6.1 Derivação & Integração: regras básicas

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1 6. Derivção & Integrção: regrs básics REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO. Regr d som: (u + k v) = u + k v ; k constnte. Regr do Produto: (u v) = u v + u v 3. Regr do Quociente: u v = u v u v 4. Regr d Potênci: d [x ] = x 5. Regr d Cdei I: d [f(u(x)] = f (u(x) u (x) v 6. Regr d Cdei II: (Notção de Leibniz) df = df du du AS FUNÇÕES ELEMENTARES E SUAS DERIVADAS. Logritmo Nturl de x: ln x ou log x; D(ln x) = =x; x >. Exonencil de x: e x ou ex x; D(e x ) = e x 3. Seno de x: sin x ou sen x; D(sen x) = cos x 4. Cosseno de x: cos x; D(cos x) = sen x 5. Tngente de x: tn x ou tg x; D(tn x) = sec x 6. Secnte de x: sec x D(sec x) = sec x tn x 7. Cotngente de x cot x ou cotg x; D(cot x) = cosec x 8. Cossecnte de x: csc x ou cosec x; D(cosec x) = cosec x cotg x Se f (x) é um função cuj derivd não se nul no intervlo (; b), então su invers g (y) é derivável no intervlo (c; d), com derivd g (y) = f ; < x < b: (6.) (x) Com uxílio d fórmul (6.) odemos chegr às derivds ds funções trigonométrics inverss, em um intervlo dequdo.

2 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS PRIMITIVAS & INTEGRAIS lxix. Derivd do Arcoseno: D(rcsen x) = ; = < x < =: x. Derivd do Arcocosseno: D(rccos x) = x ; < x < : 3. Derivd do Arcotngente: D(rctg x) = ; = < x < =: + x 4. Derivd do Arcocotngente: D(rccotg x) = + x ; < x < =: 5. Derivd do Arcosecnte: D(rcsec x) = jxj ; jxj > : x 6. Derivd do Arcocosecnte: D(rccosec x) = jxj ; jxj > : x REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO A rtir ds derivds ds funções básics, obtemos seguinte tbel de rimitivs:. x n = xn+ + C, n 6=. sec x = tn x + C n + 3. = log jxj + C; x 6= 4. cosec x = cotg x + C x 5. e x = e x + C 6. sec x tn x = sec x + C x = x + C, > e 6= 8. ln sen(kx) = cos(kx) + C. k = rcsen x + C. x = rctn x + C 4. + x jxj = rcsec x + C 6. x EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS. cosec x cot x = cos(kx) = sen(kx) k cosec x + C + C x = rccos x + C + x = rccotg x + C jxj x = rccosec x + C. Em cd cso, determine rimitiv F (x) d função f (x), stisfzendo à condição eseci cd. () f (x) = 4 x; F () = f (x) = x + =x ; F () = (c) f (x) = (x + ) ; F () = :. Cert função derivável f (x) é tl que f (x) > ; 8x; e f () =. Sbendo que f (x) = xf (x), encontre exressão que reresent f (x). (sug.: derive função g(x) = ln[f(x)])

3 lxx CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 3. Sejm f e g funções deriváveis em R e suonh que f () = e g () =. Se f (x) = g (x) e g (x) = f (x) ; 8x, mostre que função h (x) = [f (x) sen x] + [g (x) cos x] tem derivd nul e, ortnto, é constnte. A rtir dí deduz que f (x) = sen x e g (x) = cos x: 4. Em cd cso, clcule integrl inde nid f (x) : () f = x 3 5x f = x 3 + x + (c) f = sen x x x 5 (d) f = + x (e) f = + x (f) f = tg x + x (g) f = x + sec x (h) f = x 3 x (i) f = x + e x+ (j) f = + x + cos (x) (k) f = sec (4x + ) (l) f = cos x (m) f = + sen x (n) f = sec (x) tg (x) (o) f = (x + ) x () f = x (x + ) 5. Mostre que F (x) = ex (x ) ; 6= ; é rimitiv de f (x) = x ex (x ) tl que F () = =: Agor, clcule s integris inde nids: () x ex x ex ( x) x (c) x ex x : 6. Determine função f que stisfz : f (x) = x + e x ; f () = e f () = : 7. Se k é um número inteiro não negtivo, clcule o vlor de: () sen (kt) dt cos (kt) sen (kt) dt (c) =4 [cos (kt) sen (kt)]dt: 8. Encontre equção d curv que ss no onto A ( 3; ) e cuj inclinção d ret tngente, em cd um de seus ontos (x; y), é m (x) = x + : 9. DERIVAÇÃO SOB O SINAL DE INTEGRAL Deixe f ser um função contínu em [; b] e suonh que (x) e (x) sejm funções deriváveis em (; b). Se ' (x) = (x) (x) f (t) dt; mostre que ' é derivável em (; b) e deduz Regr de Leibniz: ' (x) = f ( (x)) (x) f ( (x)) (x) : (6.). Usndo Regr de Leibniz (6.), clcule ' (x) em cd cso bixo: () ' (x) = x 3 + t 4 dt ' (x) = sen x cos x (ln t) 5 dt (c) ' (x) = ex x x cos t dt:

