< 9 0 < f(2) 1 < 18 1 < f(2) < 19

Transcrição

1 Resolução do Eme Mtemátic A código 6 ª fse 08.. (B) 0 P = C 6 ( )6 ( ).. (B) Como f é contínu em [0; ] e diferenciável em ]0; [, pelo teorem de Lgrnge, eiste c ]0; [tl que f() f(0) = f (c). 0 Como 0 < f (c) < 9 então 0 < f() f(0) < 9. Podemos então concluir observndo que < f() f(0) 0 < 9 0 < f() < 8 < f() < 9 QP. QR = QP. QR.cos(QP QR) = cos (0 ) = 8.. O ponto P é o ponto de interseção entre ret PS, perpendiculr o plno PQR e que pss em S, com o plno PQR. Como ret PS é perpendiculr PQR então o vetor de coordends (,, ), sendo norml o plno PQR, é tmbém diretor d ret PS. Assim, um equção vetoril d ret PS é (, y, z) = (,,0) + k(,, ), k R e, como P pertence o plno PQR, s coordends do ponto P obtêm-se resolvendo o sistem seguinte: = + k = + k y = + k y = + k {, k R {, k R + y z = 0 ( + k) + ( + k) ( k) = 0 = + k = 0 y = + k y = {, k R { z = k + 9k + k = 8 + k = logo P(0,,) Assim, PS = S P = (,,0) (0,,) = (,6, ) e PS = ( ) = 6 Então áre lterl do prism é igul A = 6 ( 6) = 6 Respost: A 79,6 uniddes de áre (pro. décims).. P = 6 6 C 6 = C 7 Respost: P 0,0 (pro. centésims).. (D) P P P 8 = Sejm os contecimentos: E o luno estud Espnhol e I O luno estud Inglês De cordo com os ddos do problem, P(E I) = P(E I) e P(E) = P(I) Assim, como

2 P(E) + P(I) P(E I) = P(E I) P(E) = P(E I) P(E) = P(E I) podemos concluir que P(I E) = P(E I) P(E) Respost: P(I E) = 0% = P(E) P(E) = = 0,. De cordo com o enuncido, L = I e R = λ Logo I( λ) 6. e λ = I o que é equivlente ( λ) 6. e λ = porque I é não nulo. (Ver observção) Determinmos bciss do ponto de interseção dos gráficos ds funções definids por: y = ( ) 6. e e y = Respost: P 0,07 Observção No enuncido é indicdo eplicitmente pr não justificr vlidde do resultdo obtido n clculdor. Porém, pr que este problem fique com um resolução mtemticmente ceitável será necessário presentr lgum justificção como que se pont em i), ii) e iii). i. Comecemos por verificr que equção tem pelo menos um solução: Sej f função definid em [0,] por f(λ) = ( λ) 6. e λ Como est função é contínu no domínio ([0,]) pois é diferenç de dus funções contínus (o produto de um função polinomil pel compost de um função eponencil com um polinomil e um função constnte), estmos em condições de plicr o teorem de Bolzno-Cuchy nesse intervlo.. Como f(0) = = e f() =, tendo-se f() < 0 < f(0) então, pelo teorem de Bolzno- Cuchy, eiste um número rel c no intervlo ]0,[ tl que f(c ) = 0, ou sej, é grntid eistênci de pelo menos um solução pr equção ( λ) 6. e λ =. ii. Sbendo que solução eiste, provemos que el é únic: Sendo f(λ) = ( λ) 6. e λ, veriguemos o sinl d função derivd f. f (λ) = ( ( λ) 6( λ) 6 ). e λ é negtiv em ]0,[, pelo que f é decrescente no intervlo [0;], concluindo-se ssim que equção tem um únic solução nesse intervlo. iii. Assegurd eistênci de um únic solução, frá sentido então procurr determinr um proimção d mesm, tl como é pedido, recorrendo à clculdor gráfic. Pr grntirmos que solução fornecid pel clculdor corresponde à proimção pedid bst notr que os vlores de f em dois pontos, um à esquerd e outro à direit de 0,07, um distânci inferior 0,000 (por eemplo 0,076 e 0,07) são respetivmente superior e inferior. Com efeito, plicndo de novo o teorem de Bolzno-Cuchy, concluímos que solução únic procurd está entre 0,076 e 0,07 sendo portnto igul 0,07, rredonddo às milésims.

