CAPITULO VII CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

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1 CAPITULO VII CÁLCULO DIFERENCIAL EM R. Definição de derivd de um função num ponto Considere-se um função f () com domínio A sej um ponto interior do domínio ou sej um ponto pr o qul eist um vizinnç V ε () ] - ε + ε [ contid em A. Pr ] - ε + ε [ e considere-se rzão incrementl R( ) f ( ) f ( ) ; se eistir lim R( ) finito + ou - o vlor desse limite design-se por derivd de f () em e represent-se por f (). Como qulquer vlor ] - ε + ε [ tl que se pode escrever n form + com 0 < < ε e como + tende pr se e só se tende pr 0 pode igulmente escrever-se f () lim f ( + ) f ( ) 0 cso este limite eist (finito + ou - ). Por eemplo: ) Com f () e tem-se pr R f () lim e e 0 + lim e e ( ) e ( + ξ ) lim 0 0 e ; ) Com f () log tem-se pr > 0 f () lim 0 log ( + ) log lim 0 log + log ( + / ) log lim 0 η.( / ) ; 3) Com f () sen tem-se pr R f () lim 0 sen ( + ) sen lim 0 sen ( / ) cos ( + / ) 76

2 lim sen ( / ) / 0 cos ( + / ) cos ; 4) Com f() / 3 tem-se no ponto 0 f () lim 0 3 / 0 lim Os limites lteris d rzão R( ) ou R( + ) qundo tend pr ou pr 0 ou sej f d () lim f ( + ) f ( ) 0 + e f e () lim f ( + ) f ( ) 0 designm-se por derivds lteris respectivmente derivd lterl direit e derivd lterl esquerd d função f () em. Clro que eistindo f () eistem e são iguis s derivds lteris ; inversmente eistindo e sendo iguis mbs s derivds lteris eiste derivd d função no ponto e o seu vlor coincide com o vlor comum dquels. Portnto cso sej f d () f e () não eiste f () como contece por eemplo no cso seguinte : pr função f() em 0 tem-se f d (0) lim 0 + lim 0 + e f e (0) lim 0 lim 0 -. Note-se que s derivds lteris podem ser definids mesmo que o ponto não sej interior do domínio A. No cso d derivd lterl direit bst que com certo ε > 0 o intervlo [ + ε [ estej contido no domínio d função; no cso d derivd lterl esquerd bst que com certo ε > 0 o intervlo ] - ε ] estej contido no domínio d função. Assim por eemplo com f () ( - ) 3/ função cujo domínio é o intervlo [ - ] tem-se : [ ( ) ] f d (-) lim / [ ] lim 0 + 3/ 0 [ ( ) ] f e () lim 0 + 3/ [ ] lim 0 3/ 0. ~ 77

3 A eistênci de derivd finit num ponto implic continuidde d função nesse ponto nos termos do teorem seguinte: Teorem : Sej f () um função com domínio em A e sej A. Têm-se os seguintes resultdos : ) Se é interior do domínio A e eiste finit f () então f () é contínu em ; b) Se eiste um intervlo [ + ε [ A e eiste finit f d () então f () é contínu à direit em ou sej lim f ( ) f () ; +0 c) Se eiste um intervlo ] - ε ] A e eiste finit f e () então f () é contínu à esquerd em ou sej lim f ( ) f () 0 Demonstrção : ) Eiste por ipótese um intervlo ] - ε + ε [ A logo pr ] - ε + ε [ e R( ) f ( ) f ( ) f () f () + ( - ). R( ) iguldde que dá de imedito lim f ( ) f () + 0. f () f () ssim se provndo continuidde de f () em. b) Eiste por ipótese um intervlo [ + ε [ A logo pr [ + ε [ e R( ) f ( ) f ( ) f () f () + ( - ). R( ) iguldde que dá de imedito lim +0 f ( ) f () + 0. f d () f () ssim se provndo continuidde à de f () à direit em. c) Como em b) ms considerndo lim f ( ). 0 O teorem nterior dmite o seguinte corolário: 78

4 Corolário : Sej f () um função com domínio em A e I um intervlo de etremiddes e b contido nquele conjunto. Têm-se os seguintes resultdos: ) Se I [ b] eistindo finits f () pr ] b[ f d () e f e (b) então f () é contínu em I ; b) Se I [ b[ eistindo finits f () pr ] b[ e f d () então f () é contínu em I ; c) Se I ] b] eistindo finits f () pr ] b[ ef e (b) então f () é contínu em I ; d) Se I ] b[ eistindo finit f () pr ] b[ então f () é contínu em I Demonstrção : Result imeditmente do teorem tendo em cont que continuidde de um função num intervlo equivle à continuidde d função nos pontos interiores desse intervlo e à continuidde lterl (direit ou esquerd) ns respectivs etremiddes (cso pertençm o intervlo). A propósito do teorem nterior convém observr que continuidde de um função num ponto se pode verificr sem que nesse ponto eist derivd como contece por eemplo com função sen( / ) 0 f () 0 0 que é contínu em 0 e no entnto não eiste. f (0) lim sen( / ) lim sen ( / ) 0 0. Interpretção geométric do conceito de derivd Considere-se função f () com domínio A tome-se A pr o qul eist certo intervlo [ + ε [ A. Vmos interpretr geometricmente cso eist f d () lim f ( + ) f ( ) + 0 bsendo noss nálise n figur seguinte 79

5 y T P S θ Q f () Q α O + qul nos mostr que pr cd ] 0 ε [ rzão incrementl R( + ) f ( + ) f ( ) corresponde à tngente trigonométric do ângulo α que semirect secnte PQ fz com semirect O : dependendo d posição do rco PQ tem-se α [ 0 π / [ no cso de ser f ( + ) f() e α ] -π / 0 [ no cso de ser f ( + ) < f () ; ou sej pr cd ] 0 ε [ α rc tg R( + ). Qundo se fz 0 + se eistir (finito + ou - ) o limite d rzão incrementl tem-se: θ lim + 0 α lim + 0 rc tg R( + ) rc tg fd ( ) fd ( ) f inito π / f d + π / f d e o ponto Q desloc-se o longo d curv pr o posição do ponto P levndo secnte PQ tender pr semirect limite PT qul fz um ângulo θ [ -π / π / ] com o eio O e se design por semitngente direit d curv no ponto P de bciss. Vejmos gor um interpretção geométric semelnte pr o cso d derivd à esquerd no pressuposto de eistir um certo intervlo ] - ε ] contido no domínio A d função. Vmos bser-nos n figur seguinte: 80

6 y α* θ* P P S Q T O + qul nos mostr que pr cd ] -ε 0 [ rzão incrementl R( + ) f ( + ) f ( ) corresponde à tngente trigonométric do ângulo α* que semirect secnte PQ fz com semirect O : dependendo d posição do rco PQ tem-se α* ] π / π ] no cso de ser f ( + ) f () e α* ] π 3π / [ no cso de ser f ( + ) < f (); ou sej pr ] -ε 0[ α* rc tg R( + ) + π. Qundo se fz 0 se eistir (finito + ou - ) o limite d rzão incrementl tem-se: θ* lim 0 α* lim 0 rc tg R( + ) + π rctg f 3π / π / e ( ) + π f f f e e e ( ) + f inito e o ponto Q desloc-se o longo d curv pr o posição do ponto P levndo secnte PQ tender pr semirect limite PT qul fz um ângulo θ* [π / 3π /] com o eio O e se design por semitngente esquerd d curv no ponto P de bciss. No cso de ser ponto interior do domínio d função eistindo nesse ponto mbs s derivds lteris são possíveis os seguintes csos: º Cso : fd ( ) fe ( ) f (). Neste cso s ângulos θ e θ* correspondentes respectivmente à semitngente à direit e à semitngente à esquerd diferem sempre por π. Com efeito ) fd ( ) fe ( ) f () finito θ rc tg f () θ* rc tg f () + π θ* θ + π ; 8

