APOSTILA. Matemática Aplicada. Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. Lauro César Galvão

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1 POSTIL Mtemátic plicd Universidde Tecnológic Federl do Prná UTFPR Césr Glvão

2 Índices SISTEMTIZÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS...-. CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números nturis Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números rcionis Conjunto dos números irrcionis Conjunto dos números reis OPERÇÕES COM CONJUNTOS Noções primitivs Iguldde de conjuntos Subconjuntos União de conjuntos Intersecção de conjuntos Diferenç de conjuntos INTERVLOS Operções com intervlos...-8 FUNÇÕES CONCEITO MTEMÁTICO DE FUNÇÃO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO...-. NOTÇÃO DE FUNÇÃO DOMÍNIO, CONTRDOMÍNIO E IMGEM DE UM FUNÇÃO FUNÇÃO COMPOST FUNÇÃO INVERS Determinção d função invers FUNÇÃO POLINOMIL FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU Função liner Gráfico de um função polinomil do o gru Determinção de um função prtir do gráfico Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Estudo do sinl d função polinomil do o gru INEQUÇÕES DO O GRU Resolução de inequções do o gru Sistems de inequções do o gru Inequção-produto e inequção-quociente FUNÇÃO POLINOMIL DO O GRU Gráfico de um função qudrátic Concvidde Zeros de um função qudrátic Vértice d prábol Gráfico de um prábol Estudo do sinl d função qudrátic INEQUÇÕES DO O GRU Resolução de inequções do o gru Sistems de inequções do o gru Inequção-produto e inequção-quociente FUNÇÃO EXPONENCIL REVISÃO DE POTENCIÇÃO Potêncis com epoente nturl Potêncis com epoente inteiro Potêncis com epoente rcionl Potêncis com epoente rel EQUÇÕES EXPONENCIIS Resolução de equções eponenciis Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios FUNÇÃO EXPONENCIL ii

3 iii 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino Crcterístics d função eponencil INEQUÇÕES EXPONENCIIS Resolução de inequções eponenciis FUNÇÃO LOGRÍTMIC DEFINIÇÃO DE LOGRITMO CONSEQÜÊNCIS D DEFINIÇÃO PROPRIEDDES DOS LOGRITMOS COLOGRITMO MUDNÇ DE SE FUNÇÃO LOGRÍTMIC Gráfico d função logrítmic no plno crtesino INEQUÇÕES LOGRÍTMICS TRIGONOMETRI TRIÂNGULO RETÂNGULO RELÇÕES MÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES Ângulos complementres Divisão plicndo o teorem de Pitágors ÂNGULOS NOTÁVEIS CIRCUNFERÊNCI TRIGONOMÉTRIC OU CICLO TRIGONOMÉTRICO rco de circunferênci Medids de rcos Ciclo trigonométrico rcos côngruos SENO E COSSENO DE UM RCO Conseqüêncis Função seno e função cosseno Gráfico ds funções seno e cosseno TNGENTE DE UM RCO Conseqüêncis Função tngente Gráfico d função tngente COTNGENTE DE UM RCO Conseqüêncis Função cotngente Gráfico d função cotngente SECNTE E COSSECNTE DE UM RCO Função secnte e cossecnte Gráfico d função secnte Gráfico d função cossecnte RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS Usndo o teorem de Pitágors Usndo semelhnç entre triângulos IDENTIDDES TRIGONOMÉTRICS Processo pr demonstrr identiddes MTRIZES CONCEITO DE MTRIZ lgums mtrizes especiis MTRIZ QUDRD Mtriz identidde Mtriz digonl Mtriz opost IGULDDE DE MTRIZES Mtriz trnspost OPERÇÕES COM MTRIZES dição de mtrizes Subtrção de mtrizes

4 iv 7.4. Produto de um número rel por um mtriz Produto de mtrizes Mtriz invers DETERMINNTES DETERMINNTE DE ORDEM DETERMINNTE DE ORDEM DETERMINNTE DE ORDEM Regr de Srrus DETERMINNTE DE ORDEM MIOR QUE Menor complementr Coftor ou complemento lgébrico Conclusões Teorem de Lplce Teorem de inet Determinnte d mtriz invers SISTEMS LINERES EQUÇÃO LINER Solução de um equção liner SISTEM LINER Sistems lineres equivlentes CLSSIFICÇÃO DE UM SISTEM LINER MTRIZES SSOCIDS UM SISTEM LINER Form mtricil do sistem liner REGR DE CRMER RESOLUÇÃO DE UM SISTEM LINER POR ESCLONMENTO GEOMETRI POLÍGONOS Polígonos regulres Áre do triângulo Áre do prlelogrmo Áre dos prlelogrmos notáveis Áre do trpézio Áre e comprimento de um círculo Áre d coro circulr Áre do setor circulr Áre do segmento circulr GEOMETRI ESPCIL Poliedros Poliedros regulres Prisms Pirâmides Tronco de pirâmide Cilindros Cones Tronco de cone Esfers GEOMETRI NLÍTIC: PONTO E RETS SEGMENTO DE RET SEGMENTO ORIENTDO Eio MEDID LGÉRIC DE UM SEGMENTO ORIENTDO bsciss de um ponto Ponto médio SISTEM DE COORDENDS CRTESINS Distânci entre dois pontos Áre de um triângulo Condição de linhmento de três pontos ESTUDO D RET Equção gerl d ret...-50

5 v.5. Rets prticulres Posições reltivs entre dus rets Coeficiente ngulr ou declividde de um ret Equção reduzid d ret Equção d ret, ddos um ponto e direção Prlelismo entre rets GEOMETRI NLÍTIC: CIRCUNFERÊNCI EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI Equção reduzid d circunferênci Equção gerl d circunferênci...-59

