Formulário Equações de Maxwell:

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1 3 Prov Eletromgnetismo I Diurno Formulário Equções de Mxwell: D ρ, E B B 0, H J + D Condições de contorno: D σ l, E 0 B 0, H K l ˆn Equção d continuidde: ρ + J 0 Meios lineres e meios condutores: D ɛ E, B µ H, J σ E Rotcionl em coordends crtesins: + ŷ + ẑ ( F Fz ˆx y F y z f f r ˆr + 1 f r θ ˆθ + 1 r senθ F 1 [ (Fφ senθ rsen θ θ ( Fx z F z x Grdiente em coordends cilíndrics: V 1 (ρv ρ + 1 V φ ρ ρ ρ φ + V z z Coordends esférics: dv r dr senθ dθ dφ r dr dµ dφ f φ ˆφ, 1 (r v r v r r f 1 ( r r f ( 1 + r r r senθ f + senθ θ θ F ] θ ˆr + 1 [ 1 F r φ r sen θ φ (rf φ r ( Fy x F x y + 1 (senθ v θ r senθ θ 1 v φ r sen θ φ ] ˆθ + 1 [ (rfθ r r + 1 v φ r senθ φ F ] r ˆφ θ Dipolo mgnético de um circuito C (áre orientd S, corrente I, num posição r : m I S, Adip ( r µ 0 m R 4π R 3, Bdip ( r µ 0 3( m ˆR ˆR m 4π R 3 Energi dos cmpos eletromgnéticos u E 1 E D, u B 1 B H 1

2 Potenciis eletromgnéticos: E ϕ A, B A Trnsformções de clibre: ϕ ϕ Λ, A A + Λ Teorem de Poynting: u EM u tot + S P J E u mec + S P 0, SP E H Ond pln monocromátic e polrizção em termos de mplitude complex: E( r, t E 0 cos[ k r ωt + δ] E [ ] [ 0 Re e i( k r ωt+δ Re Ẽ0 e k r ωt] i( B 1 v ˆk E Frequênci ngulr, número de ond, velocidde d ond: ω πν π T, k ω v, v 1 µε c n Intensidde de um ond (o longo d direção de propgção, ˆk: I S p ˆk t 1 εv E 0 Lei de Snell pr onds incidente (i, trnsmitid (t e refletid (r: n i senθ i n t senθ t, θ r θ i Coeficientes de Fresnel: r s E 1s µ 1 n n E 1 1s + n t s E s E 1s n r p E 1p µ n E 1 1p + n ; t p E p E 1p + n +, Potenciis retrddos, usndo x x e t R t /c: ϕ(t, x 1 4πɛ 0 A(t, x µ 0 4π ( F ( F F d 3 x ρ(t t R, x d 3 x J(t t R, x Identiddes úteis: d x dx + x x +

3 Q1 [4.0] O plno infinito z 0 tem um densidde superficil de corrente que é nul pr t 0, ms que ument linermente com o tempo prtir do instnte t 0. Usndo função-degru de Heviside, θ H (x 0 se x 0, e θ H (x 1 se x 0, podemos escrever densidde de corrente no volume, J(t, x, y, z, como: J(t, x t θ H (t δ(z ˆx. Antes de você começr entrr em pânico, um viso: esse exercício é bem mis fácil do que prece! Respire fundo e vmos lá. ( [0.5] Mostre que J 0. Com isso podemos ssumir que densidde de crg é constnte ou nul, e ignorr solução eletrostátic, o que signific que os cmpos elétrico e mgnético são completmente determindos pelo potencil-vetor A(t, x. (b [0.5] Tome um observdor um ltur z do plno. Em que instnte esse observdor vi começr medir os cmpos elétricos e mgnéticos gerdos pel corrente no plno z 0? (c [0.5] Esse problem tem um lto gru de simetri. Em prticulr, se clculrmos o potencilvetor em A(t, x 0, y 0, z, o resultdo vle pr quisquer outros vlores de x, y. Vmos então clculr A(t, z, ms usndo coordends cilíndrics, ou sej, d 3 x ρ dρ dφ dz. A figur bixo mostr o que devemos fzer. z x Δx ρ' (d (e (f (g Usndo fórmul pr o potencil-vetor retrddo (vej o formulário!, mostre que A(t, z A x (t, z ˆx, com: A x (t, z µ 0 dρ ρ (t /c θ H(t /c, onde (ρ + z. 0 [1.0] Agor, note que, pr qulquer t e z fixos, função-degru θ H (t /c se nul qundo ρ > R c t z. Isso signific que podemos substituir função-degru n integrl cim pel imposição dos limites de integrção 0 ρ R. Use esse fto pr clculr A x (t, z. Note que s integris são muito fáceis você pens tem que prestr um pouco de tenção no sinl de z, que tnto pode ser positivo (se estivermos cim do plno qunto negtivo (bixo do plno. Lembre-se tmbém de que o resultdo que você vi obter nesse cálculo só vle qundo R 0, ou sej, qundo z c t [vej o item (b!]. [0.5] Agor use o resultdo do item (d pr clculr o cmpo elétrico, que nesse cso é ddo por E A/. [0.5] Clcule gor o cmpo mgnético, que nesse cso é ddo por B ( A x / z ŷ. Você tlvez queir usr expressão pr derivd do módulo, d( z /dz z /z. [0.5] Certifique-se de que s direções e sentidos ds sus resposts pr os itens (c e (d estão corretos, verificndo que o vetor de Poynting, S p 1 µ 0 E B, pont no sentido de levr rdição eletromgnétic pr longe do plno z 0. 3

