1 Funções reais de variável real: generalidades e exemplos. 2 Funções reais de variável real: limites e continuidade. 3 Cálculo diferencial em R

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1 Índice Cálculo I Engenhri Electromecânic Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R António Bento Deprtmento de Mtemátic Universidde d Beir Interior 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R 9/ António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 Bibliogrfi António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45 Índice Apostol, T.M., Cálculo, Vol., Reverté, 993 Azenh, A., Jerónimo, M. A., Elementos de Cálculo Diferencil e Integrl em R e R n, McGrw-Hill, 995 Dis Agudo, F.R., Análise Rel, Vol. I, Escolr Editor, 989 Demidovitch, B., Problems e eercícios de Análise Mtemátic, McGrwHill, 977 Lim, E. L., Curso de Análise, Vol., Projecto Euclides, IMPA, 989 Lim, E. L., Análise Rel, Vol., Colecção Mtemátic Universitári, IMPA, 4 Mnn, W. R., Tylor, A. E., Advnced Clculus, John Wiley nd Sons, 983 Srrico, C., Análise Mtemátic Leiturs e eercícios, Grdiv, 3 Ed., 999 Stewrt, J., Clculus (Interntionl Metric Edition), Brooks/Cole Publishing Compny, 8 Swokowski, E. W., Cálculo com Geometri Anlític, Vol. e, McGrwHill, 983 Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

2 Índice. O conjunto dos números reis Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R Ests operções verificm s seguintes proprieddes: Proprieddes d dição A) Pr cd, b, c R, + (b + c) = ( + b) + c A) Pr cd, b R, + b = b + (ssocitividde) (comuttividde) A3) Eiste um elemento R, designdo por "zero", tl que pr cd R + = + = (elemento neutro) A4) Pr cd R, eiste um elemento R tl que + ( ) = ( ) + = (simétrico) António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45. O conjunto dos números reis No conjunto dos números reis, que representremos por R, estão definids dus operções: um dição, que cd pr de números reis (, b) fz corresponder um número + b; um multiplicção, que cd pr (, b) ssoci um número representdo por.b (ou b ou simplesmente b). Proprieddes d multiplicção M) Pr cd, b, c R, (bc) = (b)c M) Pr cd, b R, b = b (ssocitividde) (comuttividde) M3) Eiste um elemento R, diferente de zero e designdo por "unidde", tl que pr cd R. =. = (elemento neutro) M4) Pr cd R \ {}, eiste um elemento R tl que = = (inverso) Distributividde d multiplicção em relção à dição D) Pr cd, b, c R, (b + c) = (b + c) = b + c (distributividde) António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45

3 . O conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis Associds ests operções estão dus outrs operções, subtrcção e divisão. A subtrcção entre dois números reis e b represent-se por b e é definid por b = + ( b). A divisão entre dois números reis e b com b represent-se por b (ou b ou /b) e é definid por b = b. A, com b, tmbém se chm frcção entre e b. b Eercício Efectue s seguinte operções ) ; b) 3 3 ; c) 3 3 ; d) ; e) ; António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45. O conjunto dos números reis Proprieddes ds frcções Sejm, b, c e d números reis tis que b e d. Então b ± c d b c d = c bd ; d ± bc = ; bd se c, então b c d = b d c = d bc. Lei do corte d dição Sejm, b e c números reis. Então + c = b + c se e só se = b. Lei do corte d multiplicção Sejm, b e c números reis com c. Então c = cb se e só se = b. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45

4 . O conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis Lei do nulmento do produto Ddos números reis e b tem-se b = Resolução de equções de primeiro gru Sejm e b números reis. Então i) + = b = b ; ii) = b = b onde ; se e só se = e/ou b =. Fórmul resolvente (de equções de segundo gru) Sejm, b e c números reis, com. Então + b + c = = b ± b 4c. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. O conjunto dos números reis Csos notáveis d multiplicção Se e b são números reis, então i) ( + b) = + b + b ; ii) ( b) = b + b ; iii) ( + b)( b) = b. Eercício Clcule, em R, o conjunto solução ds seguintes equções ) 8 43 = 65; b) 3 6 = 4 7; c) y 5( + y) = 3(y ) ; d) ( + 4) + ( + ) = + ; e) = 3 ; f) = ; 4 g) 4 = ; h) 3 6 = ; i) = ; j) = ; k) = ; l) + + =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45

5 . O conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis Ordem Eiste um subconjunto de R, que se design por conjunto dos números reis positivos e que se represent por R +, que verific s seguintes proprieddes: A relção de ordem permite-nos representr os números reis num rect ou num eio. ) Se, b R +, então + b R + e b R e 3 π b) Pr todo R \ {}, ou R + ou R +. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45. O conjunto dos números reis Usndo o conjunto R + podemos definir em R um relção de ordem. Ddos dois elementos, b R, dizemos que é menor do que b, e escrevemos < b, se b R +. Diz-se que é menor ou igul do que b, e escreve-se se b, < b ou = b. As relções de ordem que definimos previmente permitem-nos definir vários subconjuntos de R chmdos intervlos. Ddos dois números reis tis que b, temos os seguintes conjuntos: ], b[ = { R : < < b} ; ], b] = { R : < b} ; [, b] = { R : b} ; [, b[ = { R : < b} ; ], + [ = { R : < } ; [, + [ = { R : } ; ], b[ = { R : < b} ; ], b] = { R : b} ; ], + [ = R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45

