Profª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet
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- Luiz Gustavo Flores Espírito Santo
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1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet
2 Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I
3 Limite de um unção Sej Y= um unção deinid n vizinhnç do ponto, ou, em certos pontos dest vizinhnç. A unção tende b, qundo tende, ou b se, pr cd número positivo ε >, tão pequeno qunto se queir, pode-se indicr um δ > tl que, pr todo dierente de, veriicndo - < δ, desiguldde - b < ε, ic stiseit. Diz-se então que b é o ite de. b
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 Limites Lteris 9 Deinições: Limites Lteris à Direit e à Esquerd. Sej deinid em um intervlo, b, onde < b. Se ic rbitrrimente próimo de L conorme se proim de nesse intervlo, dizemos que tem ite lterl à direit L em e escrevemos: se proim de por vlores miores que L
10 Sej deinid em um intervlo c,, onde c <. Se ic rbitrrimente próimo de M conorme se proim de nesse intervlo, dizemos que tem ite lterl à esquerd M em e escrevemos: se proim de por vlores menores que M
11 Eemplo: Pr unção n igur, temos: e
12 Teorem Um unção terá um ite qundo se proimr de c se e somente se tiver um ite lterl à direit e um à esquerd e os dois ites lteris orem iguis: c L c c L
13 Proprieddes dos Limites Sejm b e c dois números reis, e sej n um inteiro positivo. Então: I b b c II c c III c n c n c n n IV c Obs.: Em IV, se n or pr, c deve ser positivo.
14 Operções com Limites 4 Sejm b e c dois números reis, n um inteiro positivo e e g unções pr s quis L e g M. I [b.] bl c II [ g] L M c III [.g] c L.M c c n c c L IV ; g c g M c n V L n n VI L Obs.: Em VI, se n or pr, L deve ser positivo.
15 Eemplo: Eemplo: Eemplo:
16 6 Se P é um unção polinomil e c é um número rel, então c P P c Limite de um unção polinomil Teorem Os Limites de Funções Polinomiis podem ser obtidos por Substituição: Se... P n n n n então... c c c P P n n n n c
17 7 Eemplo
18 Limites de Funções Rcionis 8 Teorem Os Limites de Funções Rcionis podem ser obtidos por Substituição, cso o ite do denomindor não sej zero: P Q Q c Se e são polinômios e, então: c P Q P c Q c
19 Eemplo
20 Eercícios se, / se, onde ; 4 Respost: ; 4 Respost:, Respost:/4, 4 / Determine os seguintes ites:
21 Eercícios, 4, ; b, b b
22 6 7
23 Eercícios Lim 5 4 R: - Lim R: 4 Lim 4 Lim Lim R: 6 R: 4/ 5 R: /
24 Limites no Ininito 4 L signiic que pr qulquer Ԑ >, eiste A> tl que I L I < Ԑ sempre que > A. L signiic que pr qulquer Ԑ >, eiste B< tl que I L I < Ԑ sempre que < B.
25 Teorem: n * n Eemplos:... / b c
26 Assíntot Horizontl 6 A ret y = L é um Assíntot Horizontl d unção y=, se pelo menos um ds seguintes condições or stiseit: L L
27 Eemplo : Gráico de 5 8 7
28 Limites Ininitos 8 signiic que podemos zer os vlores de icrem rbitrrimente grndes, tomndo suicientemente próimo de. signiic que podemos zer os vlores de icrem rbitrrimente grndes em módulo, porém negtivos, tomndo suicientemente próimo de.
29 Considere, por eemplo, unção Perceb que, qundo tende pel direit, isto é, qundo tende por vlores menores que, os vlores d unção tendem crescer indeinidmente. 9
30 Eemplo: não eiste 6 6
31 Assíntot Verticl A ret = é um Assíntot Verticl d unção y=, se pelo menos um ds seguintes condições or stiseit:
32 Os símbolos + e -, não representm números reis, não podendo ser plicds eles, portnto, s técnics usuis de cálculo lgébrico. Ddo b IR, teremos s seguintes igulddes simbólics: b + + = + b + - = = = = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção = + +. = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção. / = nd se pode irmr inicilmente. É um indeterminção.