6 Índices de Figurs [FIG. ]: RET REL R...-4 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS E...-5 [FIG. ]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (SUCONJUNTOS)...-6 [FIG. 4]: DIGRM DOS CONJUNTOS, E C (UNIÃO / INTERSECÇÃO / DIFERENÇ) [FIG. 5]: GRÁFICO DO INTERVLO ],]...-7 [FIG. 6]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR DIGRM...-0 [FIG. 7]: REPRESENTÇÃO D RELÇÃO POR SISTEM CRT ESINO...- [FIG. 8]: [FIG. 9]: FUNÇÃO COMPOST...-4 CONCVIDDE DE UM FUNÇÃO QUDRÁTIC [FIG. 0]: VÉRTICE DE PRÁOLS ( >0 PR S DUS) [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL ( >) [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO LOGRÍTMIC E EXPONENCIL (0< <) [FIG. ]: [FIG. 4]: ELEMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO RZÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO [FIG. 5]: TRIÂNGULO C QUE DEFINE S RZÕES [FIG. 6]: TRIÂNGULO C, CONSEQÜÊNCIS DS DEFINIÇÕES [FIG. 7]: RCO DE CIRCUNFERÊNCI [FIG. 8]: CIRCUNFERÊNCI DE RIO r [FIG. 9]: QUDRNTES NO CICLO TRIGONOMÉTRICO [FIG. 0]: MEDI DE RCOS NO CICLO TRIGONOMÉTRICO [FIG. ]: RCO α PR O CONCEITO DE SENO E COSSENO [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO SENO [FIG. ]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSENO [FIG. 4]: RCO α PR O CONCEITO DE TNGENTE [FIG. 5]: GRÁFICO D FUNÇÃO TNGENTE [FIG. 6]: RCO α PR O CONCEITO DE COTNGENTE [FIG. 7]: GRÁFICO D FUNÇÃO COTNGENTE [FIG. 8]: RCO α PR O CONCEITO DE SECNTE E COSSECNTE [FIG. 9]: GRÁFICO D FUNÇÃO SECNTE [FIG. 0]: GRÁFICO D FUNÇÃO COSSECNTE [FIG. ]: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS NO CICLO [FIG. ]: FUNÇÕES DPTDS NO CICLO [FIG. ]: TRIÂNGULOS SEMELHNTES [FIG. 4]: TEL DE NOTS [FIG. 5]: DIGONIS DE UM MTRIZ [FIG. 6]: DETERMINNTE PEL REGR DE SRRUS [FIG. 7]: POLÍGONO CONVEXO E POLÍGONO CÔNCVO [FIG. 8]: HEXÁGONO REGULR: 6 LDOS CONGRUENTES E 6 ÂNGULOS CONGRUENTES [FIG. 9]: ÁRE DO TRI ÂNGULO [FIG. 40]: ÁRE DO TRIÂNGULO [FIG. 4]: ÁRE DO TRIÂNGULO [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI INSCRIT [FIG. 4]: RIO D CIRCUNFERÊNCI CIRCUNSCRIT [FIG. 44]: ÁRE DO PRLELOGRMO [FIG. 45]: RETÂNGULO [FIG. 46]: LOSNGO [FIG. 47]: QUDRDO [FIG. 48]: TRPÉZIO [FIG. 49]: CÍRCULO [FIG. 50]: CORO CIRCULR [FIG. 5]: SETOR CIRCULR [FIG. 5]: SEGMENTO CIRCULR [FIG. 5]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE NÃO CONTÉM O CENTRO [FIG. 54]: ÁRE DO SEGMENTO CIRCULR QUE CONTÉM O CENTRO [FIG. 55]: POLIEDRO [FIG. 56]: POLIEDROS CONVEXOS [FIG. 57]: POLIEDRO NÃO-CONVEXO [FIG. 58]: TEOREM DE EULER vi

7 vii [FIG. 59]: TETREDRO REGULR [FIG. 60]: HEXEDRO REGULR [FIG. 6]: OCTEDRO REGULR [FIG. 6]: DODECEDRO REGULR [FIG. 6]: ICOSEDRO REGULR [FIG. 64]: PRISMS [FIG. 65]: PRISM RETO E PRISM OLÍQUO [FIG. 66]: PRISM RETO PENTGONL E PLNIFICÇÃO [FIG. 67]: VOLUME DE UM PRISM [FIG. 68]: PIRÂMIDE [FIG. 69]: PIRÂMIDE REGULR [FIG. 70]: PIRÂMIDE REGULR QUDRNGULR E SU PLNIFICÇÃO [FIG. 7]: VOLUME D PIRÂMIDE [FIG. 7]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM PIRÂMIDE [FIG. 7]: TRONCO DE PIRÂMIDE [FIG. 74]: VOLUME DO TRONCO DE PIRÂMIDE [FIG. 75]: CILINDROS [FIG. 76]: CILINDRO CIRCULR RETO (DE REVOLUÇÃO) [FIG. 77]: CILINDRO EQÜILÁTERO [FIG. 78]: CILINDRO RETO E PLNIFICÇÃO [FIG. 79]: VOLUME DO CILINDRO [FIG. 80]: CONE [FIG. 8]: CONE REGULR [FIG. 8]: CONE REGULR [FIG. 8]: CONE REGULR E SU PLNIFICÇÃO [FIG. 84]: VOLUME DO CONE [FIG. 85]: SECÇÃO TRNSVERSL DE UM CONE [FIG. 86]: TRONCO DE CONE [FIG. 87]: PLNIFICÇÃO DO TRONCO DE CONE [FIG. 88]: VOLUME DO TRONCO DE CONE [FIG. 89]: ESFER E SUPERFÍCIE ESFÉRIC [FIG. 90]: PLNO TNGENTE UM ESFER [FIG. 9]: SECÇÃO ESFÉRIC [FIG. 9]: CORO CIRCULR [FIG. 9]: SÓLIDO REFERENTE À SECÇÃO ESFÉRIC [FIG. 94]: CUNH ESFÉRIC [FIG. 95]: SEGMENTO DE RET [FIG. 96]: MEDID DE UM SEGMENTO DE RET [FIG. 97]: EIXO OU RET ORIENTD [FIG. 98]: MEDID DO SEGMENTO ORIENTDO [FIG. 99]: PONTO MÉDIO [FIG. 00]: SISTEM DE COORDENDS CRTESINS [FIG. 0]: DISTÂNCI ENTRE DOIS PONTOS [FIG. 0]: ÁRE DE UM TRIÂNGULO [FIG. 0]: EQUÇÃO GERL D RET [FIG. 04]: RET PRLEL O EIXO y [FIG. 05]: RET PRLEL O EIXO [FIG. 06]: RET QUE PSS PEL ORIGEM (0,0) [FIG. 07]: EQUÇÃO SEGMENTRI [FIG. 08]: POSIÇÕES ENTRE DUS RETS [FIG. 09]: TNGENTE DE UM ÂNGULO, NO TRIÂNGULO RETÂNGULO [FIG. 0]: COEFICIENTE NGULR [FIG. ]: OTENÇÃO DO COEFICIENTE NGULR [FIG. ]: EQUÇÃO REDUZID D RET [FIG. ]: RETS PRLELS [FIG. 4]: CIRCUNFERÊNCI [FIG. 5]: EQUÇÃO D CIRCUNFERÊNCI

8 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Sistemtizção dos conjuntos numéricos. Conjuntos numéricos O conceito de números é um dos mis fundmentis e primitivos n Mtemátic... Conjunto dos números nturis N ={0,,,, }; N ={,,, }... Conjunto dos números inteiros É mplição dos números nturis pr que subtrção fç sentido. Z ={,,,, 0,,,, }; Z ={,,,,,,, }; Z + ={0,,,, }, (inteiros não negtivos); Z ={,,,, 0}, Inteiros não positivos)... Conjunto dos números rcionis csos: É qulquer frção envolvendo números inteiros. Q ={ / = q p, p Z e q Z } Todo número rcionl pode ser representdo n form deciml e podemos ter dois () representção deciml finit: Eercício 4 - Eercício = = (b) representção deciml infinit periódic: Eercício =