6 . O conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis Representção geométric dos intervlos Eercício Determine, em R, o conjunto solução ds seguintes condições: ], b[ b ], + [ ) + 7 > 3; b) 4 3 6; c) < ; d) < ; e) 5 3 9; f) 4 < ; [, b] b [, + [ g) 3 < + 4 < 3 ; h) ( + 3)( ) ; i) + ; j) + + > ; [, b[ b ], b[ b k) + > ; l) < 3; m) 5; n) 3 ; ], b] b ], b] b o) ( + )( )( + 3). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. O conjunto dos números reis Proprieddes de ordem Pr quisquer números reis, b, c e d, tem-se ) se < b e b < c, então < c; b) se b, então ou < b ou b < ; c) se b e b, então = b; d) se, então > ; e) < b se e só se + c < b + c; f) se < b e c < d, então + c < b + d; g) se < b e c >, então c < bc; h) se < b e c <, então c > bc; i) se >, então > ; j) se <, então < ; k) se < b, então < + b < b; l) b > se e só se ( > e b > ) ou ( < e b < ). Intuitivmente, poderímos construir os números nturis d seguinte form: é um número nturl; + que representmos por é um número nturl; + + = + = 3 é um número nturl; etc. Assim, N = {,, 3, 4, 5,...}. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

7 . O conjunto dos números reis A prtir dos números nturis podemos definir os números inteiros e os números rcionis. Um número rel diz-se um número inteiro se for um número nturl, ou se o seu simétrico for um número nturl ou se for zero, isto é, o conjunto dos números inteiros é o conjunto Z = N {} {m R : m N}. Um número rcionl é um número rel que pode ser representdo como o quociente entre dois números inteiros, isto é, o conjunto dos números rcionis é o conjunto Q = { m n } : m Z, n Z \ {}.. O conjunto dos números reis Aos números reis que não são rcionis chmmos de números irrcionis. Os números, 3, π e e são números irrcionis. As inclusões seguintes são óbvis: N Z Q R. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45. O conjunto dos números reis Os números rcionis tmbém podem ser definidos trvés d representção deciml. Um número rel é rcionl se no sistem deciml tiver um dízim finit ou um dízim infinit periódic. Assim, o número, é um número rcionl, que tmbém se represent por, 3(3) Além disso, este número tmbém pode ser representdo por 3. Por vlor bsoluto ou módulo de um elemento R entende-se o número rel definido por = { se ; se <. Um form equivlente de definir o módulo de um número rel é seguinte = m {, }. Geometricmente, o módulo de um número dá-nos distânci desse número à origem. y y António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45

8 . O conjunto dos números reis. O conjunto dos números reis Proprieddes do módulo (continução) Proprieddes do módulo Pr quisquer números reis, b tem-se ) = se e só se = ; b) ; c) b =. b ; d) + b + b ; (desiguldde tringulr) ) b) c) d) e) =, = = < < > > > < António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45. O conjunto dos números reis António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. O conjunto dos números reis A propriedde d) denomin-se desiguldde tringulr pelo fcto de num triângulo o comprimento de qulquer ldo ser menor do que som dos comprimentos dos outros dois ldos. Podemos usr o módulo pr clculr distânci entre dois números reis. A distânci entre dois números reis e b é dd por b. Geometricmente, b + b + b b António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45

9 Índice. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs A nturez d regr ssocid f : A B, e que nos permite determinr o vlor de f() qundo é ddo A, é inteirmente rbitrári, tendo pens que verificr dus condições: ) não pode hver ecepções, isto é, pr que o conjunto A sej o domínio de f regr deve de fornecer f() pr todo o A; ) não pode hver mbiguiddes, ou sej, cd A regr deve fzer corresponder um único f() B. 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 33 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 35 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Um função f : A B é definid à cust de três coiss: um conjunto A que se chm domínio d função; um conjunto B chmdo de conjunto de chegd d função; um regr que cd elemento de A fz corresponder um e um só elemento de B, elemento esse que se represent por f(). Referimo-nos A como um objecto e f() B como su imgem por f, respectivmente. Tmbém usmos epressão vlor de f em pr nos referirmos à imgem f(). Ao conjunto ds imgens chmmos contrdomínio de f, ou sej, o contrdomínio é o conjunto As funções f que nós vmos estudr são funções reis de vriável rel, ou sej, o domínio d função f é um subconjunto de R e o conjunto de chegd é o conjunto dos números reis R. O domínio costum representr-se por D ou D f e us-se seguinte notção ou, de form mis brevid, f : D R R, f : D R. f(a) = {f() B : A}. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 34 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 36 / 45

10 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo Primeir Lei de Ohm A primeir lei de Ohm diz que intensidde I d corrente eléctric é dd pelo quociente entre grndez diferenç de potencil V e resistênci eléctric R do condutor: I = V R. Assim, num circuito eléctrico intensidde d corrente pode ser vist como um função d diferenç de potencil. Eemplo Funções qudrátics As funções definids por f() = + b + c, designm-se por funções qudrátics. O seu domínio é o conjunto R dos números reis e o contrdomínio é o intervlo [ ( f b ) [, + se > e se < é o intervlo ] (, f b )]. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 37 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 39 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo Funções fim As funções dd por f() = + b, onde e b são dois números reis fios, designm-se por funções fim. Qundo b =, epressão reduz-se f() = e eprime que s vriáveis entre e y = f() eiste proporcionlidde direct, visto que o quociente dos dois vlores correspondentes é constnte: y =. Dizemos então função definid é liner. O domínio de um função fim é sempre o conjunto dos números reis. O contrdomínio é o conjunto R dos números reis, ecepto no cso em que =. Qundo = o contrdomínio é o conjunto singulr {b}. Eercício 4 d fich Sejm c e f dus vriáveis representndo mesm tempertur medid respectivmente em grus Celsius (C) e em grus Fhrenheit (F). A relção entre c e f é descrit por um função fim. O ponto de congelmento d águ é de c = o C ou f = 3 o F. A tempertur de ebulição é de c = o C ou f = o F. ) Determine fórmul de conversão d tempertur em grus Fhrenheit pr tempertur em grus Celsius. b) Eiste lgum tempertur pr qul os vlores em grus Celsius e Fhrenheit sejm iguis? Determine- em cso firmtivo. c) A relção entre tempertur bsolut k, medid em grus Kelvin (K), e tempertur c, em grus Celsius (C), é descrit por um função fim. Sbendo que k = 73 o K qundo c = o C e k = 373 o K qundo c = o C determine k em função de f. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 38 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

