d) = ( ) = ( > 0 e > 0) c) e) ( ) = ( ) f) = 6 g) i) = j) 8 = k) = l) = ( ) = 0 (Cissóide de ln = h) = (Curv de Agnesi). Resposts ) = 0, = e = ) = ±/ c) = d) =, = e) =, =, = f) = g) =, = /, = / h) = 0, = 0 i) = j) = /, = / k) = / l) = 0. Biliogrfi AYRES JR., Frnk A. Cálculo diferencil e integrl. ª edição. Trd. A. Zumpno. São Pulo: Mkron, 99. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. (Volume, ª Edição). Rio de Jneiro: LCT, 985. KITCHEN JR., Joseph W. Clculus of one vrile. Msschusetts: Addinson-Wesle, 968.

6 5 5 ANEXO Gráficos ds curvs e ssíntots dos eercícios resolvidos. E..: f () =, =. E..: f () =, =, =. 5 5 E..: f () =, =, = 0. E..: (6 ) = 0, =. 5 5 E..: ( ) = 0. =, = /, = /. E..: =, = /, = /. 5 5 E..5: =, com =. =. E..5: =, com =. =.