9 47 Eercício 4 90 Sistemtizção dos conjuntos numéricos - 47 = Pr se obter representções decimis de um número rcionl q p, bst dividir p por q. s representções d form (b) são chmds dízims periódics. Reciprocmente, podemos representr um número deciml rcionl n form q p. Sej um número rcionl. Nos eercícios seguintes, determine n form q p. Eercício 5 =,5 Eercício 6 = =0,666 Eercício 7 = =0,5 Eercício 8 = =0,444

10 Sistemtizção dos conjuntos numéricos - = Eercício 9 =,777 Eercício 0 = =0,00777 = Eercício =0, 555 = Conjunto dos números irrcionis I ={ / é um número deciml ilimitdo não periódico} Nos eercícios bio, lguns eemplos de números irrcionis: Eercício = Eercício π π=

11 Sistemtizção dos conjuntos numéricos -4 Eercício 4 e e = Conjunto dos números reis R = Q I Eiste um correspondênci biunívoc entre todos os números reis e os pontos de um ret. [Fig. ]: Ret rel R Eercício 5 Mostre que Q e π 4. Operções com conjuntos.. Noções primitivs Conjunto, elemento, pertinênci entre elementos e conjunto. Eercício 6 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n } e C = (C é o conjunto vzio), verifique pertinênci ou não dos elementos bio os conjuntos.... ; n... ; h... C ; m... ; c... C ; b... ; c....

12 .. Iguldde de conjuntos Sistemtizção dos conjuntos numéricos Definição Dois conjuntos e são considerdos iguis se, e somente se, todo elemento de pertencer e vice-vers. =, ( ). Eercício 7 Considerndo-se os conjuntos ={,b,c }, ={m,n }, C =, D ={b,c, }, E ={} e F ={n,m,n }, verifique iguldde ou não dos conjuntos bio. D... ;... F ; D... ;... F ; C... E... Subconjuntos Definição Um conjunto é subconjunto de outro conjunto qundo qulquer elemento de tmbém pertence. Consideremos os conjuntos e, representdos tmbém por digrm: ={,,7} ={,,,5,6,7,8} [Fig. ]: Digrm dos conjuntos e. Note que qulquer elemento de tmbém pertence. Nesse cso, dizemos que é subconjunto de. Indic-se: ; lê-se: está contido em. Podemos dizer tmbém que contém. Indic-se: ; lê-se: contém. OS. : Se e, então =. OS. : Os símbolos, e são utilizdos pr relcionr conjuntos. OS. : Pr todo conjunto, tem-se. OS. 4: Pr todo conjunto, tem-se, onde represent o conjunto vzio...4 União de conjuntos

13 Sistemtizção dos conjuntos numéricos -6 Definição união de dois conjuntos e é o conjunto formdo por todos os elementos que pertencem ou. Designmos união de e por: ; lê-se: união. = { / ou }...5 Intersecção de conjuntos Definição 4 intersecção de dois conjuntos, e, é o conjunto formdo pelos elementos que são comuns e, isto é, pelos elementos que pertencem e tmbém pertencem. Designmos intersecção de e por: ; lê-se: inter. = { / e }...6 Diferenç de conjuntos Definição 5 diferenç de dois conjuntos e é o conjunto dos elementos que pertencem, ms que não pertencem. Designmos diferenç de e por: ; lê-se: menos. = { / e }. Eercício 8 No digrm seguinte,, e C são três conjuntos não vzios. ssocie V ou F cd um ds seguintes sentençs, conforme el sej verddeir ou fls: C [Fig. ]: Digrm dos conjuntos, e C (subconjuntos). ) (... ) b) C (... ) c) (... ) d) C (... ) e) (... ) f) C (... ) g) (... ) Eercício 9 Considere o seguinte digrm:

14 Sistemtizção dos conjuntos numéricos C [Fig. 4]: Digrm dos conjuntos, e C (união / intersecção / diferenç). ) = { } b) C = { } c) C = { } d) C = { } e) = { } f) C = { } g) C = { } h) C = { } i) = { } j) C = { } k) C = { } l) ( ) C = { Intervlos... } O conjunto dos números nturis, dos números inteiros, dos números rcionis e dos números irrcionis são subconjuntos dos números reis R. Eistem, ind, outros subconjuntos de R que são determindos por desigulddes. Esses subconjuntos são chmdos de intervlos. Conjunto dos números reis miores que e menores ou iguis : [Fig. 5]: Gráfico do intervlo ]-,]. Este intervlo contém todos os números reis compreendidos entre os etremos e, incluso. bol vzi indic que o etremo não pertence o intervlo e bol indic que o etremo pertence o intervlo. Este é um intervlo semi-berto à esquerd. 4

15 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Representção: { R / < } ou ],]. OS. 5: Sendo um número rel, pode-se considerr intervlos como o que segue: - { R / < <+ } ou ],+ [.. Operções com intervlos Serão considerds operções do tipo: união ( ), intersecção ( ) e subtrção ( ). Eercício 0 Se ={ R / < <5} e ={ R / <8}, determine = Eercício Se ={ R / 0} e ={ R / <}, determine = Eercício Se ={ R / } e ={ R / < 4}, determine = Eercício Se ={ R / < 4} e ={ R / < <7}, determine =

16 Sistemtizção dos conjuntos numéricos Eercício 4 Ddos =[,7], =[,5] e E =[,9[, clcule: ) ; b) ; c) E ; d) E E E E ) = ; b) = ; c) E = ; d) E = Eercício Ddos =[,6[, =] 4,] e E =],4[, clcule: ) ( E ) ; b) E ( ). E ( E) E E ( ) ) ( E ) = ; b) E ( )=

17 Funções. Conceito mtemático de função Definição 6 independente. Funções -0 Domínio d função é o conjunto de todos os vlores ddos pr vriável Definição 7 Imgem d função é o conjunto de todos os vlores correspondentes d vriável dependente. Como, em gerl, trblhmos com funções numérics, o domínio e imgem são conjuntos numéricos, e podemos definir com mis rigor o que é um função mtemátic utilizndo lingugem d teori dos conjuntos. Pr isso, temos que definir ntes o que é um produto crtesino e um relção entre dois conjuntos. Definição 8 Produto crtesino: Ddos dois conjuntos não vzios e, denomin-se produto crtesino (indic-se: ) de por o conjunto formdo pelos pres ordendos nos quis o primeiro elemento pertence e o segundo pertence. (Eq.) ={(, y )/ e y }. Definição 9 Relção: Ddos dois conjuntos e, dá-se o nome de relção r de em qulquer subconjunto de. (Eq.) r é relção de em r. Eercício 6 Sejm os conjuntos ={0,,,}, ={0,,4,6,8,0} e relção r de em, tl que y =, e y. Escrever os elementos dess relção r. Como : = = = = Então, { ;... ;... ; }. 0 [Fig. 6]: Representção d relção por digrm. r

