Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase

Transcrição

1 Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 08 - Fse Propost de resolução Cderno... Como eperiênci se repete váris vezes, de form independente, distribuição de probbiliddes segue o modelo binomil P X k n C k p k q n k. Temos que: n 0 repete-se est eperiênci dez vezes. p probbilidde do sucesso, ou sej Sir fce com o número 3 é, porque o ddo tem qutro fces e pens um dels tem o número 3. q 3, probbilidde do insucesso pode ser clculd como q 3 Assim, clculndo probbilidde de sir fce como o número 3 etmente seis vezes, e rredondndo o resultdo às milésims, temos: 6 3 P X 6 0 C 6 0,06 Respost: Opção B.. Como função f é diferenciável no intervlo [0,] é contínu em no mesmo intervlo. Assim, como [0,], 0 < f < 9 e f0 pelo Teorem de Lgrnge, temos que: 0 < f < 9 0 < Respost: Opção B f f0 0 < 9 0 < f < 9 0 < f 0 < f < < f + < 8 + < f < 9 < 9... Como os segmentos de ret [QP ] e [QR] são ldos consecutivos de um heágono regulr de ldo, então temos que: R QP QR Como os heágonos regulres podem ser decompostos em seis triângulos equiláteros, cd ângulo interno do heágono regulr tem o dobro d mplitude dos ângulos internos de um triângulo equilátero, ou sej, BAˆ BC 60 0 P Assim, vem que: QP. QR cos QPˆ QR QP QR cos 0 cos Q 0 Págin de 9

2 .. Como o plno P QR tem equção + 3y z 5 0, um vetor norml do plno é u,3, Como o prism é regulr então s rests lteris são perpendiculres o plno ds bses, ou sej, ret P S é perpendiculr o plno P QR, e ssim, o vetor norml do plno d bse é tmbém um vetor diretor d ret P S, pelo que, considerndo s coordends do ponto S,5,0, temos que um equção vetoril d ret P S é:,y,z,5,0 + λ,3,, λ R Assim, s coordends de todos os pontos d ret P S, e em prticulr o ponto P, pr λ R, são d form:,y,z P + λ u,5,0 + λ,3, + λ,5 + 3λ, λ Como o ponto P pertence o plno P QR podemos determinr o vlor de λ substituindo s coordends genérics do ponto, n equção do plno: + λ λ λ λ λ + λ λ 0 λ 8 λ 8 λ Dest form temos que s coordends do ponto P são: +,5 + 3,,5 6, 0,, Assim, clculdo distânci entre os pontos P e S, temos: P S Assim, clculndo áre lterl, ou sej, ds 6 fces lteris, e rredondndo o resultdo às décims, temos: A lterl 6 P Q P S ,6.3. Como em cd um ds bses do prism eistem 6 vértices e são escolhidos, o número de escolhs possíveis em cd bse é 6 C, pelo que o número totl de csos possíveis é 6 C 6 C O número de csos possíveis é 6, correspondente às 6 fces lteris do prism, composts por qutro vértices cd. Assim, recorrendo à Regr de Lplce, clculndo probbilidde de selecionr vértices de cd bse e os qutro pontos pertencerem à mesm fce lterl e rredondndo o resultdo às centésims, temos: 6 p 6 C 6 0,03 C Como eistem lunos de Espnhol, que devem ficr juntos n fotogrfi, eistem P A! forms de dispor os lunos em posições djcentes. D mesm form, como eistem 8 lunos de Inglês, eistem P 8 8 A 8 8! forms diferentes de os dispor em 8 posições djcentes. Como se pretende que os lunos d mesm disciplin fiquem juntos, independentemente d ordendção ds disciplins, eistem forms de colocr os dois grupos o grupo de Espnhol n direit, ou n esquerd, e ssim o número totl de mneirs que se podem dispor os lunos ns condições descrits, é:! 8! Respost: Opção D Págin de 9