11 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eercício d fich Um hste rígid, feit de mteril muito leve, de modo que podemos considerr o seu peso desprezável, gir em torno de um eio. Num ds etremiddes, à distânci de metro do eio, está colocdo um peso de 3 Kg. Pr que hste fique em equilíbrio (isto é, no plno horizontl do eio), colocmos um outro peso de P Kg no outro ldo d hste e à distânci d (metros) do eio; verific-se eperimentlmente que o equilíbrio é conseguido se os vlores de d e P se correspondem de cordo com tbel d P É possível concluir d nálise destes ddos que s grndezs P e d são inversmente proporcionis. ) Identifique epressão que permite escrever P como função de d. b) Determine o domínio d função P(d). Eemplo As funções fim f, g, h: R R definids por tem os seguintes gráficos: f() =, g() = + e h() = h() = g() = + f() = António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 43 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Dd um função rel de vriável rel f : D R R, o conjunto G (f) = {(, f()) : D} design-se por gráfico de f. Obvimente, este conjunto pode ser representdo no plno e ess representção geométric tmbém se chm gráfico. Eemplo O gráfico de um função qudrátic é um prábol. Por eemplo, função dd por f() = + + tem o seguinte gráfico f() = + + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 44 / 45

12 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo As função dd por f() = / cujo domínio é R \ {} tem o seguinte gráfico. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo Sej f : R R função definid por f() = + 3. Como f() = f() = f(b) + 3 = b + 3 = b = b, função f é injectiv. Além disso, ddo b R, fzendo = b 3 temos ( ) b 3 f() = f = b = b = b, o que mostr que f é sobrejectiv. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 45 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 47 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Sej f : D R R um função rel de vriável rel. Dizemos que f é injectiv se pr quisquer, b D tis que b se tem f() f(b). A função f é sobrejectiv se pr cd b R, eiste D tl que f() = b. Obvimente, um função rel de vriável rel é sobrejectiv se o seu contrdomínio for o conjunto R dos números reis. Eemplo A função f : R R definid por f() = não é injectiv porque f( ) = f(). Além disso, tmbém não é sobrejectiv porque o seu contrdomínio é o intervlo [, + [. As funções que são injectivs e sobrejectivs dizem-se bijectivs. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 46 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 48 / 45

13 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Sej f : D R R um função rel de vriável rel injectiv. Recordemos que o conjunto de tods s imgens por f de elementos de D, ou sej, o conjunto f(d) = {f() R: D}, se design por contrdomínio de f. Como f é injectiv, ddo y f(d), eiste um e um só D tl que f() = y. Nests condições podemos definir invers d função f que cd y f(d) fz corresponder D tl que f() = y. Ess invers represent-se por f e é função f : f(d) R definid por f (y) = se e só se f() = y. É evidente que pr cd D e pr cd y f(d) se tem f (f()) = e f(f (y)) = y.. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo Consideremos novmente função f : R R definid por f() = + 3. Já vimos que est função é injectiv e, consequentemente, tem invers. Além disso, o contrdomínio de f é R e, portnto, Como f é definid por f : R R. y = f() y = + 3 f (y) = y 3 = y + 3 = y 3 = y 3, ou f () = 3. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 49 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo A função f : {,, 3, 4} R definid por f() = 9, f() = 8, f(3) = 7 e f(4) = 6 é injectiv e pode ser representd d seguinte form: f Eemplo (continução) 3 y = + 3 y = 4 f y = e su invers é função f : {6, 7, 8, 9} R definid por f (6) = 4, f (7) = 3, f (8) = e f (9) =. 3 4 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45

14 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo Sej f : R R função definid por f() =. Est função não é injectiv porque, por eemplo, f( ) = f() =. Assim, função f não tem invers. No entnto, se pensrmos n restrição dest função [, + [, ou sej, se usrmos função g : [, + [ R definid por g() =, est função já é injectiv pelo que podemos pensr n su invers. Como o seu contrdomínio é [, + [ e y = = y, função g : [, + [ R Sejm f : D f R R e g: D g R R dus funções reis de vriável rel. A função compost de g com f é função g f : D g f R R, de domínio definid por D g f = { D f : f() D g }, (g f)() = g(f()). é definid por g () =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 53 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 55 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Eemplo (continução) 3 y = y = Eemplo Sejm f : R R e g: R \ {} R s funções definids por y = f() = e g() =. Então g f tem por domínio o conjunto D g f = { D f : f() D g } { } = R: R \ {} 3 4 e é definid por = R \ {, } (g f)() = g(f()) = g( ) =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 54 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 56 / 45

15 . Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Índice Eemplo (continução) Se em vez de g f clculrmos f g temos D f g = { D g : g() D f } = { R \ {} : } R = R \ {} Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R e (f g)() = f(g()) = f(/) =. 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 57 / 45. Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 59 / 45.3 Função eponencil e função logrítmic Eemplo (continução) Ddo um número rel positivo >, pretendemos estudr função 3 f : R R definid por f() =, que se design por função eponencil de bse Repre-se que qundo = temos função constnte f() = =. 3 4 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 58 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45

