Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 14 de maio de 2015

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1 Físic Escol olitécnic GABARTO DA 2 14 de mio de 2015 Questão 1 Considere um csc esféric condutor de rios interno e externo e b, respectivmente, conforme mostrdo n figur o ldo. A resistividde ôhmic cresce linermente com distânci r té o centro O, sendo dd por ρ(r) = αr O b (α é um constnte positiv). () (0,5 ponto) Determine dimensão d constnte α no Sistem nterncionl de Uniddes. (b) (1,0 ponto) Clcule resistênci elétric d cs esféric n direção rdil. (c) (1,0 ponto) Um diferenç de potencil V é plicd entre s dus superfícies. Supondo que o potencil mior sej o d superfície intern, clcule corrente e densidde de corrente J(r). 1

2 Solução d questão 1 () A resistividde possui dimensão de resistênci multiplicd por unidde de comprimento. ortnto, no S, α deve ter dimensão de Ohm. (b) Utilizndo expressão pr resistênci de um cmd infinitesiml de espessur dr e áre 4πr 2, teremos ntegrndo entre r = e r = 2, teremos dr = ρ(r) dr 4πr = α dr 2 4π r R = A 4π b dr r = αlog(b/) 4π (c) A diferenç de potencil V produz um corrente dd por = V R = 4πV αlog(b/). Ess corrente vi d superfície intern (mior potencil) pr extern (menor potencil). or conservção de crg, devemos ter = J d A, pr qulquer superfície fechd pssndo por pontos entre e b. Usndo simetri rdil d densidde de corrente, podemos considerr um superfície esféric de rio r ( r 2) de modo que J(r) d A = (J(r)ˆr) (4πr 2ˆr) = J(r)4πr 2 = = 4πV αlog(b/) Logo, J(r) = V αlog(b/)r 2ˆr. 2

3 Questão 2 N figur bixo o cmpo mgnético B = B k é uniforme e perpendiculr o plno d figur, pontndo pr for. A espir é formd por um qurto de círculo de rio R e por dois segmentos retilíneos O e QO de comprimento R, conforme figur. el espir circul um corrente no sentido nti-horário. y B Q R O x () (1,0 ponto) rtindo d equção df = d l B, clcule forç mgnétic resultnte sobre os segmentos retos d espir. (b) (1,0 ponto) rtindo d equção df = d l B, clcule forç mgnétic resultnte sobre o segmento circulr d espir. (c) (0,5 ponto) Clcule o torque que ge sobre espir. 3

4 Solução d questão 2 () No trecho reto O, d l = dxî F 1 = d l B = Rî B = BRĵ. O No trecho reto QO, d l = dyĵ F 2 = O Q d l B = Rĵ B = BRî. (b) No trecho circulr, d l = dl θ. Assim, d l B k = Bdl r, onde r = cosθ ı+ senθ j. F 3 = π/2 d l B = B rdl = B (cosθî+ senθĵ)rdθ = BR(î+ĵ). Q Q 0 Solução lterntiv: F 3 = Q d l B = ( Rî+Rĵ) B = BR(î+ĵ). (c) O torque pode ser clculdo com equção τ = µ B = ( πr2 4 k) (B k) = 0. 4

5 Questão 3 () A figur bixo mostr um bobin toroidl com com N espirs bem cerrds. Um corrente percorre o enrolmento dest bobin. O R bobin () (1.0ponto)ClculeomódulodocmpomgnéticoB emumponto nointerior d bobin, um distânci R do seu eixo, qundo bobin é constituíd só pelo enrolmento (núcleo de r). (b) (0.5 ponto) Clcule relção entre s correntes r e Fe n bobin com núcleo de r e com núcleo de ferro (K m = 1400), respectivmente que produzem o mesmo cmpo mgnético B no ponto. () A figur bixo mostr um circuito formdo por dois trechos semi-circulres de rios e 2 e dois trechos retos. Um corrente percorre o circuito no sentido nti-horário, como mostrdo n figur. Clcule o cmpo mgnético no ponto. k 5.

6 Solução d questão 3 () Bobin toroidl () Usndo o círculo de rio R, coxil com o fio, e lei de Ampère obtemos B d l = µ 0 totl C C Como B é prlelo d l e B = B(r) e totl = N podemos escrever Bdl = B(R) dl = B2πR = µ 0 N = B(R) = µ 0N 2πR C (b) N presenç do mteril mgnético o cmpo no vácuo ument por um ftor K m. r o r K m 1. Usndo o resultdo do item () podemos escrever B Fe (R) = µ 0K m N Fe 2πR ; B r (R) = µ 0N r 2πR. gulndo os cmpos mgnéticos obtemos r Fe = K m = () Cmpo mgnético dos fios. Usndo lei de Biot-Svrt vemos que os segmentos retos não contribuem pr o cmpo em um vez que pr estes trechos d l ˆr = 0. A contribuição de um trecho circulr de rio R é (usndo d l = ±Rdθˆθ) d B = ± µ 0 4π dθ R (ˆθ ˆr) = ± µ 0 dθ 4π R k. A contribuição dos rcos de rios R = e R = 2 será, respectivmente B 1 = µ π 0 dθ = 4π k µ k e B 2 = µ π 0 dθ = 8π k µ k. Usndo o princípio de superposição, teremos B = B 1 + B 2 = µ 0 4 k 6

7 Questão 4 Umfiocondutorcilíndricomuitolongoedeseçãoretderioestáenvoltoporumcsc cilíndric condutor fin de rio b, formndo um cbo coxil. elo fio pss um corrente, n direção positiv do eixo z, uniformemente distribuíd trvés de su seção ret. N csc cilíndric pss um corrente totl, n direção negtiv do eixo z, conforme figur. z b c () (1,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético nos pontos onde 0 < r < (r é distânci do ponto té o eixo z). (b) (1,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético n região < r < b. (c) (0,5 ponto) Clcule integrl B d l o longo do qudrdo de ldo c > b coxil com o eixo z, conforme figur. 7

8 Solução d questão 4 A lei de Ampère B d l = µ 0 (r) e simetri cilíndric do problem ( B d l = B(r)2πr) resultm em B(r) = µ 0 (r) 2πr e B = µ0 (r) 2πr φ. () r 0 < r <, Logo (r) = J d A = πr 2 J = πr 2 π 2 = r2 2. B(0 < r < ) = µ 0r 2π 2 φ (b) r < r < b, (r) =. Logo B( < r < b) = µ 0 2πr φ (c) Usndo lei de Ampère no percurso qudrdo obtemos B d l = µ 0 totl = µ 0 ( ) = 0. 8

9 Formulário = dq dt = n q v da, J = n q vd, dr = ρ dl, V = R, V = E r, = V, A F = qe +q v B, B da = 0, df = d l B, µ = A, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0 4π d l ˆr r 2, F l = µ πr, B d l = µ 0 int, B 0 = µ 0 H, Bm = µ 0 M, M = χm H = χm B0 µ 0, B = B0 + B m, B = µ 0 (1+χ m ) H = (1+χ m ) B 0, µ = K m µ 0 = (1+χ m )µ 0, 9