3 3.. Considerndo eperiênci letóri que consiste em escolher, o cso, um luno d escol, e os contecimentos: I: O luno estudr Inglês E: O luno estudr Espnhol Temos que: como o número de lunos que estudm Espnhol e Inglês é igul, então P I P E como probbilidde de um luno estudr pelo menos um ds dus língus é dd por P I E e como probbilidde de um luno estudr s dus língus é dd por P I E, logo P I E P I E Podemos ind verificr que: P I E P I + P E P I E P I E P E + P E P I E P I E + P I E P E 5 P I E P E P I E 5 P E Dest form, recorrendo à definição de probbilidde condiciond vem que probbilidde, de um luno estudr Inglês, sbendo que estud Espnhol, é: P I E P I E P E O que corresponde um probbilidde de 0% 5 P E P E 5 0,. Como os coeficientes de refleão, R, e o de bsorção λ têm o mesmo vlor numérico, temos que R λ Como luz trnsmitid, L, é igul metde d potênci d luz incidente, I, temos que L I Assim, de cordo com s condições nteriores, temos que: L I R 6 e 3λ I I λ6 e 3λ I I λ6 e 3λ λ6 e 3λ Visulizndo n clculdor gráfic o gráfico d função f 6 e 3, e ret horizontl de equção y y, pr 0 < < porque λ > 0 e R <, reproduzido n figur o ldo, e usndo função d clculdor pr determinr vlores proimdos ds coordends do ponto de interseção de dois gráficos, obtemos o vlor proimdo às milésims d bciss do ponto de interseção, ou sej, o vlor comum os coeficientes de bsorção e refleão do mteril: 0, ,075 f Págin 3 de 9

4 5. Como z cos + i sen 0 e i 0 e i 0 cos0 + i sen 0, temos que Im z sen 0 e ] Re z cos0, pelo que o vlor de 0, π [ que verific condição Imz Re z é solução d 3 equção sen 0 ] 3 cos0 que pertence o intervlo 0, π [ Representndo n clculdor gráfic os gráficos d funções f sen 0 e g cos0, pr ] 3 vlores de 0, π [, obtemos o gráfico se reproduz n figur o ldo. y sen 0 Recorrendo à função d clculdor que permite determinr vlores proimdos de um ponto de interseção de dois gráficos, determinmos o vlor de rredonddo às centésims: 0,03 0 0,03 Respost: Opção B 3 cos0 6 π 6. Como o quociente de termos consecutivos de um progressão geométric é constnte e igul à rzão r, temos que: r e tmbém que r + 6 Assim, igulndo os quocientes e resolvendo equção em ordem, vem: Assim, como r, temos que r Dest form, podemos clculr o primeiro termo d progressão, u, recorrendo à fórmul d som dos 7 primeiros termos: S 7 u r7 r 38 u 7 38 u 8 38 u u 3 u 38 u 7 7. Anlisndo figur podemos verificr que os pontos do plno que pertencem à zon representd sombredo, são os pontos: que pertencem o interior d circunferênci ou à circunferênci de rio e centro no ponto de coordends 0,0, ou sej, os pontos que stisfzem condição: 0 + y 0 + y cuj bciss é inferior ou superior, ou sej, cuj distânci o eio ds ordends é superior, pelo que verificm condição: Como os pontos verificm cumultivmente s dus condições, região sombred é definid por: Respost: Opção C + y Págin de 9

5 Cderno Pel observção d condição que define ret r, podemos observr que um vetor diretor d ret é u,,0 Podemos ind verificr que um ponto que pertence à ret é o ponto de coordends P,,3, pelo que podemos encontrr outro ponto Q que tmbém pertence à ret, recorrendo o vetor diretor: Q P + u,,3 +,,0 +,, ,0,3 E ssim temos que um equção vetoril que define ret r, é: Respost: Opção A,y,z Q + k u,k Z,y,z 3,0,3 + k,,0,k Z 8.. Considerndo que: π sen, temos que rcsen π 3π cos, temos que rccos E ssim, vem que: Respost: Opção A π 3 rcsen + rccos π + π 3 3π 6 + π 6 7π 6 9. Simplificndo epressão de w, como i 5 i + i i, temos que: w i 5 + i i i + i i i 3 i + 3 i i i + 3 i i i i 3 i 5 Escrevendo 3i n form trigonométric w ρe iθ temos: ρ w tg θ 3 3; como sen θ < 0 e cos θ > 0, θ é um ângulo do o qudrnte, logo θ π 3 Assim w e i π 3, e como w é um riz qurt de z, temos que: z w e i π 3 e i π 3 e i π 3 6 e i π 3 Dest form, s qutro rízes qurts de z, são: z 6 e i π 3 + kπ, k {0,,,3} E ssim, pr k, obtemos riz qurt de z, cuj representção geométric pertence o primeiro qudrnte: π i 3 + π π 6 e i e + π e i π + 6π e i π e i π 6 Págin 5 de 9