4 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS PRIMITIVAS & INTEGRAIS lxxi. Em cd cso bixo, clcule integrl de nid de f, no intervlo I indicdo. ( x, se x < () I = [ ; ]; f (x) = I = [ ; ]; f (x) = jx j x x +, se x (c) I = [ ; ]; f (x) = jsen xj (d) I = [ ; ]; f (x) = x + jcos xj (e) I = [ 3; 5]; f (x) = x 3x + (f) I = [ ; ]; f (x) = x jxj 6. Cálculo de Áres Plns. Em cd cso, clcule áre d região R: () R é delimitd els curvs y = x 4 e y = x, r x : R é delimitd els curvs y = 3 x e y = x 3, r x : (c) R é delimitd els curvs y = jxj e y = x, r x : (d) R é delimitd els curvs y = x + 4 e y = x : (e) R é delimitd elo eixo y e els curvs y = sen x e y = cos x, r x =4: (f) R é delimitd els rets x = ; x = ; y = e el rábol y = x : (g) R é delimitd els curvs y = x e y = x: (h) R é delimitd el curv y = x e els rets y = x e y = : (i) R é delimitd el curv y = x 3 6x + 8x e o eixo x: (j) R é delimitd els rábols y = x + 6x e y = x x:. Em cd cso, esboce o grá co d região R e clcule su áre. () R = f(x; y) R, tl que x e x y 4g: R = f(x; y) R, tl que x e x x y x + 5xg: (c) R = f(x; y) R, tl que x =y e y g: (d) R = f(x; y) R, tl que x e x y xg: (e) R = f(x; y) R, tl que x e y jxj 3 g: 3. Considere função f : R! R, de nid or: 8 >< + x 3 =4, r x < f (x) = x x, r x < 3 >: 6 4x, r x 3:

5 lxxii CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS Clcule 5 f (x) e, tmbém, áre entre o grá co de f e o eixo x, de x = que o vlor d integrl e o vlor d áre são distintos? té x = 5: Por 4. Em cd cso, identi que região do lno xy cuj áre é reresentd el integrl e clcule o vlor d áre. () x (4 + 3x) (d) 3 5 (x + 5) ( x) : 5. Suonh que f : [ ; ]! R sej um função r e que g : [ ; ]! R sej um função ímr. Mostre que: f (x) = f (x) 6. Considere função y = f(x), cujo grá co está ilustrdo n Figur 6. o ldo, e de n função g or g(x) = x f(t)dt: () Clcule g(); g(); g(); g(3) e g(6). Em que intervlo função g está crescendo? (c) Qundo g tinge seu vlor máximo? e g (x) = : 6.3 Integris Imróris. Anlise cd um ds integris imróris bixo qunto à convergênci. () (e) jxj x x (f) 5 (5 x) (c) + x (g) x = ex ( x) (d) + x x ex x (h) x 3 ex x 4 RESPOSTAS & SUGESTÕES 6. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Recorde-se que F (x) é rimitiv de f (x) qundo F for derivável e F (x) = f (x), em cd x: () F (x) = 4 5 x5= F (x) = 3 x3 x + 3 (c) F (x) = ln (x + ) + :

