CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

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1 CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO $7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV GDV TXHVW}HV H IRUDP FRQVWUXtGDV SRU +(51$1, %5*(6-867,),48( 7'$6 $6 68$6 5(6367$6 4XHVWmR Sej p: IR IR dd por p(x) (x-1)(x-)(x-3) Pr que vlores de x se tem p(x) 0? Os números 1, e 3 são s rízes do polinômio p(x) (x-1)(x-)(x-3) Estudndo vrição do sinl d função: [ [ [ S[ RESPOSTA: p(x) 0 pr 1 x 4XHVWmR Os números reis, b, c e d formm, nest ordem, um progressão ritmétic Clcule o b e e determinnte d mtriz A c d e e Como os números reis, b, c e d formm, nest ordem, um progressão ritmétic, e como em tod progressão ritmétic som dos termos eqüidistntes são equivlentes, então + d b + c det(a) e e d - e b e c e +d e b+c, sendo + d b + c, e +d e b+c 0 RESPOSTA: 0

2 4XHVWmR Sej z o número complexo puro + 3i Determine o vlor de α pr que z sej um imginário + i Consideremos o número complexo α x + yi + 3i + 3i + 3i Então + i x + yi + i x + (y + 1)i x + : Multiplicndo mbos os termos d frção por [ -( y 1i )] ( + 3i) [ x-( y+ 1i )] x + 3y (3x - y - )i [ x+ ( y + 1i )][ x-( y+ 1i )] x + ( y+ 1) Pr que este número sej imginário puro devemos ter x + 3y ( x + 3) x + 3 x + 3 y α x + i x - i XHVWmR Determine, em função de θ, o perímetro d figur ABD, obtid retirndo-se do triângulo retângulo ABC o setor circulr BCD (de centro em C, rio 1 e ângulo θ) & θ VHFθ 1 ' θ $ % AC cosθ 1 AC secθ AD 1 - secθ Considerndo que θ é medid do ângulo DĈB em rdinos, o perímetro pedido será 1 - secθ θ - secθ + θ WJθ

3 4XHVWmR N figur bixo, os círculos C1, C e C3 estão inscritos nos qudrdos ABCD, DEFG e GHIA, respectivmente Sbendo-se que o ângulo D ĜA é reto e que áre de C1 é igul 1, clcule som ds áres de C e de C3 1 1 Sendo áre de C 1 1 r 1 que o ldo AD do qudrdo ABCD DG AG DG AG Como r DG e r 3 AG r e r3 S(C ) π e S(C 3 ) π A som ds áres de C e C 3 é: DG AG S(C ) + S(C 3 ) π + π DG + AG 4 π ( ) ( ) RESPOSTA: 1 ( AD) XHVWmR 4XHVWmR Considere um tbuleiro qudrdo, semelhnte os usdos nos jogos de xdrez e de dms (n Figur 1, vemos um tbuleiro de xdrez) Nosso tbuleiro, porém, tem css, no lugr ds css do tbuleiro de xdrez convencionl Cd cs é designd por um pr ordendo (m, n) de números nturis, mbos vrindo de (n Figur, está ssinld

4 cs (7, 6) Um peç pode se mover no tbuleiro, cd jogd, pr qulquer ds css djcentes à que estej ocupndo (ver Figur 3) A distânci entre dus css é definid como o menor número de jogds pr que um peç psse de um cs té outr Considere, em nosso tbuleiro, s css A (1, 1), B (998, 999) e C (1, 1000) Qul ds dus distâncis (segundo definição cim) é menor: distânci entre A e B ou entre A e C? Em outrs plvrs: prtindo de A, qul, dentre s css B e C, se pode chegr em menos jogds? Por quê? C(1,1000) B(998,999) A(1,1) De cordo com definição dd no texto distânci entre dus css quisquer do tbuleiro é o menor número de jogds que lev de um cs outr Então distânci entre cs (m,n) e cs (,b), por exemplo, será : mx ( m, n-b) A distânci entre A e B será mx ( 997,998) 998 jogds A distânci entre A e C será mx ( 0, 999) 999 jogds RESPOSTA : distânci entre A e B 4XHVWmR 4XHVWmR Um cubo de rest 10 cm tem os qutro vértices A, B, C e D de um de sus fces, F, sobre superfície de um esfer S de rio r Sbendo que fce opost F é tngente à esfer S no ponto P, clcule o rio r

5 Consideremos o círculo máximo DA ESFERA que pss pelo ponto A O triângulo PAQ é retângulo ( tem como mior ldo o diâmetro do círculo máximo) cuj hipotenus mede r PT é ltur do cubo T é o centro d digonl d fce ABCD, então AT é metde d digonl dest fce, logo su medid é 5 Como o triângulo é retângulo, vle relção AT² QT TP ( 5 ) 10x 50 x 5 r r 7,5cm 10 RESPOSTA: 7,5 cm

6 4XHVWmR Um ret divide o plno em regiões; dus rets dividem-no em, no máximo, 4 regiões; três rets dividem-no em, no máximo, 7 regiões; e ssim sucessivmente Em qunts regiões, no máximo, 37 rets dividem o plno? RESOLUÇÃO : Representndo por n o número de rets e por R n o número de regiões determinds no plno por esss n rets 1 ret divide o plno em no máximo (1+1) regiões R 1 rets dividem o plno em no máximo ( + ) regiões R rets dividem o plno em no máximo ( 4 + 3) regiões R rets dividem o plno em no máximo (7 + 3) regiões R rets dividem o plno em no máximo (10 + 5) regiões R n rets dividem o plno em no máximo ( R n-1 + n) regiões R n Observmos que n é som dos n termos ( de um PA de rzão ) 36 Então 37 rets dividem o plno em no máximo rets RESPOSTA : 704 rets 4XHVWmR Um número nturl deix resto 3, qundo dividido por 7, e resto 5, qundo dividido por 6 Qul o resto d divisão desse número por 4? Considerndo n o número em questão, temos: n 7q + 3-6n 4q 18 n 4(q'-q) + 17 n 6q' + 5 7n 4q' + 35 RESPOSTA: O resto é portnto 17

7 4XHVWmR Considere o triângulo T, de vértices A, B e C, tl que os ângulos  e Bˆ são gudos Sej H ltur reltiv o ldo AB Pr cd número nturl n, sej Fn figur formd pel união de n retângulos justpostos contidos em T (vej n figur o cso n 4) Cd H retângulo tem dois ldos perpendiculres AB medindo e um ldo ligndo AC BC (o 1+ n mior dos retângulos tem um ldo contido em AB) Sbendo que áre Do triângulo T é, clcule, em função de e de n, diferenç entre áre de T e áre de Fn Qul o limite d áre de Fn, qundo n tende infinito? x H No triângulo ABC, S Hx O triângulo CDE é formdo d junção dos dois triângulos lteris cd retângulo

8 S (CDE) 1 x H n + 1 n + 1 xh ( n+ 1) Logo T -F n (n+1) ( ) n+ 1 n+ 1 ( n+ 1) ( n+ 1) Como T-F n lim n F n n + 1 F n T - n n 1 + ( n + 1) n n n+ 1 RESPOSTA: ª