18 y [Fig. 7]: Representção d relção por sistem crtesino. 0 Funções OS. 6: Podemos observr que, num relção r de em, o conjunto r é formdo pelos pres (, y ) em que o elemento é ssocido o elemento y medinte um lei de ssocição (no cso, y = ).. Definição de função Definição 0 Sejm e dois conjuntos não vzios e f um relção de em. Ess relção f é um função de em qundo cd elemento do conjunto está ssocido um e pens um elemento y do conjunto. Nos eercícios seguir, verifique se s relções representm função de em. Juntifique su respost e presente o digrm d relção. Eercício 7 Ddos os conjuntos ={0,5,5} e ={0,5,0,5,0,5}, sej relção de em epress pel fórmul y = +5, com e y = ; = ; = Todos os elementos de cd elemento de Neste cso, relção de em epress pel fórmul y = Eercício 8 Ddos os conjuntos ={,0,,5} e ={0,,5,0,0}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y. -

19 - 0 5 = = = ;... ; Funções - Neste cso, relção de em Eercício 9 Ddos os conjuntos ={,,,} e ={,,6,9}, sej relção de em epress pel fórmul y =, com e y = = = ; = ;... ; Neste cso, relção de em Eercício 0 Ddos os conjuntos ={6,8} e ={,,}, sej relção de em 4 epress pel fórmul y =, com e y = = ;

20 Funções - Neste cso, relção de em Notção de função Qundo temos um função de em, podemos representá-l d seguinte form: f : (lê-se: função de em ) y (lê-se: cd vlor de ssoci-se um só vlor y ) etc. letr f, em gerl, dá o nome às funções, ms podemos ter tmbém função g, h, Num função g : R R, dd pel fórmul y = 8, podemos tmbém escrever g ( )= 8. Neste cso, g ( ) signific o vlor de y qundo =, ou g ( )= 6..4 Domínio, contrdomínio e imgem de um função Um função f com domínio e imgens em será denotd por: f : (função que ssoci vlores do conjunto vlores do conjunto ) y = f ( ) ( cd elemento corresponde um único y ) O conjunto é denomindo domínio d função, que indicremos por D. O domínio d função tmbém chmdo cmpo de definição ou cmpo de eistênci d função, serve pr definir em que conjunto estmos trblhndo, isto é, os vlores possíveis pr vriável. O conjunto é denomindo contrdomínio d função, que indicremos por CD. É no contrdomínio que estão os elementos que podem corresponder os elementos do domínio. Cd elemento do domínio tem um correspondente y no contrdomínio. esse vlor de y dmos o nome de imgem de pel função f. O conjunto de todos os vlores de y que são imgens de vlores de form o conjunto imgem d função, que indicremos por Im. Note que o conjunto imgem d função é um subconjunto do contrdomínio d mesm. f : y = f ( ) D =, CD=, Im ={ y CD/ y é correspondente de lgum vlor de }. Eercício Ddos os conjuntos ={,,0,} e ={,0,,,,4}, determinr o conjunto imgem d função f : definid por f ( )= +.

21 Funções -4 Im ={ } Eercício Dd função f : R R definid por f ( )= +b, com,b R, clculr e b, sbendo que f ()=4 e f ( )=. =... e b =... f ( )= Função compost.... Tome s funções f :, definid por f ( )=, e g : C, definid por g ( )=. Note que o contrdomínio d função f é o mesmo domínio d função g. f : : cd ssoci-se um único y, tl que y =. g : C : cd y ssoci-se um único z C, tl que z = y. Neste cso, podemos considerr um terceir função, h : C, que fz composição entre s funções f e g : C g f y z [Fig. 8]: Função compost h : C : cd ssoci-se um único z C, tl que z = y = ( ) =4. Ess função h de em C, dd por h ( )=4, é denomind função compost de g e f. h

22 Funções -5 De um modo gerl, pr indicr como o elemento z C é determindo de modo único pelo elemento, escrevemos: z = g ( y )= g ( f ( )) Notção: função compost de g e f será indicd por g o f (lê-se: g círculo f ) (Eq.) ( g o f )( )= g ( f ( )) Eercício g ( )=. Determine: ) f ( g ( )). Sejm s funções reis f e g definids respectivmente por f ( )= + e f ( g ( ))= b) g ( f ( ))..... g ( f ( ))= c) Os vlores de pr que se tenh f ( g ( ))= g ( f ( )). = Eercício 4 Sendo f ( )= e f ( g ( ))=6 +8, determine g ( ). g ( )=

23 .6 Função invers Funções Definição Função bijetor: função f é denomind IJETOR, se stisfz s dus condições bio:. O contrdomínio de f coincide com su imgem, ou sej, todo elemento do contrdomínio é correspondente de lgum elemento do domínio.. Cd elemento do contrdomínio de f é imgem de um único elemento do domínio. -6 Definição Diz-se que um função f possui invers f se for bijetor..6. Determinção d função invers Cso função sej bijetor, possuindo portnto invers, é possível determinr su invers. Pr isso trocmos vriável por y n lei que define função e em seguid isolmos o y, obtendo lei que define função invers. Eercício 5 É preciso pens tomr certo cuiddo com o domínio d nov função obtid. Obter lei d função invers f d função f dd por y = +. Logo: f ( )= e f ( )= Eercício 6 Construir os gráficos ds funções f e sistem de coordends. f do eercício nterior, num mesmo f ( ) f ( ) Note que os gráficos ds funções f e f são simétricos em relção à ret que contém s bissetrizes do o e o qudrntes. 4 y

24 Eercício 7 D = R. Determinr função invers g d função g ( )= Funções , cujo domínio é Logo, g : função invers procurd dd por y = é

25 Função Polinomil Função Polinomil Definição Função polinomil com um vriável ou simplesmente função polinomil é quel cuj formulção mtemátic é epress por um polinômio.. Função polinomil do o gru função polinomil do o gru é que tem su representção mtemátic por um polinômio de gru. Representção d função polinomil do o gru: f ( )= +b, com,b R ( 0). e b são os coeficientes e vriável independente. Eercício 8-8 Em um função polinomil do o gru, y = f ( ), sbe-se que f ()=4 e f ( )=0. Escrev função f e clcule f. função é f ( )= e f =.... Função liner.... Sej função polinomil do o gru f ( )= +b. No cso de b =0, temos f ( )=, e el recebe o nome especil de função liner. OS. 7: Se, em um função liner tivermos =, teremos f ( )= ou y =, que se dá o nome de função identidde... Gráfico de um função polinomil do o gru Pr construir o gráfico de um função polinomil do o gru, tribuímos vlores do domínio à vriável e clculmos s respectivs imgens.