16 .3 Função eponencil e função logrítmic Proprieddes d função eponencil Sejm, y R e, b ], + [. Então ) = b) +y = y c) = d) y = y e) ( ) y = y f) b = (b) g) se > y e >, então > y h) se > y e < <, então < y i) se ], + [ \ {} função eponencil é injectiv j) se ], + [ \ {} o contrdomínio d função eponencil é ], + [.3 Função eponencil e função logrítmic Qundo ], [ ], + [, função eponencil é injectiv e, por conseguinte, tem invers. Ess invers chm-se logritmo n bse e represent-se por log. Assim, tendo em cont que o contrdomínio d função eponencil é o intervlo ], + [, temos que é função definid por log : ], + [ R log = y se e só se = y. Obvimente, qundo = e temos função logritmo nturl que representmos por ln. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45.3 Função eponencil e função logrítmic António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 63 / 45.3 Função eponencil e função logrítmic < < y > Proprieddes d função logrítmic Sejm, y R + e, b ], + [\ {}. Então ) log (y) = log + log y b) log = log c) log y = log log y d) log ( α ) = α log = e) log = log b log b f) log = g) se > y e >, então log > log y h) se > y e < <, então log < log y Gráfico d função eponencil i) função logrítmic é injectiv; j) o contrdomínio d função logrítmic é R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 64 / 45

17 .3 Função eponencil e função logrítmic.4 Funções trigonométrics e sus inverss y > E D BE AE = CD AD < < Gráfico d função logritmo de bse α A B C seno: coseno: sen α = cos α = comprimento do cteto oposto comprimento d hipotenus comprimento do cteto djcente comprimento d hipotenus AB AE = AC AD = BE AE = CD AD = AB AE = AC AD António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 65 / 45 Índice António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 67 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde α cos α α em rdinos sen α 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 66 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 68 / 45

18 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss As funções seno e coseno, cujo domínio é o conjunto dos números reis, fzem corresponder cd R sen e cos, π 3π π π y π π 3π π respectivmente. O contrdomínio dests dus funções é o intervlo [, ]. Gráfico d função coseno António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 69 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss π 3π π π y π Gráfico d função seno π 3π π Outr função trigonométric importnte é função tngente, definid pel fórmul tg = sen cos, que está definid pr todos os pontos tis que cos, ou sej, o domínio d função tngente é o conjunto { R : π + kπ, k Z }. O seu contrdomínio é o conjunto dos números reis. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45

19 .4 Funções trigonométrics e sus inverss y.4 Funções trigonométrics e sus inverss y π 3π π π π π 3π π π 3π π π π π 3π π Gráfico d função tngente António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 73 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss Gráfico d função cotngente António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 75 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss A função cotngente é dd pel epressão O seu domínio é o conjunto cotg = cos sen. cos sen = cotg sen cos = tg { R : kπ, k Z} e o contrdomínio é o conjunto dos números reis. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 74 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 76 / 45

20 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss A função secnte é definid por sec = cos, o seu domínio é o conjunto { R : π + kπ, k Z } e o seu contrdomínio é o conjunto ], ] [, + [. A função cosecnte é definid por o seu domínio é o conjunto e o seu contrdomínio é o conjunto cosec = sen, { R : kπ, k R} ], ] [, + [. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 77 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss y António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 79 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss y π 3π π π π π 3π π π 3π π π π π 3π π Gráfico d função secnte António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 78 / 45 Gráfico d função cosecnte António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45

21 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss Reduções o primeiro qudrnte seno coseno tngente π π 4 π 3 3 π π 3π n.d. n.d. sen( ) = sen cos( ) = cos sen(π/ ) = cos cos(π/ ) = sen sen(π/ + ) = cos cos(π/ + ) = sen sen(π ) = sen cos(π ) = cos sen(π + ) = sen cos(π + ) = cos António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 83 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss Fórmul fundmentl d trigonometri Reduções o primeiro qudrnte (continução) sen + cos = sen(3π/ ) = cos Dest fórmul resultm imeditmente s seguintes fórmuls cos(3π/ ) = sen sen(3π/ + ) = cos + tg = cos e + cotg = sen, cos(3π/ + ) = sen sen(π ) = sen que podem ser reescrits d seguinte form cos(π ) = cos + tg = sec e + cotg = cosec. sen(π + ) = sen cos(π + ) = cos António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 84 / 45

22 .4 Funções trigonométrics e sus inverss Reduções o primeiro qudrnte (continução) tg( ) = tg() cotg( ) = cotg() tg(π/ ) = cotg cotg(π/ ) = tg tg(π/ + ) = cotg cotg(π/ + ) = tg tg(π ) = tg cotg(π ) = cotg tg(π + ) = tg cotg(π + ) = cotg António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 85 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss Resolução de equções trigonométrics sen = sen α = α + kπ = π α + kπ, k Z cos = cos α = α + kπ = α + kπ, k Z tg = tg α = α + kπ, k Z cotg = cotg α = α + kπ, k Z Fórmuls trigonométrics.4 Funções trigonométrics e sus inverss sen( + y) = sen cos y + sen y cos sen( y) = sen cos y sen y cos cos( + y) = cos cos y sen sen y cos( y) = cos cos y + sen sen y sen() = sen cos cos() = cos sen = cos = sen sen + sen y = sen + y sen sen y = sen y cos cos y = sen + y cos + cos y = cos + y cos y cos + y sen y cos y António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 87 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss A função seno não é injectiv pelo que não tem invers. [ No entnto, considerndo restrição d função seno o intervlo π, π ], que se chm restrição principl, ou sej, considerndo função [ f : π, π ] R, definid por f() = sen, tem-se que função f é injectiv. À invers dest função chm-se rco seno e represent-se por rc sen. Assim, rcsen : [, ] R e é definid d seguinte form rcsen = y se e só se = sen y e y [ π, π ]. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 86 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 88 / 45

