Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.
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- Felícia Gentil Soares
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1 9 ENSINO 9-º no Mtemátic FUNDMENTL tividdes complementres Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl
2 Cpítulo 6 Rzões trigonométrics no triângulo retângulo P 1. Considere o triângulo MNP, no qul s medids são dds em cm. M R Centro p b tn b 4 N Terr Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM ) Determine o perímetro do triângulo. b) Determine áre do triângulo. 2. O teodolito é um instrumento óptico que mede ângulos verticis e horizontis. Ele é utilizdo pr medir distâncis incessíveis e, por isso, é bstnte empregdo, por eemplo, por engenheiros. Funcionário utilizndo um teodolito eletrônico. Foi pedido um rquiteto que reformsse fchd de um prédio e pr isso er preciso sber ltur et do edifício. ssim, ele pediu pr um de seus funcionários instlr um teodolito 24 m do imóvel e mirr em seu topo. Foi obtido um ângulo de 65 com horizontl. linh visul Celeborn/Shutterstock.com 4. Em um prque, um escorregdor é copldo um pequeno mirnte, e o cesso ele se dá trvés de um rmp de mdeir, como mostr figur bio. O escorregdor tem 2,61 m e form 50 com horizontl. Determine o comprimento d rmp de cord sbendo que su inclinção é 40. Consulte tbel de relções trigonométrics no cpítulo áre do triângulo D, n figur bio, é 12 cm cm Utilize s relções trigonométrics e clcule áre do triângulo CD. 6. Vej o escorregdor mostrdo seguir. D 2 C g215/shutterstock.com 65º 24 m 1,65 m Se o teodolito está instldo 1,65 m de ltur, com o uílio d tbel do cpítulo 6 determine qul é ltur do prédio. 3. Suponh que você estej no pico de um montnh com um teodolito em mãos. O que você poderi fzer pr determinr o rio R d Terr, sbendo que montnh tem ltur? bio, tem-se o esboço do perfil de dois tipos de escorregdores e, com mesm ltur. tividdes complementres 16
3 Cpítulo 6 ) b 15 ) inclinção de um ret está relciond com o ângulo entre ret e horizontl. Qul ângulo está ssocido à inclinção d rmp? E à rmp? b) Ds dus rmps, qul tem mior inclinção? Justifique. b) N figur, WW Dé bissetriz intern do triângulo C e Eé WW bissetriz etern, mbs reltivs o vértice. c) 14 Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM 30º D C E Determine o vlor de. 8. velocidde de decolgem de um vião depende de vários ftores, entre eles: tempertur do r, tipo de vião, peso do vião, etc. Determindo vião decol com um velocidde de 90 m/s com um inclinção de Getty Imges/Flickr RF Um jrdineiro construiu um jrdim de ross no formto de um triângulo retângulo. Se hipotenus desse triângulo mede 15 m e um dos outros dois ângulos mede 53, com o uílio d tbel trigonométric, determine o perímetro e áre desse jrdim. 12. Em determind região, o rio ds ots deságu no rio ds Pedrs. O rio ds ots tem um declividde médi de 60 cm/km e o rio ds Pedrs, 90 cm/km. No rio ds ots, distânci entre os pontos e é 900 km, e no rio ds Pedrs, distânci entre os pontos e C é 500 km. 28 rio ds ots Supondo que velocidde e inclinção se mntenhm constntes durnte ess nálise, pós qunto tempo o vião tingirá m de ltur? rio ds Pedrs 500 km 900 km Relções entre s rzões trigonométrics 9. Utilizndo s relções trigonométrics, determine o vlor de em cd item: ) sen ,819, cos ,574 e tn 55 5 b) sen 20 5, cos ,940 e tn ,364 c) sen ,921, cos 67 5 e tn , Com o uílio d tbel trigonométric do cpítulo 6 e sem utilizr o teorem de Pitágors, determine o ângulo em destque e clcule o vlor proimdo de em cd item: C Esses três pontos formm entre si um triângulo retângulo, com o ângulo reto em. ) O ponto está 1450 m cim do nível do mr. Determine quntos metros cim do nível do mr estão os pontos e C. b) Utilizndo s relções trigonométrics e com o uílio d tbel do cpítulo 6 determine distânci entre os pontos e C, e os vlores de seno, cosseno e tngente dos ângulos ^ e C ^. tividdes complementres 17
