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1 Índice Do progrm Descobre o teu livro Atividde zero: Record T de vrição e otimizção T de vrição T de vrição médi num intervlo T de vrição num ponto Função derivd Regrs de derivção Regrs de derivção que já conheces Regrs de derivção ds funções eponencil e logrítmic Relção entre o sinl d função derivd e monotoni de um função Relção entre os zeros d função derivd e os etremos de um função Resolução de problems Trefs finis Progrmção liner Conjuntos de pontos e condições. Domínios plnos Progrmção liner Trefs finis Eercícios globis Soluções

2 ATIVIDADE 0 zero PARTE 1 Escolh Múltipl Pr cd um ds questões dest prte, selecion respost corret de entre s lterntivs que te são presentds. Não é necessário presentr cálculos. 1 Consider função f definid por f () = A t de vrição médi de f no intervlo [1, 5] é: (A) 1 (B) 10 (C) 4 (D) 0 1. Qul é t de vrição instntâne d função f em =? (A) 4 (B) 0 (C) 4 (D) 18 A t de vrição médi de um função f no intervlo [, b] é dd por: f (b) - f() tvm [, b] = b - Sugestão: recorre à clculdor e à opção d/d n Csio ou à opção nderiv n Tes. 1. Recorrendo à clculdor gráfic, represent grficmente função f. Qul ds firmções é verddeir? (A) f é crescente em ]-?, -] e decrescente em [-, +?[, tendo um máimo em =-. (B) f é decrescente em ]-?, -] e crescente em [-, +?[, tendo um máimo em =-. (C) f é decrescente em ]-?, -] e crescente em [-, +?[, tendo um mínimo em =-. (D) f é crescente em ]-?, -] e decrescente em [-, +?[, tendo um mínimo em =-. Consider função g representd grficmente n figur..1 A t de vrição instntâne d função g em = 1 é: 5 g (A) 5 (B) 0 (C) (D) 7. A t de vrição instntâne d função g em = 0 é: (A) positiv. 1 4 (B) zero. (C) negtiv. (D) um número cujo sinl não podemos sber por observção do gráfico.. O declive d ret tngente o gráfico d função g em = 4 é: (A) 1 (B) - (C) (D) 0 Observ ret r e responde às seguintes questões:.1 Qul é o declive d ret r? (A) 0 (B) 1 (C) - (D) -. O ponto (5, ) pertence à ret r. Qul o vlor de? (A) -14 (B) -9 (C) -1 (D) r 6

3 RECORDA PARTE Apresent todos os cálculos que tiveres de efetur e tods s justificções que considerres necessáris. 4 Um mcco encontr-se no topo de um árvore tirr frutos. A ltur, h, de um dos frutos reltivmente o solo, em metros, t segundos pós ter sido tirdo, é dd pel epressão: h(t) = 5,8 - t 4.1 Qul ltur d árvore, sbendo que o mcco mede 50 cm de ltur? 4. Qunto tempo demorou o fruto tingir o solo? Apresent tu respost com o vlor rredonddo às décims. 4. Determin velocidde médi do fruto durnte qued. 4.4 Qul velocidde do fruto um segundo depois de ter sido lnçdo? E no momento d chegd o solo? 4.5 Coment os vlores obtidos n questão nterior. 5 Consider função p de domínio IR representd grficmente n figur. p 5.1 Quis os intervlos de monotoni d função p? 5. Indic os vlores de pr os quis derivd d função p é: ) positiv. b) negtiv. c) igul zero Sbe-se que ret de equção =- + é tngente o gráfico de p no ponto de bciss 10. Qul o vlor de p'(10)? 6 Sej q um função definid por q() = Qul o domínio d função q? 6. Determin q'(). 6. Escreve equção reduzid d ret tngente o gráfico de q no ponto de bciss. 6.4 Visuliz n clculdor o gráfico d função q e represent-o no teu cderno, ssinlndo os pontos que te precem pertinentes. A equção d ret tngente o gráfico d função f no ponto de bciss é d form = f '() + b. 6.5 Represent no referencil nterior ret referid n questão 6.. 7

4 1. Função derivd Usremos pens notção f '() pr representr derivd d função f em. No entnto eistem outrs notções possíveis: df por eemplo, () e Df (). d Se cd vlor de do domínio de um função f fizermos corresponder o vlor de f '() estmos pernte um nov função: função derivd de f. Chm-se derivd d função f à função que tem por domínio o conjunto de pontos onde função f dmite derivd e que fz corresponder cd um desses pontos o vlor d respetiv derivd. Sendo A o domínio d função f ', pode crterizr-se est função por: f ': A "R 1 f '() Diz-se que um função é derivável num ponto qundo tem derivd nesse ponto. Eemplo: Observ o gráfico d função c e o gráfico de c' : c c 0 0 Não eiste c'(-) nem c'(). À esquerd de - ret tngente o gráfico de c é um ret de declive 0 e à direit de - ret tngente o gráfico é um ret diferente, visto que tem declive negtivo, logo não eiste c'(-). Tmbém no ponto de bciss contece o mesmo; ssim, nos pontos de bciss =- e = função c não é derivável (geometricmente, ret tngente o gráfico de c nestes pontos não eiste). Consider novmente função d d tividde 1 : d(t) =-4,9 t + 1,5 t que descreve distânci o solo de um foguete, desde o momento em que é lnçdo té que ci no chão (t å 0, 54). Qul foi velocidde médi do foguete durnte subid? Verificste que velocidde médi do foguete durnte subid, que ocorreu entre o instnte inicil e o instnte t = 1,5, instnte em que o foguete tinge ltur máim, foi de 61,5 m/s : tvm [0; 1,5] = d(1,5) - d(0) 1,5-0 = 765,65-0 1,5 = 61,5 1

5 EXERCÍCIOS GLOBAIS PARTE 1 Escolh Múltipl Pr cd um ds questões dest prte, selecion respost corret de entre s lterntivs. Não é necessário presentr cálculos. 1. De um função rel de vriável rel g sbe - -se que: D g = [-, ] g é um função pr tvm [0, ] > 0 Qul ds seguintes firmções é necessrimente verddeir? (A) A função g é monóton crescente. (B) A função g é monóton crescente no intervlo [0,]. (C) tvm [-, 0] < 0 (D) tvm [-, 0] > 0. N figur está representd, num referencil o.n. O, prte do gráfico de um função polinomil f de gru, de domínio R. Sbe-se que: -, e 5 são zeros de f f ' represent função derivd de f Qul ds firmções é verddeir? (A) (C) f'(- ) * f'(0) > 0 (B) (D) De Eme Ncionl. Apens um ds seguintes funções representds grficmente não dmite derivd em =. Qul? (A) (B) - O 5 f 4. Consider o seguinte qudro de vrição de sinl de um função d. t 5 d'(t) Qul ds firmções está corret? (A) A função d tem um zero em t = 5. (B) A função d tem um mimiznte em t = 5. (C) A função d não tinge qulquer etremo em t = 5. (D) A função d é positiv em todo o seu domínio. 5. Consider os números reis A e B, tis que: A = log 5 1 e B = f '(p) onde f é função definid 5 b por f() = cos(). Qul ds firmções é verddeir? B (A) B =-A (B) A = (C) A =-1 e B = 0 (D) A = 1 e B = 6. Consider representção gráfic d função f ', função derivd de f : f Qul ds seguintes epressões lgébrics pode ser d função f? (A) f() = - ( - ) + (C) (D) (B) f() = ( - ) - (C) f() = - ( - ) + 1 (D) f() = - ( + ) + 69