7 d e b) f ( ) f ( ) f () + θ π / θ* 3π / θ* θ + π ; d e c) f ( ) f ( ) f () - θ -π / θ* π / θ* θ + π. Neste cso portnto s dus semitngentes prolongm-se um à outr formndo tngente à curv no ponto P de coordends e y f() ; e então : ) Se derivd f () for finit o declive d tngente à curv no ponto será m f ( ) tg θ tg θ* e como tl tngente pss pelo ponto de coordends e y f () su equção será y f (). + [ f () -. f ()] ; ) Se f () for + ou - equção d tngente será (rect verticl). As figurs seguintes são elucidtivs qunto às situções que podem verificr-se neste cso: T T P T f () finit f () + f () - º Cso : Se fd ( ) fe ( ) os ângulos θ e θ* não diferem por π e então s semitngentes não se prolongm um à outr. Não eiste pois tngente à curv no ponto de bciss. Dus situções possíveis são presentds ns figurs seguintes: STE STD STD STE d f ( ) e fe ( ) finits e fd ( ) - e fe ( ) + : distints : s dus semi- s dus semitngentes sobretngentes não se prolon- põem-se não se prolongndo gm pr formr tn- um à outr pr formr tngente. gente. 8

8 3. Regrs de derivção 3. - Introdução. Regrs d som do produto e do quociente N prátic o cálculo ds derivds rrmente de fz recorrendo directmente à definição ms ntes medinte plicção de um conjunto de regrs de derivção. Supostmente o leitor já conece s regrs elementres de cálculo d derivd d som produto e quociente de funções que seguir se enuncim e cuj demonstrção se fz com fcilidde recorrendo à definição de derivd. As regrs são enuncids reltivmente às derivds num ponto interior dos domínios ds funções envolvids ms vlem igulmente com s mesms demonstrções pr s derivds lteris (neste cso bst eigir que eistm finits s correspondentes derivds lteris ds funções somds multiplicds ou dividids o que pressupõe que ests funções sejm definids em certo intervlo [ + ε [ no cso d derivd lterl direit ou ] - ε ] no cso d derivd lterl esquerd) : ) Derivd de um som : Dds s funções f () e g () dmit-se que eistem finits s derivds f () e g () no ponto interior dos respectivos domínios. Então é tmbém ponto interior do domínio de f () + g ( ) e [ f () + g ()] f () + g (). b) Derivd de um produto: Dds s funções f () e g () dmit-se que eistem finits s derivds f () e g () no ponto interior dos respectivos domínios. Então é igul-mente um ponto interior do domínio de f (). g () e [ f (). g ()] f ( ). g () + f (). g () ; em prticulr se f () k (constnte) [ k. g ()] k. g () porque f () 0. c) Derivd de um quociente : Dds s funções f () e g () dmit-se que eistem finits s derivds f () e g () 0 e que g () 0 no ponto interior dos respectivos domínios. Então é igulmente um ponto interior do domínio de f () / g () e tem-se f ( ) ( ) g f ( ). g( ) f ( ). g ( ) g. ( ) Limitmo-nos presentr demonstrção d regr do quociente deindo-se s restntes o cuiddo do leitor. Repre-se em primeiro lugr que dentro ds ipóteses do enuncido d regr do quociente o ponto é igulmente um ponto interior do domínio de f () / g (). Com efeito por ser ponto interior dos domínios de f () e g() eiste um V ε () onde mbs s funções são definids e por ser g () 0 e g () contínu em (por ter derivd finit nesse ponto) o vlor ε > 0 pode ser tomdo suficientemente pequeno de form que em V ε () se ten g () 0 ; então pr V ε () está definido o quociente f () / g () ou sej é ponto interior do domínio d função quociente. 83

9 Vejmos gor como se obtém regr de derivção d função quociente: f ( ) ( ) g lim 0 f ( + ) g ( + ) f ( ) g ( ) lim f ( + ). g ( ) f ( ). g ( + ). g( + ). g( ) 0 lim f ( + ). g ( ) f ( ). g ( ) + f ( ). g ( ) f ( ). g ( + ). g( + ). g( ) 0 [ ( + ) ( )]. ( ) ( ).[ ( + ) ( )] lim f f g f g g. g( + ). g( ) 0 f ( ). g( ) f ( ). g ( ) g ( ) como se queri provr. As regrs d som e produto generlizm-se sem dificuldde mis de dus prcels ou fctores : [ f + f + + f ] ( ) ( ) L ( ) f ( ) + f ( ) + L + f ( ) m m [ f f L f ] ( ) ( ) ( ) m m f ( ) f ( ) Lf ( ) + f ( ) f ( ) Lf ( ) + L+ m m + f ( ) f ( ) L f ( ). A prtir d regr do produto ssim generlizd obtém-se sem dificuldde regr referente à potênci de epoente nturl: m [ f ] ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) + f ( ) f ( ) L f ( ) + L+ f ( ) f ( ) L f ( ) m m. f ( ). f ( ) no pressuposto de eistir finit f () no ponto interior do domínio de f (); regr vle igulmente com mesm demonstrção pr s derivds lteris (neste cso bst eigir que eist finit correspondente derivd lterl de f () o que pressupõe que est função sej definid em certo intervlo [ +ε [ no cso d derivd lterl direit ou ] -ε ] no cso d derivd lterl esquerd). 84

10 As regrs precedentes juntmente com o fcto de ser f () k (constnte) f () 0 R f () f () R são suficientes pr cr s derivds em qulquer ponto do domínio pr s funções definids por meio de polinómios ou frcções de termos polinomiis. Assim por eemplo f () f () R f () (8 + 3)( 3 + ) ( )( 6 ) f () 3 + ( 3 + ) (pr qulquer R que não nule o denomindor) Regr de derivção de um função compost O teorem seguinte contém um regr de grnde utilidde prátic n determinção d derivd de um função que resulte d composição de dus funções. Teorem : Sej y g () um função com domínio em A e z f (y) um outr função com domínio em B e considere-se função compost z f [ g ()] com domínio no conjunto A 0 { : A g () B }. Sendo um ponto interior de A 0 e b g () um ponto interior de B dmit-se que eistem finits g () e f (b) ; então tem-se f g( ) f (b). g () f [ g ()]. g () { [ ]} Demonstrção : Repre-se em primeiro lugr que o ponto interior do domínio A 0 d função compost é tmbém ponto interior do domínio A d função g(). Note-se seguir que por ser b um ponto interior de B eiste um número r > 0 tl que θ < r b + θ B ; prtir desse r > 0 determine-se um número s > 0 que grnt < s + A 0 g ( + ) g () < r o que é possível por ser ponto interior dos domínios A 0 de f [g ()] e A de g () e por est função ser contínu em ( continuidde é grntid pelo fcto de função em cus ter derivd finit em ). Tem-se então por definição de derivd { f[ g( ) ]} [ ( + )] [ ( )] lim f g f g 0 [ ( ) + ] [ ( )] lim f g k f g 0 85

