Resoluções de Física III 1ª Lista POLI-USP (Lista provisória) Erros na lista e sugestões:

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1 Resoluções de Físic III 1ª List POLI-USP (List provisóri) Erros n list e sugestões: estudospoli@gmil.com Crg e Cmpo Elétrico 1. (1) Neste exercício, fluxo é pens vzão de crgs (não fluxo de cmpo vetoril). Temos que: v ΔQ Δt Δ Qv Δt 14 [C s 1 ] 1 [ μs]c. \ ΔQC Considerndo fluxo somente de elétrons e crg elementr como 1, C : n e 1, ,5 119 elétrons. 1.8 () Obs.: Lei-se mss molr invés de mss tômic. () Lembrndo que pr átomos com crg neutr, Znº de prótonsnº de elétrons. Temos então: nº elétrons n esfern e Z mss L ) mss molr 13 5 (6, 13 7,5 1 4 elétrons. 6,98 (b) Aplicndo Lei de Coulomb: F n' e +n' e e e n' 4πε r e r πε F,8 3,14(8, )1 4 5, elétrons. e 1, (c) Temos: n' e n e 5, , , (3) () Por definição: F e q E. Como o vetor cmpo elétrico está orientdo pr o centro d terr (pr bixo) e queremos um forç elétric orientd pr cim, crg líquid é negtiv e seu módulo é ddo por: qe F p q F p 6 9,8[N ] E 15 [N C 1 ] 3,9 C. (b) Aplicndo Lei de Coulomb: F q r 3,9 4 3,14 8, ,38 17 N Não, pois o módulo d forç gerd é muito grnde (4) () Pel simetri do problem, o cmpo elétrico em x é. q E r E + E () ( ^i q )+ ^i. 4 π ε ( ()) (b) Tomndo-se um ponto rbitrário sobre o eixo Ox P(x,) : q (x) q (x+) q 1 E + E ^i + ^i 4πε (x) x (x+) x+ 4πε ( (x) x + 1 (x+) x+ )^i

2 Logo, temos: { q ( )(x + ) ^i pr x<; 4πε (x ) q ( 4 x) (x ) ^i pr <x<; q (x + ) ^i pr <x. 4πε (x ) Desenho do gráfico: Temos ssíntots verticis em x e x e y é ssíntot horizontl pr x ± Derivndo pel 1ª vez: {dex dx q 1 ( ( x) + 1 < x<; 3 ( x) 3) d dx q 1 ( ( x) + 1 <x<; 3 (x+) 3) d dx q 1 ( (x) + 1 < x>. 3 (x+) 3) \ decrescente em [, ] [, ] [,+ ]. Derivndo pel ª vez: { d dx ( 6) q 1 4πε ( ( x) + 1 < x<; 4 (x+) 4) d dx 6 q 1 4πε ( (x+) 1 < x< e <x<; 4 (x) 4) d dx 6 q 1 ( (x) + 1 > x>. 4 (x+) 4) \ Gráfico de com concvidde pr cim em [, ] [,+ ] e com concvidde pr bixo em [, ] [, ]. Com isso você está pto desenhr o gráfico.

3 1.53 (5) () Considere seguinte figur: (Obs.: Lei-se (d E)no lugr de E n imgem) Com dqλ dy : d d E cos θ^i k dq x k λ x dy ^i ^i x + y x + y (x + y ) 3 / Têm-se então que: d k λ x x + k λ xdy (x + y ) k λ x x + k λ 3/ x k λ x x / +1 1 ( 1+ ( y x ) ) dy k λ 3 x rctn( x ) sec u rctn ( sec 3 u du k λ x ) k λ ^i x x / +1 ( x x + ( x + )) (b) A únic cois que mud ness questão são os limites de integrção. d + k λ x dy (x + y ) k λ + 1 dy k λ 3 / x 3 x [ ] + y x + y ( ( 1+ y x ) k λ x [ lim y y ] y + x + y lim y x + y k λ k λ [1 ( 1)] E x x x k λ ^i x Note que poderimos ter feito tender infinito n expressão de (). Os gráficos podem ser obtidos d mesm form que n questão nterior, ou de mneir mis simplificd (tente enxergr o gráfico sem uso de limites). ) 1.6 (6) () As linhs de cmpo formm dois "gomos" indicndo que els sem ds crgs nos extremos e chegm n crg centrl, ou que els sem d crg centrl chegndo n crg dos extremos. Então, crg centrl têm sinl oposto ds crgs nos extremos. (b) N meditriz à ret comum s crgs não existe componente verticl do cmpo, pel simetri. Como componente horizontl gerd pel crg centrl têm sentido contrário à crg dos extremos hverá pontos de cmpo elétrico mínimo simétricos em relção à ret que une s crgs pertencente à est meditriz.

