A barreira de potencial

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1 A brreir de potencil E < V 0 reflexão Clssicmente... ou v v v E > V 0 trnsmissão Quântic: cso E < V 0 3 regiões: à esquerd d brreir, n brreir e à direit del. Pr x < 0: Pr x > : ψ ( ψ ( ix ix x) Ae + Be ˆ i x ix x) Ae + Be ˆ com: me p x x m( V 0 E) p Pr 0 < x < : ψ ( x) Ce + De com: Se prtícul incide d esquerd Bˆ 0; ms não podemos fzer D 0, pois x está limitdo Físic Modern Aul 6

2 Condições de continuidde de ψ e dψ/dx em x 0: A + B C + D de ψ (0) i Ce ( A + B) De ( C Ae ˆ D) i de ψ ʹ (0) de ψ ( ) ( ) ˆ i Ce De i Ae de ψ ʹ ( ) Pr fcilitr notção, vmos chmr: Ds dus últims equções, temos: Ce + De Γ () α e iα ( Ce De ) Γ Ce De Γ iα () ()+ () Ce Γ + iα iα e ()-() De Γ e Γ Âei iα iα Físic Modern Aul 6

3 De A + B C + D, vem: A + B C + D Γ # $ e + iα ( A + B Γ cosh i α senh + * - ), De A B iα(c D), vem: A B iα(c D) Γ # $ e + A B Γ( cosh + iα senh ) ( iα ) e ( iα ) ( iα ) + e ( iα ) Podemos resolver pr A e B, obtendo: ) A Γ cosh + i # α &, + % (senh. * $ α ' - B i Γ # α + & % (senh $ α ' % & % & cosh x ex + e x Físic Modern Aul 6 3 sinh x ex e x

4 Lembrndo que Γ Â, temos: A Â cosh + " 4 α % $ ' # α & senh + " 4 α + % $ ' # α & senh B Â " 4 α + % $ ' # α & senh Pr x < 0: Pr x > : ψ ( ix ix x) Ae + Be ψ ( ˆ ix x) Ae ψ ( x) ψ ψ inc trns + ψ refl, se, x se x > < 0 com me p Físic Modern Aul 6 4

5 Então vmos ter que o coeficiente de reflexão: J inc m A J refl m B! # " # $ # R J refl J inc B A B Â Â A! # 4 " +! # 4 " + + $ & senh % $ & senh % E o de trnsmissão: J J inc trns A m Aˆ m T J J trns inc Aˆ A senh Físic Modern Aul 6 5

6 Densidde de probbilidde pr prtícul com E < V 0 e brreir com lrgur : Estrnho? Vejmos o cso de um prism com reflexão totl: E se proximrmos um outro prism? Em gerl: Físic Modern Aul 6 6

7 Físic Modern Aul 6 7 A brreir de potencil: resultdos e plicções Cso E < V 0 Pr x < 0: x i x i Be Ae x ) ( + ψ Pr x > : x i Ae x ˆ ) ψ ( Pr 0 < x < : x x De Ce x ) ( + ψ 0 ) ( p E m V p me e x N situção em que >> : e V E V E T A A J J T inc trns senh 4 ˆ + + A A A B R senh 4 senh 4 ˆ ˆ + + +

8 Exemplo Elétron com E K ev incidindo sobre brreir com V 0 0 ev e 0, nm de espessur. Vmos usr s dus fórmuls, ext e proximd. me p mc E c 0, 5 05 ev 97 ev.nm 7,3 nm m(e V 0) p V 0 E E Portnto x(7,3 nm - )x0, nm,45. Que não é proprimente muito mior do que. Ms vmos, ssim mesmo, usr este resultdo pr determinr os seguintes ftores: e 4, 6 ; e 0, 35 ; e sinh ( e e ), 0 Agor, então, podemos clculr os coeficientes de trnsmissão: Físic Modern Aul 6 8

9 ' T exto +! ) # () 4 " + $ & % * sinh, +, Exemplo + 4 (, 5) (, 0) 0,37 T prox. 6 E " $ E V 0 # V 0 % " 'e 6 %" $ ' 8 % $ '(0, 35) 0,4 & # 0 &# 0 & Portnto T prox. T exto. T prox. T exto,03 o que é bstnte bom pr noss proximção, ind mis considerndo que nem er muito mior que Físic Modern Aul 6 9