11 lim f ( b + k ) f ( b ) 0 em que k g ( + ) g (). Fzendo gor α () g g g ( + ) ( ) ( ) 0 < s 0 0 β (θ ) f b f b f ( + θ ) ( ) ( b) θ 0 θ < r θ 0 θ 0 obtém-se : k g ( + ) g (). g () -. α () com lim α ( ) 0 0 f (b + θ ) f (b) θ. f (b) - θ. β (θ ) com lim β ( θ ) 0 θ 0 igulddes válids pr < s e θ < r respectivmente (válids mesmo no cso de ser θ 0 ). Dd form como form escolidos os números r e s temse < s k g ( + ) g () < r e podemos portnto tomr θ k n segund ds igulddes obtids e substituir em seguid k pelo seu vlor ddo pel primeir iguldde ssim se obtendo (sempre pr < s ) : f (b + k ) f (b) k. f (b) - k. β (k) donde result pr < s [. g () -. α ()]. f (b) - [. g () -.α ()]. β (k) f ( b+ k) f ( b) [ g () - α ()]. f (b) - [ g () - α ()]. β (k) ou ind retomndo epressão ntes obtid pr derivd d função compost no ponto { f[ g( ) ]} lim f ( b + k ) f ( b ) g (). f (b) - g (). lim β ( k ) 0 0 com k g ( + ) g (). Ms lim β ( k) lim β [ g( + ) g( ) ] 0 porque 0 0 β (θ ) é função contínu e nul em θ 0 e k g ( + ) g () é contínu e nul em 0 ; então obtém-se finlmente 86

12 { f[ g( ) ]} g (). f (b) que é precismente iguldde que se pretendi provr. Observções : ) A rgumentção precedente é válid reltivmente às derivds lteris d função compost no ponto. Neste cso deverão verificr-se s seguintes ipóteses: ) A função compost e portnto tmbém g () é definid em certo intervlo [ +ε [ no cso d derivd lterl direit ou ] - ε ] no cso d derivd lterl esquerd ; b) eiste finit correspondente derivd lterl direit de g () em ; c) o ponto b g () é ponto interior do domínio B d função f (y) e nele est função dmite derivd finit. Com ests suposições rgumentção pode ser desenvolvid nos mesmos termos pens com condição dicionl de ser > 0 (derivd lterl direit) ou < 0 (derivd lterl esquerd) e considerndo sempre limites qundo 0 + ou 0 - cegndose ssim às igulddes { f[ g( ) ]} { f[ g( ) ]} d ; e ; d f (b). g ( ) f [ g()]. g ( ) e f (b). g ( ) f [ g()]. g ( ) d e ) Tnto em relção o teorem como reltivmente o que ficou dito n observção ) é possível dispensr ipótese de b g() ser ponto interior do domínio B de f (y) qundo este conjunto sej um intervlo. Nesss condições: ) Se pr certo ponto interior do domínio A 0 d função compost onde eiste finit g () se tem por eemplo b g () Mín B (em que B é supostmente um intervlo) demonstrção do teorem pode refzer-se considerndo n definição de β (θ ) derivd f d ( b ) e restringindo o cmpo de vrição de θ pel condição 0 θ < r ; pr < s teremos então 0 k g ( + ) g () < r ou sej pode tomr-se θ k n iguldde em que intervém β (θ ) e prtir dqui sequênci d rgumentção conduz à fórmul de cálculo do teorem: { f[ g( ) ]} f d ( b). g ( ) ; b) Do mesmo modo se for b g () Má B (com B intervlo) ceg-se à fórmul: 87

13 { f[ g( ) ]} f e ( b). g ( ) ; c) Os resultdos ) e b) d presente observção subsistem pr s derivds lteris d função compost ectmente nos mesmos termos que form descritos n observção ) ou sej considerndo ns respectivs fórmuls g ( ) e g ( )em vez de g (). d e Regr de derivção d potênci em gerl Já vimos que regr de derivção de um função potênci de epoente nturl se pode obter com fcilidde como corolário d regr de derivção de um produto de funções. Trt-se gor de estudr o cso gerl de função potênci de epoente α qulquer. Vejmos em primeiro lugr o cso d função f () α com α 0 qulquer (nturl ou não). O domínio dest função poderá ser consonte o vlor do epoente α : ) O intervlo ] - + [ se α for um rcionl positivo representável por um frcção irredutível α n/m com m ímpr ; b) O intervlo [ 0 + [ se α for um rcionl positivo representável por um frcção irredutível α n/m com m pr ; c) A união de intervlos ] - 0 [ ] 0 + [ se α for um rcionl negtivo tl que -α sej representável por um frcção irredutível -α n/m com m ímpr ; d) O intervlo ] 0 + [ se α for um rcionl negtivo tl que -α sej representável por um frcção irredutível -α n/m com m pr ; e) O intervlo ] 0 + [ se α for um irrcionl (positivo ou negtivo). Ddo um qulquer 0 que pertenç o domínio d função f() α só pode trtr-se de um ponto interior desse domínio e tem-se em qulquer cso f () lim + 0 ( ) α α α [ + ] α. ( / ) lim 0 α α -. Pr 0 á três possibiliddes: α α ζ lim 0 ) N ipótese ) qunto o domínio d função tem-se que 0 é ponto interior desse domínio e então f (0) lim α 0 α > α lim α ; 0 0 N / eiste finito 0 < α < 88

14 ) N ipótese b) qunto o domínio d função tem-se que 0 não é ponto interior desse domínio ms função é definid à direit de 0 e portnto f d ( 0 ) lim 0 + α lim 0 + α 0 α > N / eiste finito ; 0 < α < 3) Ns restntes ipóteses qunto o domínio d função tem-se que 0 não é ponto do domínio d função potênci e portnto não fz sentido definir derivd nesse ponto. Vejmos gor o cso mis gerl d função f () [ u()] α função que pode considerr-se o resultdo d composição de z y α com y u(). Considere-se um ponto interior do domínio d função f () o qul será igulmente um ponto interior do domínio de u() e dmit-se que b u() 0. Clro que o ponto b 0 será então um ponto do domínio d função z y α e só poderá ser um ponto interior desse domínio (recorde-se o que ntes se disse sobre o domínio d função potênci ns váris ipóteses qunto o vlor do epoente ). Se dmitirmos que u () eiste finit regr de derivção de um função compost permite então concluir que f () α b α-. u () α [ u()] α-. u (). Fórmul nálog se tem pr s derivds lteris ou sej fórmul nterior é válid substituindo f () e u () pels respectivs derivds lteris à direit ou à esquerd e não sendo necessário nesse cso que sej um ponto interior do domínio de f () : se se estiver considerr derivd lterl direit bstrá que função f () - e portnto tmbém u () - estej definid em certo intervlo [ + ε [ ; se se estiver considerr derivd lterl esquerd bstrá que função f () - e portnto tmbém u() - estej definid em certo intervlo ] - ε ]. Considere-se gor um ponto interior do domínio d função f () o qul será igulmente um ponto interior do domínio de u() e dmit-se que b u() 0. Est situção só pode ocorrer qundo o epoente α for rcionl positivo pois nos outros csos o ponto b 0 não pertence o domínio d função z y α não sendo portnto composição possível no ponto. Admit-se eistênci de u () finit e vejmos cd um ds situções possíveis: ) Se α for rcionl positivo representável pel frcção irredutível α n/m com m ímpr b u() 0 será ponto interior do domínio de z y α e só podemos plicr regr de derivção de um função compost (teorem ) qundo sej α (porque pr 0 < α < z y α não dmite derivd finit em b 0 ) obtendo-se então: 89

