Apostila De Matemática GEOMETRIA: REVISÃO DO ENSINO FUNDAMENTAL, PRISMAS E PIRÂMIDES

Transcrição

1 posti De Mtemátic GEOMETRI: REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL, PRISMS E PIRÂMIDES

2 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) GEOMETRI 1. REVISÃO DO ENSINO FUNDMENTL Reções métrics de um triânguo retânguo. Pr todo e ququer triânguo retânguo onde se considere: como sendo hipotenus; b e c sendo os ctetos; h tur do triânguo; m e n sendo, respectivmente, s projeções de b e c pode sempre dizer que: C = b + c b = m c = n h = m n b c= h = m+ n b m h c n B 1.. tur de um triânguo equiátero. Pr descobrir reção que há entre tur(h) e um do() de um triânguo equiátero bst usr o Teorem de Pitágors: = h + h = h = h= h= h = h = h 1.. Ânguos de um poígono regur. â e â i â e â i â c o â i â e n = número de dos do poígono â c = ânguo centr â i = ânguo interno s i = som dos ânguos internos â e = ânguo externo s e = som dos ânguos externos d = número de digonis â i â e â i â e = 60 = ( n ) 180 â c n s e = 60 â s i e = s e n d = ( n ) â i n = s i n = ( n ) 180 n 1.. pótem e do de poígonos inscritos num circunferênci. Qudrdo: D C + = R R = = = R = R R R B

3 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) Hexágono Regur = R F E R = D R 60º B C Triânguo equiátero = R = R R B C Áre de gums figurs pns Triânguo h s= + b+ c s= p ( p )( p b)( p c) Sendo p= b bc c s= senc s= sen s= senb B *no triânguo equiátero o áre pode ser ccud dess form s=. c h b C Retânguo Qudrdo s= b s= b

4 Preogrmo s= h h Círcuo s=π R R *o comprimento d circunferênci é ccudo pe seguinte fórmu: c= π R Losngo s= D d D d EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Num terreno de 99 m² de áre será construíd um piscin de 7 m de comprimento por 5 m de rgur, deixndo um recuo x o seu redor pr construir um cçdão. Dess form o recuo x deve medir: - 1 m B - m C - 5 m D - 8 m x 5 m x 7 m x x

5 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) - Qu é áre do triânguo de dos medindo respectivmente 5 cm, 5 cm e 6 cm? - Um círcuo tem 1 π mm de circunferênci. Ccue su áre. - Por qunto devemos mutipicr o rio de um círcuo pr que su áre tripique? 5 - Determinr áre de um hexágono regur sbendo que seu pótem mede cm. Pr mis exercícios consute os exercícios supementres (no fin d posti). Resposts: 1 - B; - 1 cm²; -. PRISMS 6π mm²; - ; 5-96 cm². Entre os poiedros mis conhecidos, neste cpítuo o destque será os prisms, vej guns exempos.. 1. Prism reto O prism é reto qundo s rests teris são perpendicures às bses, e obíquo qundo não o são. Prism reto Prism obíquo.. Áre d superfície de um prism Considerremos pr todo prism: superfície ter: é formd pes fces teris; áre ter: ( ): é áre d superfície ter; superfície tot: é formd pes fces teris e pes bses; áre tot( t ): é áre d superfície tot. 5

6 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) Exempo 1 Em um prism hexgon regur, rest d bse mede cm e rest d fce ter mede 6 cm. Ccue áre tot. Temos n figur: r = medid d rest ter = 6 cm s = medid d rest d bse = cm o observr figur vemos que: r = 6( r s) = 6( 6 ) = 108cm Lembrndo que áre do hexágono será: 6 (neste cso é s) e que são dus bses temos: s 6 s = = = 7 cm. Nesse cso áre tot é dd por: = + = cm = 7 cm ( ) ( ) t b + Obs.: áre d superfície tot de um cubo será dd pe fórmu medid de su rest.. Voume 6 s= 6, sendo Pr ccur o voume de um prism ququer utiizmos seguinte fórmu: v = h b Exempo Qu é o voume de concreto necessário pr construir um je de 0 cm de espessur em um s de m por m? Áre d bse = b = = 1m Voume = b h= 1m 0,0m=,0m São necessários,0 m³ de concreto. Exempo Sbendo que form gstos 0,96 m² de mteri pr se montr um cix cúbic, ccue o voume dess cix. Neste cso temos que áre tot do cubo é: 0,96m² = 9600cm² Sbemos que tods s fces de um cubo são iguis e que cd um de tem áre de ², sendo ssim temos: t = 6² = 9600cm² ² = 1600 = 0 cm Como v = ³, temos: V = 0³ cm³ = 6000 cm³ = 0,06 m³ O voume dess cix é 0,06 m³ Obs.: o voume de cubo poderá ser ddo pe seguinte fórmu medid de su rest... Digon de um prism v=, sendo