6 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS PRIMITIVAS & INTEGRAIS lxxiii. f (x) = e (x ) = ex x : 3. Usndo s regrs de derivção e considerndo que f = g e g = f, encontrmos: h (x) = [f sen x] f cos x + [g cos x] g + sen x = [f sen x] [g cos x] + [g cos x] [ f + sen x] = e, ortnto, h (x) é constnte. Como h () =, segue que h (x) = e temos o resultdo. 4. Vej s regrs básics de integrção. () 4 x4 5 x + C: x + ln x + C: x (c) cos x + 4x 4 + C: (d) x5 5 + x3 3 + x + C: (e) rctg x + C: (f) tg x x 3 ( + x)3= + C: (g) 3 x3= + tg x + C: (h) 9 x9= + C: x (i) ln + ex+ +C: (j) x + 3 x3 + sen (x) + C: (k) 4 tg (4x + ) + C: (l) x + sen x + C (m) 5x sen x + C (n) sec x + C (o) x + ln jxj + C () x + ln jx + j + C: 5. Com rimitiv F (x) = ex (x ), encontrmos: () ex + C e x + C e x + C: 6. Integrndo dus vezes função f (x), encontrmos f (x) = x4 + ex + kx + C e, substituindo os ddos f () = e f () =, obtemos k = e C =. Assim, f (x) = x4 +ex +:

7 lxxiv CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL MARIVALDO P. MATOS 7. Recorde-se ds regrs básics de integrção e de lgums identiddes trigonométrics. () (c) =4, se k = ; e ( ) n, se k = n : 4n 8. Sendo declividde no onto (x; y) igul x +, então: y = x + ) y = x + x + k e, considerndo que y ( 3) =, encontrmos y = x + x 6, que é equção d curv. 9. Se F (x) = x f (t) dt, então ' (x) = F ( (x)) Fundmentl do Cálculo, obtemos o resultdo. F ( (x)) e, usndo Regr d Cdei e o Teorem. () 3 + x 4 [ln (sen x)] 5 cos x + [ln (cos x)] 5 sen x (c) e x cos(e x ) x cos(x ) :. () =3 5 (c) 4 (d) 4 (e) 43 (f) : 6. EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. () 5 (c) 5 3 (d) 6 =3 (e) (f) 5 3 (g) 3 (h) 3 (i) 8 (j) 64 3 :. () 6=3 9 (c) ln (d) =3 (e) =: 3. 5 f (x) = 3 ; A = 73=6. A integrl de um função contínu or rtes y = f (x) ; no intervlo [; b] ; coincide com áre entre o grá co de f e o eixo x, no cso em que função é não negtiv no intervlo. 4. () (c) 5= (d) 3=3: 5. Com mudnç x = t e observndo que f é um função r, encontrmos: f (x) = f (t) dt ) f (x) = f (x) + f (x) = f (x) : N gur bixo ilustrmos situção geométric em que A reresent o vlor d integrl no intervlo [; ] A Figur 6. mostr um função ímr e Figur 6.b um função r.

8 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS PRIMITIVAS & INTEGRAIS lxxv 6. () g () = ; g () = ; g () = 5; g (3) = 7 e g (6) = 3 em (; 3) (c) em x = 3: 6.3 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES ::::. Recorde-se que integrl imróri convergir signi c que el tem um vlor numérico. Do contrário, el denomin-se divergente. () Temos = lim + lim jxj! + x b! = lim x! + + lim b! Logo, integrl é convergente e tem vlor 4. Neste cso, temos: 5 (5 x) = lim b!5 = lim b!5 b 5 b b x x b + = 4: (5 x) = lim b!5 = +: 4 Assim, integrl é divergente (não tem vlor numérico). (c) Divergente. (d) A integrl é convergente, orque (e) Divergente. (f) Divergente. b 5 x + x = lim (rctn b rctn ) = =: b! (g) De cordo com o Exercício 5, d seção 6., temos: x ex x = lim! = lim! Logo, integrl imróri converge e tem vlor =: x ex x = lim! ex = : ex x (h) Considerndo rimitiv F (x) = 4 ex x4, determind no Exercício 5 d seção 6., com = 4; obtemos: b x 3 ex x 4 = lim x 3 ex b! = 4 lim b! x 4 b = lim ex x4 b! 4 ex b 4 = =4: