Eletromagnetismo I. Aula 8
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- Cacilda da Conceição
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1 Eletromgnetismo I Prof. Dr. R.M.O Glvão - Semestre 14 Prepro: Diego Oliveir Aul 8 Revisão Série de Fourier f Suponhmos que tenhmos um função f( periódic, de período, como mostrdo n gur. O objetivo d série de Fourier é repretr funções periódics por séries de os e cosos, cujo período fundmentl sej : 3 f( = + ( πn n cos + ( πn b n (1 1
2 Determinção dos coecientes : / f(d = / / / d + / ( πn n cos d + / / ( πn b n / d ( Mudnç de vriável: θ = π ; d = π dθ; / / f(d =. + π π n π cos (nθd + π b n π (nθd (3 = 1 / / f(d = f( : vlor médio d função no período (4 n : / / ( πm / ( πm f(cos d = cos d+ / / ( πm n cos cos / ( πn d + Fzendo mesm mudnç de vriável 1 : / ( πm b n cos / ( πn d (5 / / ( πm cos cos ( πn d = π π π [ π = 4π cos (mθ cos (nθ d π cos ((m + nθd+ π π cos ((m nθd ] = { ; m n π; m = n (6 1 onde foi usd seguinte relção trigonométric cos(cos(b = [cos( + b + cos( b]/.
3 / cos / ( πm cos ( πn d = δ mn (7 D mesm form, usndo identidde sin(cos(b = [sin(+b+sin( b]/, podemos mostrr que / / ( πm cos sin ( πn d = (8 Obtemos então: / / ( πm f(cos d = n δ mn = m (9 ou (trocndo m por n: n = / / ( πn f(cos d (1 b n : Este coeciente se obtém fzendo integrl / / ( πm / ( πm f(sin d = d+ / / ( πm n cos / ( πn d+ / ( πm b n / ( πn d (11 / / ( πm sin cos ( πn d = [ 1 / ] / sin ((n + m d + sin ((n m d = (1 / / 3
4 A outr integrl pode ser feit fzendo mesm trnsformção de vriável e usndo identidde trigonométric: sin(sin(b = 1 [cos( b cos( + b], o resultdo é b n = / / ( πn f(sin d (13 Eemplo Função de impulsos periódicos f F d = 1 / / f(d = F d/ d/ d = d F n = / / ( πn f(cos d = F d/ d/ ( πn cos d = F ( πnd πn (14 b n = = F / / d/ ( πn f(sin d d/ ( πn d = F [ ( πnd cos nπ ] d/ d/ = 4
5 " # X nπd d πn f ( = F 1 + cos nπd (15 f HL F qutro primeiros hrmônicos CosHΠ d L CosHΠ d L d.5 Relembrd Série de Fourier, vmos empregá-l n solução de lguns problems de solução d equção de Lplce em coordends crtesins. 5
6 Eemplo 3.3 (Livro teto Vmos inicilmente supor que V = const, simplicndo um pouco o eemplo do livro teto. Como s plcs são innits n direção z, certmente o potencil não deve vrir com est coordend, de form que Equção de Lplce c φ(, = φ + φ y = ; φ(, = φ(, y (16 φ(, y = V Temos qutro condições de contorno pr um equção de segundo gru. Como veremos, est prente sobre-determinção leverá um problem de uto-vlor. Seprção de vriáveis 1 X φ(, y, = X(Y (y Y d X d d X d + 1 Y d Y dy = = α d 1 d X X 1 d Y Y + X d Y dy = (17 = β α + β = (18 dy 6
7 X( = A 1 cosh(α + B 1 h(α Y (y = A cosh(βy + B h(βy (19 φ(, y = [A 1 cosh(α + B 1 h(α][a cosh(βy + B h(βy] ( y= φ(, = φ(, = [A 1 cosh(α + B 1 h(α]a = ; qulquer : A = φ(, y = [Acosh(α + Bh(α]sinh(βy (A = A 1 B ; B = B 1 B (1 y= φ(, = = [Acosh(α + Bh(α]h(β ( Solução trivil : β = ; φ(, y =, que não é um solução gerl β = inπ ( h i nπ = i(nπ n qulquer = (h(i = i( Vemos que est condição de contorno não deniu A e B, ms sim o período ds soluções de y! Por outro ldo, como solução é válid pr qulquer n, temos que tomr solução gerl como som de tods s soluções possíveis, já que Equção de Lplce é liner. Além disso, vemos que como β = inπ/ = β n (com um vlor pr cd n, α + β = α = β = n π Então solução gerl c: φ(, y = n = ± mπ [A n cosh(α n + B n sinh(α n ] Agor vmos cuidr ds condições de contorno em. A primeir, mis fácil de impor, é condição ssintótic φ(, y. (3 (4 7
8 Lembrndo que tnto cosh( como h( divergem qunto, temos que combinálos pr eliminr est divergênci: f lim [A ncosh(α n + B n h(α n ] [ An ( lim e α n + e αn + B n ( e α n e αn] Cosh 1 lim (A n + B n e αn + (A }{{} n Bne αn }{{} (α n> f Então, pr evitr divergênci pr tendendo pr innito, tommos B n = A n. Sinh Finlmente temos φ(, y = A n [cosh(α n h(α n ] }{{} e αn (5 φ(, y = C n e nπ (6 Até gor não mencionmos condição em =. potencil sej V = const. Então Primeiro vmos supor que o = φ(, y = V (7 V = C n Usndo o mesmo procedimento d série de Fourier, temos ( mπy dy = ( mπy C n (8 dy (9 8
9 ( mπy ( V dy = V cos mπ ( mπy = V [1 cos(mπ] = mπ ; m pr V mπ ; m ímpr (3 ( mπy dy = θ= πy π (mθ(nθ }{{} cos[(m nθ] cos[(m+nθ] = [ π π ] cos[(m nθ]dθ cos[(m + nθ]dθ π = [ π 1 [(m nθ] π m n }{{} lim (/ 1 dθ 1 m + n π] [(m + nθ] { ; = m n (31 V mπ = m ímpr C n δ m,n = C m (3 C m = 4V mπ ; m ímpr φ(, y 4V π ímpr e nπ n (33 [O livro inform que est série pode ser somd, dndo [ ( πy ] ms isso não é tão importnte] φ(, y = V π rctg h ( π ; (34 9
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