6 Orgnizndo todos os produtos possíveis num tbel, temos: bol bol Assim podemos observr que os vlores que vriável X pode ssumir são k 0, ou k, ou k 6 Pel observção d tbel temos que: P X 0 6, pelo que k 0 Respost: Opção D 0.. Resolvendo equção, temos que: ln 3 ln ln e 3 ln 3 ln 3 + ln e e Por outro ldo, clculndo o limite d sucessão, vem: n n + k lim u n lim lim n n n + k n n lim + k n e k n Assim, como solução d equção é igul o limite d sucessão, temos que: Respost: Opção D e k e k. Simplificndo iguldde, vem que: E ssim, resolvendo inequção, temos: ln b ln ln b ln b b > Determinndo s soluções d equção 0, temos: ± 0 Estudndo vrição do sinl de, pr 0, vem: n.d. 0 + Assim, como b > 0, pr >, temos que o conjunto solução de b é: C.S. [,0[ [, + [ Págin 6 de 9

7 ... Resolvendo equção g 0 vem: considerndo < 0 g 0 e 0 e 0 0 e 0 ln }{{} Cond. Imp. Ou sej, se < 0 então g 0 é um equção impossível não tem soluções. considerndo 0 π g 0 sen 0 }{{ 0 } sen 0 Cond. Imp. Logo, se 0 π então g 0 tmbém é um equção impossível não tem soluções. Assim podemos concluir que função g não tem zeros. Respost: Opção A.. Pr verigur se função g é contínu em 0, temos que verificr se g0 lim 0 g lim 0 +g g0 sen 0 sen 0 0 lim 0 + g lim 0 + lim 0 g lim 0 sen e e 0 0 sen 0 sen 0 0 e Indeterminção fzendo y, temos que y e se 0, então y 0 e y lim lim y 0 y y 0 ey lim y y 0 lim e y y 0 y }{{} Lim. Notável Como g0 lim 0 +g lim 0 g, então função g é contínu em 0 Págin 7 de 9

8 .3. Começmos por determinr epressão d derivd d função g, no intervlo ]0,π]: g sen sen sen sen 0 sen sen sen 0 0 cos sen cos sen cos sen Clculndo os zeros d derivd, pr ]0,π], vem: Assim, temos que: cos sen 0 cos 0 sen 0 }{{} Condição universl π + kπ, k Z π + kπ, k Z π / ]0,π] pr k, π π π π π pr k 0, π 0 π π ]0,π] pr k, π + π π + π 3π 3π ]0,π] pr k, π + π π + π 5π 5π / ]0,π] cos 0 Assim, temos que g tem dois zero em ]0,π] e estudndo vrição do sinl d derivd e relcionndo com monotoni d função, vem: 0 π 3π π cos n.d sen n.d g n.d g n.d. Má min Má Assim, podemos concluir que função g, no intervlo ]0,π]: ] é crescente no intervlo 0, π ] [ ] 3π e no intervlo,π ; [ ] π é decrescente no intervlo,3π ; tem um mínimo reltivo pr 3π, cujo vlor é: 3π g sen 3π sen 6π sen 3π 3 tem dois máimos reltivos, pr π π g sen π sen π g π e pr π, cujos vlores são respetivmente: sen π sen π sen π 0 Págin 8 de 9

9 3. Sendo D f ]0,π[, e função f é contínu porque é o quociente de funções contínus, então como D f e π D f, logo e π não são ssíntots verticis do gráfico de f Averigundo se 0 e π são ssíntots verticis do gráfico de f, temos: lim 0 +f lim lim 0 + sen sen 0 + lim 0 + sen lim 0 + }{{} Lim. Notável Logo, ret definid pel equção 0 não é um ssíntot verticl do gráfico de f lim π f lim π sen π sen π π Logo, ret definid pel equção π é um ssíntot verticl do gráfico de f Respost: Opção B. Determinndo s coordends dos pontos P e Q, em função de são, respetivmente P,h P e Q,h Q, ln, temos que o declive d ret P Q é ddo por: ln ln m P Q ln ln ln ln ln ln ln, ln ln De cordo com sugestão, o triângulo d figur é isósceles qundo ret P Q é prlel à bissetriz dos qudrntes ímpres, ou sej, se tem declive igul. ln Assim, o triângulo é isósceles se: m P Q Dest form, provr [ ] que eiste pelo menos um vlor de, que corresponde um triângulo isósceles, é equivlente mostrr ln que, dd função f, definid [ ] [ ] em,, eiste,, tl que f Como função f result de operções [ ] sucessivs de funções contínus em,, é um função contínu, [ ] e, por isso, tmbém é contínu em,. Como ln < < ln, ou sej, f < < f, então, podemos concluir, pelo ] [ Teorem de Bolzno, que eiste, tl que f. C.A. ln f ln ln ln Como e <, vem: e < ln e < ln ln e < ln < ln Ou sej: < f ln f ln Logo, como < e, vem: < e ln < lne ln < ln e ln < ln e Ou sej: f < ln < ln < Págin 9 de 9