23 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss rcsen π/ π/ / π/6 / π/6 / π/4 / π/4 Considerndo restrição d função coseno o intervlo [, π], ou sej, função g : [, π] [, ] definid por g() = cos, tem-se que g é um função injectiv. A invers dest função represent-se por rc cos e chm-se rco coseno. Assim, é função definid por rccos: [, ] R rccos = y se e só se = cos y e y [, π]. 3/ π/3 3/ π/3 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 89 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss y rc cos π π/ π / π/3 / π/3 / π/4 π / 3π/4 3/ π/6 Gráfico d função rco seno 3/ 5π/6 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45

24 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss y π rctg π 4 π Gráfico d função rco coseno π π 6 π 6 π 3 3 π 3 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 93 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 95 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss Sej h : ] π, π [ R y função definid por h() = tg. A função h é injectiv, pelo que h tem invers. A invers dest função represent-se por rc tg e chm-se rco tngente. Assim é função definid por rctg : R R rctg = y se e só se = tg y e y ] π, π [. π π Gráfico d função rco tngente António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 94 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 96 / 45

25 .4 Funções trigonométrics e sus inverss.4 Funções trigonométrics e sus inverss À invers d restrição o intervlo ], π[ d função cotngente chmmos rco cotngente e representmos ess função por rc cotg. Assim, rccotg : R R é função definid por π π y rccotg = y se e só se = cotg y e y ], π[. Gráfico d função rco cotngente António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 97 / 45.4 Funções trigonométrics e sus inverss António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 99 / 45 Índice rccotg π π 4 3π 4 π 3 π 3 π 6 5π 6 Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos O conjunto dos números reis Definição e eemplos de funções; função invers; composição de funções Função eponencil e função logrítmic Funções trigonométrics e sus inverss Funções hiperbólics Funções reis de vriável rel: ites e continuidde 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 98 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45

26 .5 Funções hiperbólics.5 Funções hiperbólics As funções definids por senh : R R e cosh : R R senh = e e e cosh = e + e designm-se por seno hiperbólico e por coseno hiperbólico, respectivmente. cosh = y e + e = y e + e = y e + e y = e y e + = e = y + 4y 4 e = y 4y 4 e = y + y e = y y ( ) = ln(y + y ) = ln y y Assim, o contrdomínio do coseno hiperbólico é o intervlo [, + [. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45.5 Funções hiperbólics António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45.5 Funções hiperbólics senh = y e e = y e e = y e e y = e y e = e = y + 4y + 4 e = y + y + = ln ( y + y + ) e = y 4y + 4 y = cosh y = senh y Logo o contrdomínio do seno hiperbólico é R. Gráfico ds funções seno e coseno hiperbólico António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

27 .5 Funções hiperbólics.5 Funções hiperbólics y Associd ests funções está função tngente hiperbólic. A tngente hiperbólic é função tgh : R R definid por tgh = senh cosh = e e e + e = e e +. Gráfico d função tngente hiperbólic António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45.5 Funções hiperbólics António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45.5 Funções hiperbólics tgh = y e e + = y e = y e +y ( y) e = y + e = y + y = ln ( y + y ) É fácil mostrr que s seguintes igulddes são válids: ) cosh senh = b) tgh = cosh c) senh( + y) = senh cosh y + senh y cosh d) cosh( + y) = cosh cosh y + senh senh y Assim, temos de ter y + >, o que é equivlente < y <. Logo y o contrdomínio d tngente hiperbólic é o intervlo ], [. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45

28 Índice. Breves noções de topologi em R Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R Sej A um subconjunto de R. Um ponto R diz-se interior A se eistir ε > tl que ] ε, + ε[ A. O ponto diz-se eterior A se eistir ε > tl que ] ε, + ε[ A = (ou sej, ] ε, + ε[ R \ A). Um ponto diz-se fronteiro A se não for interior, nem eterior, isto é, é um ponto fronteiro de A se pr cd ε >, ] ε, + ε[ A e ] ε, + ε[ (R \ A). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45 Índice António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45. Breves noções de topologi em R Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R Sej A o conjunto ], ]. Então é um ponto interior A, é um ponto eterior A, - é um ponto eterior A, é um ponto fronteiro A e é um ponto fronteiro A. / António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45

29 . Breves noções de topologi em R. Breves noções de topologi em R O conjunto dos pontos interiores A design-se por interior de A e represent-se por int A ou A, o conjunto dos pontos eteriores A chm-se eterior de A e represent-se por et A e o conjunto dos pontos fronteiros A diz-se fronteir de A e represent-se por fr A. ) D definição result imeditmente que int A, et A e fr A são conjuntos disjuntos dois dois e que R = int A et A fr A. b) Outr consequênci imedit d definição é o seguinte et A = int (R \ A) e fr A = fr (R \ A). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. Breves noções de topologi em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. Breves noções de topologi em R Eemplos ) Pr o intervlo A =], ] temos int A =], [, et A =], [ ], + [ e fr A = {, }. b) Considerndo o intervlo I =], b[, com < b, verific-se imeditmente que int I =], b[, et I =], [ ]b, + [ e fr I = {, b}. Um ponto R diz-se derente um subconjunto A R se pr cd ε >, ] ε, + ε[ A. O conjuntos dos pontos derentes de um conjunto A design-se por derênci ou fecho de A e represent-se por Ds definições result que A. c) Os intervlos ], b], [, b[ e [, b], onde < b, têm o mesmo interior, o mesmo eterior e mesm fronteir que o intervlo ], b[. d) int R = R, et R =, fr R =. e) int =, et = R, fr =. e A = int A fr A int A A A. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45