10 Decimento α A Z X Y A Z α Energis cinétics ds lfs emitids pr vários isótopos de diferentes elementos Físic Modern Aul 6 0

11 Gmow, Condon & Gurney, 98: decimento α tunelmento Probbilidde de trnsmissão: T T e e ( E) / m V e 0 Cso do 38 U e r ʹ ʹ ʹ ( m[ V ( r) E] / ) rʹ dr Região mped por esplhmento de αs E K pr r Físic Modern Aul 6

12 Tx de decimento, R P trnsmissão x Frequênci de tenttivs N v r! R v r" e r! m r""" ( m[ V (r) E]/ ) dr r" V mx Z Z e 4πε 0 r! 37 MeV 4, MeV Z Z e 4πε 0 r!!! r!!! 37 MeV 4, MeV r! r!!! 6, 0 4 m (90)(, ) (9 0 9 )# 0 6 MeV & mx % ( $, J ' Físic Modern Aul 6

13 mc (E V 0 ) c (377 MeV)(37 4, ) MeV 97 MeV.fm, 5 fm - r!!! r! fm, , 5 >> T 6 4, 37 % 4, ( ' *e 75, 6e & 37 ) Que é muito pequeno. Um proximção mis relist seri tomr um brreir retngulr com metde d ltur máxim e metde d lrgur: V 0 8 MeV e 8 fm. Assim: 5 5, ,5 >> 4, 4, T 6 e,9e 8 8, Físic Modern Aul 6 3

14 Precismos vlir o número de tenttivs por unidde de tempo: v EK v EK (4, MeV) 0,047 v,4 0 m c mc 377 MeV 7 m/s R t Exp.: t v T rʹ R, ln 4, nos,6 0 0, , s 0 s s 7 π 0 s/no 0 nos Físic Modern Aul 6 4

15 Microscópio de tunelmento Físic Modern Aul 6 5

16 Átomos de Xe n superfície de Ni 0,6 nm de ltur e seprção de 0,5 nm Limitção: mostrs devem necessrimente ser condutors Físic Modern Aul 6 6

17 Microscópio de forç tômic Físic Modern Aul 6 7

18 Microscópio AFM d Digitl Topogrfi d superfície de um mostr de vidro Ponts usds em AFM Físic Modern Aul 6 8

19 Exemplos interessntes Molde pr estmpr CDs As protuberâncis produzem depressões de 60 nm de profundidde no mteril do CD (poliolefin). As protuberâncis são linhds em pists seprds por,6 µm. (Foto Digitl Instrum.) Imgem por forç mgnétic Imgem de peç de permloy, Ni80Fe0, (mteril mgnético). As mrcs no qudrdo centrl, que tem 0 µm de ldo, são fronteirs de domínios mgnéticos nturis. (Imgem IBM Corp.) Físic Modern Aul 6 9

20 Gráfico de Q x t de um região crregd eletricmente n superfície de um isolnte. O gráfico mostr contornos proporcionis à forç eletrostátic. A áre monitord tinh 4 x 5 µm J. E. Stern et l., Appl. Phys. Lett. 53(988)77 e Phys. Rev. Lett. 63(989)669. B. Dre et l., Science 43(989)586. Imgens mostrndo o processo de polimerizção d proteín fibrin em solução quos. A rede formd pel polimerizção d fibrin é responsável pel cogulção do sngue humno. A imgem tem 450 x 450 nm e o cmpo foi inteirmente coberto pel rede em proximdmente 30 min Físic Modern Aul 6 0

21 Cso E > V 0 Pr x < 0: v v v mv 0 9 Pr x > : ψ ( Pr 0 < x < : ix ix x) Ae + Be ψ ( me p T J J trns inc ˆ ix x) Ae ψ ( + T ix ix x) Ce De e Aˆ A m( E V0 ) p sen 4E( E V nπ T 0 + ) sen Físic Modern Aul 6