4 Cpítulo 6 Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM 13. imgem seguir represent o símbolo interncionl de cesso, que nunci que determindo locl é cessível cdeirntes. Pr que os cdeirntes tenhm cesso dequdo, s rmps de cesso devem ter declividde máim de 5%. declividde de um ret é rzão entre vrição verticl e vrição horizontl d ret. vrição verticl vrição horizontl Recomend-se que, pr rmps com té 3% de declividde, eist um áre de descnso pln cd 60 m de piso e cd 30 m em rmps com declividde de 3% 5%. ) Consultndo tbel do cpítulo 6, determine proimdmente o ângulo formdo com horizontl por rmps de 3% e 5% de declividde. WilleeCole/Shutterstock.com b) Determine vrição verticl máim obtid por rmps de 3% e de 5% de declividde, sem que hj necessidde de áres de descnso. c) Determine vrição verticl máim obtid por rmps de 3% e de 5% de declividde, considerndo que hj um áre de descnso. 14. Pr projetr um vi de cesso um morro, é necessário conhecer su ltur. Pr isso, um operdor de teodolito posicionou o prelho no ponto, mirou o ponto mis lto do morro, M, e obteve um ângulo de 8 com relção à horizontl. Em seguid, ele cminhou 250 m em direção o morro, té o ponto, e mirou novmente o topo do morro obtendo um ângulo de 75 com horizontl. 8º M 75º N y 1,55 m Considerndo que o teodolito está 1,55 m de ltur, determine o que se pede. ) Consultndo tbel do cpítulo 6, determine proimdmente ltur do morro. b) Por que foi necessário fzer dus medições em vez de pens um? tividdes complementres 18
5 9 ENSINO Mtemátic FUNDMENTL 9-º no Resolução comentd Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl
6 Cpítulo 6 Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM Rzões trigonométrics no triângulo retângulo 1. ) tn β 5 4 tn β ä (tn β)2 5 4 tn β 5 2 gor, plicndo o teorem de Pitágors, conseguimos determinr o ldo MP do triângulo. (MP) 2 5 (PN) 2 1 (MN) MP 5 2dXX 5 Cálculo do perímetro P do triângulo: P dXX dXX 5 Portnto, o perímetro do triângulo é P 5 (6 1 2dXX 5 ) cm b) Como o triângulo é retângulo, su áre é clculd pel multiplicção dos seus ctetos dividido por 2: Portnto, áre do triângulo é 5 4 cm Pel tbel, temos tn ,145; logo: tn 65 5 ä 5 24? 2, , ,48 m linh visul 65º 24 m 1,65 m Portnto, ltur do prédio é 53,13 m, pois 51,48 1 1, , Com o teodolito podemos medir o ângulo entre linh do horizonte e verticl (). ssim: sen 5 R R 1 R M C Terr R Linh do horizonte N R 5 ( 1 R)? sen R 2 R? sen 5? sen R? (1 2 sen ) 5? sen R 5? sen 1 2 sen 4. De cordo com o enuncido, ltur do escorregdor será: metl 2,61 m 50 sen ,61 sen 50 é proimdmente 0,766. ssim, ltur será: 5 2,61? 0, m Como rmp de mdeir tinge mesm ltur, proimdmente 2 m, o comprimento pode ser clculdo. 2 m mdeir 40 sen 40 é proimdmente 0,643. sen , ,110 Logo, o comprimento d rmp é proimdmente 3,11 m. 5. Primeiro, vmos determinr medid de C, que é ltur do triângulo D C? D 5 C? 4 dxx C dXX dxx 3 gor, vmos definir. sen 2 5 C, como D é igul D, pois o D triângulo CD é isósceles de bse, então: sen dxx 3 5 ä dXX 3 plicndo um ds relções trigonométrics: cos 30 5 DC D dxx DC 4dXX 3 ä DC5 6 Portnto, áre do triângulo é, em cm 2 : C DC 5 2 dxx dXX ) Inclinção d rmp : Inclinção d rmp : β Resolução comentd 20