33 Continuidde Um unção é contínu em um número pertencente o seu Domínio se:
34 Eemplos: Veriique continuidde ds seguintes unções: 4 se se c se se b
35 Questão d prov se 5 m se se Determine m pr que eist b Pr esse vlor de m, é contínu? c Clcule
36 Limites Fundmentis 6 sen
37 7 Eercícios: : Re cos 5 : / Re 5 : Re cos : Re 4 : Re / : Re :/ Re / sp g sp sen sen sp sen e sp sen d sp sen c b sp b sen b sp sen
38 Número de Euler 8,597,748,769,78 e, ,7868 6,788
39 Outro Limite Fundmentl 9 ln ln ln ln ln ln.ln / ln ln ln ln ln log / e u u u u u u u u u u u u u
Noção intuitiva de limite
Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite
3.18 EXERCÍCIOS pg. 112
89 8 EXERCÍCIOS pg Investigue continuidde nos pontos indicdos sen, 0 em 0 0, 0 sen 0 0 0 Portnto não é contínu em 0 b em 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portnto é contínu em 0 8, em, c 8 Portnto, unção é contínu
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Cálculo III-A Módulo 3 Tutor
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FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Considere os seguintes enunciados: O volume V de um cilindro é dado por V r h onde r é o raio e h é a altura. Um circuito tem cinco resistores. A corrente deste circuito
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COLÉGIO NAVAL 2016 (1º dia)
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4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.
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1. Conceito de logaritmo
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(9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se
As funções exponencial e logarítmica
As fuções epoecil e logrítmic. Potêcis em Sej um úmero rel positivo, isto é, * +. Pr todo, potêci, de bse e epoete é defiid como o produto de ftores iguis o úmero rel :...... vezes Pr, estbelece-se 0,
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8.1 Áres Plns Suponh que cert região D do plno xy sej delimitd pelo eixo x, pels rets x = e x = b e pelo grá co de um função contínu e não negtiv y = f (x) ; x b, como mostr gur 8.1. A áre d região D é
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Aos pais e professores
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Pontos onde f (x) = 0 e a < x < b. Suponha que f (x 0 ) existe para a < x 0 < b. Se x 0 é um ponto extremo então f (x 0 ) = 0.
Resolver o seguinte PPNL M (min) f() s. [, ] Pr chr solução ótim deve-se chr todos os máimos (mínimos) locis, isto é, os etremos locis. A solução ótim será o etremo locl com mior (menor) vlor de f(). É
Funções de varias variáveis
F : R n R (1,,..., n ) w Funções de varias variáveis F( 1,,.., 3 ) Dom n ( F) S R S é um subconjunto de R n Eemplo 1: Seja F tal que F : R R (, ) w 1 Identiique o domínio e a imagem de F Eemplos Eemplos
CAPÍTULO EXERCÍCIOS pg. 127
CAPÍTULO. EXERCÍCIOS pg.. Deerinr equção d re ngene às seguines curvs, nos ponos indicdos. Esboçr o gráico e cd cso..,,, ; R.. As igurs que segue osr s res ngenes pr os ponos e. Coo o vlor de é genérico
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mta0 geometri nlític Referencil crtesino no plno Referencil Oxy o.n. (ortonormdo) é um referencil no plno em que os eixos são perpendiculres (referencil ortogonl) s uniddes de comprimento em cd um dos
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Matemática C Extensivo V. 6
Mtemátic C Etesivo V 6 Eercícios ) D ) D ) C O vlor uitário do isumo é represetdo por y Portto pelo produto ds mtrizes A e B temos o seguite sistem: 5 5 9 y 5 5y 5y 9 5y 5 Portto: y 4 y 4 As médis uis
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Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial e assim valores de y < 0 não se relacionam com nenhum x do domínio, portanto Im = R +.
6 4. Função Eponencil É todo função que pode ser escrit n form: f: R R + = Em que é um número rel tl que 0
Os números racionais. Capítulo 3
Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região
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1 x 5 (d) f = 1 + x 2 2 (f) f = tg 2 x x p 1 + x 2 (g) f = p x + sec 2 x (h) f = x 3p x. (c) f = 2 sen x. sen x p 1 + cos x. p x.
6. Primitivs cd. 6. Em cd cso determine primitiv F (x) d função f (x), stisfzendo condição especi- () f (x) = 4p x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = 6. Determine função f que