26 Função Polinomil Eercício 9 Construir o gráfico d função rel f dd por y =. -9 y Pr ordendo (, ) (, ) 0 (, ) (, ) (, ) (, ) 5 4 y Definição 4 O gráfico d função liner y = ( 0) é sempre um ret que pss pel origem do sistem crtesino. Definição 5 O gráfico d função polinomil do o gru y = +b ( 0) intercept o eio ds ordends no ponto (0, b )... Determinção de um função prtir do gráfico Nos eercícios bio, determine lei de formção d função f ( )= +b. Eercício 40 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que:

27 Função Polinomil -0 Logo: função é f ( )= Eercício 4 Determine lei de formção d função f, cujo gráfico crtesino é: 5 4 y Sbendo-se que y = +b, do gráfico, temos que: Logo: função é f ( )= Crescimento e decrescimento de um função polinomil do o gru Sej f função polinomil do o gru definid por f ( )= +b. Podemos determinr que: i) função f é crescente se o coeficiente >0; ii) função f é decrescente se o coeficiente <0. Construir os gráficos ds funções f e g do o gru seguir: i) f ( )= + ii) g ( )= + Eercício 4

28 y y Função Polinomil i) umentndo os vlores tribuídos, umentm tmbém os vlores correspondentes d imgem f ( ). ii) umentndo os vlores tribuídos, diminuem os vlores correspondentes d imgem g ( )...5 Estudo do sinl d função polinomil do o gru Definição 6 Estudr o sinl de um função f signific determinr pr que vlores de temos f ( )>0, f ( )<0 ou f ( )= Zero de um função polinomil do o gru Definição 7 Denomin-se zero ou riz d função f ( )= +b o vlor de que nul função, isto é, torn f ( )=0. Definição 8 Geometricmente, o zero d função polinomil do o gru f ( )= +b, 0, é bsciss do ponto em que ret cort o eio. Eercício 4 Dd lei de formção d função y = 4, construir o gráfico e determinr os vlores reis de pr os quis: ) y =0; b) y >0 e c) y < y Podemos notr que função é decrescente, pois <0. O zero d função é: 4=0 =4 = 4 =. Logo, ret intercept o eio no ponto de bsciss =. solução do problem é:

29 ) f ( )=0 {... }; b) f ( )>0 {... }; c) f ( )<0 {... }. Função Polinomil Qudro de sinis d função polinomil do o gru Eercício 44 Preencher o qudro bio: f ( )= +b, 0 Zero d função: +b =0 = >0 <0 b b f( )<0 b f( )>0 f( )>0 b f( )<0 f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< f ( )= 0 f ( )> 0 f ( )< Inequções do o gru Definição 9 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b 0; +b >0; +b 0; +b <0. com, b R e 0. Eercício 45 Verificr se 4( ) ( +) é um inequção do o gru.

30 Função Polinomil - Logo, Resolução de inequções do o gru Definição 0 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 46 Resolver inequção seguinte: 4( ) ( +). Represente solução n ret rel. S={... } Eercício 47 solução n ret rel. Resolver inequção seguinte: 4 ( ) + > +. Represente 4 6 S={... }.. Sistems de inequções do o gru Definição O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem.

31 Função Polinomil -4 Eercício 48 Resolver inequção <. presente o conjunto solução S e represente n ret rel. N verdde, resolver ess inequção simultâne é equivlente resolver o sistem: (i) (ii) (i) (ii) S={... }.. Inequção-produto e inequção-quociente Um inequção do o gru do tipo pode ser epress por um produto de inequções do o gru, ftorndo o o membro d desiguldde: ( ) ( +4) 0. Definição RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis do o gru envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 49 Resolver inequção ( + ) ( +) 0. ( + ) ( +) 0... f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 50 Resolver inequção + 0. f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0

32 Função Polinomil -5 f( ) g( ) f ( ) g ( ) S={... } Eercício 5 Resolver inequção f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) S={... } Eercício 5 Determine o domínio d função y = f() = f() = 0 = 0 g() = g() = 0 = 0 h() = h() = 0 = 0 f ( ) g( ) h( ) f ( ) g( ) h ( ) D={... }

33 . Função polinomil do o gru Função Polinomil Definição função f : R R dd por f ( )= +b +c, com, b e c reis e 0, denomin-se função polinomil do o gru ou função qudrátic. Os números representdos por, b e c são os coeficientes d função. Note que se =0 temos um função do o gru ou um função constnte. Eercício 5 Considere função f do o gru, em que f (0)=5, f ()= e f ( )=. Escrev lei de formção dess função e clcule f (5). Tome f ( )= +b +c, com 0. f (0) = 5 f () = f ( ) = -6 lei de formção d função será f ( )=.... f (5)= Gráfico de um função qudrátic O gráfico de um função polinomil do o gru ou qudrátic é um curv bert chmd prábol. Pr evitr determinção de um número muito grnde de pontos e obter um bo representção gráfic, vmos destcr três importntes crcterístics do gráfico d função qudrátic: (i) Concvidde.. Concvidde (ii) Posição em relção o eio (iii) Loclizção do seu vértice concvidde de um prábol que represent um função qudrátic f ( )= +b +c do o gru depende do sinl do coeficiente : >0: concvidde pr CIM <0: concvidde pr IXO [Fig. 9]: Concvidde de um função qudrátic.

34 .. Zeros de um função qudrátic Função Polinomil Definição 4 Os zeros ou rízes d função qudrátic f ( )= +b +c são s rízer d equção do o gru +b +c =0, ou sej: b ± Rízes: = b 4c. Considerndo = b 4 c, pode-se ocorrer três situções: b + i) >0 s dus rízes são reis e diferentes: = b =. e b ii) =0 s dus rízes são reis e iguis (riz dupl): = =. iii) <0 não há rízes reis. OS. 8: Em um equção do o gru +b +c =0, som ds rízes é S e o b c produto é P tl que: S= + = e P= =. Definição 5 Geometricmente, os zeros ou rízes de um função polinomil do o gru são s bsciss dos pontos em que prábol intercept o eio...4 Vértice d prábol Considere s prábols bio e observe o vértice V ( V, y V ) em cd um: y Eio de simetri y V(, ) V y V -7 V(, ) V [Fig. 0]: Vértice de prábols (D>0 pr s dus). y V Um form de se obter o vértice V ( V, y V ) é: V = +, já que o vértice encontr-se no eio de simetri d prábol; y V = V +b V +c, já que o V foi obtido cim. Outr form de se obter o vértice V ( V, y V ) é plicndo s fórmuls: V = b y =. 4 e V

35 ..5 Gráfico de um prábol Função Polinomil Com o conhecimento ds principis crcterístics de um prábol, podemos esboçr com mis fcilidde o gráfico de um função qudrátic. Eercício 54 Construir o gráfico d função y = +, determinndo su imgem concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = (...,... ) V (...,... ) y V = Imgem: Im ={ y R ;... } y Eercício 55 Construir o gráfico d função y = +4 5, determinndo su imgem.... concvidde voltd pr.... Zeros d função: Ponto onde prábol cort o eio y : Vértice d prábol: V = y V = (...,... ) V (...,... ) Imgem: Im ={ y R ;... } y Estudo do sinl d função qudrátic Os vlores reis de que tornm função qudrátic positiv, negtiv ou nul, podem ser ddos considerndo-se os csos, relciondos n tbel bio. f ( )= +b +c com (, b e c R e 0) >0 <0 f ( )>0 pr < ou > f ( )<0 pr < ou > f ( )<0 pr < < f ( )>0 pr < <

36 Função Polinomil f ( )=0 pr = ou = f ( )=0 pr = ou = -9 f ( )>0 pr f ( )<0 pr f ( )<0 / rel f ( )>0 / rel f ( )=0 pr = = f ( )=0 pr = = f ( )>0 rel f ( )<0 / rel f ( )=0 / rel f ( )<0 rel f ( )>0 / rel f ( )=0 / rel.4 Inequções do o gru Definição 6 Denomin-se inequção do o gru n vriável tod desiguldde que pode ser reduzid um ds forms: +b +c 0; +b +c >0; +b +c 0; +b +c <0. com, b, c R e Resolução de inequções do o gru Definição 7 Pr se resolver um inequção do o gru, são utilizds s proprieddes ds desigulddes, presentndo-se o conjunto verdde d inequção (conjunto solução S). Eercício 56 Resolver inequção +>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr.... += = S=....