30 . Breves noções de topologi em R. Breves noções de topologi em R Eemplos ) Se A =], [, então A = [, ]. b) Ddo I = [, b], com < b, temos I = [, b]. c) Os intervlos ], b[, [, b[ e ], b], onde < b, têm mesm derênci que o intervlo [, b]. d) Sej A = [, [ {3, 4}. Então e) Obvimente, R = R e =. A = [, ] {3, 4}. Eemplos ) O derivdo do intervlo I = [, b[, com < b, é o conjunto I = [, b]. b) Os intervlos ], b[, ], b] e [, b], onde < b, têm o mesmo derivdo que o intervlo [, b[. c) Sej A =], ] {3}. Então int A =], [, et A =], [ ], 3[ ]3, + [, fr A = {,, 3}, A = [, ] {3} e A = [, ]. d) R = R e =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45. Breves noções de topologi em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45. Breves noções de topologi em R Sejm A um subconjunto de R e um número rel. Diz-se que é um ponto de cumulção de A Um subconjunto A de R diz-se berto se se pr cd ε >, ] ε, + ε[ (A \ {}). O conjunto dos pontos de cumulção de um conjunto A represent-se por A e design-se por derivdo. Os pontos de A que não são pontos de cumulção de A designm-se por pontos isoldos. e diz-se fechdo se A = int A A = A. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45

31 . Breves noções de topologi em R. Limites: definição, proprieddes e eemplos Eemplos ) Como int ], [=], [, temos que ], [ é um conjunto berto. Por outro ldo, ], [ = [, ] e, por conseguinte, ], [ não é fechdo. b) O intervlo [, ] é um conjunto fechdo porque [, ] = [, ] e não é um conjunto berto porque int [, ] =], [. Sejm D um subconjunto de R, f : D R um função, um ponto de cumulção de D e b R. Diz-se que b é o ite (de f) qundo tende pr, e escreve-se f() = b, se pr cd ε >, eiste δ > tl que f() b < ε pr qulquer D tl que < < δ. Simbolicmente, tem-se o seguinte f() = b ε > δ > D ( < < δ f() b < ε) c) Os conjuntos e R são simultnemente bertos e fechdos. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 Índice António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. Limites: definição, proprieddes e eemplos Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs Tendo em cont que e que tem-se o seguinte < < δ ] δ, + δ[\ {} f() b < ε f() ]b ε, b + ε[, f() = b ε > δ > D ( ] δ, + δ[ \ {} f() ]b ε, b + ε[). 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

32 . Limites: definição, proprieddes e eemplos. Limites: definição, proprieddes e eemplos y f() b+ε b+ε b b ε b ε Proprieddes dos ites (continução) Sejm D R, f, g: D R R e um ponto de cumulção de D. Suponhmos que f() = e que g é um função itd em D ] δ, + δ[ pr lgum δ >, isto é, eiste c > tl que g() c pr qulquer ] δ, + δ[ D. δ δ δ+δ +δ +δ +δ Interpretção geométric do conceito de ite de um função Então [f().g()] =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45. Limites: definição, proprieddes e eemplos António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45. Limites: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes dos ites Sejm D R, f, g : D R e um ponto de cumulção de D. Suponhmos que eistem f() e g(). Então ) eiste [f() + g()] e [f() + g()] = f() + g(); Proprieddes dos ites (continução) Sejm f : D f R R, g: D g R R dus funções reis de vriável rel. Suponhmos que R é um ponto de cumulção de D f e que b D g é um ponto de cumulção de D g. Se b) eiste [f()g()] e [ ] [ ] [f()g()] = f(). g() ; f() c) se g(), eiste g() e f() f() g() = g(). então f() = b e g() = g(b), b (g f)() = g(f()) = g(b). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 8 / 45

33 . Limites: definição, proprieddes e eemplos Um dos ites mis conhecidos é o seguinte e =. ln( + ) A prtir deste ite podemos clculr. Fzendo mudnç de vriável ln( + ) = y, tem-se = e y e qundo tem-se y. Assim, Logo ln( + ) = y y e y = y ln( + ) =. e y y = =. Vejmos que De fcto,. Limites: definição, proprieddes e eemplos cos cos =. = ( cos )( + cos ) ( + cos ) cos = ( + cos ) sen = ( + cos ) ( ) sen = ( + cos ) = =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 9 / 45. Limites: definição, proprieddes e eemplos António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45. Limites: definição, proprieddes e eemplos Outro ite bstnte importnte é o seguinte: sen =. Usndo este ite podemos clculr vários outros ites. Por eemplo, Portnto tg = sen cos = cos tg =. sen = =. Provemos que rcsen rctg = e =. No primeiro ite fzemos mudnç de vriável rcsen = y e obtemos rcsen = y y sen y = y sen y y = =. Pr o segundo ite fzemos mudnç de vriável y = rctg e vem rctg = y y tg y = y tg y y = =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 3 / 45

34 Índice.3 Limites infinitos e ites no infinito Qundo D é subconjunto de R não minordo, diz-se que Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus e escreve-se f tende pr b qundo tende pr, f() = b, se pr cd ε >, eiste M > tl que 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R ou sej, f() b < ε pr qulquer D tl que < M, f() = b ε > M > D ( < M f() b < ε). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 33 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Sejm D um subconjunto de R não mjordo, f : D R um função e b R. Dizemos que António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 35 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Sejm D um subconjunto de R, f : D R um função e um ponto de cumulção de D. Diz-se que f tende pr b qundo tende pr +, f tende pr + qundo tende pr, e escreve-se f() = b, + se pr cd ε >, eiste M > tl que e escreve-se f() = +, se pr cd L >, eiste δ > tl que f() b < ε pr qulquer D tl que > M. f() > L pr qulquer D tl que < < δ. Simbolicmente, f() = b ε > M > D ( > M f() b < ε). + Simbolicmente, f() = + L > δ > D ( < < δ f() > L). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 34 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 36 / 45

