Relações em triângulos retângulos semelhantes

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1 Observe figur o ldo. Um escd com seis degrus está poid em num muro de m de ltur. distânci entre dois degrus vizinhos é 40 cm. Logo o comprimento d escd é 80 m. distânci d bse d escd () à bse do muro () é 19 m. ssim o triângulo formdo é retângulo em  em que e são os ctetos e é hipotenus. o meio-di com o Sol pino um pedreiro sobe escd degru por degru. sombr de seu pé no chão tmbém vi mudr de posição. Vmos ver como este eemplo simples nos permite tirr conclusões importntes em mtemátic. 80 m 19 m m 14 Relções em triângulos retângulos semelhntes figur o ldo mostr de mneir simplificd: s posições do pé do pedreiro: 1 4 e ; s posições d sombr do pé no chão: 1 4 e. Os triângulos 1 1 etc. são todos semelhntes entre si. Observe rzão: ltur do pé 1 1 = 00 = =... = = = distânci percorrid sombr Podemos observr que ltur do pé do pedreiro em relção o chão é diretmente proporcionl à distânci que ele percorreu n escd. Temos tmbém rzão: distânci d sombr à bse d escd 1 = 19 = =... = = = distânci percorrid 1 80 D mesm form distânci d sombr do pé do pedreiro à bse d escd é diretmente proporcionl à distânci que ele percorreu n escd. Temos ind: ltur do pé 1 1 = 00 = =... = = = distânci d sombr à bse d escd 1 19 ltur do pé do pedreiro em relção o chão é diretmente proporcionl à distânci d sombr do seu pé à bse d escd. pé

2 cbmos de ver que fido o ângulo (ˆ) que escd fz com o chão s rzões: cteto oposto ˆ hipotenus cteto djcente ˆ hipotenus e cteto oposto ˆ cteto djcente ˆ não dependem do tmnho do triângulo considerdo. Em qulquer dos triângulos 1 1 etc. esss rzões vlem respectivmente: 07149; ; Esses números estão diretmente ligdos à medid do ângulo ˆ. Se colocrmos escd num outr posição como mostr figur bio formndo com o chão um outro ângulo ˆ' encontrremos s seguintes rzões: cteto oposto ˆ' hipotenus = = 08 cteto djcente ˆ' hipotenus cteto oposto ˆ' cteto djcente ˆ' = 1 40 = 0417 = 00 1 = m m Pr cd ângulo gudo ˆ esss três rzões que só dependem d medid do ângulo ˆ vão gor receber um nome. 1 m Rzões trigonométrics Sendo ddo um ângulo gudo ˆ vmos construir um triângulo retângulo em e que tenh ˆ como um de seus ângulos. hm-se seno de um ângulo gudo rzão entre o cteto oposto o ângulo e hipotenus: b sen ˆ = b (sen ˆ lei seno de ˆ ) c hm-se cosseno de um ângulo gudo rzão entre o cteto djcente o ângulo e hipotenus: cos ˆ = c (cos ˆ lei cosseno de ˆ ) hm-se tngente de um ângulo gudo rzão entre o cteto oposto o ângulo e o cteto djcente o ângulo: tg ˆ = b c (tg ˆ lei tngente de ˆ ) O seno o cosseno e tngente de um ângulo são chmdos rzões trigonométrics desse ângulo. Vej lguns eemplos: onsiderndo o eemplo inicil com o triângulo formdo pel escd pelo muro e pelo chão temos: sen ˆ = b = = cos ˆ = c = = tg ˆ = b c = = m m 19 m 147

3 gor vmos considerr escd poid no muro n segund posição presentd: sen ˆ' = b = = 08 cos ˆ' = c = 1 40 = 0417 tg ˆ' = b c = 00 1 = m m No triângulo o ldo temos: sen ˆ = cos ˆ = tg ˆ = cteto oposto ˆ hipotenus cteto djcente ˆ hipotenus = = = 0 = = 4 = 08 cteto oposto cteto djcente = = 4 = 07 No eemplo nterior o ângulo Ĉ tmbém é gudo. lculemos s rzões trigonométrics de Ĉ. 1 m 4 sen Ĉ = = 4 = 080 cos Ĉ = = = 00 tg Ĉ = = 4 = 1 4 Relções entre s rzões trigonométrics s rzões trigonométrics de um mesmo ângulo têm relções entre si. Vej: sen ˆ = b então b = sen ˆ cos ˆ = c então c = cos ˆ De cordo com o teorem de Pitágors temos: b c b + c = ) ( sen ˆ) + ( cos ˆ) = ) sen ˆ + cos ˆ = Portnto: Se clculrmos o quociente Portnto: sen ˆ cos ˆ teremos: sen ˆ cos ˆ = sen ˆ + cos ˆ = 1 b c tg ˆ = = b c = b c sen ˆ cos ˆ = tg ˆ 148

