Calculando volumes. Para pensar. Para construir um cubo cuja aresta seja o dobro de a, de quantos cubos de aresta a precisaremos?

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1 A UA UL LA 58 Clculndo volumes Pr pensr l Considere um cubo de rest : Pr construir um cubo cuj rest sej o dobro de, de quntos cubos de rest precisremos? l Pegue um cix de fósforos e um cix de sptos. Considerndo cix de fósforos como unidde de medid, qul o volume d cix de sptos? l Com crtolin, ou lgum outro ppel encorpdo, constru um cubo e um pirâmide de bse qudrd de tl form que: - bse d pirâmide sej um qudrdo igul à fce do cubo; - ltur d pirâmide sej igul à medid d rest do cubo. Nesss condições, qul relção entre os volumes d pirâmide e do cubo? Esquem do cubo (sem tmp) Esquem d pirâmide de bse qudrd

2 N Aul 15, estudmos que os objetos têm áre, volume e form. Vimos tmbém que existem objetos com mesmo volume e forms diferentes. Nest ul, estudremos um pouco mis esse ssunto, prendendo clculr o volume de lguns sólidos. Ms, ntes, veremos lgums situções que envolvem idéi de volume e cpcidde: Noss A U Lul A 58 VOLUME DE CAPACIDADE DE l rei retird de um rio l um grrf l entulho retirdo de um obr l um sering l dejetos poluentes despejdos l um cix d'águ nos rios, lgos ou mres l r dos nossos pulmões Medir o volume ou cpcidde de um objeto é sber quntidde de espço que ele ocup ou de que dispõe pr rmzenr. EXEMPLO 1 Est grrf está chei. El contém 290 mililitros (290 ml) de refrigernte: Volume = 290 ml Isso signific que 290 ml é quntidde de líquido que grrf pode rmzenr: Cpcidde = 290 ml EXEMPLO 2 Pr encher um cix d águ de 2 metros de comprimento por 2 metros de lrgur e 1 metro de profundidde, form necessários litros de águ. 1 cm 2 cm 2 cm Volume d cix d águ = 2 m x 2 m x 1 m = 4 m 3 Cpcidde d cix d águ = litros

3 A U L A As uniddes de volume e de cpcidde são estbelecids pel seguinte relção: 1l = cm³³ Isto é, se tivermos um cubo oco com 10 cm de rest, podemos colocr nesse cubo, extmente, 1 litro de líquido (águ, suco, leite, óleo etc.). 10 cm 10 cm Outrs relções, decorrentes dess, tmbém são bstnte utilizds: 1 m 3 = l 1 cm 3 = 1 ml As uniddes de medid de volume fzem prte do Sistem Deciml de Medids. As mis usds são: metro cúbico (m 3 ) decímetro cúbico (dm 3 ) centímetro cúbico (cm 3 ) milímetro cúbico (mm 3 ) 1 m 3 = dm 3 = cm 3 =... Desse modo são necessários de cubinhos de 1 cm de rest pr formr um cubo de 1 m de rest. Volume do prlelepípedo Prlelepípedo é o nome que Mtemátic dá os objetos que têm form de um cix de spto, de um tijolo etc. N verdde, definição de prlelepípedo é mis gerl. Se quisermos ser mis precisos, um cix de spto é um prlelepípedo reto de bse retngulr. N Aul 15, clculmos o volume do prlelepípedo, multiplicndo sus dimensões (comprimento, lrgur e ltur): 1 cm 2 cm 2 cm V =. b. c

4 EXEMPLO 3 Qul o volume do cubo cuj rest mede 5 cm? (Lembre-se de que o cubo é um prlelepípedo cujs dimensões têm mesm medid). A U L A 5 cm V = 5 cm. 5 cm. 5 cm = 125 cm 3 5 cm 5 cm Imgine que esse cubo sej oco. Quntos litros de águ serim necessários pr enchê-lo té boc? Como: 1 l = cm 3 Então, fzendo um regr de três, temos: 1 litro = cm 3 x litros = 125 cm 3 x = = 0,125 litros = 125 mililitros Podemos colocr 125 l de águ num cubo cujo volume é de 125 cm 3. Decompondo figurs sólids O prlelepípedo pode ser decomposto em dus outrs figurs sólids. Vej:

5 A U L A Cd um dos sólidos que surge pel decomposição deste prlelepípedo retângulo é um exemplo de prism. Temos, em nosso cso, dois prisms retos de bse tringulr. Observe que, neste exemplo, bse de cd prism é um triângulo retângulo. O volume do prism reto de bse tringulr é metde do volume do prlelepípedo. Portnto, o volume do prism reto de bse tringulr é: b c b V=. b. c 2 Note que o prlelepípedo tmbém é um prism reto, porém de bse retngulr. Pr obter o volume de um prism com um bse qulquer multiplicmos áre d bse pel ltur. Por exemplo: Prism reto de bse qudrngulr(ou prlelepípedo): c b Volume = áre d bse x ltur V = (. b). c V =. b. c que é o resultdo já conhecido pr o volume do prlelepípedo.

6 Volume do cilindro Cilindro é o nome que Mtemátic dá os objetos que têm form de um ltão de querosene ou de um cigrro. O cilindro é um sólido geométrico cujs bses são dois círculos iguis, como n figur: A U L A O volume do cilindro pode ser determindo do mesmo modo que o volume do prism reto: Volume do cilindro = áre d bse. ltur Como bse do cilindro é um círculo, temos: Áre d bse = áre do círculo = pr 2, onde r é o rio do círculo Então, áre do cilindro pode ser express por: A = P ² r². { áre do círculo d bse { ltur do cilindro EXEMPLO 4 Determine o volume de um cilindro de 30 centímetros de ltur e cuj bse tem 20 centímetros de rio. 20 cm V = áre d bse ltur 30 cm Áre d bse = pr 2 A = p = 3, A = cm 2 Volume = = cm 3

7 A U L A Densidde de um corpo N Aul 14, prendemos que mss de um objeto pode ser dd pelo seu peso. As uniddes de medid de mss são o quilogrm (kg kg) e o grm (g). Podemos definir densidde de um objeto (ou corpo) como o quociente entre su mss e seu volume: Densidde = mss volume Um método prático pr determinr o volume de objetos, por exemplo o de um pedr, é o seguinte: l Pegue um recipiente trnsprente, cujs medids sejm fáceis de clculr. Por exemplo, um copo n form de um cilindro. 10 cm 10 cm l Ench-o com águ e meç ltur que águ tingiu. No nosso exemplo, o volume de águ é: V = p = 3, = 785 cm 3 l Em seguid, mergulhe pedr n águ e meç novmente ltur tingid. 12 cm Volume = p = 3, = 942 cm 2 A diferenç entre os dois resultdos é o volume d pedr: Volume d pedr = = 1 cm 3.

8 Exercício 1 De quntos cubinhos iguis A precismos pr montr um cubo igul B? Exercícios A U L A 58 A B Exercício 2 Quntos litros de óleo cbem no glão bixo? 50 cm 20 cm 20 cm Exercício 3 O que signific m 3? Exercício 4 Qul o volume de um bolo cuj ltur é 5 cm e cujo diâmetro é 60 cm? Exercício 5 Quntos litros de leite cbem em um glão cilíndrico de 20 cm de diâmetro e 60 cm de ltur? Exercício 6 Meç s rests e clcule o volume de um cix de pst de dentes. Exercício 7 Clcule cpcidde, em metros cúbicos, de um cix que poss conter o fogão de su cs. Exercício 8 Clcule o volume de dus lts de óleo com formtos diferentes.