15 f () 0 α > u (. ) α b) Se α for rcionl positivo representável pel frcção irredutível α n/m com m pr b u() 0 será etremidde inicil do intervlo domínio de z y α e o que ficou dito n líne ) d observção ) do teorem permite concluir que f () 0 qundo sej α >. Resultdos nálogos os que cbm de referir-se pr o cso b u() 0 têm-se pr s derivds lteris bstndo pr tl substituir f () e u () pels respectivs derivds lteris à direit ou à esquerd e não sendo necessário nesse cso que sej um ponto interior do domínio de f () : se se estiver considerr derivd lterl direit bstrá que função f () - e portnto tmbém u() - estej definid em certo intervlo [ + ε [ ; se se estiver considerr derivd lterl esquerd bstrá que função f () - e portnto tmbém u () - estej definid em certo intervlo ] - ε ]. Como cso prticulr d função potênci tem-se f () u ( ) com m Sendo ponto interior do domínio de f () - e portnto tmbém ponto interior do domínio de u() - e dmitindo que b u() 0 e que eiste finit derivd u () tem-se: f () {[ u()] / m } [ ] m u (/ m) ( ). u ( u ( ) ) m. m [ u( ) ] m sendo tmbém este resultdo válido pr s derivds lteris bstndo substituir f () e u () pels respectivs derivds lteris à direit ou à esquerd. m Regrs de derivção ds funções eponencil logrítmic e eponencil potênci Nos eemplos presentdos titulo ilustrtivo d definição de derivd viu-se que: f () e R f () e ; g () log > 0 f () /. Utilizndo regr de derivção de um função compost podemos gor bordr o cso gerl ds funções f () e u() e g () log u(). No cso d eponencil tem-se f () e u(). u () no pressuposto de ser um ponto interior do domínio de f () - e portnto tmbém ponto interior do domínio de u() - e de eistir finit derivd u () ; como bitulmente o resultdo vle pr s derivds lteris. No cso d função logrítmic tem-se g () u ( ) u ( ) 90

16 no pressuposto de ser um ponto interior do domínio de g () - e portnto tmbém ponto interior do domínio de u() - e de eistir finit derivd u () ; como bitulmente o resultdo vle pr s derivds lteris. Um cso prticulr interessnte d função logrítmic é o d função g () log cujo domínio é união de intervlos ] - 0 [ ] 0 + [ : pr > 0 tem-se g () / pois g () log log no intervlo ] 0 + [ ; pr < 0 tem-se g () (-)/(-) / pois g () log log (-) no intervlo ] - 0[ ; portnto quer sej > 0 quer sej < 0 tem-se sempre g () /. Mis gerlmente como função f () log u() result d composição de z log y com y u() tem-se f () u ( ) u ( ) no pressuposto de ser um ponto interior do domínio de f () - e portnto tmbém ponto interior do domínio de u() - e de eistir finit derivd u () ; como bitulmente o resultdo vle pr s derivds lteris. A derivd d função f () b u() com b > 0 pode gor obter-se com fcilidde notndo que f () b u() e u(). log b e plicndo regr de derivção d eponencil de bse nturl : sendo um ponto interior do domínio de f () - e portnto tmbém ponto interior do domínio de u() - e eistindo finit derivd u () tem-se f () e u(). log b. u (). log b b u(). u (). log b ; como bitulmente o resultdo vle pr s derivds lteris. Refir-se finlmente o cso d derivd d função eponencil potênci. Sendo f () [ u()] v() com u() > 0 no domínio de f () tem-se f () [ u()] v() e v(). log u() e plicndo regr de derivção d eponencil de bse nturl result 9

17 f () e v(). log u(). [ v(). log u()] e v(). log u(). [ v (). log u() + v(). u ()/u()] [ u()] v(). [ v (). log u() + v(). u ()/u()] [ u()] v(). v (). log u() + [ u()] v(). v(). u ()/u() [ u()] v(). v (). log u() + v(). [ u()] v() -. u () no pressuposto de ser um ponto interior do domínio de f () - e portnto tmbém ponto interior dos domínios de u() e v() - e de eistir finit derivd u () ; como bitul-mente o resultdo vle pr s derivds lteris. A regr que se cegou pode memorizr-se fcilmente notndo que el corresponde à som de dus prcels em que primeir se obtém derivndo função como se fosse um eponencil (de bse fi) e segund derivndo função como se fosse um potênci (de epoente fio) Regrs de derivção ds funções trigonométrics Nos eemplos presentdos propósito d definição de derivd viu-se que: f () sen R f () cos. Ddo que cos sen (π / - ) plicção d regr de derivção de um função com-post permite concluir que g() cos R g () [ cos (π / - )]. (-) - sen um vez que g() cos se pode considerr como função compost de z sen y com y π / -. Por outro ldo por ser tg sen / cos tem-se pr ( k + )π / (com k Z ) utilizndo regr de derivção de um quociente: [ [ ] [ ] sen. cos ( sen ). cos tg ] cos sec. cos cos + sen cos A plicção d regr de derivção de um função compost permite-nos cr s derivds de f () sen u() g() cos u() e () tg u() num ponto interior dos respectivos domínios onde eist finit derivd u (): f () [ cos u()]. u () 9

18 g () [ - sen u()]. u () () [ sec u()]. u () sendo s fórmuls obvimente válids pr s derivds lteris Regr de derivção de um função invers. Aplicção às funções trigonométrics inverss Sej y f () um função estritmente monóton contínu no intervlo não degenerdo I. Nests condições como sbemos f () trnsform o intervlo I num intervlo não degenerdo K; por outro ldo monotoni estrit de y f() grnte respectiv injectividde eistindo portnto função invers f (y) com domínio no intervlo K e contrdomínio em I. É fácil concluir que f (y) é estritmente crescente ou decrescente em K consonte y f () sej um cois ou outr em I. Supondo por eemplo que y f () é estritmente crescente em I tem-se y < y f ( y ) < f ( y ) porque se fosse f ( y ) f ( y ) seri pelo crescimento estrito de f () em I f ( ) y f ( ) y ; do mesmo modo se f () for estritmente decrescente em I tem-se que f (y) é tmbém estritmente decrescente em K. Sbemos tmbém (ver corolário do teorem do cpítulo dos limites e continuidde de funções) que monotoni estrit e continuidde de y f () em I implic continuidde d função invers f (y) em f ( I ) K. Posto isto vmos estudr o teorem onde se contém regr de derivção d função invers. Teorem 3 : Sej y f () um função estritmente monóton e contínu no intervlo não degenerdo I que el trnsform no intervlo K e considere-se respectiv função invers f (y). Pr b f () interior de K correspondente um ponto I onde sej finit e não nul f () tem-se: [ ] f ( y ) y b f ( ) com f (b) Demonstrção : Sendo b ponto interior de K então f (b) é tmbém ponto interior de I devido à monotoni estrit de f () e f (y). Tem-se por definição de derivd [ ] f ( y) lim f ( b + k ) f ( b ) y b k k 0 ; 93

19 fzendo f ( b+ k) f ( b) f ( b+ k) tem-se 0 k 0 devido à monotoni estrit de f (y) e clro que f ( b+ k) + b + k f ( + ) k f ( + ) b f ( + ) f () ; portnto [ ( y )] lim f b k f ( + ) ( b ) lim y b k 0 k k 0 f ( + ) f ( ) lim k 0 f ( + ) f ( ) com f ( b+ k) f ( b). Devido continuidde de f (y) em y b tem-se lim k 0 lim [ f b+ k f b ] k 0 ( ) ( ) 0 e podemos então concluir com fcilidde que sendo f () 0 [ ] f ( y ) lim y b k 0 f ( + ) f ( ) f ( ) com f (b). Com efeito cd sucessão de termos k n tl que b + k n K k n 0 e lim k n 0 corresponde um sucessão de termos n f ( b+ kn ) f ( b) I não nulos e tl que lim n 0 e est corresponde por su vez um sucessão f ( + n ) f ( ) n com limite / f () por definição de limite segundo Heine ; então de novo por definição de limite segundo Heine obtém-se conclusão desejd. Observções : ) Se b f () for etremidde inicil de K será etremidde inicil de I cso f () sej crescente e etremidde finl de I cso f () sej decrescente ; demonstrção do teorem pode dptr-se [considerndo pens os k > 0 que correspondem vlores > 0 se f () for crescente e vlores < 0 se f () for decrescente] obtendo-se então [ ( )] f y d ; y b f ( ) d ou [ ( )] f y d y b ; f ( ) e consonte f () sej crescente ou decrescente e sempre no pressuposto de respectiv derivd lterl de f () em ser finit e não nul. 94