4 1.9 (7) () Temos que: Q dq dy (distribuiçãouniforme)e: de d + de y decosθ^i desenθ^j kq xdy ydy ^i ( (x + y ) 3/ (x + y ) ^j) 3 / Integrndo: E kq ( I x xdy senu x +k y I y (x + y ) 3/)^i kq ( ydy (x + y ) 3/)^j xdy (x + y ) 1 dy 3 / x (1+( y/ x) ). Fzendo y/ xtgu 3 / dyxsec u du. Então: I x 1 x cosudu x x + y +k E x kq ^i x x + ydy (x + y ). Fzendo 3/ x + y u y dydu. Então: I y 1 1 u du 1 3 x + y +k E y kq ( 1 x x )^j kq ( 1 x 1 x + )^j Então: E kq kq ^i x x + ( 1 x 1 x + )^j (b) Como F e q E, então: F qkq x x + ^i qkq + ( 1 x 1 x + )^j Em problems em que x, os termos, 3, 4 etc são desprezíveis em relção x ( não é desprezível!). Bst então rejusts expressão de F y e efetur proximção: F y qkq ( 1 x 1 qkq x x + ) + x x x + qkq x + x ( x + +x) x x + ( x + +x) qkq qkq x x + ( x + +x). Agor podemos fzer em F x e F y, obtendo: F x qkq x x + Qq 4πε x qkq Fy x x + ( x ++x) +qkq + Qq x 3 8 π ε x 3 x + x x x + ( x + +x)

5 1.96 (8) (Novmente, lei-se de n imgem) D relção d circunferênci: dsd θ D relção fornecid no enuncido: dq ds Q dq Q Q dθ ds π π π Temos: d E kq (cosθ, senθ)d θ π π π ( E kq π cosθ d θ, senθ d θ) kq kq (,) ^j π π 1.17 (9) O item () será usdo pr resolver o (b). Vej: () dq dr Q L E x L kqdr (x r) L kq L L 1 (r x) dr kq 1 L [ x r] kq 1 L L ( x+ 1 L+ x+). (b) Como Fq E vmos integrr dq E(x): F + L kq Q 1 L ( x+ 1 L+ x+) dx Q L ln x+ L ( ln ( +L + L) ln ( L+x+ +L +L)) Q 4πε L [ ln (+L) (+ L)]

6 Lei de Guss.1 (1) 14(N /C),5m () O fluxo é ddo por S E A E A cos θ 1,75(N /C)m. (b) Não, depende pens d áre e do ângulo que o vetor norml form com o cmpo elétrico. (c) 1 cos θ 1 cos θ 1 (i) º ( ii) 9 º.4 (11) O fluxo em cd fce é ddo por: S 1 S L ² cos π + S L² cos π + S S L ² cos π + S L² cos+3[ z],3 N C,9m (1),81(N /C )m. S 3 S L ² cos π + S L ² cos π + S 4 S L ² cos π + S L ² cos( π)+3 [z] N C,9 m ( 1) S 5 S L ² cosπ+ S L ² cos π 5[x] N,3 C,9m ( 1)+,135(N /C )m. S 6 S L ² cos+ S L ² cos π 5[ x] N C,9m (1)+ O fluxo totl é som dos fluxos clculdos: S 1 + S + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 +,81++,135+ (N /C)m,54(N /C)m.8 (1) A Lei de Guss nos diz que: S S E A q int ε. Então, considerndo ε 8, : : () S 1 1 ε (q 1) 4 8, (N /C)m (b) S 1 ε (q) ( 7,8) 8, (N /C)m (c) S 3 1 ε (q 1+q ) ( 3,8) 8, (N /C)m (d) S 4 1 ε (q1+q3) 6,4 8, (N /C)m (e) S 5 1 ε (q1+q+q3) ( 1,4) 8, (N /C)m (f) Não depende, pois segundo Lei de Guss o que import é pens crg intern.

7 .16 (13) () Pr um ponto for d superfície um distânci d,1 m, considere superfície gussin esféric concêntric esfer metálic de rio igul d+r,1+,45,55m. Aplicndo Lei de Guss, note que pel simetri o cmpo elétrico é perpendiculr à superfície: S E A EAE(4 π(d+r) ) q int,5 1 9 ε E 8, (4 3,14,55 ) 7,43 N /C. (b) Como superfície é condutor não há nenhum crg em seu interior. Isso implic, pel Lei de Guss que: E..35 (14) () Supondo s fces qudrds de ldo 5cm: (5 1 ) cos(6)(e 1 E ) 5 (,5 7,) 56,5(N /C)m Pel q int ε 56,5(8, ) 4, C. Lei de Guss: (b) Somente no interior, pois se houvesse um crg ns próximiddes do prlelepípedo o cmpo não seri uniforme e teri um direção rdil ess crg..45 (15) () Escolhendo um superfície gussin esféric concêntric às esfers e de rio r, temos: (i) r< : Não há crgs interns à superfície, então Lei nos grnte que E. (ii) <r<b: Note que o cmpo elétrico precis ser nulo (se não fosse nulo hveri um forç exercid sobre s crgs de su superfície gerndo um corrente elétric). Como não há fluxo n superfície gussin constt-se tmbém que não há crgs n superfície intern ( q sup. intern ). E. (iii) b<r<c: Pel lei de Guss: E + q A ε + q +q 4 π r ε π r, rdil pr for. ε (iv) c<r<d : Novmente o cmpo elétrico ness região deve ser nulo, logo pel Lei de Guss, crg intern à superfície dever ser nul, então: +q+q sup. intern q sup. intern q. Pr mnter o equilíbrio: q+q sup. extern +4q q sup. extern +6q. E. Note que (v) d<r : Pel lei de Guss: E +6q A ε +6 q +3q 4πr ε π r ε (b) As resposts form obtids nos comentários em (). (i) ; (ii) +q; (iii) -q; (iv) +6q., rdil pr for.