7 Cpítulo 6 Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM b) s dus rmps têm mesm ltur. Verific-se que projeção verticl d rmp é mior do que projeção verticl d rmp. Qunto mior tngente d inclinção, mior é inclinção. Logo, rmp tem mior inclinção β ä 1 β 5 90 D C b b 18 30º O triângulo ED é retângulo em (pois, 1 β5 90 ). plicndo um ds relções trigonométrics, temos: tg ä dxx dXX 3 8. Pr tingir m, o vião deverá percorrer: m sen sen 20 > 0, > > ,342 Como velocidde do vião é 90 m/s, e lembrndo que relção de velocidde constnte é v 5 Δs, o tempo necessário pr percorrer Δt esse trecho será: Δt > > 357,4 ssim, o vião tingirá m em proimdmente 357,4 segundos, o que corresponde proimdmente 6 minutos. Relções entre s rzões trigonométrics 9. ) tn 55 5 sen 55 cos ,819 0,574 > 1,427 sen 20 b) tn 20 5 ä sen 20 5 cos 20 5 (tn 20 )? (cos 20 ) sen 20 5 (0,364)? (0,940) > 0,342 c) tn 67 5 sen ä cos 67 5 sen cos 67 tn ,921 2,356 > 0, ) Primeiro, vmos determinr o vlor de. tn ,6 ä Logo o vlor de será: cos 5 15 ä 5 15 cos , ,3 b) Primeiro, vmos determinr o vlor de. sen 5 9 > 0,643 ä Logo, o vlor de será: cos 5 ä 5 14? cos ? 0, ,724 c) Primeiro, vmos determinr o vlor de. tn ,7 ä Logo, o vlor de será: cos 5 40 ä 5 40 cos ,766 > 52, Utilizndo s relções trigonométrics, temos: y 15 m 53 sen 53 5 ä 5 15? 0,799 > cos 53 5 y ä y 5 15? 0,602 > 9 15 áre do jrdim será: 5 y Portnto, áre do jrdim é 54 m 2 e o seu perímetro é 15 m 1 12 m 1 9 m, ou sej, 36 m. 12. ) rio ds ots: 60 cm 5 1 km ä cm m 900km Portnto, se está 1450 m cim do nível do mr, o ponto estrá 540 m mis bio, ou sej, 910 m. rio ds Pedrs: 90 cm 5 1 km ä cm m 500 km Portnto, se está 910 m cim do nível do mr, o ponto C estrá 450 m mis bio, ou sej, 460 m. Resolução comentd 21
8 Cpítulo 6 Este suplemento é prte integrnte d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos Edições SM b) Primeiro, vmos determinr o ângulo C ^ : tn C ^ ,8 ä C ^ Então, distânci entre e C é dd por: cos 61 5 C ä 0, C C C ,485 > Portnto, distânci entre os pontos e C é proimdmente km. gor, vmos determinr sen 61 e cos 61. Pel tbel trigonométric, sen ,875 e cos ,485. Vmos determinr gor os vlores de sen, cos e tn do ângulo ^, que é 29, pois Pel tbel trigonométric, sen ,485, cos ,875 e tn , ) rzão entre vrição verticl e horizontl corresponde à tngente do ângulo. tg 5 0,03 ä > 1,7 tg β 5 0,05 ä β > 2,8 b) Rmps com 3% de declividde: sen 1, ? sen 1,7 > 60? 0,03 5 1,8 Rmps com 5% de declividde: sen 2, sen 2,8? 30 > 0,05? ,5 m c) Rmps com 3% de declividde: 60 m 60 m Vrição verticl máim: 3,60 m Rmps com 5% de declividde: 30 m 30 m 1,80 m 1,80 m 1,50 m 1,50 m 14. ) Temos o seguinte sistem: 8º M 75º N y tg 75 5 y ä 5 3,732y tg 8 5 ä 5 0,14(y 1 250) y Substituindo 1 equção n 2, temos: 3,732y 5 0,14(y 1 250) 3,732y 2 0,14y 5 35 y ,592 > 9,74 1,55 m Substituindo y n 1 equção, temos: 5 3,732 9,74 > 36,35 gor, dicionmos à ltur do teodolito pr clculr ltur do morro: h 5 36,35 1 1, ,90 Portnto, o morro tem proimdmente 37,90 m de ltur. b) Porque não é possível determinr distânci do teodolito à projeção verticl do topo do morro, qul, n figur, é indicd pelo segmento N. Vrição verticl máim: 3,00 m Resolução comentd 22
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