20 b) Se b f () for etremidde finl de K obter-se-i [ ( )] f y e y b ; f ( ) e ou [ ( )] f y e ; y b f ( ) d consonte f () sej crescente ou decrescente e sempre no pressuposto de respectiv derivd lterl de f () em ser finit e não nul. c) Cso sej f () 0 derivd d função invers no ponto correspondente é + se f () for crescente e - se f () for crescente. Vejmos lguns eemplos de plicção deste teorem. ) A função y e é estritmente crescente e contínu em I ] - + [ que el trnsform em K ] 0 + [. A respectiv função invers log y é então tmbém estritmente crescente e contínu no intervlo ] 0 + [. Como cd b ] 0 + [ corresponde log b ] - + [ e neste ponto derivd d função y e é e 0 tem-se: ( ) log y y b ( ) b e log b resultdo que confere com o que já se obteve por outr vi. ) A função y sen é estritmente monóton e contínu em I [ -π / π /] que el trnsform em K [ - ]. A respectiv função invers rc sen y é então tmbém estritmente monóton e contínu em [- ]. Como cd b ] - [ corresponde rc sen b ] -π / π / [ e neste ponto derivd d função y sen é cos 0 tem-se : ( ) rc sen y y b ( ) sen rcsen b cos ( rc sen b) b pr - < b <. 3) A função y cos é estritmente monóton e contínu em I [ 0 π ] que el trnsform em K [ - ]. A respectiv função invers rc cos y é então tmbém estritmente monóton e contínu em [ - ]. Como cd b ] - [ corresponde rc cos b ] 0 π [ e neste ponto derivd d função y cos é - sen 0 tem-se : ( ) rc cos y y b ( ) cos rccos b sen ( rc cos b) - b pr - < b <. 95

21 4) A função y tg é estritmente monóton e contínu em I ] -π / π /[ que el trnsform em K ] - + [. A respectiv função invers rc tg y é então tmbém estritmente monóton e contínu em ] - + [. Como cd b ] - + [ corresponde rc tg b ] -π / π / [ e neste ponto derivd d função y tg é sec 0 tem-se : ( ) rc tg y y pr - < b < +. b ( ) tg rctg b sec ( rc t g b) + b Os resultdos obtidos nos eemplos ) 3) e 4) e plicção d regr de derivção de um função compost permitem gor determinr s derivds ds funções y rc sen u() y rc cos u() e y rc tg u() num ponto interior dos respectivos domínios onde eist finit u () e tl que no cso do rc sen e do rc cos sej - < u() < [no cso do rc tg u() pode ser qulquer rel] : [ rc sen u()] [ rc cos u()] - u ( ) u ( ). u (). u () [ rc tg u()]. u (). + u ( ) As fórmuls precedentes dptm-se como de costume o cso ds derivds lteris. 4. Primeir derivd. Derivds de ordem superior Considere-se função f () com domínio em A e sej A A o conjunto dos pontos interiores de A onde função dmite derivd finit. A função que cd A ssoci f () design-se por primeir derivd de f () e tem como domínio o suprmenciondo conjunto A. Usulmente primeir derivd de f () obtém-se plicndo pr cd A s regrs de derivção nteriormente estudds embor em certos pontos ecepcionis sej por vezes necessário recorrer directmente à definição. Vejmos lguns eemplos: ) Sendo f () + com domínio A ] - / [ ] / + [ tem--se pr todo o A A 96

22 f () ( ) ( + ) ( ) ; ) Sendo f () e sen com domínio A ] - + [ tem-se pr todo o A A f () e sen. cos ; 3) Sendo f () rc tg ( + ) com domínio A [ - + [ tem-se pr todo o A ] - + [ A [ rc tg ( + ) ] + ( + ) f (). rc tg ( + ). rc tg ( + ).( + + ). rc t g ( + ) ; 4) Sendo tem-se: f () sen ( ) ) Pr 0 b) Pr 0 Portnto f (0) lim f (). cos ( ) sen ( ) 0 sen ( ) 0 lim sen ( ) 0 ;. f (). cos ( ) sen ( ) 0 0 sendo R o domínio d primeir derivd. Deverá observr-se que qundo o domínio de f () é um certo intervlo I e este pertencem um ou mbs s etremiddes cso nests eistm s correspondentes derivds lteris de f () é usul incluir tis etremiddes no domínio d primeir derivd qul ssume nesses pontos o vlor ds referids derivds lteris. Assim por eemplo no cso d função f () 3/ com domínio no intervlo I [ 0 + [ tem-se : 97

23 > 0 f () 3 / ; f d (0) 0. 3 Então f () / pr I [ 0 + [ considerndo-se que pr 0 f () ssume como vlor f d (0) 0. Dd função f () com domínio em A sej f () com domínio em A A respectiv primeir derivd. Sej A A A o conjunto dos pontos interiores de A onde eist finit derivd de f () ; função que cd A ssoci [f ()] design-se por segund derivd de f () e represent-se usulmente por f (). A prtir d segund derivd pode definir-se terceir derivd de f () : é primeir derivd d segund derivd e o seu domínio é o conjunto A 3 dos pontos interiores de A (domínio d segund derivd) onde f () dmite derivd finit. A notção pr terceir derivd é f (). E ssim sucessivmente: derivd de ordem n será primeir derivd d derivd de ordem n- sendo o seu domínio o conjunto A n dos pontos interiores de A n- (domínio d derivd de ordem n-) onde f (n-) () dmite derivd finit; derivd de ordem n represent-se por f (n) (). Refir-se que nd obrig ms tmbém nd impede que se ten A A A... A n. Assim por eemplo f () sen dmite derivds de tods s ordens com domínios todos iguis R ; por outro ldo por eemplo pr f () 7/3 função com domínio em R tem-se : f () 7 3 f () 8 9 f () / R 3 / R 3 / ] - 0 [ ] 0 + [ tendo-se portnto como domínios ds sucessivs funções derivds A A R e A n ] - 0 [ ] 0 + [ pr n Funções diferenciáveis Considere-se função f () com domínio A e sej um ponto interior de A. Eiste então um δ > 0 tl que < δ + A e função diz-se diferenciável em se e só se pr < δ 98

24 com k constnte e lim ε ( ) 0. 0 f ( + ) f () k. +. ε () Sendo f () diferenciável em podemos provr com fcilidde que eiste finit f () e que k f (). Com efeito d iguldde que define diferencibilidde result pr 0 < < δ f ( + ) f ( ) k +. ε () e pssndo o limite em mbos os membros qundo 0 obtém-se imeditmente k f () (note-se que / é um função limitd de - ssume o vlor se > 0 e o vlor - se < 0 - e portnto o seu produto pelo infinitésimo ε () é igulmente um infinitésimo). Inversmente se f () dmite derivd finit em ponto interior do domínio A de f () vê-se com fcilidde que função é diferenciável nesse ponto. Com efeito considerndo δ > 0 suficientemente pequeno de modo que < δ + A e definindo f f ( + ) f ( ) ( ) 0 < < δ θ () 0 0 tem-se lim θ ( ) 0 e com 0 f ( + ) f () f (). -. θ () f (). +. ε () ε () θ ( ) 0 < < δ 0 0 e lim ε ( ) 0 0 o que prov diferencibilidde de f () em. Portnto pr s funções reis de vriável rel equivlem-se os conceitos de função diferenciável e de função com derivd finit num ponto (interior do respectivo domínio). N iguldde f ( + ) f () f (). +. ε () primeir prcel do segundo membro design-se por diferencil de f () em e constitui um proimção d diferenç f ( + ) f () menos d prcel. ε () que é um infinitésimo de ordem superior ou sej lim. ε ( )