35 .3 Limites infinitos e ites no infinito Sejm D um subconjunto de R, f : D R um função e um ponto de cumulção de D. Diz-se que.3 Limites infinitos e ites no infinito Sejm D um subconjunto de R não mjordo e f : D R um função. Diz-se que f tende pr qundo tende pr, f tende pr + qundo tende pr, e escreve-se f() =, se pr cd L >, eiste δ > tl que e escreve-se f() =, + se pr cd L >, eiste M > tl que f() < L pr qulquer D tl que < < δ. f() < L pr qulquer D tl que > M. Simbolicmente, f() = L > δ > D ( < < δ f() < L). Formlmente, f() = L > M > D ( > M f() < L). + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 37 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Sejm D um subconjunto de R não mjordo e f : D R um função. Diz-se que f tende pr + qundo tende pr +, e escreve-se f() = +, + se pr cd L >, eiste M > tl que Formlmente, f() > L pr qulquer D tl que > M. f() = + L > M > D ( > M f() > L). + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 39 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Se D é um subconjunto de R não minordo, dizemos que e us-se notção f tende pr + qundo tende pr, f() = +, se pr cd L >, eiste M > tl que isto é, f() > L pr qulquer D tl que < M, f() = + L > M > D ( < M f() > L). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 38 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45

36 .3 Limites infinitos e ites no infinito.3 Limites infinitos e ites no infinito Se D é um subconjunto de R não minordo, dizemos que e us-se notção f tende pr qundo tende pr, f() =, se pr cd L >, eiste M > tl que f() < L pr qulquer D tl que < M, Nos ites infinitos podemos usr regr do ite d som desde que se doptem s convenções (+ ) + = + = + (+ ) ( ) + = = + ( ) (+ ) + (+ ) = + ( ) + ( ) = onde é um número rel qulquer. isto é, f() = L > M > D ( < M f() < L). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 43 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Assim, f() = b ε > M > D ( > M f() b < ε). + f() = b ε > M > D ( < M f() b < ε). f() = + L > δ > D ( < < δ f() > L). f() = L > δ > D ( < < δ f() < L). f() = + L > M > D ( > M f() > L). + f() = L > M > D ( > M f() < L). + Adoptndo s convenções que se seguem, podemos usr regr do ite do produto: (+ ) = + = (+ ) onde R + ( ) = = ( ) onde R + (+ ) = = (+ ) onde R ( ) = + = ( ) onde R (+ ) (+ ) = + = ( ) ( ) (+ ) ( ) = = ( ) (+ ) f() = + L > M > D ( < M f() > L). f() = L > M > D ( < M f() < L). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 4 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 44 / 45

37 .3 Limites infinitos e ites no infinito A regr do ite do quociente mntém-se se se doptrem s seguintes convenções + = =, R + = +, > + =, < =, > = +, < onde + signific que f() e f() > n intersecção do domínio com um intervlo berto que contém o ponto em que estmos clculr o ite e signific que f() e f() < n intersecção do domínio com um intervlo berto que contém o ponto em que estmos clculr o ite. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 45 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Eemplos ) É óbvio que e.3 Limites infinitos e ites no infinito = + + =. b) Sej f : R \ {} R função definid por f() =. Então e + = + = = = =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 47 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito Eemplos (continução) Não se fz nenhum convenção pr os símbolos (+ ) + ( ), (+ ), ( ), + +, +, pois são símbolos de indeterminção. +, c) Sej f : R R definid por + f() = Então e f() = + f() = + + = = + ( se, se <. ( + ) ) = + + = ( + 3 ) + 3 ( ) = = 3. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 46 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 48 / 45

38 Vejmos.3 Limites infinitos e ites no infinito ( + = e. + ) Índice Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Comecemos por observr que [( ln + ) ] + = ( ln + ) + e que fzendo mudnç de vriável y = / temos Assim, [( ln + ) ] + ln ( + y) = =. y y ( ) ln + = + / ( + = + ) + eln[(+ ) ] ln[(+ = e + ) ] = e = e. Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 49 / 45.3 Limites infinitos e ites no infinito António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45.4 Limites lteris Outros ites importntes são os seguintes e + = = Destes ites result que + se > se < < se > + se < <. Sejm A um subconjunto de D R, um ponto de cumulção de A e f : D R. Chm-se ite de f no ponto reltivo A (ou ite qundo tende pr no conjunto A) o ite em (qundo eist) d restrição de f A e us-se notção f(). A ln = + e ln =. + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 5 / 45

39 .4 Limites lteris.4 Limites lteris Sej f : D R R e consideremos os conjuntos É evidente que se eiste então tmbém eiste A f(), f() A pr qulquer subconjunto A de D do qul é ponto de cumulção de A e f() = f(). Assim, se eistirem dois ites reltivos distintos, o ite não eiste. e D + = { D : > } = D ], + [ D = { D : < } = D ], [. Definem-se, respectivmente, os ites lteris à direit e à esquerd d seguinte form e D + + f() = D f() = f() f(), desde que sej ponto de cumulção de D + e de D, respectivmente. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 53 / 45.4 Limites lteris António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 55 / 45.4 Limites lteris Eemplo Consideremos função f : R R definid por Então e f() = { se Q, se R \ Q. f() = Q f() = R\Q qulquer que sej R. Logo não eiste f(). Eemplo Sej f : R R função dd por f() = { se, se <. Est função é conhecid por função de Heviside. É óbvio que e f() = f() = + ],+ [ ],[ f() = f() =. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 54 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 56 / 45