7 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) E H F G Pr um preepípedo de dimensões, b e c, temos: d = medid d digon do preepípedo x = medid d digon d bse N figur podemos ocizr dois triânguos retânguos: H D d c b x c d D x Substituindo 1 em, vem: B d² = x² + c² = ² + b² + c² d = + b + c No cubo, em prticur, temos: d = + + = = d = b C Como o triânguo BD é retânguo em, temos, pe reção de Pitágors: x² = ² + b² (1) Como o triânguo DBH é retânguo em D, temos, pe reção de Pitágors: d² = x² + c² () B D x B EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6 - Qu o voume de um cix d águ de m de comprimento, 1,5 m de rgur e 1, m de tur? 7 - Um prism de bse tringur regur tem 5 cm de rest de bse e 6 cm de tur. Ccue su áre tot. 8 - Qunto mede digon de um preepípedo reto retngur no qu s dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm? 9 - O voume de um prism de bse qudrd é 700 cm³. O perímetro d bse é de 0 cm. Ccue tur e áre tot do prism bse de um prism reto é um hexágono regur de do 8 cm. s fces teris desse prism são qudrds. Ccue o voume e áre tot do prism Qu o voume de um prism cuj bse é um triânguo eqüiátero de 6 dm de perímetro, sendo tur do prism o dobro d tur d bse? 1 - Se umentrmos de 1 m rest de um cubo, su áre ter ument 16 m². Ccue o voume do cubo origin. 7

8 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) Pr mis exercícios consute os exercícios supementres (no fin d posti). 55 Resposts: 6 -,6 m³; 7 - cm²; 8-10 cm; 9 - h = 7 cm, t = 80 cm²; 10 - v = 19 + cm²; 11-6 dm³; m³. 768 cm³, t = ( ). Pirâmides Ddo um poígono convexo, contido em um pno e um vértice for desse pno, chmmos de pirâmide o conjunto de todos os pontos que prtem do poígono convexo e terminm no vértice (ou vice-vers). D mesm form que os prisms, podem ser rets, qundo tods sus rests teris são congruentes, ou obíqus, qundo peo menos um rest ter é diferente ds demis. 1. O tetredro Qundo pirâmide é ret e tmbém tiver sus fces eqüiáters será chmd de tetredro regur. Já que tods s fces são congruentes, ququer um des pode ser considerd bse... pótem d pirâmide Não confund com pótem d bse. Enqunto pótem d bse é inh perpendicur rest d bse e que começ/termin no centro do poígono, o pótem d pirâmide começ/termin no vértice exterior o pno d região poigon e form um ânguo reto com rest d bse... Os triânguos retânguos num pirâmide Em tod pirâmide podemos destcr importntes triânguos retânguos nos quis precem: rest d bse (); rest ter (b); o rio d bse (r); pótem d pirâmide (); pótem d bse (c); tur d pirâmide (h). Vej, nest pirâmide regur pentgon, picção d reção de Pitágors nesses triânguos: OM VM V V V VOM VO r = c + = h b = + b = h + r + c O M M 8 O O M

9 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.).. Áre d superfície de um pirâmide ssim como nos prisms, considerremos pr tod pirâmide: superfície ter: é formd pes fces teris; áre ter: ( ): é áre d superfície ter; superfície tot: é formd pes fces teris e pe bse; áre tot( t ): é áre d superfície tot. Exempo Um pirâmide regur hexgon tem 8 cm de tur e rest d su bse mede cm. Vmos ccur áre tot. 1 P Sbemos que: t = b + 1 = b = 6 r = r = = 1 + = h + 1 = h= 8 Cácuo de b (áre d bse): b = 6 Cácuo de 1 (pótem d bse): 9 1 = = ou ( ) = 1 + Cácuo d (pótem d pirâmide): ( ) = = 68, 85 7 = 7 1 = = 8 + = 6+ = = 8,5 = 8,5 9, 1 Cácuo de (áre ter): = 6 = 9,1 19, Cácuo de t (áre tot): = + = 68,85+ 19, 08,08cm t b =. 5. Voume de um pirâmide 81 = 9 1 Pr se ccur o voume de ququer pirâmide fórmu ser usd será: h v= b, sendo v o voume, b áre d bse e h tur. 9