25 O símbolo normlmente usdo pr representr diferencil de f () em é [d f ()]. Qundo se estej considerr diferencil d função num ponto genérico interior do domínio dispens-se referênci o ponto e us-se o símbolo d f () ou sej d f () f ().. Como diferencil d função g () é d. diferencil de um função f () num ponto genérico escreve-se frequentemente do modo seguinte : d f () f (). f (). d. Est iguldde permite representr primeir derivd f () como o quociente de dus diferenciis f () df ( ) d ou cso se trte d derivd num ponto prticulr f () df( ) d. Deste modo se justific simbologi usul pr representr primeir derivd d função y f () : df( ) d ou dy d em vez de f (). Inspird nest simbologi tem-se seguinte notção lterntiv pr s derivds de ordem superior : d f ( ) d ou d d y em vez de f () 3 d f ( ) d 3 ou d 3 d y 3 em vez de f () etc. 00

26 6. Teorems fundmentis sobre funções regulres 6. - Etremntes reltivos ou locis e etremntes bsolutos de um função Dd um função rel de vriável rel f () com domínio em A um ponto A é mi-miznte locl ou reltivo de f () se e só se eiste um V ε () tl que V ε () A f () f () ; é minimiznte locl ou reltivo de f () se e só se eiste um V ε () tl que V ε () A f () f (). Sendo um mimiznte (minimiznte) reltivo f () é o correspondente máimo (mínimo) locl ou reltivo. Mimizntes e minimizntes locis ou reltivos recebem designção genéric de etremntes locis ou reltivos ; os correspondentes máimos ou mínimos recebem designção genéric de etremos locis ou reltivos. Os etremntes e correspondentes etremos reltivos de um função não devem confundir-se com os seus etremntes e etremos bsolutos : cso eist um ponto A tl que A f () f () tl ponto design-se por mimiznte bsoluto d função sendo então f () o máimo bsoluto ; cso eist um ponto A tl que A f () f () tl ponto design-se por minimiznte bsoluto d função sendo então f () o mínimo bsoluto. Note-se que o máimo bsoluto de f () no seu domínio se eiste é único ms pode ser tingido em mis que um ponto do domínio; de igul modo o mínimo bsoluto de f () no seu domínio se eiste é único ms pode ser tingido em mis que um ponto do domínio. As definições presentds permitem imeditmente firmr que: ) Mimizntes ou minimizntes bsolutos de f () são seus mimizntes ou minimizntes reltivos ms invers não é verddeir; b) Máimo ou mínimo bsoluto de f () é máimo ou mínimo reltivo d função ms invers não é verddeir; c) Os etremntes (e correspondentes etremos) bsolutos de f () cso eistm encontrm-se entre os respectivos etremntes (etremos) reltivos d função. O teorem seguinte é fundmentl : Teorem 4 : Sendo f () um função rel de vriável rel com domínio A se o ponto interior de A é etremnte (mimiznte ou minimiznte) locl então se eistir f () tem-se f () 0 Demonstrção : Fz-se demonstrção pr o cso do mimiznte deindo-se o cso do minimiznte (que é nálogo) o cuiddo do leitor. Por ser interior de A eiste 0

27 um V ε () A e por ser mimiznte reltivo de f () pode escoler-se ε > 0 suficientemente pequeno de form que V ε () A f () f (). Ddo que tem-se : V ε () < V ε () > f () lim f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 f () 0 0 f () 0 e s dus desigulddes que devem ser verificds o mesmo tempo por f () implicm necessrimente que f () 0 que er o que se pretendi provr. Repre-se que ipótese de ser interior do domínio é fundmentl. Por eemplo no cso d função f () cujo domínio é o intervlo [ 0 + [ tem-se f d (0) + e no entnto função tinge o seu mínimo bsoluto em 0. Refir-se ind que condição do teorem 4 é pens um condição necessári pr eistênci de etremo reltivo num ponto interior do domínio d função não grntindo só por si que esse ponto sej etremnte. Por eemplo função f () 3 tem derivd nul em 0 e no entnto o vlor zero não é etremnte d função Funções regulres. Teorems de Rolle Lgrnge e Cucy Um função f () com domínio em A diz-se regulr no intervlo I [ b] contido em A se e só se for contínu em I e dmitir derivd finit em todos os pontos ] b[. Pr s funções regulres num intervlo vmos demonstrr lguns teorems de grnde importânci em diverss plicções. Teorem 5 : Sendo f () regulr em [ b] sendo f () f (b) eiste um ponto c ] b [ tl que f (c) 0 (Rolle) Demonstrção : Sendo f () contínu em [ b] dmite nesse intervlo máimo e mínimo. Se o máimo e o mínimo bsolutos de f () são mbos tingidos ns etremiddes do intervlo como f () f (b) função dmite mínimo e máimo bsolutos iguis e então é constnte no intervlo em cus ou sej f (c) 0 pr qulquer c ] b [ ; cso um dos etremos bsolutos de f () sej tingido em certo ponto interior c ] b [ tem-se pelo teorem 4 f (c) 0. Em qulquer dos csos eiste pelo menos um c ] b [ tl que f (c) 0 como se queri provr. O teorem de Rolle dmite os seguintes corolários: 0

28 Corolário : Dois zeros de um função f () regulr num intervlo [ b] compreendem pelo menos um zero d derivd f () Demonstrção : Sendo α β [ b] com α < β dois zeros de f () tem-se : f () regulr em [α β ] [ b] ; f (α ) f (β ). Logo pelo teorem de Rolle eiste um c ] α β [ tl que f (c) 0. Corolário : Dois zeros consecutivos d derivd de um função regulr no intervlo [ b] compreendem qundo muito um zero d função Demonstrção : De fcto se esses zeros d derivd de f () compreendessem dois zeros de f () então pelo corolário entre esses dois zeros d função veri pelo menos um zero d derivd o qul estri compreendido entre os dois inicilmente considerdos que portnto não serim consecutivos. Pr finlizr o estudo do teorem de Rolle tem interesse dr um su interpretção geométric. Ns dus figurs seguintes representm-se geometricmente dus funções que reltivmente um intervlo [ b] se encontrm ns condições do enuncido do teorem de Rolle. Segundo este teorem em um ou mis pontos c ] b[ deverá ter-se f (c) 0 o que de cordo com interpretção geométric d derivd de um função num ponto signific que é prlel o eio O tngente à curv que represent f () no ponto de coordends c y f (c) : y y c b c c b Cso de um só c que Cso de mis de um c que nul nul derivd derivd A prtir do teorem de Rolle deduz-se outro teorem muito importnte: Teorem 6 : Sendo f () regulr em [ b] tem-se pr certo c ] b[ f ( b) f ( ) b (Lgrnge) f (c) Demonstrção : Considere-se função uilir ϕ () f () - λ ( - ) com 03

29 λ f ( b ) f ( ) b (constnte). Clro que ϕ () é contínu em [ b] e eiste finit ϕ () pr todos os pontos ] b[ porque idêntics proprieddes são verificds por ipótese por f () no mesmo intervlo. Além disso ϕ () ϕ (b) f () como se verific por substituição direct de por e por b n epressão que define função ϕ (). A função ϕ () verific ssim s ipótese do teorem de Rolle eistindo portnto um c ] b[ tl que ϕ (c) f (c) - λ 0 donde se tir λ f ( b ) f ( ) b f (c) que er o que se pretendi provr. O teorem que cb de demonstrr-se merece lguns comentários dicionis. Em certs plicções é mis conveniente utilizr vrintes d iguldde demonstrd no teorem. Assim ) Sendo f () regulr em [ b] tem-se f (b) f () (b ). f [ + θ. (b )] com certo θ tl que 0 < θ <. Est iguldde decorre imeditmente do teorem de Lgrnge bstndo notr que qulquer c ] b[ se pode eprimir do seguinte modo : c + θ. (b - ) com certo θ compreendido entre 0 e. b) Sendo f () regulr no intervlo fecdo de etremiddes e (este intervlo é [ ] se e [ ] se < ) tem-se: f () f () ( ). f [ + θ. ( )] com 0 < θ <. Est iguldde é evidente qundo sej ; decorre d iguldde d líne ) qundo sej > ; e decorre d iguldde d líne ) plicd o intervlo [ ] qundo sej < pois de result sucessivmente f () f () ( ). f [ + µ. ( )] com 0 < µ < f () f () ( ). f [ + µ. ( )] com 0 < µ < f () f () ( ). f [ + ( µ ). ( )] com 0 < µ < 04

