CÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre Curvs Denição 1. A áre A entre região limitd pels curvs y f(x) e y g(x) e pels rets x e x b, onde f e g são contínus e f(x) g(x) pr todo x [, b], é b [f(x) g(x)] dx. Exemplo 1. Clcule áre do conjunto do plno limitdo pels rets x, x 1, y e pelo gráco de f(x) x. áre. Primeirmente, vmos construir no mesmo plno crtesino região que queremos clculr Temos que: [ x x 3 dx 3 ]

2 Cálculo I Aul n o Exemplo. Encontre áre d região limitd pels curvs y sen(x), y x, x π e x π. [ π ], π. Primeirmente, vmos construir no mesmo plno crtesino o gráco dests funções no intervlo Como x sen(x) pr todo x no intervlo [ π, π ], temos que: b π π [ x [f(x) g(x)] dx [x sen(x)] dx + cos(x) ] π π 3π 8 1. Exemplo 3. Clcule áre d região limitd pelo gráco de f(x) x 3, pelo eixo x e pels rets x e x 1. A região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

3 Cálculo I Aul n o Temos que: x 3 dx + x 3 dx Observção 1. Note que, se zéssemos: [ x x 3 dx ] Ms, como f(x) x 3 é ímpr, pels proprieddes de integris, temos que: x 3 dx x 3 dx 1 1. Exemplo. Encontre áre d região limitd pels curvs y x e y x + x. A região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Observe que s curvs se intersectm em dois pontos A e B. Dess form, precismos determinr os pontos A e B, pr identicr os limites de integrção. Resolvendo o sistem: { y x y x + x obtemos os pontos (, ) e (, ). Como x + x x, pr todo x no intervlo [, ], o gráco de f(x) x + x está cim do gráco de g(x) x. Assim, áre procurd é dd por: 8 3. ( x + x x ) dx ( x + x) dx [ x3 3 + x Exemplo 5. Encontre áre d região limitd pels curvs y sen(x) e y cos(x), no intervlo ] [, π ]. Grcmente, região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 3

4 Cálculo I Aul n o Resolvendo o sistem: { y sen(x) y cos(x) ( ) obtemos o ponto P π, [ Como cos(x) sen(x), pr todo x, π ] e sen(x) cos(x), pr todo x região em dus prtes. Assim, áre A é dd por:, que é o único ponto de interseção ds curvs no intervlo considerdo. [ π, π ], vmos dividir π [cos(x) sen(x)] dx + π π [sen(x) cos(x)] dx [sen(x) + cos(x)] π + [ sen(x) cos(x)] π π. Exemplo 6. Encontre áre d região limitd pels curvs y e x, y x 1, x e x 1. Grcmente, região que queremos clculr áre está representd no gráco bixo: Como f(x) g(x) pr todo x [, 1], temos que: x [e (x 1)] dx x [e x + 1] dx ] 1 [e x x3 3 + x e 1 e + 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid

5 Cálculo I Aul n o Observção. Muits vezes os problems cm mis simples de resolver se integrmos em relção y e não em relção x. Sej R região pln limitd pel direit pel função x M(y), pel esquerd por x N(y) e pels rets y c e y d. Não é difícil provr que se s funções M(y) e N(y) são contínus em [c, d], então: d c [M(y) N(y)] dy Exemplo 7. Clcule áre d região limitd pels curvs y x e y x. Note que s interseções entre s curvs são os pontos (, ) e (8, ). Sejm x M(y) y + e x N(y) y. Assim, região que queremos clculr áre está representd seguir: Então: [ y 18. ) (y + y dy + y y3 6 ] Exemplo 8. Clcule áre limitd pel curv (y ) x 1, pel tngente est curv no ponto de ordend y 3 e pelo eixo x. Se y 3, então x. A equção d ret tngente no ponto (, 3) é equção d ret tngente y y (x )(x ) + 3. Pr obter y, derivmos implicitmente em relção x equção (y ) x 1. Temos: (y )y 1. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 5

6 Cálculo I Aul n o No ponto (, 3), temos que y () 1, logo y x. A áre que procurmos está exibid no gráco bixo: Integrndo em relção y, teremos x M(y) (y ) x 1 e x N(y) y e: 3 [(y ) + 1 (y )] dy 3 (y 6y + 9) dy [ ] y y + 9x 9. Trblho Considere um prtícul sobre qul tu um forç constnte retilíneo e no sentido d forç. F, sendo o movimento d prtícul Denição (Trblho). O trblho W relizdo pel forç F sobre prtícul é medido por onde d é distânci percorrid pel prtícul. W F d, Se F é medid em Newtons (N ) e distânci em metros (m), então unidde de trblho é newtonmetro (N m), que é chmd de Joule (J). Pel Lei de Newton, temos que: onde é celerção d prtícul. F m, Exemplo 9. Aplic-se um forç horizontl constnte de N pr empurrr um cix pesd por um distânci de 5 m. Qul o trblho relizdo? Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 6