10 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) Exempo 5 rest d bse de um pirâmide qudrd mede 15 cm e su tur 9 cm. Ccue o voume v = = 675cm Exempo 6 Ccue o voume d peç bixo. 5 cm 0 cm 0 cm 0 cm peç o do pode ser seprd em dus prtes: um cubo e um pirâmide. voume do cubo v = 0 = 8000cm voume d pirâmide 0 ( 5 0) v = = = 000cm voume tot v t = = 10000cm ou 10dm EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 - Um pirâmide regur hexgon tem 10 cm de tur e rest d su bse mede cm. Ccue: ) o pótem d bse; b) o pótem d pirâmide; c) rest ter; d) áre d bse; e) áre ter; f) áre tot; g) o voume. 1 - Consideremos um pirâmide regur de bse qudrd. O seu voume é 8 m³ e rest d bse mede 1 m. Ccue tur e áre ter d pirâmide Num tetredro regur, rest mede cm. Ccue: ) tur do tetredro; b) áre tot; c) o voume Um pirâmide cuj bse é um qudrdo de do tem o mesmo voume que um prism cuj bse é um qudrdo de do. Qunts vezes menor é tur d pirâmide em reção tur do prism? Pr mis exercícios consute os exercícios supementres (no fin d posti). 10

11 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) Resposts: 1 - ) cm, b) 7 cm, c) 9 cm, d) cm², e) 8 7 cm², f) ( 7) + cm², g) 16cm³; 1 - h = 8m, = 0 m²; 15 - ) cm, b) 1 cm², c) 6 cm³; 16-1 vezes.. Ciindros O ciindro é o conjunto de pontos formdos pe trnsção de um círcuo. superfície do mesmo é formd por dus prtes pns, sus bses, e um prte rredondd, que é superfície ter. su tur é distânci entre s dus bses. ret que pss no centro do ciindro é seu eixo. Os segmentos preos o eixo, cujs extremiddes são pontos ds circunferêncis d bse, são chmdos de gertrizes. Não confund gertriz com tur, es só são iguis nos ciindros retos, ou sej, nquees que o eixo é perpendicur às bses.. 1. Áre d superfície superfície de um ciindro é formd pes bses e pe superfície ter, onde: = πr e πrh = + = πrh+ πr = πr h R b ( h R) t = πr +. =, portnto: ( ) t b + Exempo 7 Um t de refrigernte tem form ciíndric, com cm de rio ns bses e 15 cm de tur. Quntos centímetros qudrdos de mteri são necessários, proximdmente, pr fbricr ess t de refrigernte? (Use π =,1) Usndo fórmu: t= π R( h+ R) =,1 ( 15+ ) = 5,1 19= 77, 8 Serão necessários, proximdmente, 77,8 cm² do mteri... Voume O voume do ciindro é ccudo d mesm form que o voume de um prism: áre d bse vezes tur, ou sej: v= b h= π R h, portnto o voume de um ciindro é v= πr h Exempo 8 Ccur o voume d t do exempo 7. Já sbemos que R = cm, h = 15 cm e que usmos π =,1, portnto: v= π R h=,1 15= 75,6 O voume d t é 75,6 cm³ 11

12 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17 - Qu o voume de um ciindro de cm de diâmetro e 5 cm de tur? 18 - Ccue o rio d bse do ciindro reto de 81 π cm³ de voume e 9 cm de tur? 19 - Qu o voume do ciindro equiátero inscrito no cubo de voume 6 m³? 0 - Um cno tem 10 cm de diâmetro e 1,5 m de comprimento. Sbendo que ee foi tmpdo num dos dos, qu quntidde de águ, em m, que consigo coocr no cno? (Use π =,1) Pr mis exercícios consute os exercícios supementres (no fin d posti). Resposts: 17-0π cm³; 18 - cm; 19-16π cm³; m. EXERCÍCIOS SUPLEMENTRES 1 - áre tot de um prism reto de bse qudrd é 190 cm² e áre d bse é igu 5 cm². O voume deste prism é: ) 175 cm³ b) 15 cm³ c) 190 cm³ d) 165 cm³ e) ND - áre d superfície extern de um preepípedo retânguo é 5 cm² e dus de sus rests são m e m. Então o seu voume é: ) 1 m³ b) 6 m³ c) 8 m³ d) m³ e) ND - Num pirâmide regur, estão em ordem decrescente de comprimento: ) rest ter, pótem d pirâmide, tur d pirâmide b) pótem d pirâmide, rest ter, tur d pirâmide c) tur d pirâmide, pótem d pirâmide, rest ter d) rest ter, tur d pirâmide, pótem de pirâmide e)nd 1

13 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) - Um prism e um pirâmide de bses congruentes têm o mesmo voume. Então: ) têm tmbém mesm tur b) tur do prism é o tripo d tur d pirâmide c) tur d pirâmide é o tripo d tur do prism d) têm mesm áre ter e) ND 5 - áre d superfície ter de um ciindro reto de tur 10 cm é 60π cm². Então seu voume é: ) 90π cm³ b) 180π cm³ c) 60π cm³ d) 70π cm³ e) ND 6 - Um ciindro reto tem cm² de áre ter e 6 cm³ de voume. su tur ve: π ) cm b) cm π c) cm π π d) cm e) ND 7 - seção que contém o eixo de um ciindro equitero é um qudrdo de m² de áre. O voume do ciindro é: ) π m³ π b) m³ c) π m³ d) m³ e) ND 8 - Deve ser construído um tnque pr gsoin, de form cúbic, com cpcidde pr 6 itros. rest do tnque deve medir: ) 8 dm b) dm c) 0, dm d) 0,8 dm e) dm 9 - Determinr medid d rest de um cubo sbendo que áre tot e o voume medem respectivmente Xm² e Xm³. ) 1 m b) m c) m d) m 1