30 f () f () ( ). f [ + θ. ( )] com 0 < θ µ <. c) Sendo f () regulr no intervlo fecdo de etremiddes e + ( > 0 0 ou < 0 ) tem-se f ( + ) f (). f ( + θ ) com 0 < θ < ( θ depende de ) ; est iguldde result d líne b) fzendo -. O teorem de Lgrnge dmite o seguinte importnte corolário: Corolário : Sej I um intervlo não degenerdo e dmit-se que f () e g() têm mesm derivd finit nos pontos interiores de I e mesm derivd lterl tmbém finit ns etremiddes do intervlo (cso le pertençm). Então função () f () g() é constnte nesse intervlo Demonstrção : Fie-se um qulquer I. Ddo um ponto I rbitrário função () é regulr em [ ] se > ou em [ ] se < : com efeito ds ipóteses do enuncido decorre continuidde ds funções f () e g() - logo de () - em I e portnto tmbém continuidde no intervlo de etremiddes e nquele contido; por outro ldo f () e g() dmitem derivd finit em todos os pontos de I (derivd lterl ns etremiddes de I cso le pertençm) e portnto () f () - g() dmite derivd finit no interior do intervlo de etremiddes e. Tem-se então pelo teorem de Lgrnge () () ( ). [ + θ. ( )] com 0 < θ < ; como + θ. ( ) I e como neste intervlo () f () - g () 0 (porque por ipótese mbs s funções têm mesm derivd no intervlo) result () () 0 ou sej () (). Conclui-se ssim que função () f () - g() é constnte no intervlo I [porque fido um I pr qulquer outro I tem-se () ()]. Pr terminr o estudo do teorem de Lgrnge vejmos su interpretção geométric. N figur seguinte represent-se um função regulr no intervlo [ b]. A rzão λ f ( b ) f ( ) b é o declive d rect SCT que pss pelos pontos [ f ()] e [ b f (b)] : 05

31 y SCT SCT c c c 3 b O teorem de Lgrnge grnte eistênci de pelo menos um ponto c do interior do intervlo [ b] tl que f (c) λ ; tendo em cont que f (c) é o declive d tngente à curv no ponto de bciss c o teorem de Lgrnge grnte eistênci de pelo menos um ponto c do interior do intervlo [ b] tl que tngente à curv no ponto [ c f (c)] tem o mesmo declive que secnte SCT que pss pelos pontos [ f ()] e [ b f (b)] ou sej tl que referid tngente é prlel à referid secnte. No cso eemplificdo n figur á três pontos c nesss condições (c c e c 3 ). Vejmos gor um novo teorem sobre funções regulres que mis não é que um generlizção do teorem de Lgrnge. Teorem 7 : Sendo f () e g() dus funções regulres no intervlo [ b] se pr todos os ] b [ se tem g () 0 então eiste pelo menos um ponto c ] b[ tl que f ( b) f ( ) gb ( ) g ( ) f () c g () c (Cucy) Demonstrção : Como g() é regulr em [ b] e g () 0 no interior desse intervlo tem de ser g(b) g() cso contrário g() verificri s ipóteses do teorem de Rolle no intervlo e então g () nulr-se-i em certo ponto c ] b[. A demonstrção d iguldde do enuncido prte d função uilir ϕ () f () - λ.[g() - g()] com λ f ( b ) f ( ) gb ( ) g ( ). Clro que ϕ () é contínu em [ b] e eiste finit ϕ () pr todos os pontos ] b[ porque idêntics proprieddes são verificds por ipótese por f () e g() no mesmo intervlo. Além disso ϕ () ϕ (b) f () como se verific por substituição direct de por e por b n epressão que define função ϕ (). A função ϕ () 06

32 verific ssim s ipótese do teorem de Rolle eistindo portnto um c ] b[ tl que ϕ (c) f (c) λ. g (c) 0 donde se tir λ f ( b ) f ( ) f () c gb ( ) g ( ) g () c que er o que se pretendi provr. Observe-se que o teorem de Lgrnge (teorem 6) se pode obter como corolário do presente teorem tomndo g(). 7. Algums plicções ds derivds 7. - Levntmento de indeterminções A plicção d regr do quociente no cálculo de limites conduz frequentemente csos de indeterminção do tipo 0/0 ou (± )/(± ). Vmos estudr dus regrs que envolvem s derivds do numerdor e denomindor d frcção e que permitem em grnde número de situções o levntmento de tis indeterminções. A) Regr de L Hospitl Est regr permite levntr indeterminções do tipo 0/0 qundo se verifiquem determinds ipóteses. Considerem-se dus funções ϕ () e ψ () e dmit-se que: ) Ambs s funções são definids em certo intervlo [ + ε [ e ψ () 0 pr ] + ε [ ; ) lim +0 ϕ () ϕ () 0 ψ () lim +0 ψ () ; 3) Eistem ϕ d () e ψ d () não conjuntmente infinits e tem-se ψ d () 0. Nests condições vmos ver que ϕ ( ) lim ϕ d ( ) +0 ψ ( ) ψ d ( ) com s seguintes convenções qunto o vlor do segundo membro: k /(± ) 0 (± )/k (± ) se k > 0 e (± )/k ( m ) se k < 0. Com efeito por ser ϕ () 0 ψ () tem-se 07

33 lim +0 ϕ ( ) ψ ( ) lim ϕ ( ) ϕ ( ) ψ ( ) + 0 lim + 0 ϕ ( ) ϕ ( ) ψ ( ) ϕ d ( ) ψ ( ) d com s convenções referids qundo um ds derivds lteris sej infinit. A rgumentção precedente vle pr o limite lterl esquerdo considerndo s ipóteses: ) Ambs s funções são definids em certo intervlo ] - ε ] e ψ () 0 pr ] - ε [ ; ) lim 0 ϕ () ϕ () 0 ψ () lim 0 ψ () ; 3) Eistem ϕ e () e ψ e () não conjuntmente infinits e tem-se ψ e () 0. Obtém-se então : ϕ ( ) lim ϕ e( ) 0 ψ ( ) ψ e ( ) com s convenções nteriormente referids qundo um ds derivds lteris sej infinit. Qundo s funções ϕ () e ψ () sejm definids em ] -ε + ε [ ψ () 0 pr ] - ε [ ] + ε [ e lim ϕ () ϕ () 0 ψ () lim ψ () tem-se ϕ ( ) lim ϕ ( ) ψ ( ) ψ ( ) cso eistm s derivds ϕ () e ψ () não conjuntmente infinits e sej ψ () 0 com convenções qunto o vlor do segundo membro nálogs às nteriormente referids no cso dos limites lteris. Vejmos um eemplo de plicção d regr de L Hospitl: lim 0 cos sen [ ] cos [ sen ] 0 sen cos B) Regr de Cucy : Indeterminção 0/0 Admit-se que s funções ϕ () e ψ () verificm s seguintes ipóteses: ) São definids em certo intervlo ] α [ com R ou - e tem-se ψ () 0 nesse mesmo intervlo ; 08