4 Eercícios 404. Determine sen nos csos: ) b) c) Determine cos nos csos: ) b) c) ` Obtenh tg nos csos: ) b) c) 1 ` lcule sen ˆ cos ˆ e tg ˆ pr o triângulo o ldo e Pr o mesmo triângulo do eercício nterior clcule sen Ĉ cos Ĉ e tg Ĉ e lcule medid d hipotenus RS do triângulo retângulo d figur. Em se guid determine sen Rˆ cos Rˆ e tg Ŝ. T RS = 0; sen Rˆ = cos Rˆ = 4 e tg Ŝ = R S 410. Num triângulo retângulo em de hipotenus 1 cm sbe-se que sen ˆ = 4. Determine: ) o cteto = ; 1 cm b) o outro cteto; 9 cm c) cos ˆ e tg ˆ; 4 d) sen Ĉ cos Ĉ e tg Ĉ. 4 e Um triângulo RST retângulo em R tem RS = 10 cm e tg Ŝ =. Determine RT =. cm T R S 149

5 41. Num triângulo retângulo em de hipotenus cm sbe-se que sen Ĉ =. Determine: ) o cteto = ; 1 cm b) o outro cteto; 0 cm c) cos Ĉ e tg Ĉ ; 4 ; 4 d) sen ˆ cos ˆ e tg ˆ. 4 ; ; 4 Seno cosseno e tngente de N figur inicil temos um qudrdo de ldo. o trçrmos su digonl (que mede `) indicmos um triângulo retângulo como mostr figur centrl. Observe que os ângulos gudos vlem. sen = cos = ` ` ) sen = 1 ` ) cos = 1 ` ) sen = ` ) cos = ` ou sen = ou cos = tg = ) tg = 1 Seno cosseno e tngente de 0º e de 0º N figur inicil temos um triângulo equilátero de ldo cujos três ângulos são iguis 0º. o trçrmos su ltur 1 que mede ` indicmos um triângulo retângulo como mostr figur centrl. 0º Pr o ângulo de 0º temos: 0º sen 0º = cos 0º = tg 0º = ) sen 0º = 1 ` ` ) cos 0º = ` = 1 ` ) tg 0º = ` ou sen 0º = 0 ou cos 0º = ou tg 0º =

6 Pr o ângulo de 0º temos: sen 0º = cos 0º = tg 0º = ` ) sen 0º = ` ) cos 0º = 1 ` ou sen 0º = ou cos 0º = 0 ) tg 0º = ` ou tg 0º = gor podemos construir um tbel com o seno o cosseno e tngente de lguns dos principis ângulos: sen cos tg 0º 0º 1 ` ` ` ` ` 1 1 ` Seno cosseno e tngente de outros ângulos Qundo queremos obter um ds rzões trigonométrics de um ângulo não especil como 7º por eemplo como fzemos? Teoricmente podemos fzer ssim: com jud de um trnsferidor construímos um ângulo de 7º: b O construímos um triângulo retângulo que tenh 7º de ângulo gudo: 7º 11

7 medimos os ldos desse triângulo: distânci = 4 cm clculmos rzão trigonométric que queremos. N prátic consultmos tbels já eistentes e que dão s rzões trigonométrics dos ângulos de 0º 90º de gru em gru. Ou então utilizmos clculdors que dão s rzões trigonométrics. plicções ds rzões trigonométrics onhecendo os vlores do seno do cosseno e d tngente de um ângulo gudo podemos efetur vários cálculos em geometri muitos deles envolvendo situções do cotidino. Vejmos os eemplos seguintes: Eemplo 1 Por segurnç vi ser necessário ligr pont de um poste de 1 m de ltur um gncho no chão por um cbo. Qundo esticdo o cbo deverá fzer ângulo de com o chão. Qul é o comprimento do cbo? que distânci do poste está o gncho? 1 d Temos: sen ˆ = = 1 e tg ˆ = = 1 d omo ˆ = e sen = ` e tg = 1 vem: ` = 1 1 = 1 e então = 1 ` e então d = 1 = 1 ` = 1 (141) ) = 19 Respost: O comprimento do cbo é 19 m e distânci do gncho o poste é 1 m. 1