37 Eercício 57 Resolver inequção Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr = = Função Polinomil -0 S=.... Eercício 58 Resolver inequção +5 6>0. Estudr vrição do sinl d função f ( )= Concvidde pr = = S= Sistems de inequções do o gru Definição 8 O conjunto solução S de um sistem de inequções é determindo pel intersecção dos conjuntos soluções de cd inequção do sistem. Eercício 59 Resolver o sistem de inequções < 0-6. (i) (ii) +5<0. Resolução de (i):... Concvidde pr = S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii): S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S....

38 Eercício 60 Resolver inequção 4< 4 +. (i) 4< 4. (ii) 4 +. Resolução de (i):... Concvidde pr = Função Polinomil - S(i)=... Ret rel: Resolução de (ii):... Concvidde pr = S(ii)=... Ret rel: Intersecção entre (i) e (ii) (i) (ii): (i) (ii) (i) (ii) S Inequção-produto e inequção-quociente Definição 9 RESOLUÇÃO: Pr resolver um inequção-produto ou um inequçãoquociente, fzemos o estudo dos sinis ds funções polinomiis envolvids. seguir, determinmos o sinl do produto ou quociente desss funções, lembrndo s regrs de sinis do produto e do quociente de números reis. Eercício 6 Resolver inequção ( ) ( +4)>0. f() = 0 = e g() = +4 0 = e f() g()

39 Função Polinomil - f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Resolver inequção f() = = e g() = 6 0 = e f() g() f ( ) g( ) f ( ) g ( ) S=.... Eercício 6 Determine o domínio d função f ( )= f só represent um número rel se... 6 f() = 0 0 = e g() = 6 0 g() = 0 f() g()

40 f ( ) Função Polinomil - g( ) f ( ) g ( ) D =....

41 4 Função Eponencil 4. Revisão de potencição 4.. Potêncis com epoente nturl (Eq.4) (Eq.5) (Eq.6) Função Eponencil Sendo um número rel e n um número nturl, com n, definimos: n = 4 4 K. nftores Pr n = e n =0 são definidos: =. 0 = ( 0). 4.. Potêncis com epoente inteiro Se é um número rel não-nulo ( 0) e n um número inteiro e positivo, definimos: 4-4 (Eq.7) n = n. 4.. Potêncis com epoente rcionl definimos: Se é um número rel positivo e n m um número rcionl, com n inteiro positivo, (Eq.8) m n = n m Potêncis com epoente rel Podemos considerr que s potêncis com epoente rel têm significdo no conjunto dos números reis. Temos, por eemplo: Proprieddes 0 =5, Pr s potêncis com epoente rel são válids s seguintes proprieddes opertóris: m n m n = +. m n : = m n m n m n ( ) =. n ( b) = n n b. ( 0). b n n = b n (b 0).

42 Eercício 64 Dê o resultdo mis simples de ( 5 5 ): 5. Usndo s proprieddes, temos: 6 0 Função Eponencil ): 5 =.... ( 6 0 Eercício 65 Clcule o vlor d epressão Eercício =.... Simplifique 4 Eercício 67 Clcule =.... Eercício 68 Determine o vlor de , : 8, , : 8, =.... Eercício 69 Qul o vlor de 5 ( 0 ) : ( 0, )? 5 ( 0 ) :( 0, ) = Equções eponenciis Definição 0 epoente. =6. Eemplo: + + =9. = =0. Chm-se equção eponencil tod equção que contém incógnit no

43 4.. Resolução de equções eponenciis Função Eponencil Pr resolver um equção eponencil, devemos trnsformá-l de modo obter potêncis de mesm bse no primeiro e no segundo membros d equção utilizndo s definições e proprieddes d potencição. lém disso, usremos o seguinte fto: Definição Eercício 70 Se >0, e é incógnit, solução d equção Resolver equção 4 =5. p = é = p. 4-6 Usndo s proprieddes ds potêncis, vmos trnsformr o o e o membros d equção em potêncis de mesm bse: S=.... Eercício 7 Um empres produziu, num certo no, 8000 uniddes de determindo produto. Projetndo um umento nul de produção de 50%, pergunt-se: ) Qul produção P dess empres t nos depois? b) pós quntos nos produção nul d empres será de uniddes? 50 ) Obs: 50%= =0,5 00 b) Fzendo P=40500, n fórmul nterior, obtemos equção: Desse modo, produção nul d empres será de uniddes pós... nos. Eercício 7 reis. Determine o conjunto solução d equção 8 + = no universo dos números

44 Função Eponencil 4-7 S= Resolução de equções eponenciis com o uso de rtifícios Pr se resolver determinds equções eponenciis, são necessáris lgums trnsformções e rtifícios. Eercício 7 Resolver equção =0. Usndo s proprieddes d potencição, vmos fzer um trnsformção n equção dd: S=.... Eercício 74 Determine o conjunto solução d equção Preprndo equção, temos: 5 5 =4. S= Função eponencil Definição função f : R R dd por f ( )= (com >0 e ) é denomind função eponencil de bse.

45 Função Eponencil 4.. Gráfico d função eponencil no plno crtesino 4-8 Dd função f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ), temos dois csos pr trçr seu gráfico: (i) > e (ii) 0< <. (i) >. Eercício 75 Trçr o gráfico de f ( )=. f ( )= y Qunto mior o epoente, mior é potênci f ( )= é crescente. OS. 9: (ii) 0< <. Eercício 76 Trçr o gráfico de f ( )=., ou sej, se > função f ( )= y OS. 0: Qunto mior o epoente, menor é potênci função f ( )= é decrescente. Com bse no gráfico, podem-se tirr lgums considerções:, ou sej, se 0< <

46 4.. Crcterístics d função eponencil Sej f : R R, definid por f ( )= (com >0 e ). Função Eponencil 4-9 Domínio d função f são todos os números reis D = R. Imgem d função f são os números reis positivos Im = R +. curv d função pss pelo ponto (0,). função é crescente pr bse >. função é decrescente pr bse 0< <. 4.4 Inequções eponenciis Definição São inequções eponenciis quels que precem incógnits no epoente Resolução de inequções eponenciis Pr resolver inequções eponenciis, devemos observr dois pssos importntes: ) Redução dos dois membros d inequção potêncis de mesm bse; ) Verificr bse d eponencil, > ou 0< <, plicndo s proprieddes bio. Cso (i): > Cso (ii): 0< < m > n m >n s desigulddes têm mesmo sentido Eercício 77 Resolv inequção >. m > n m <n s desigulddes têm sentidos diferentes S=.... Eercício 78 Resolv inequção + ( ). S=....