4 Q [3.0] Um ond eletromgnétic propgndo-se no r (µ µ 0 ; ɛ ɛ 0, n direção z, incide normlmente n interfce de um meio condutor, de condutividde σ, permebilidde mgnétic µ µ 0 e constnte dielétric ɛ (vej figur. As onds incidentes e refletid (no meio 1 e ond trnsmitid (no meio podem ser expresss como: E 1 k ^n ϵ, σ B E 1 (z, t E 1 e i(k 1z ωt ˆx; E 1(z, t E 1 e i(k 1z+ωt ˆx; E (z, t E e i(γ z ωt ˆx; respectivmente, onde k 1 ω/c e γ α + iβ é um constnte complex. Neste problem s expressões de α e β são irrelevntes. [1.0] Use Lei de Frdy pr mostrr que o cmpo H d ond que se propg no meio é ddo por: H (z, t γ µ 0 ω E e i(γ z ωt ŷ. [Note que um resultdo equivlente pode ser obtido trvés do uso d Lei de Ampère, ms isso seri um cálculo muito mis longo!] Qul é o principl efeito de β (o termo imginário de γ nos cmpos elétrico e mgnético dentro do meio condutor? b [0.5] Obtenh s relções que s mplitudes dos cmpos incidente, refletido e trnsmitido devem stisfzer n interfce z 0, ou sej E 1 + E 1 E ; k 1 (E 1 E 1 γ E Note que tnto γ qunto s mplitudes E 1 e E 1 são, em gerl, complexos! c [0.5] Obtenh s expressões pr os coeficientes de reflexão e trnsmissão dos cmpos: r E 1 1 cγ /ω E cγ /ω t E E cγ /ω d [0.5] Sbendo que o vetor de Poynting rel é ddo por S ɛv E ɛv E E obtenh R (ω/c α + β (ω/c + α + β e [0.5] Neste problem o vetor de Poynting dentro do meio não corresponde extmente à potênci trnsmitid pel ond eletromgnétic. Explique o porquê. 4

5 Q3 [3.0] Um ond se propgndo em um gui não é igul um ond pln no vácuo; isto é, podemos ter componentes dos cmpos n direção de k e sus mplitudes podem vrir n direção perpendiculr k. Considere um ond propgndo-se em um gui de ond de lrgur e com eixo n direção z. As componentes do cmpo mgnético são dds por onde H x ik π H 0 sen H y 0 H z H 0 cos ( πx e i(kz ωt ( πx e i(kz ωt k ω c π [1.0] Utilizndo s equções de Mxwell, obtenh s expressões pr s componentes do cmpo elétrico ssocdo est ond, E x 0; (1 ( ω πx E y iµ 0 π H 0 sen e i(kz ωt ; ( E z 0 (3 b [1,0] Clcule expressão pr o vetor de Poynting médio ssocido ess ond S 1 [ E H + E H] c [1,0] Determine o vlor mínimo d frequênci ω min pr que ond se propgue no gui e o vlor d velocidde de grupo, v g ω/ k, com que energi d ond se propg. 5