8 .48 (16) () ρ q esf. oc V esf. oc q esf. oc 4 3 π( R)3 4 q esf. 3 π oc R3 Q+q esf. oc 8 3 ρ πr3 Q \ ρ 3Q 8π R ρ π R3 Pr som de crgs igul zero: (b) <r<r : Como esfer é condutor, pr hver equilibrio não deve hver forçs tundo (senão s crgs estrim em movimento). Logo, pr regíões interns su superfície crg intern é zero e E. R<r< R : Cálculo d crg intern: q int Q+ 4 3 π(r3 R 3 )ρ Q Q(r3 R 3 ) 8 Q 7 R 3 7 Qr3 7 R 3 Lei de Guss: E(4π r ) q int ε E Q 7π ε r Qr 8πε R 3. r> R: E direto pel Lei de Guss pois q int. (c) A fin cmd de crgs ocorre n superfície d esfer isolnte. Note que n proximidde de rr ocorre um "slto" de E pr E Q r. N esfer isolnte, por su vez distribuição torn-se contínu e não há esse "slto" no cmpo elétrico. Vej que Q 7 πε r Qr R Q 1 R Q 14πε R, que é o mesmo vlor pr r> R. [.57 (18) 8 πε R 3] () Independentemente, ρ dq dv. V 4 3 πr3 dv 4πr dr Então dqρ (1 r /R)4 πr dr ρ (1 r /R)4 π r dr 1Q R [ r3 3 3 r 4 R 1Q 4 R ] R 3 R3 1 Q q TOTALQ q TOTAL R dqq TOTAL (b) Pel Lei de Guss: S E AE (4 πr ) Q ε E Q,que é idêntico o cmpo elétrico produzido por um r crg puntiforme Q. (c) Temos que: q r 1Q R ( r3 3 3 r4 4 R) E q r 4 π ε r Qr r 4 π ε R 3( 4 3 R ). Pel Lei de Guss:, rdil pr for. (e) Clculemos o E mx pr r R : Reescrevendo expressão do item (c): E 3Q R r(r 4 R 4 3 ) que é um equção do segundo gru em r. Logo, E mx Q 3 π ε R em r R 3. Como em r>r, o vlor máximo é menor este é efetivmente o vlor máximo.

9 .56 (17) () Um exemplo seri colocr dus crgs de mesmo módulo e sinl equidistntes d crg +q e colineres entre si. (b) O cmpo elétrico produzido pels outrs crgs deveri possuir um direção xil pontndo pr posição inicil d crg +q. (c) Considere posição inicil de equilíbrio P. Pr hver equilíbrio estável, forç q E(P) sobre +q em P deve ser nul, ou sej E(P). Pr hver forç resturdor, E( ) ou de form gerl E(r) (cmpo pós um deslocmento r) deve pontr de volt pr P. Por um superfície gussin S tão próxim qunto queirmos de P, temos que o fluxo do cmpo elétrico é tl que S <, o que implic n existênci de um crg negtiv em P (bsurdo!), já que em P não há crg nenhum. Logo, é impossível existir equilíbrio estável sobre um crg +q somente sobre ção de forçs exclusivmente eletrostátics. (d) Demonstrção nálog o item (c). Considere posição inicil de equilíbrio P. Pr hver equilíbrio estável, forç q E(P) sobre -q em P deve ser nul, ou sej E(P). Pr hver forç resturdor, E( ) ou de form gerl E(r) (cmpo pós um deslocmento r) deve pontr sindo de P. Por um superfície gussin S tão próxim qunto queirmos de P, temos que o fluxo do cmpo elétrico é tl que S >, o que implic n existênci de um crg positiv em P (bsurdo!), já que em P não há crg nenhum. Logo, é impossível existir equilíbrio estável sobre um crg -q somente sobre ção de forçs exclusivmente eletrostátics. Potencil Elétrico 3. (19) (Considerndo um constnte positiv) r (b) Por definição, V E dl q Então: V q 4πε r + q q. (c) Temos dois triângulos retângulos de ldos e x (x é um ponto rbitrário sobre Ox). Somndo q contribuição ds dus crgs: V 4 π ε +x + q 4 π ε +x 1 q 4 π ε +x. (e) Pr x, V 1 q 4 π ε +x q 4 π ε x. Errts, sugestões, uxílio em formtções, envio de soluções ou simplesmente bte-ppo: estudospoli@gmil.com Resolução feit por As Noturn. O restnte d list (ex. 9) será diciondo no decorrer ds uls que ntecedem P1.