8 Eemplo Um groto estv empinndo pip. Qundo ele soltou os 0 m de linh o vento estv tão forte que linh ficou inclind 0º em relção o chão. Nesse momento qul er ltur d pip? 0 m Temos: 0º sen ˆ = = 0 omo ˆ = 0º e sen 0º = ` vem: ` = 0 e então = 0 ` ` = ` = (17) = 4 ) = 4 Respost: ltur d pip er 4 m. Eemplo Qul é o comprimento d sombr de um árvore de m de ltur qundo o Sol está 0º cim do horizonte? m Temos: 0º s tg ˆ = = s omo ˆ = 0º tg ˆ = tg 0º = ` = 077 então: 077 = s e dí s = 077 Respost: O comprimento d sombr é 87 m. = 87 ) s = 87 1

9 Eercícios 41. lcule o vlor de em cd item: ) c) e) ` 0º º 18 b) 8 ` d) f) 0º 0º Determine nos csos: ) b) ` ` 0º 0º 1 0º 41. Um triângulo retângulo com  = 90º tem = cm = ` cm e = 1 cm. Determine os vlores de ˆ e de Ĉ. 0º; 0º 41. bse mior de um trpézio isósceles mede 100 cm e bse menor 0 cm. Sendo 0º medid de cd um de seus ângulos gudos determine ltur e o perímetro do trpézio. 0 ` cm e 40 cm 417. Determine os vlores de e nos seguintes csos: ) retângulo b) prlelogrmo c) prlelogrmo ; ` 8; 4 ` ` ; 1 0º 1 0º Um observdor vê um edifício construído em terreno plno sob um ângulo de 0º. Se ele se fstr R do edifício mis 0 m pssrá vê-lo sob ângulo de. lcule ltur do edifício. 1( + ` ) m 0 m 0º 14

10 419. Pr determinr lrgur de um rio mrcou-se distânci entre dois pontos e num mrgem: = 100 m. Num perpendiculr às mrgens pelo ponto visou-se um ponto n mrgem opost e se obteve o ângulo ˆ = 0º. lcule lrgur do rio. 100 ` m 0º 100 m 40. Um vião está m de ltur e inici terrissgem em eroporto o nível do mr. O ângulo de descid é º. que distânci d pist está o vião? Qul é distânci que o vião vi percorrer? Ddos: sen º = 0104 cos º = 0994 e tg º = km e 97 km 41. sombr de um poste verticl projetd pelo sol sobre um chão plno mede 1 m. No mesmo instnte sombr de um bstão verticl de 1 m de ltur mede 0 m. Qul é ltur do poste? 4. Determine de cordo com o cso indicdo os vlores de e : ) losngo 0; ` b) trpézio retângulo 18; ` c) trpézio isósceles 1; 10 10º 1 0 m 4. Um pip é pres um fio esticdo que form um ângulo de com R o solo. O comprimento do fio é 80 m. Determine ltur d pip em relção o solo. 40 ` m 80 m 44. Um escd está encostd n prte superior de um prédio de R 4 m de ltur e form com o solo um ângulo de 0º. Determine o comprimento d escd. ` m 4 m 4. Um prédio projet um sombr de m no mesmo instnte em que um bliz de 1 m projet um sombr de 40 cm. Se cd ndr desse prédio tem m de ltur qul é o número de ndres? 0º 4. Um brco trvess um rio num trecho onde lrgur é 100 m seguindo R um direção que form com um ds mrgens. lcule distânci percorrid pelo brco pr trvessr o rio. 100 ` m 100 m 47. Um escd de bombeiro pode ser estendid té um comprimento máimo R de m formndo um ângulo de 70º com bse que está poid sobre um cminhão m do solo. Qul é ltur máim que escd tinge? m Ddos: sen 70º = 0940 cos 70º = 04 e tg 70º = 47. Jupiter Unlimited/Other Imges 1