47 Eercício 79 Resolv inequção + < 7. Função Eponencil 4-40 S=....

48 5 Função Logrítmic 5. Definição de logritmo Função Logrítmic Definição 4 Ddos dois números reis positivos, e b, com, eiste um único número rel de modo que =b. Este número é chmdo de logritmo de b n bse e indicse log b. (Eq.9) Podemos então, escrever: =b = log b ( >0 e b >0). N iguldde = log é bse do logritmo; b, temos: b é o logritmndo ou ntilogritmo; é o logritmo. Clculr o vlor de nos eercícios seguintes: Eercício 80 log =. =.... Eercício 8 log 46=. =.... Eercício 8 =.... log =. Eercício 8 log 8=. =.... Eercício 84 log 5 =. =.... OS. : bse é log b signific log b. Qundo não se indic bse, fic subentendido que 5. Conseqüêncis d definição 0 Tome >0, b >0 e m um número rel qulquer. D definição de logritmos, podese verificr que:

49 ) O logritmo de em qulquer bse é igul zero. log =0, pois 0 =. ) O logritmo d própri bse é igul. log =, pois =. ) O logritmo de um potênci d bse é igul o epoente. m log =m, pois m = m. Função Logrítmic 4) O logritmo de b n bse é o epoente o qul devemos elevr pr obter b. 5-4 b log =b, pois =b = log b. 5. Proprieddes dos logritmos ) Logritmo de produto log ( y) = log + log y ( >0, >0 e y >0). ) Logritmo de quociente log = log log y ( >0, >0 e y >0). y ) Logritmo de potênci m log =m log ( >0, >0 e m R ). 5.4 Cologritmo Cologritmo de um número positivo b num bse ( >0) é o logritmo do inverso desse número b n bse. (Eq.0) Eercício 85 e b. ) log 5 colog b= log colog b= log b ( >0 e b >0). b Sbendo que log = e log 5=b, clcule os logritmos bio, em função de b) log 675 c) log

50 5.5 Mudnç de bse Função Logrítmic s proprieddes logrítmics são válids pr logritmos num mesm bse, por isso, em muitos csos, é conveniente fzer conversão de logritmos de bses diferentes pr um únic bse. log seguir, será presentd fórmul de mudnç de bse. Sej: b = =b. plicndo o logritmo n bse c em mbos os membros, obtemos: log log c = log c b log c = log c b = log Então: (Eq.) log log b = log c c b ( >0, c >0 e b >0). Eercício 86 Sendo log =0, e log =0,4, clcule log 6. c c b, ms = log b. 5-4 Eercício 87 Resolv equção log + log 4 + log 6 =7. condição de eistênci é >0. Logo, o conjunto solução é: S={... }. Eercício 88 Resolv equção log ( +)+ log ( )=5. Condições de eistênci são: +>0 e >0 > e >. Então: >.

51 Função Logrítmic 5-44 Logo, o conjunto solução é: S={... }. 5.6 Função logrítmic função eponencil g : R R + definid por g ( )= (com >0) é bijetor. Nesse cso, podemos determinr su função invers. É função logrítmic definid bio. + Definição 5 função f : R R definid por f ( )= log (com >0) é chmd função logrítmic de bse Gráfico d função logrítmic no plno crtesino Como os gráficos de funções inverss são simétricos em relção à bissetriz dos qudrntes ímpres, o gráfico d função logrítmic é de imedit construção, um vez que já vimos o gráfico d função eponencil. e + Sej f : R R, tl que y = log e f : R R +, tl que y = f serão plotdos no mesmo plno crtesino ortogonl.. Os gráficos de f (i) > y y= y= log y= [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil ( >). (ii) 0< <.

52 y= y Função Logrítmic y= y= log [Fig. ]: Gráfico d função logrítmic e eponencil (0< <). 5.7 Inequções logrítmics Chmmos de inequção logrítmic tod inequção que envolve logritmos com incógnit precendo no logritmndo, n bse ou em mbos. Eercício 89 Resolv inequção Condição de eistênci: log ( ) log 4. (i) (ii) (i) (ii) S={... }. Eercício 90 Resolv inequção log 4 ( ) log 4 ( +0). solução d inequção deve stisfzer s três condições:

53 (i) Função Logrítmic 5-46 (ii) (iii) (i) (ii) (iii) S={... }. Eercício 9 Suponh que o preço de um crro sofr um desvlorizção de 0% o no. Depois de qunto tempo, proimdmente, seu preço cirá pr cerc d metde do preço de um crro novo? (Use log0=0,) p = p 0 ( 0,) t O preço do crro cirá pr metde do preço do crro novo depois de... nos.

54 6 Trigonometri Trigonometri Trigonometri é o rmo d Mtemátic que tem por objetivo resolução complet dos triângulos, ou sej, determinção d medid de seus ldos e seus ângulos internos, enriquecendo o estudo d Geometri Pln. Seu significdo originl: (tri) três, (gonos) ângulo, (metri) medid. 6. Triângulo retângulo Triângulo retângulo é quele que possui um ângulo interno reto. O ldo oposto o ângulo reto é chmdo de hipotenus e os outros dois ldos são chmdos de ctetos c h b m H [Fig. ]: Elementos do triângulo retângulo N figur, temos que: = C é hipotenus; b = C e c = são os ctetos; h = H é ltur reltiv à hipotenus; n C m = H é projeção ortogonl do cteto sobre hipotenus; n =CH é projeção ortogonl do cteto C sobre hipotenus; Â, ˆ e Ĉ são os ângulos internos. 6. Relções métrics no triângulo retângulo Com bse n figur nterior, s seguintes relções métrics são válids: = b + c (Teorem de Pitágors) o qudrdo d hipotenus é som dos qudrdos dos ctetos; h =m n o qudrdo d ltur é o produto ds projeções dos ctetos; c =m e hipotenus; b =n o qudrdo do cteto é o produto de su projeção pel b c = h o produto dos ctetos é o produto d hipotenus pel ltur. Eercício 9 Observndo figur, clcule, h, m e n.

55 Trigonometri 6-48 c =0 b=5 h m H n C Logo, =..., h =..., m =... e n =.... Eercício 9 Num triângulo retângulo os ldos têm medids, e +. Determine esss medids. Num triângulo qulquer, medid do mior ldo é sempre menor que som ds medids dos outros dois, portnto, devemos ter +< + pr que eist o triângulo. Logo: C plicndo o teorem de Pitágors o C, temos: Então, =.... s medids dos ldos são...,... e... uniddes de comprimento.

