Elementos de Análise - Lista 6 - Solução

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1 Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto em todos os pontos exceto x = 1 F é derivável e F coincide com f. (b) f(x) = se x < 1, f(x) = 1 se x 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto em todos os pontos exceto x = 1 F é derivável e F coincide com f. (c) f(x) = se x / Q, f(x) = 1/q se x = p/q (frção irredutível); Afirmção: f é contínu nos irrcionis e descontínu nos rcionis. Vmos usr firmção pr resolver questão e depois demonstrremos. Se f é descontínu somente nos rcionis, então o conjunto de seus pontos de descontinuidde é enumerável, e portnto f é integrável. Como todo intervlo possui lgum irrcionl, tods s soms inferiores devem se nulr. Sendo integrável, integrl deve ser o limite ds soms inferiores, ou sej, F (x) = pr todo x. Portnto é clro que F (x) = f(x) se e só se x / Q. Prov d firmção: Que f é descontínu nos rcionis é evidente (pr x Q considere um sequênci de irrcionis tendendo x). Pr ver que f é contínu nos irrcionis temos que provr que se / Q então lim x f(x) =. Ddo ɛ > encontrremos δ > tl que x < δ implicrá f(x) < ɛ. Sej N N tl que 1/N < ɛ. Considere C o conjunto de todos os números rcionis em [ 1, + 1] que podem ser escritos n form p/q com q < N: C = {p/q [ 1, + 1]; p N, q N e q < N} Clrmente C é um conjunto finito, e todos os seus elementos são diferentes de (já que / Q). Sej δ = min x C x. Pr qulquer rcionl p/q (form irredutível) no intervlo ( δ, +δ) necessrimente q N, donde f(p/q) = 1/q 1/N < ɛ. Isso complet prov d firmção. 1

2 . Dig quis ds seguintes funções são integráveis em [, ] e clcule integrl qundo possível. Qundo for integrável escreveremos F (x) = f(t) dt. x () f(x) = x se x < 1, f(x) = x se 1 x ; F (x) = x x se x [, 1], F (x) = x+ se x [1, ]. (F () = ) (b) f(x) = x se x 1, f(x) = x se 1 < x ; F (x) = x x se x [, 1], F (x) = x+ se x [1, ]. (F () = ) (c) f(x) = x + [x] ([x] é o mior inteiro menor que x); F (x) = x se x [, 1], F (x) = x + x 1 se x [1, ]. (F () = 3) (d) f(x) = x + [x] se x Q, f(x) = se x / Q; Não é integrável: tods s soms inferiores são nuls (todo intervlo possui irrcionis) e tods s soms superiores são miores que 3 (pr cd prtição som superior coincide com do item nterior, e portnto é mior que 3). 3. Considerremos funções em um intervlo [, b]. () Quis funções possuem propriedde de que tods s soms superiores são iguis tods s soms inferiores? Tods s funções constntes têm est propriedde já que tods s sus soms inferiores ou superiores resultm sempre no mesmo. Qulquer outr função não possui est propriedde já que se existem x e y com f(x) < f(y) então tomndo prtição trivil P = {, b} (isto é, um único intervlo), som superior será mior ou igul f(y)(b ) e inferior menor ou igul f(x)(b ). (b) Quis funções possuem propriedde de que lgums soms superiores são iguis lgums (outrs) soms inferiores? Observndo que pr clculr s soms inferiores e superiores devemos usr o ínfimo e o supremo d função em cd intervlo d form [t i, t i+1 ] (fechdo) segue que só s funções constntes têm tl propriedde. Observe que qulquer som superior é mior ou igul que qulquer som inferior, e que se houver prtições P 1 e P tis que S(f, P 1 ) = s(f, P ), então tomndo um prtição P que refin mbs temos que s soms superior e inferior com relção P são iguis e coincidem com o vlor d integrl. Ms se

3 função não for constnte, necessrimente hverá lgum intervlo nest prtição onde el não é constnte, e então usndo o mesmo rgumento do item nterior restrito este intervlo concluiremos que s soms superior e inferior com relção P não são iguis, um contrdição. (c) Quis funções contínus possuem propriedde de que tods s soms inferiores são iguis? Tods s funções constntes. Se não for constnte, por continuidde existe um intervlo I onde f(x) é estritmente mior que seu mínimo pr todo x I e então tomndo um prtição suficientemente fin que contenh lgum subintervlo de I temos que som inferior nest prtição é mior que quel tomd sobre prtição trivil onde o único intervlo é [, b]. 4. Suponh que f definid em [, b] é não decrescente. () O que pode ser dito sobre som superior e som inferior de f com relção um dd prtição P = {t,..., t n }? e s(f, P ) = f(t i )(t i+1 t i ) i= S(f, P ) = f(t i+1 )(t i+1 t i ) (b) Suponh que t i+1 t i = δ pr cd i. Prove que i= S(f, P ) s(f, P ) = δ(f(b) f()) (S(f, P ) e s(f, P ) designm respectivmente s soms superior e inferior de f com relção P ). S(f, P ) s(f, P ) = f(t i+1 )(t i+1 t i ) f(t i )(t i+1 t i ) i= i= = [f(t i+1 ) f(t i )](t i+1 t i ) = [f(t i+1 ) f(t i )]δ = (f(b) f())δ i= i= 3

