Seja f : D R uma função, a R um ponto de acumulação D ) diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a ou { }

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Eduardo Gameiro
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1 .4- Limites e continuidde de unções. De. Deinição de Limite Sej : D R um unção, R um ponto de cumulção D diz-se que tende pr b qundo tende pr ou b se : { } > ε > V ε D \ V b b b b ε ε De.. Dd um unção : D R e D, diz-se que tem ite ininito ou é um ininitmente rnde com sinl positivo ou com sinl netivo se ou De..3 Diz-se que é um ininitmente pequeno qundo ou qundo se ou Eemplos: 4 b 3ª ul teóric Pá.

2 Teorem.4 Se é ininitmente pequeno qundo então tende pr ininito qundo. Teorem.5 Suponmos um ininitmente pequeno qundo e z itd, então z é um ininitmente pequeno qundo. Eemplos: sen sen tenção! Observe o ráico e relcione com os resultdos nteriores. 6 y 4 y sin/ Teorem.6 Sejm,,..., n unções tis que k k, com k,,,n,então:... n... n Teorem.7 Sejm,,..., n unções tis que, com k,,,n, então: k k... n... n Eemplo: sen cos cot π 3ª ul teóric Pá.

3 Teorem.8 Sejm u e v, se v, u u v v sen Eemplo: Solução:/e Teorem.9 Sejm u, v, z tis que u v z e u z b. Então: v b Teorem. Sejm u, v, unções tis que u v então u v. Nots: ln ln c c Alums indeterminções:,,,,,,, De.. Sej : D R um unção e D. Diz-se que é contínu no ponto se: 3ª ul teóric Pá.

4 Eemplo: Estude continuidde d unção seuinte: < se se De.. Sej : D R um unção e I D um intervlo berto. Diz-se que é contínu em I se é contínu em todo o I. De..3 Um unção deinid no intervlo ecdo [ b] contínu em [, b] sse é contínu em ] b[ e b b, é, e lém disso, De..4 Sej : D R um unção. Diz-se que é descontínu em ou que é um ponto de descontinuidde se ou se D. Eemplos: sen b 4 y 4 y 3 y sin/ 3 y / sol. : descont. de ª espécie b descont. de ª espécie 3ª ul teóric Pá. 3

5 .5-Teorem de Weierstrss. Teorem de Bolzno. Teorem.5 Teorem de Weierstrss Sej : I D, onde I é um intervlo ecdo I [, b] e um unção contínu em I. Então tine um vlor máimo e um vlor mínimo. Obs. I tem um vlor máimo, isto é M I tl que y M, y I. I tem um vlor mínimo, isto é m I tl que y m, y I. Teorem.6 Teorem de Bolzno Sej : I R um unção contínu, I [, b], < b tl que b então ddo c entre e b eiste I tl que c Corolário.7 Sej : I R um unção contínu, I [, b], < b, e m, M o vlor mínimo e máimo tinido pel unção. Então tom todos os vlores entre m e M. Not: Onde se procur o máimo e o mínimo de um unção num intervlo ecdo? Nos etremos locis e nos ites do intervlo..6. Derivção.3. Derivd de um unção. Interpretção Geométric. De..8 Sej : DR e intd, cm-se rzão incrementl d unção no ponto, à unção R. 3ª ul teóric Pá. 4

6 Se eistir R, esse ite desin-se derivd d unção no ponto,. ou com Interpretção eométric de derivd num ponto Qundo, o declive d rect PQ vi proimndo-se do declive d rect tnente à curv no ponto P. P Q b é o declive d rect PQ Qundo, o declive vi-se proimndo do declive d rect tnente à curv no ponto P. A derivd de um unção num ponto corresponde o declive d tnente à curv nesse ponto. Note: Um unção tem derivd no ponto sse nesse ponto eistem mbs s derivds lteris e têm o mesmo vlor. Um unção pode ser contínu num ponto onde não ten derivd; continuidde nem sequer rnte eistênci de derivds lteris, como se pode ver no eemplo seuinte: 3ª ul teóric Pá. 5

7 sen se se Trt-se de um unção contínu em R e cuj derivd no ponto zero não eiste, pois sen este ite não eiste Rers de derivção Eemplos:. Sendo : DR, um unção constnte c clcule derivd de num ponto qulquer utilizndo deinição. c c. Clcule derivd de num ponto qulquer. 3. sen sen cos sen cos cos α β α β note: senα senβ sen cos 3ª ul teóric Pá. 6

8 Teorem.9 Se eiste e é init, é contínu em. Obs. Utilizmos com requênci " é dierenciável no ponto " com o mesmo siniicdo de " tem derivd init no ponto ". Se eiste e é init cm-se tnente à curv de no ponto P,, à rect que pss por este ponto e tem declive iul, isto é rect de equção y. De..3 Sendo : DR, deine-se pr todos os pontos intd onde é dierenciável, um nov unção, que se desin requentemente por d d ou cso se ten posto y por dy ou y. d Teorem.3 Se e são dierenciáveis no ponto, s unções, - e são tmbém dierenciáveis no ponto e: dmitindo que b c d [ ] 3ª ul teóric Pá. 7

9 3ª ul teóric Pá. 8 Demonstrções: c A rer d divisão ic como eercício de pesquis.

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