56 Trigonometri 6. Rzões trigonométrics no triângulo retângulo Consideremos o ângulo de medid α d figur seguinte, de vértice e ldos e C. C C C C C b α [Fig. 4]: Rzões trigonométrics no triângulo retângulo. c 4 Os triângulos C, C, C, C, 4 C 4, são todos semelhntes. Logo, eistem rzões entre estes triângulos. Iremos nomer ests rzões por: k, k e k. Desenvolvendo s rzões, temos: C k = = C C C C = C C = C 4C = C 4 4 = k = = = = = 4 C C C C C 4 = C k = = C C = C = 4C = 4 4 = s rzões k, k e k dependem somente d medid do ângulo considerdo. Dí, pode-se simplificr figur nterior pens um triângulo C seguinte. C b [Fig. 5]: Triângulo C que define s rzões. α Ests rzões podem ser escrits, considerndo-se como bse o ângulo α, trvés d hipotenus, o cteto oposto b e o cteto djcente c : C b Cteto oposto (Eq.) senα= k = = = C Hipotenus c Cteto oposto senα= Hipotenus

57 c (Eq.) cosα= k = = = C Cteto djcente Hipotenus C b Cteto oposto (Eq.4) tn α= k = = = c Cteto djcente Cteto djcente cosα= Hipotenus Cteto oposto tn α= Cteto djcente Trigonometri 6-50 Eercício 94 Determine sen ˆ, cos ˆ e tn ˆ no triângulo retângulo C. C =5 b= c =4 sen ˆ =.... cos ˆ =.... tn ˆ =.... Eercício 95 Um groto está empinndo pip, e o fio form com horizontl um ângulo de 0 o. Clcule que ltur do solo se chrá pip qundo estiver n verticl que pss por um árvore situd 00 metros do groto. Sbe-se que tn 0 o =0,57. fio h 0 o 00 metros h =... metros. 6.4 Conseqüêncis ds definições Ddo o triângulo retângulo bio, podemos chegr lgums conclusões, com bse ns definições dds.

58 C Trigonometri 6-5 β b α c [Fig. 6]: Triângulo C, conseqüêncis ds definições Ângulos complementres α+β=90 o O seno de um ângulo gudo é igul o co-seno de seu complemento. (Eq.5) senα= b e cosβ= b senα=cosβ. (Eq.6) senβ= c e cosα= c senβ=cosα. tngente de um ângulo gudo é igul o inverso d tngente de seu complemento. b c (Eq.7) tn α= e tn β= tn α= c b tnβ 6.4. Divisão sen α = b b sen α = =tn α tn α=. cosα c c cosα 6.4. plicndo o teorem de Pitágors (Eq.8) sen b α= e cos c α= sen α+cos b c α= +. sen α+cos b + c α= plicndo o teorem de Pitágors no triângulo C, temos que sen α+cos b + c α= sen α+cos α= sen α+cos α=. Então: sen α+cos α=. = b + c. Logo: Eercício 96 Sendo sen0 o =, clculr cos0 o, tn 0 o, sen60 o, cos60 o e tn 60 o.

59 Trigonometri 6-5 Eercício 97 Sendo sen45 o =, clculr cos45 o e tn 45 o. 6.5 Ângulos notáveis Os vlores d tbel seguinte precem com freqüênci, por isso os ângulos nel contidos são chmdos notáveis. 0 o 0 o 45 o 60 o 90 o sen 0 cos 0 tn 0 /

60 Trigonometri 6-5 Eercício 98 (PUC-RS) De um ponto, no solo, vism-se bse e o topo C de um bstão colocdo verticlmente no lto de um colin, sob ângulos de 0 o e 45 o, respectivmente. Se o bstão mede 4 metros de comprimento, ltur d colin, em metros, é igul : C 4m 0 o 45 o h ltur d colin é de... metros. Eercício 99 (UFOP-MG) Um homem desej determinr lrgur de um rio. Então, de um ponto d mrgem, mede o ângulo de elevção do topo de um poste situdo n mrgem opost, obtendo o. fstndo-se 5 metros, ele obtém o novo ângulo de 9 o. Clcule lrgur do rio. Tome como bse os ddos seguintes: tn 9 o =0,58 e tn o =0,94. 9 o o y Rio 5 m

61 Trigonometri 6-54 lrgur do rio é de... metros. 6.6 Circunferênci trigonométric ou ciclo trigonométrico 6.6. rco de circunferênci Considerndo dois pontos e de um circunferênci: O O [Fig. 7]: rco de circunferênci. Chmmos de rco qulquer um ds prtes dess circunferênci, compreendid entre os pontos e, o qul indicremos por ou. Os pontos e são s etremiddes do rco e pertencem ele. volt. Qundo, dizemos que um ds prtes é o rco nulo e outr é o rco de um 6.6. Medids de rcos Definição 6 Gru: um gru ( o ) é o rco unitário que corresponde 60 d circunferênci. Definição 7 Rdino: um rdino ( rd) é o rco que tem o mesmo comprimento do rio d circunferênci que o contém. Conseqüentemente, rdino ( rd) é o rco unitário que corresponde circunferênci. N circunferênci bio, o rio r tem o mesmo comprimento do rco. O r r π d

62 [Fig. 8]: Circunferênci de rio r. Trigonometri 6-55 m( )=m( O)= rd. Por outro ldo, medid do comprimento d circunferênci se clcul trvés d fórmul: C =π r. Ms, pelo fto de termos considerdo o rio r e o rco com mesm medid ( rd), então: (Eq.9) C =π rd; C π = rd; 4 C π = rd. 8 4 C =π rd. Dí pode-se tirr medids prciis d circunferênci em rdinos. Relções entre grus e rdinos: rco gru Rdino 60 o π rd 80 o π rd 90 o π rd 45 o π rd 4 Eercício 00 Converter em rdinos medid do rco de 0 o. Como sbemos que 80 o =π rd, podemos fzer um regr de três simples diretmente proporcionl:

63 Trigonometri 6-56 Logo, 0 o correspondem... rd, ou 0 o =... rd. π Eercício 0 Converter em grus medid do rco de rd. De form semelhnte o eercício nterior, us-se relção π rd=80 o. Substitui-se no rco ddo e efetum-se s operções: Logo, π rd correspondem..., ou 6.6. Ciclo trigonométrico Considere figur bio: II qudrnte y π rd =.... I qudrnte O r = III qudrnte IV qudrnte [Fig. 9]: Qudrntes no ciclo trigonométrico. O centro d circunferênci coincide com origem de um sistem de coordends crtesins; O rio d circunferênci corresponde um unidde de medid dos eios perpendiculres. Definição 8 Ciclo trigonométrico é um circunferênci à qul se ssoci um sistem de coordends ortogonis com origem no centro, tendo como rio unidde de medid dos eios. medid de um rco num ciclo trigonométrico é feit trvés ds seguintes convenções: y nti-horário O r = (,0) horário [Fig. 0]: Medi de rcos no ciclo trigonométrico. Os rcos trigonométricos têm: Origem no ponto (,0);