4 (c) Prove que f é integrável. Vemos pelo item nterior que inf P S(f, p) sup s(f, P ) δ(f(b) f()) P pr qulquer δ >. Portnto, fzendo δ vemos que f é integrável. (d) Dê um exemplo de função não decrescente que é descontínu em infinitos pontos. f(x) = 1 n + 1 se x ( 1 n+1, 1 n ] f() = 5. Suponh que f é integrável em [, b]. Prove que há um número x em [, b] tl que x f(t) dt = f(t) dt. Mostre trvés de um exemplo que x nem sempre teremos x (, b). Sej F (x) = x f(t) dt. F é contínu no intervlo [, b] e portnto possui propriedde do vlor intermediário. Dí, observndo que F () =, se F (b) existe x (, b) tl que F (x) = F (b), e este x stisfz x f(t) dt = f(t) dt. Se F (b) = então bst tomr x = x ou x = b. Como exemplo em que x / (, b) considere função f do item () do exercício () Suponh que f é contínu em [, b] e que g é integrável e não negtiv em [, b]. Mostre que f(x)g(x) dx = f(c) g(x) dx pr lgum c [, b]. Este resultdo é chmdo de segundo teorem do vlor médio pr integris. (Sugestão: desiguldde m f(x) M implic que mg(x) f(x)g(x) Mg(x), um vez que g é não negtiv.) 4

5 Como f é contínu, existem pontos x e y em [, b] tis que f(x) = m e f(y) = M onde m e M são respectivmente o ínfimo e o supremo de f em [, b]. Temos tmbém (já que g é não negtiv) m g(x) dx f(x)g(x) dx M g(x) dx Portnto se g(x) dx =, clrmente f(x)g(x) dx = e pr qulquer c [, b] iguldde buscd é stisfeit. Cso contrário podemos dividir s desigulddes cim por g(x) dx e teremos m f(x)g(x) dx g(x) dx M. Pelo teorem do vlor intermediário existe c (x, y) tl que f(c) =. Este c obvimente stisfz iguldde que queremos. f(x)g(x) dx g(x) dx (b) Mostre que s hipóteses sobre g são essenciis. (Sugestão: pense em g(x) = x em [ 1, 1].) Obvimente iguldde não fz sentido se g não for integrável. Vmos então ver que se g não for não negtiv firmção pode ser fls. Considere g(x) = x em [ 1, 1] e f(x) = se x, f(x) = x se x >. Então f(x)g(x) dx = 1/ e g(x) dx =. Fic clro que não existe c que stisfç iguldde desejd. 7. Use regr de L Hôpitl pr encontrr o limite lim x e x 1 x x / x. Sej f(x) = e x 1 x x / e g(x) = x. Temos lim x f(x) = e lim x g(x) =. Então encontrmos f (x) = e x x 1 e g (x) = x. Verificmos que lim x f (x) = f () = e lim x g (x) = g () =. Clculmos então f (x) = e x 1 e g (x) =. Segue que e x 1 x x / lim = x x =. 8. Sej f : [, ] R é integrável. Prove que se f é ímpr então f(x)dx =. Prove que se f é pr então f(x)dx = f(x)dx. Considere f ímpr. f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx 5

6 Fzendo mudnç de vriável y = x temos: Dí, f(x)dx = f(x)dx = f( y)( 1)dy = f(x)dx f(y)dy = f(y)dy =. f(y)dy O cso pr é semelhnte. Fzemos mesm mudnç de vriável. 9. Sej f : [, b] R um função integrável, com f(x) pr todo x [, b]. Se f é contínu no ponto c [, b] e f(c) >, prove que f(x) dx >. Se f(c) >, por continuidde existe um intervlo [c δ, c + δ] tl que f(x) > f(c)/ > qulquer que sej x I = [c δ, c + δ] [, b]. Então, denotndo I = [r, s] temos f(x) dx = r f(x) dx + s r f(x) dx + s f(x) dx. Como f é não negtiv, primeir e terceir integris do ldo direito d iguldde são não negtivs. A segund é mior ou igul f(c)(s r)/ e portnto positiv. Segue o resultdo. 1. Sejm f : [, 1] R função do item (c) do exercício 1 e g : [, 1] R definid por g() = e g(x) = 1 se x >. Mostre que f e g são integráveis porém f g : [, 1] R não é integrável. No exercício 1 já mostrmos que f é integrável. A função g só tem um descontinuidde no zero, e portnto é integrável. Já função f g vle zero em todos os irrcionis e 1 nos rcionis. Qulquer som inferior vle zero e qulquer som superior vle 1. Portnto não é integrável. 11. Verddeiro ou flso (justificndo): Se f é integrável então f tem primitiv; Flso: Considere, por exemplo, função integrável f do item () do exercício 1. Certmente não existe F tl que F = f pois pelo teorem de Drboux, se existisse tl F, f deveri stisfzer propriedde do vlor intermediário que clrmente não stisfz. 6