34 ) lim +0 ϕ () 0 lim +0 ψ () qundo sej R lim ϕ () 0 lim ψ () qundo sej - ; 3) Eistem finits em ] α [ s derivds ϕ () e ψ () e tem-se ψ () 0 nesse intervlo. Nesss condições vmos ver que com k finito + ou - lim +0 ϕ ( ) k lim +0 ϕ ( ) k (cso R ) lim º Cso : k finito ϕ ( ) k lim ϕ ( ) k (cso - ). Fido δ > 0 rbitrário eiste um β δ > tl que ] β δ [ ] α [ k - δ / < ϕ ψ ( ) ( ) < k + δ / por definição de limite. Tomndo dois pontos > y no intervlo ] β δ [ tem-se que s funções ϕ () e ψ () verificm s ipóteses do teorem de Cucy no intervlo [ y ] ] β δ [ ] α [ : são mbs regulres nesse último intervlo e ψ () 0 em ] y [. Tem-se então ϕ ( ) ϕ ( y) ψ ( y) ϕ ( *) ψ ( *) com * ] y [ ] β δ [. Assim pr quisquer pontos > y do intervlo ] β δ [ tem-se: k - δ / < ϕ ( ) ϕ ( y) ψ ( y) < k + δ /. Fzendo y tender pr + 0 (ou y tender pr - cso sej - ) ϕ (y) e ψ(y) tendem pr zero por ipótese e obtém-se k - δ / ϕ ( ) k + δ / pr ] β δ [ o que implic 09

35 k - δ < ϕ ( ) < k + δ pr ] β δ [ ssim se provndo que lim +0 ϕ ( ) consonte sej R ou -. k ou lim ϕ ( ) k º cso : k ± Tl qul como no primeiro cso ms prtindo de ϕ ( ) ψ ( ) > /δ (cso k + ) ou de ϕ ( ) < -/δ (cso k - ) ψ ( ) desigulddes válids pr ] β δ [ ] α [. A rgumentção precedente vle no cso de s ipóteses serem verificds reltivmente um intervlo ]α [ com R ou + devendo então tomr-se limites qundo tende pr - 0 ou pr + obtendo-se então: lim 0 ϕ ( ) k lim 0 ϕ ( ) k (cso R ) lim + ϕ ( ) k lim + ϕ ( ) k (cso + ). Como corolário dos resultdos nteriores referentes os limites lteris pode concluir-se que cso s funções ϕ () e ψ () verifiquem s ipóteses: ) Sejm definids em ]α [ ] β [ e ψ () 0 nesse conjunto ; ) lim ϕ ( ) 0 lim ; 3) Eistm finits ϕ () e ψ () em ]α [ ] β [ e sej ψ () 0 nesse mesmo conjunto então com k finito + ou - 0

36 lim ϕ ( ) k lim ϕ ( ) k cegndo-se tl conclusão por plicção dos resultdos ntes obtidos pr os limites lteris. Ao plicrmos regr de Cucy no levntmento de um indeterminção 0/0 pode suceder que no cálculo do limite do quociente ϕ () / ψ () surj nov indeterminção 0/0. Nesse cso se s ipóteses d regr de Cucy forem tmbém verificds reltivmente às funções ϕ () e ψ () podemos clculr o limite de ϕ () / ψ () e concluir que: lim ϕ ( ) k lim ϕ ( ) k lim ϕ ( ) k. E ssim por dinte cso no cálculo do limite do quociente ϕ () / ψ () ind se ten um indeterminção 0/0. Vejmos dois eemplos de plicção d regr de Cucy no levntmento de indeterminções do tipo 0/0 : ) lim sen e 0 ) lim ( ) co s lim e 0 cos ( ) lim ; ( ) sen ( ) lim cos ( ). C) Regr de Cucy : Indeterminção (± )/(± ) Admit-se que s funções ϕ () e ψ () verificm s seguintes ipóteses: ) São definids em certo intervlo ] α [ com R ou - e tem-se ψ () 0 nesse mesmo intervlo ; ) lim +0 ϕ () + lim +0 ψ () qundo sej R lim ϕ () + lim ψ () qundo sej - ; 3) Eistem finits em ] α [ s derivds ϕ () e ψ () e tem-se ψ () 0 nesse intervlo. Nesss condições vmos ver que tl como em B) com k finito + ou -

37 lim +0 ϕ ( ) k lim +0 ϕ ( ) k (cso R ) lim ϕ ( ) k lim ϕ ( ) k (cso - ). Antes de mis refir-se que ests implicções subsistem se n ipótese ) s funções tenderem mbs pr - ou um pr + e outr pr - como se verific fcilmente por conveniente troc de sinl ds funções envolvids. Com efeito cso sej por eemplo lim ϕ () - e lim ψ () + tem-se dmitindo como verddeirs s implicções referentes o cso em que mbs s funções tendem pr + lim +0 ϕ ( ) k lim + 0 ϕ ( ) - k lim lim ϕ ( ) ϕ ( ) k. - k Pssemos então à demonstrção ds implicções em cus. º Cso : k finito Fido δ / > 0 rbitrário eiste um β δ > tl que ] β δ [ ] α [ k - δ / < ϕ ψ ( ) < k + δ / por definição de limite. Fie-se y ] β δ [ e prtir dele determine-se γ y ] β δ [ tl que ( ) ] γ y [ ] β δ [ ] α [ ψ () > 0 e ψ () > ψ (y) o que sempre é possível por ser ψ () + qundo + 0 (ou qundo - no cso de ser - ). No intervlo de etremiddes y ] β δ [ e ] γ y [ s funções ϕ () e ψ () verificm s ipóteses do teorem de Cucy e portnto ϕ ( ) ϕ ( y) ψ ( y) ϕ ( *) ψ ( *) com * pertencente o intervlo ] β δ [ ; pode pois concluir-se que k - δ / < ϕ ( ) ϕ ( y) ψ ( y) < k + δ /

38 desde que y ] β δ [ e ] γ y [. Dds s condições imposts n determinção de γ y tem-se ψ () > 0 e ψ () > ψ (y) pr ] γ y [ deduzindo-se d dupl desiguldde que se cegou ( k - δ / ).[ψ () - ψ (y)] < ϕ () - ϕ (y) < ( k + δ / ).[ψ () - ψ (y)] ϕ (y) + ( k - δ / ).[ψ () - ψ (y)] < ϕ () < ϕ (y) + ( k + δ / ).[ψ () - ψ (y)] ϕ ( y) + ( k δ / ). ψ ( y) ϕ ( ) < ϕ ( y) < + ( k + δ / ). ψ ( y) pr ] γ y [ e com y ] β δ [ fio. Qundo + 0 (ou - cso sej - ) s funções que enqudrm o quociente ϕ () / ψ () tendem respectivmente pr k - δ / e k + δ / porque com y fio s frcções ϕ (y) / ψ () e ψ (y) / ψ () tendem mbs pr zero. Tl signific que com ε > 0 suficientemente pequeno se tem pr ] + ε [ ou ] -/ε [ (consonte sej finito ou - ) ( k δ / ) δ / k δ < ϕ ( ) < ( k + δ / ) + δ / k + δ o que permite concluir que lim ϕ ( ) k (cso R ) +0 lim ϕ ( ) k (cso - ). º Cso : k + Tl como no º cso ms prtindo de ϕ ( ) ψ ( ) > /δ pr ] β δ [ ] α [. O desenvolvimento do rgumento tl qul como no primeiro cso lev à desiguldde ϕ ( ) ϕ ( y) ψ ( y) > + δ pr ] γ y [ e com y ] β δ [ fio. Qundo + 0 (ou - cso sej - ) função que minor o quociente ϕ () / ψ () tende pr /δ. Tl signific que com ε > 0 suficientemente pequeno se tem pr ] + ε [ ou ] -/ε [ (consonte sej finito ou - ) 3