7 Cálculo I Aul n o Usndo denição de Trblho, temos que: W F d 5 J. Exemplo 1. Qunto trblho é exercido o se levntr um brr de kg por um distânci verticl de 15 m? Pr levntr brr deve-se exercer um forç igul e de sentido contrário à forç exercid pel grvidde, que pel Lei de Newton é F m g, onde g é celerção d grvidde. Assim, W F d m g d 9, J. Considere gor um prtícul que se move o longo de um ret sob ção d forç vriável e contínu F (x). Queremos determinr o trblho relizdo por est forç pr deslocr prtícul de um ponto x o ponto x b. Como forç é vriável, não podemos plicr denição de trblho dd cim. intervlo [, b] em n subintervlos com extremiddes x, x 1, x,..., x n e com lrgurs iguis x b n. Se W i é o trblho relizdo pel forç pr deslocr prtícul no intervlo [x i, x i ], então n W i1 W i Vmos dividir o E o problem reci em clculr um proximção pr W i. Pr tl, escolhe-se em cd subintervlo um ponto rbitrário: x 1 [x, x i ], x [x 1, x ], x 3 [x, x 3 ],..., x n [x n, x n ] e ssumimos que pr deslocr prtícul o londo do intervlo [x i, x i ] forç é constnte e igul F (x i ). Assim, W i F (x i ). x e W n F (x i ). x. tornndo-se est proximção tão melhor, qunto menor for x. Assim, deni-se: ( n ) b W lim x i1 i1 F (x i ). x F (x) dx. Exemplo 11. Um prtícul é movid o longo do eixo x por um forç que mede F (x) 1 (1 + x) N em um ponto x metros d origem. Clcule o trblho relizdo pr mover prtícul d origem té 9 metros. Como forç que tu sobre prtícul x metros d origem é dd por F (x) 1 (1 + x), pr deslocá-l do ponto x o ponto x 9, reliz-se o trblho ddo por: 9 [ 1 W (1 + x) dx 1 ] 9 9 J. (x + 1) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 7

8 Cálculo I Aul n o Exemplo 1. A Lei de Hooke rm que forç necessári pr mnter um mol esticd x uniddes lém de seu comprimento nturl é proporcionl x, isto é, F (x) kx, onde k > é constnte d mol. Suponh que J de trblho sejm necessários pr esticr um mol de seu comprimento nturl de 3 cm pr cm. Qunto trblho é necessário pr esticr mol de 35 cm pr cm? Pel lei de Hooke, forç que tu sobre mol é dd por F (x) kx, onde x é o comprimento d mol lém de,3 m, que é seu comprimento nturl. Como est forç é vriável, então o trblho necessário pr esticr mol de,35 m, m (x, 5 m x, 1 m) é ddo por:,1 [ ] k,1 W kx dx x 375k 1 5 J,5,5 Rest então determinr o vlor d constnte k d mol. Como,1 ],1 Assim: kx dx [ k x k W , J. 3 Comprimento de Arco Denição 3 (Comprimento de Arco). Se f for contínu em [, b], então o comprimento d curv y f(x), x b é: b L 1 + [f (x)] dx. Se usrmos notção de Leibniz pr s derivds, podemos escrever fórmul do comprimento de rco d seguinte form: L b 1 + ( ) dy dx. dx Exemplo 13. Encontre o comprimento de rco d curv y x + 1, com 1 x. Temos que: L 1 + dx L 5 dx Exemplo 1. Encontre o comprimento de rco d curv, y x, com x. Temos que: L Fzendo x tg(u), temos que dx sec (u) x dx + (tg(u)) dx 1 + x dx 1 + (x) dx du. Assim: sec 3 (u) du 1 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ). Segue que: 1 + x dx 1 (sec(u)tg(u) + ln sec(u) + tg(u) ) 1 (x 1 + x + ln( 1 + x ) + x) + C Portnto: 1 + x dx [ 1 (x 1 + x + ln( ] 1 + x ) + x) 16, 81. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 8

9 Cálculo I Aul n o Exemplo 15. Encontre o comprimento de rco d curv, y ln(sec(x)), com x π. Temos que: L π 1 + tg (x) dx sec(x) dx [ln sec(x) + tg(x) ] π ln( + 1). Resumo Fç um resumo dos principis resultdos vistos nest ul. Aprofundndo o conteúdo Lei mis sobre o conteúdo dest ul ns págins e do livro texto. Sugestão de exercícios Resolv os exercícios d págin , e 7 8 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeid 9