Assim, temos: Logo: igual a. de Z. Solução: Seja z a bi, com a, b. De log3 2z 2z 1 2, temos: 2z 2z 1 9. Calculando. b 4 b 4 (não convém) com

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1 ssim, temos: f 0 () fo () 0. Os inteiros,,,..., estão P com rzão não nul. Os termos, e 0 estão em PG, ssim, j e. Determine j. f 0 (0) r 9r Sej Z um número compleo tl que e log Z Zi. Determine o número compleo j (j )r r r 0 (não convém) r 7 r 7r 0 r(r 7 ) 0 9r 0r (j )r (j )r De log z z, temos: bi bi 8 bi bi 8 = 8 Segue que z bi, com b r r 0r (j )r (j ) r Sej z bi, com, b. z z 9 r (j )r (j )r r z, temos: zi lculndo r 0 9 0r j (j j )r z bi z i bi i ms r 7 7j j 8 0 bi b i bi b i b i b i j (j j ) 7 ( ) 89 j 7 j j 7 j 7 j 7 j Portnto, de Z. 9r r 9r r r r r possui rgumento Zi igul Z b 8b b 8 i b b (não convém) com j = b 8i bi b b 8 b z 0, já que rg. zi Dí b 0. Sejm s funções fn, pr n {,,,...}, tis que fo () e fn () fo (fn ()), pr. lcule f0(0). n {,,,...} fo () f n () fo (fn ()); n Pr n =, temos: ssim, temos: b 8 z b rg rctg rctg zi b 8b z Por outro ldo, sbemos que rg. zi Segue que: b b f () fo (fo ()) b b Pr n =, temos: b f () fo (f()) b ' Pr n =, temos: b b 0 b '' f () fo (f ()) fo () GGE RESPONDE IME 0 MTEMÁTI Prov Discursiv z (não convém, pois b ) i

2 0. Define-se como stisfzem à iguldde: 0 0, cujos mtriz elementos i j i, j, pr i, j,,...,0. j 0 0 det det det Subtrindo (n )ª linh d nª, (n-)ª linh d (n-) linh..., ª d ª linh, ª d ª temos: Determine o conjunto solução d equção: sen() tg() tg cot g() sen() sen cos() sen() cos() cos tg() sen() Pr ter solução sen() 0 k ; k (I) ` cos() 0 k ; k (II) cos 0 k ; k k (III) 0 sen() sen cos cos cos () cos tg() cos() cos sen() cos cos() cos sen() sen sen() cos() sen() sen() cos() cos Fçmos: tg() y y tg() tg() como y 0 stisfzendo y s condições (I), (II) e (III), temos: 0 cot g Reduzindo-se ordem de mtriz por hió: 0. Dess form, temos: 0 det Que foi utilizdo por ocsião ds subtrções ds linhs, d penúltim pr últim, d ntepenúltim pr penúltim e ssim sucessivmente. ` det E repete-se o processo té chegrmos mtriz de ordem. 0 det 0 Lembrr d relção de Stifel, logo, k k k k k k sen tgtg GGE RESPONDE IME 0 MTEMÁTI Prov Discursiv y y 0 y tg() rctg stisfz s condições, (I), (II),(III), rctg k ; k rctg k ; k

3 0. Sej equção n - 7m = (m - n) + 9. Determine todos os pres inteiros (m, n) que stisfzem est equção. º so: m k 7 m 8 m 7 e k 7 m k n 7m m n 9 com m, n Segue que: m = - 7 e n = - n 7m m 0mn n 9 n 0mn m 9 0 0m m 9 m, n 7,99 ; 7, 99 ;, ;, ; 7,; 7, 00m 8m 88 m 88 m 7 n 07. 0m m 7 0m m 7 omo n, devemos ter n m 7 k, k. Segue que : m k 7 m k m k 7 m k m k 7 Três jogdores sentm o redor de um mes e jogm, lterndmente, um ddo não vicido de seis fces. O primeiro jogdor lnç o ddo, seguido pelo que está sentdo à su esquerd, continundo neste sentido té o jogo cbr. quele que jogr o ddo e o resultdo for, gnh e o jogo cb. Se um jogdor obtiver o resultdo, o jogdor seguinte perderá vez, isto é, vez pssrá o jogdor sentdo à direit de quem obteve. O jogo seguirá té que um jogdor gnhe o tirr um. Qul é probbilidde de vitóri do primeiro jogdor jogr? Sej o primeiro jogdor: Temos os seguintes csos: º so: m k 7 m 8 m 7 e k 7 m k Segue que: m = 7 e n = 99 º so: m k m 8 m 7 e k 7 m k 7... º so:... Segue que: m = - 7 e n = - 99 m k 9 m m e k m k Sej P probbilidde de gnhr o jogo começndo por. Segue que: m = e n = Sej P probbilidde de gnhr o jogo começndo por. º so: m k m m e k m k 9 P Segue que: m = - e n = - Sej P probbilidde de gnhr o jogo começndo por. P P P P P P P P º so: m k m 8 m 7 e k 7 m k 7 P P P P P PP PP P P P P PP P 00 P Segue que: m = 7 e n = GGE RESPONDE IME 0 MTEMÁTI Prov Discursiv

4 08. circunferênci tem equção + y =. Sej um circunferênci de rio que se desloc tngencindo internmente circunferênci, sem escorregmento entre os pontos de contto, ou sej, rol internmente sobre. 09. Um cord intercept o diâmetro de um círculo de centro O no ponto segundo um ângulo de º. Sejm e os pontos etremos dest cord, e distânci igul cm. O rio do círculo mede cm, e é etremidde do diâmetro mis distnte de. O prolongmento do segmento O intercept em. lcule rzão em que divide. Define-se o ponto P sobre de form que no início do movimento de o ponto P coincide com o ponto de tngênci (,0), conforme figur. pós certo deslocmento, o ângulo de entre o eio e ret que une o centro ds circunferêncis é, conforme figur b. Determine s coordends do ponto P mrcdo sobre em função do ângulo α. Determine equção em coordends crtesins do lugr geométrico do ponto P qundo vri no intervlo [0, ). ) circunferênci deslocou-se n circunferênci percorreu um distânci de Por OH ser O, temos o triângulo isósceles retângulo OH é d seguinte form: pr circunferênci ter percorrido, o seu ângulo de rotção (P) é clculdo d seguinte form: ' O' P om isso, o triângulo retângulo OH é d seguinte form: s coordends de P em relção O é de: Xp ' cos( ) cos( ) cos( ) Yp ' sen( ) sen( ) sen( ) s coordends do centro O em relção o centro de é: Xo ' cos( ) Yo ' sen( ) Dess form, teremos: Xp cos( ) cos( ) Yp sen( ) sen( ) b) Xp cos( ) cos( ) cos( ) cos ( ) cos( ) cos( ) Yp sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen ( ) ssim: = H + H fçmos y y y y y Fçmos gor y sen y cos sen cos elevndo o qudrdo: sen sen cos cos sen( ) = Do mesmo HO, temos que OÂH = 0º. = 0º = 0º y X p cos( ) Xp cos ( ) sen cos Yp sen ( ) Yp sen( ) Xp Yp GGE RESPONDE IME 0 MTEMÁTI Prov Discursiv

5 Dess form, temos: z (hipotenus) cos cos z V, 0, G, ret G y ret V y o m( ) y m ret V y ( ) k = Ô = Por Do O, temos: = º + 0º = 7º ssim, temos: Lei dos senos em : int erseção ret G e V : ' ' sen(0º ) sen(0 ) sen 0 sen(0 ) Do O, plicndo lei dos senos, temos: O ' sen( ) ' sen(0 ) sen( ) sen(0 ) ssim: ' ' sen( ) y k, distânci k 9 9 Ess distânci é igul no eio mior d elipse Dess form, temos: ' ', 0 0, 0 ( ) ( ) logo ' ' 0. Um cone é inscrito em um cubo DEFGH de form que bse do cone é o círculo inscrito n bse D. O vértice do cone é o centro d fce opost do cubo. projeção do vértice H n bse D coincide com o vértice D. Determine áre d seção do cone pelo plno H em função de, medid d rest do cubo. H G V E F cos cos º cos cos 0 c ' c O plno H contém o ponto G, logo visto de perfil o plno cort o cubo o meio e seção cônic é um elipse. H V G ' 0 c N elipse = b + c c b b Áre d seção do cone º 'b S º 0 S= GGE RESPONDE IME 0 MTEMÁTI Prov Discursiv S 8