14 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) e) 6 m 0 - Sej c um cubo de rest e voume s. Sej c um cubo cuj rest tem comprimento igu à metde de. ssine terntiv que nos dá o voume s de c : s ) s ' = s b) s ' = s c) s ' = 8 d) s' = s s e) s ' = 1 - Sbe-se que s medids ds rests de um preepípedo retânguo são diretmente proporcionis, e e som desss medids é 18 m. Então o voume desse preepípedo é: ) m³ b) 96 m³ c) 19 m³ d) 80 m³ e) 19 m³ - Um construtor quer construir um tnque com cpcidde pr itros de águ com form de um preepípedo. Sejm, c e h, respectivmente, s medids d rgur, do comprimento e d tur do referido tnque. Sbendo-se que tis dimensões devem verificr s iguddes ser os vores pr, c e h? ) c = 100 m = 50 m h = 0 m b) c = 50 dm = 0 dm h = 10 dm c) c = 100 dm = 50 dm h = 0 dm d) c = 1 m = 5 m h = m e) c = 0,1 m = 0,1 m h = 0, m c= 5h e h=, quis devem 5 - Considere um prism reto cuj rest ter e rest d bse têm medids e que bse é um osngo cujs digonis medem 6 cm e 8 cm. O voume e áre ter deste prism são, respectivmente: ) 10 cm³ e 50 cm² b) 10 cm³ e 100 cm² c) 150 cm³ e 500 cm² d) 150 cm³ e 175 cm² e) 10 cm³ e 5 cm² - s bses de dois prims regures equiventes, são respectivmente, um qudrdo circunscrito um círcuo e um tringuo equitero inscrito nesse círcuo. Sendo h tur de o prism tringur, obtém-se pr tur do prism qudrngur o seguinte resutdo: 16h ) 1

15 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) b) c) h 16 8h h d) 8 e) ND V 5 - Determine o vor d expressão, onde V represente o vor em m³ do 16 voume de um pirâmide qudrngur ret, sbendo-se que o do do qudrdo e rest ter d pirâmide medem, respectivmente, 6 e 1 metros. 6 - Um prism e um pirâmide de bses congruentes, têm mesm tur, então esses sóidos: ) têm o mesmo voume b) têm mesm áre ter c) o voume do prism é três vezes o voume d pirâmide d) o voume d pirâmide é três vezes o voume do prism e) o voume do prism é dus vezes o voume d pirâmide 7 - diferenç entre o voume de um cubo de rest igu 6 m e o de um pirâmide qudrngur de tur igu 9 m cuj digon do qudrdo bse mede m é: ) 1 m³ b) -6 m³ c) 1 m³ d) 19 m³ e) 7 m³ 8 - O voume de um ciindro de rio d bse m e tur 0 dm ve: ) 10π m³ b) 60π m³ c) 100π m³ d) 6π m³ e) 1π m³ 9 - Tem-se um áre circur de 5 m de diâmetro pr construir um reservtório com form de um ciindro circur reto, cpz de conter de ácoo. ssine terntiv que corresponde à tur corret do reservtório: ) 10 π dm b) π 10 dm c) π 6 dm d) π 60 dm e) 60 π DM 0 - Num prism retngur de bse hexgon, áre ter mede 6 m e tur é m. rest d bse é: 15

16 posti de Mtemátic (por Sérgio Le Jr.) ) m b) m c) 6m d) 8m d) 10m 1 - Um pirâmide qudrngur regur tem 8 m de tur e 10 m de pótem. O seu voume é: ) 1150m b) 98m c) 96m d) 8m e) 8m - Um tetredro de 6 cm de rest tem tur igu : ) cm b) cm c) 6 cm d) 6 cm e) cm - Um prism reto tem por bse triânguos equiáteros de do b. Ccue seu voume, sbendo-se que r de cd fce ter é o dobro de um ds bses. ) b b b) 8 b c) 8 b d) 8 b e) 8 - Dus ts têm form ciíndric. t mis t tem o dobro d tur d outr, ms seu diâmetro é metde do diâmetro d t mis bix. Em qu ds dus ts se utiiz menos mteri? RESPOSTS C - B 9 - D - D 8 - B - B E D - C 0 - C 6 - C - C E 7 - D - E 6 - C - C 8 - E - N mis t 16