3 . (B) z = (e i ) 0 = e i0 = cos(0) + isen(0). Então Im(z) = sen(0) e Re(z) = cos(0) Finlmente, Im(z) = Re(z) sen(0) = cos () tg(0) = no domínio considerdo. Respost: Utilizndo clculdor, 0,0 (pro. centésims) 6. Como sucessão é um progressão geométric (de termos não nulos), equivlente à equção ( + 8) = ( + 6). = +6 o que é Est equção tem como solução únic = 6. Assim rzão d progressão geométric é igul r = +6 = = pelo que 6 S 7 = 7 u 8 = 7 u u = Respost: O primeiro termo d progressão é. 7. (C) 8.. (A) Um vetor diretor d ret é (,,0) e de entre s diverss opções proposts pens o ponto (,0,) pertence à ret. 8.. (A) rcsen() + rcos ( ) = π + π = 7π 6 9. i i = = + i + i Logo w = + i +i = i ( i)( i) ( + i)( i) = i = i w = + ( ) = e θ é tl que tgθ = e, como o fio de w pertence o qurto qudrnte, θ = π, menos d dição de um múltiplo inteiro de π. O compleo w eprime-se n form trigonométric por w = e i( π ) Sbe-se que se w = e i( π ) é um ds rízes qurts de um compleo z então riz consecutiv de rgumento superior é dd por w = e i( π +π ), ou sej, w = e i(π 6 ) Est riz é solução pretendid pois o respetivo fio pertence o primeiro qudrnte. 0.. (D) Pr que o produto sej nulo é necessário e suficiente que um dos números sej nulo. P(X = 0) = =

4 0.. (D) lim ( n+k n )n = lim ( + k n )n = e k Como o limite é solução d equção ln ( ) = então ln (ek ) = e e ln(ek ) = k =. Como > então ln > 0 (I) processo b ln( ) ln (b ). ln. lnb. ln. ln ln. ( ) 0 0 [, 0[ [, + [ n.d (II) Processo lnb = ln lnb ln = log b = = b e b ( ) 0 Utilizndo o qudro de estudo de sinl do processo (I). 0 [,0[ [, + [.. (A) g() = 0 ( e = 0 < 0) ( = 0 0 ) sen() e = 0 < 0 e = < 0 = 0 < 0 (condição impossível).. e lim g() = lim = lim (e ) = lim y 0 (ey y ) = = plicndo mudnç de vriável y =. lim g() = lim sen() = g(0) = Conclusão: g é contínu em = 0 porque lim 0.. g () = ( sen() ) = g() = lim g() = g(0) 0 + ( cos()) ( sen()) = cos () ( sen())

5 g () = 0 ( cos() = 0 sen() 0) ]0, π] cos() = 0 sen() ]0, π] = π + k. π, k Z ]0, π] = π + k. π, k Z ]0, π] = π = π 0 π π π cos () ( sen()) g () , g g é crescente em ]0, π ] e em [π, π] e é decrescente em [π, π ] Tem dois máimos reltivos: g ( π ) = e g (π) = e um mínimo reltivo g (π ) =. (B) lim f() = lim lim f() = π. π senπ = π 0 Tem-se que P (, ln sen = lim 0 + sen =, logo não eiste ssíntot verticl em = 0 + = +, logo = π é ssíntot verticl. ln() ) e Q (, ), logo PQ = (, ln+ln ln ln ln ) = (, ) O triângulo é isósceles se e só se ret PQ tiver declive igul. Note-se tmbém que ln ln = ln ln = Sej f função definid em [ ln ln, ] por f() = Como est função é contínu no domínio ([, ]) pois é o quociente de funções contínus, estmos em condições de plicr o teorem de Bolzno-Cuchy. f ( ) = ln = ln = ln6 e f() = ln = ln Or, tem-se que lne = e ln < ln < lne < ln6 porque função logrítmic de bse e é crescente, ou sej, ln < < ln6 f() < < f ( ) Então, pelo teorem de Bolzno-Cuchy, eiste um vlor de no intervlo ], [ tl que f() =, ou sej, é grntid eistênci de um vlor de pr o qul o triângulo é isósceles.