Física III Escola Politécnica GABARITO DA P1 2 de abril de 2014

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1 Físic III Escol Politécnic GABARITO DA P1 de bril de 014 Questão 1 Um brr semi-infinit, mostrd n figur o longo do ldo positivo do eixo horizontl x, possui crg positiv homogenemente distribuíd com densidde liner λ. y P B A 0 x () (1,5 ponto) Determine o vetor cmpo elétrico num ponto P = (0,y) sobre o ldo positivo do eixo y. (b) (1,0 ponto) Clcule diferenç de potencil eletrostático V V B V A entre os pontos A = (0,) e B = (0,b) sobre o ldo positivo do eixo y, como indicdos n figur. 1

2 Solução d uestão 1 () O cmpo elétrico produzido pelo elemento de crg d é y P de = d r 4πǫ 0 r 3, r = xî+yĵ, onde r = x +y, 0 d x d = λdx. O cmpo totl é E = λ xî+yĵ 4πǫ 0 (x +y ) 3/dx = λ 4πǫ 0 0 = E = λ 4πǫ 0 y ( î+ĵ). [ 1 (x +y ) 1/î+ x y(x +y ) 1/ĵ ] 0 (b) A diferenç de potencil pode ser clculd integrndo-se o cmpo B V V B V A = A b E d l = = V = λ ) log(. 4πǫ 0 b E y dy = λ b 4πǫ 0 dy y,

3 Questão Um cmd esféric condutor, neutr, tem rio interno e rio externo b. No centro d cmd, n cvidde intern, há um crg puntiforme > 0. b () (1,5 ponto) Usndo lei de Guss e proprieddes dos condutores em euilíbrio eletrostático determine s densiddes superficiis de crg σ() e σ(b) ns superfícies intern e extern d cmd esféric. (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico em todo o espço. 3

4 Solução d uestão () No euilíbrio, o cmpo no interior do condutor é zero e tods s crgs elétrics estão ns superfícies intern e extern do condutor. Sej S um superfície gussin esféric de b r distribuíd. Portnto, S rio r, com < r < b, concêntric com cmd esféric. A lei de Guss fornece 0 = S E d A = + ǫ 0 = =, onde usmos ue E = 0 dentro do metl e é crg induzid por n superfície intern d cmd. Por simetri está uniformemente σ = 4π. Como cmd condutor é neutr, crg induzid n superfíce extern b =. Por simetri est crg tmbém está uniformemente distribuíd. σ b = 4πb. (b) Por simetri, em todo os espço E = E(r) r (E(r) pode ser zero). Usndo um superfície esféric S de rio r, concêntric com cmd, podemos escrever S E d A = E(r)4πr = in ǫ 0, onde in é crg no interior d superfície S. Assim, E = r pr 0 < r < 4πǫ 0 r 0 pr < r < b r pr r > b. 4πǫ 0 r 4

5 Questão 3 Qutro prtículs puntiformes com crgs e msss iguis estão disposts nos vértices de um udrdo de ldo. y 0 x () (0,5 ponto) Qul é o vetor forç elétric sobre crg n posição (x=,y=)? (b) (1,0 ponto) Que trblho foi relizdo pr trzer últim crg pr o seu lugr desde o infinito? (c) (1,0 ponto) Qul é energi cinétic de cd crg no infinito se forem retirdos simultnemente todos os vínculos ue prendem s crgs em seus lugres? 5

6 Solução d uestão 3 () As crgs em (,0) e em (0,) estão um distânci d crg em (,) e crg em (0,0) está um distânci. Portnto, [ F = E = 1 4πǫ 0 î+ 1 ĵ+ 1 ] (î+ĵ) = F = (4+ ) (î+ĵ). 16πǫ 0 (b) O trblho pr trzer últim crg do infinito é igul à W = V 3, onde V 3 é o potencil devido às outrs três crgs no ponto onde últim crg vi ficr. Dus crgs ficm um distânci d últim crg e um crg vi fic um distânci d últim. Portnto, [ V 3 = 1 4πǫ πǫ 0 = + 4πǫ 0 ] [ = W = + 4πǫ 0 ]. (c) Por conservção de energi, energi cinétic ds crgs no infinito é igul à energi potencil do sistem de crgs. Por simetri, energi cinétic ds utro crgs é igul. Há 6 pres de crgs. Em 4 deles s crgs estão um distânci um d outr e em pres um distânci. Assim, E cin = 1 4 ] [ [ πǫ 0 4πǫ 0 = E cin = 1+ 4πǫ 0 ]. 4 6

7 Questão 4 Um cilindro condutor de comprimento L e rio, com crg Q > 0, é coxil um cmd cilíndric condutor mior, com rio interno b > e crg Q. Despreze efeitos de bord. b L () (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo elétrico E n região < r < b. (b) (1,0 ponto) Clcule cpcitânci C do sistem. (c) (0,5 ponto) Qul é energi eletrostátic rmzend no sistem? 7

8 Solução d uestão 4 () Usndo lei de Guss em um superfície cilíndric de rio r coxil com o fio tem-se E da = Q int = EπrL = Q = E ǫ 0 ǫ = Q (rdil) 0 πǫ 0 Lr r (b) A cpcitânci é dd por b V = V b V = C = Q V E r dr = Q b πǫ 0 L dr r C = Q V = πǫ 0L log(b/) = V = Q πǫ 0 L log ( ) b (c) A energi rmzend no sistem é U = Q C = Q 4πǫ 0 L log ( ) b 8

9 Formulário F = ( r r ) 4πǫ 0 r r 3, F = E, E ( r r ) = 4πǫ 0 r r 3, E 1 = 4πǫ 0 p = d, τ = p E, U = p E, Φ E = V = B 4πǫ 0 r r, V B V A = V = 1 4πǫ 0 i i, U = 1 r i 4πǫ 0 i<j dt (t +α ) = ln(t+ t +α ), 1/ dt (t +α ) = t 3/ α (t +α ) 1/, A E d A, r r 3 d, E d A = int ǫ 0, E d l, V = 1 d 4πǫ 0 r, E = V, i j, C = Q/V, U = Q r ij C = CV ( dt 1 = t(t +α ) 1/ α ln = QV, t+ ) t +α, t tdt (t +α ) 3/ = 1 (t +α ) 1/. 9