40 .4 Limites lteris.4 Limites lteris Observções ) É óbvio que f() = b é equivlente b) Como A é equivlente ε > δ > A ( < < δ f() b < ε). D e < < δ D e δ < < e, portnto, f() = b é equivlente ε > δ > D ( δ < < f() b < ε). Tmbém se tem f() = L > δ > D ( δ < < f() < L) cso sej um ponto d cumulção de D e f() = + L > δ > D ( < < δ f() < L) qundo é um ponto de cumulção de D +. Anlogmente, f() = b é equivlente + ε > δ > D ( < < δ f() b < ε). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 57 / 45.4 Limites lteris António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 59 / 45.4 Limites lteris Tmbém eistem ites lteris pr ites infinitos: f() = + L > δ > D ( δ < < f() > L) cso sej um ponto d cumulção de D e f() = + + L > δ > D ( < < δ f() > L) qundo é um ponto de cumulção de D +. Propriedde dos ites lteris Sejm D R, f : D R e um ponto de cumulção de D + e D. Então f() = b, onde b R ou b = + ou b =, se e só se eistem e são iguis b os ites lteris, ou sej, f() = f() = b. + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 58 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45

41 .4 Limites lteris.4 Limites lteris Eemplos ) É evidente que e que b) Tmbém se tem e + = + = + = = + = ( + ) = + = + = ( ) = + = + De tg = + e tg = π π + conclui-se imeditmente que e + rctg = π rctg = π. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45.4 Limites lteris António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 63 / 45 Índice Vejmos que De fcto, e π π π + De form nálog temos tg = + e tg =. π + sen tg = π cos = + = + sen tg = π + cos = =. tg = e tg = +. π + π Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 6 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 64 / 45

42 .5 Assímptots.5 Assímptots y = f() d y = m + b d = f() (m + b) Assímptots não verticis à direit Sejm D um subconjunto de R não mjordo e f : D R um função. Pr que o gráfico de f tenh um ssímptot não verticl à direit é necessário e suficiente que eistm e sejm finitos os ites f() ) + (que designremos por m), b) [f() m]. + Verificds ests condições, e designndo por b o segundo ite, ssímptot à direit do gráfico de f tem equção y = m + b. [f() (m + b)] = + António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 65 / 45.5 Assímptots António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 67 / 45.5 Assímptots Sejm D um subconjunto não mjordo e f : D R um função. A rect de equção y = m + b diz-se um ssímptot não verticl à direit do gráfico de f se [f() (m + b)] =. + Se D é um subconjunto não minordo e f : D R é um função, diz-se que rect de equção y = m + b é um ssímptot não verticl à esquerd do gráfico de f se [f() (m + b)] =. Assímptots não verticis à esquerd Sejm D um subconjunto de R não minordo e f : D R um função. Pr que o gráfico de f tenh um ssímptot não verticl à esquerd é necessário e suficiente que eistm e sejm finitos os ites f() ) (que designremos por m), b) [f() m]. Verificds ests condições, e designndo por b o segundo ite, ssímptot à esquerd do gráfico de f tem equção y = m + b. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 66 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 68 / 45

43 .5 Assímptots.5 Assímptots Assim, pr clculrmos um ssímptot não verticl à direit temos de clculr os seguintes ites y = f() m = f() + e b = [f() m] + e se estes ites eistirem e forem finitos, ssímptot é rect de equção y = m + b. Pr s ssímptots não verticis à esquerd temos de clculr os ites m = f() e b = [f() m] e cso eistm e sejm finitos mbos os ites, ssímptot é rect de equção y = m + b. A rect de equção = é um ssímptot verticl o gráfico de f António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 69 / 45.5 Assímptots António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45 Índice Funções reis de vriável rel: generliddes e eemplos Diz-se que rect de equção = é um ssímptot verticl o gráfico de f se pelo menos ums ds seguintes condições se verificr: f() = +, + f() =, + f() = + ou f() =. Funções reis de vriável rel: ites e continuidde Breves noções de topologi em R Limites: definição, proprieddes e eemplos Limites infinitos e ites no infinito Limites lteris Assímptots Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Proprieddes fundmentis ds funções contínus 3 Cálculo diferencil em R 4 Primitivs 5 Cálculo integrl em R António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 7 / 45

44 .6 Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos.6 Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos Sejm D um subconjunto de R, f : D R um função e D. Diz-se que f é contínu no ponto se pr cd ε >, eistir δ > tl que f() f() < ε pr qulquer D tl que < δ. Simbolicmente, f é contínu em ε > δ > D ( < δ f() f() < ε). Dizemos que D é um ponto de descontinuidde de f se f não é contínu em. Um função f : D R é contínu se for contínu em todos os pontos de D. Observções ) Ao contrário do que contece n definição de ite, só fz sentido considerr pontos do domínio D qundo estmos investigr continuidde de um função. b) Se é um ponto isoldo de D, então função f : D R é contínu em. De fcto, ddo ε >, bst escolher δ > tl que ] δ, + δ[ D = {}. Assim, condição D < δ é equivlente = e, por conseguinte, f() f() = < ε. c) Se D é um ponto de cumulção de D, então f : D R é contínu em se e só se f() = f(). António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 73 / 45.6 Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 75 / 45.6 Funções contínus: definição, proprieddes e eemplos y f()+ε f()+ε f() f() ε f() ε δ δ δ+δ +δ +δ +δ Interpretção geométric do conceito de função contínu num ponto Proprieddes d continuidde ) Sejm f, g: D R R dus funções contínus em D. Então e se g() então f + g, f g e fg são contínus em f g é contínu em. b) Sejm f : D f R R e g: D g R R dus funções. Se f é contínu em D f e g é contínu em f() D g, então g f é contínu em. António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 74 / 45 António Bento (UBI) Cálculo I 9/ 76 / 45