2.1 Leis da Reflexão e da Refração

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1 Cpítulo Reflexão, Refrção e Polrizção.1 Leis d Reflexão e d Refrção Vmos gor generlizr o resultdo nterior, considerndo rios de luz com incidênci fzendo um ângulo θ i com interfce que sepr os meios 1 e, que ssumimos serem lineres. Meio 1: ond incidente e refletid: E 1 r,t) = E i e i k i r ωt) + E r e i k r r ωt) B 1 r,t) = B i e i k i r ωt) + B r e i k r r ωt).1).) Meio : ond refrtd trnsmitid): E r,t) = E t e i k t r ωt) B r,t) = B t e i k t r ωt).3).4) Figur.1: Reflexão e Refrção de um rio de luz pr incidênci oblíqu. Griffiths) Os cmpos mgnéticos são todos perpendiculres os elétricos e à direção de propgção: B i,r,t = 1 ω k i,r,t E i,r,t.5) e como ω = v 1 k i = v 1 k r = v k t, temos k i = k r. Impondo, por exemplo, continuidde de B n, temos condição: B ni e i k i r ωt) + B nr e i k r r ωt) Cncelndo s exponenciis temporis, temos B n1 r,t) = B n r,t) n interfce) = B nt e i k t r ωt) em z = 0.6) B ni e i k i r + B nr e i k r r = B nt e i k t r em z = 0.7) Como ess iguldde deve vler em qulquer ponto do plno de interfce, s exponenciis devem ser tods iguis ercício: Mostre.), o que implic: ki r = k r r = k t r, onde r = x,y,0) é um vetor no plno de interfce..8) 19

2 0 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO Est condição nos dá 3 resultdos importntes. Primeiro, podemos escrever esss equções: e como r ˆn, segue que k i k r ) r = 0, k r k t ) r = 0 e k i k t ) r = 0,.9) k i k r ) ˆn, k r k t ) ˆn e k i k t ) ˆn.10) Primeir Lei: ki, k r e k t e ˆn formm um plno, chmdo plno de incidênci Como r ˆn está no plno d interfce, e os ângulos θ i,r,t são reltivos ˆn, Eq..8 implic k i sinθ i = k r sinθ r = k t sinθ t.11) Como k i = k r, temos então: Segund Lei: θ i = θ r Lei d Reflexão). Além disso, usndo como n 1 = c/v 1 = ck i /ω e n = ck t /ω, temos Terceir Lei: n 1 sinθ i = n sinθ t Lei de Snell). que reconhecemos como leis básics d ótic geométric e são derivds ds Equcões de Mxwell!.1.1 Condições de Contorno Os cmpos eletromgnéticos incidentes podem ter um direção qulquer perpendiculr o vetor k i. Vmos descrevê-los com eixos prlelos e perpendiculres o plno de incidênci: : prlelo o plno de incidênci : perpendiculr o plno de incidênci e já vinhmos usndo convenção Figur.: Reflexão e Refrção pr incidênci oblíqu. Oscmpostêmcomponentes e oplno de incidênci. t : tngente à interfce dos meios n : norml à interfce dos meios Obvimente vetores são t, enqunto vetores têm mbs componentes t e n. Usndo s condições de contorno, temos então

3 .1. LEIS DA REFLEXÃO E DA REFRAÇÃO 1 ǫ 1 E n1 = ǫ E n : Como E n1 = E in +E rn = E i n +E r n = E i sinθ i E r sinθ r E n = E tn = E t n = E i sinθ t onde não escrevemos s exponencis temporis, pois els se cncelm por serem iguis, como mostrdo n seção nterior. Portnto Usndo Lei d Reflexão, temos ǫ 1 E i sinθ i E r sinθ r ) = ǫ E t sinθ t e usndo Lei de Snell, temos E i E r = ǫ ǫ 1 E t sinθ t sinθi E i E r = n 1ǫ n ǫ 1 E t.1) E t1 = E t : As dus componentes tngentes e ) germ dus condições: ou, usndo Lei d Reflexão: E i cosθ i +E r cosθ r = E t cosθ t E i +E r = E t cosθ t E i +E r = E t cosθ i.13) E i +E r = E t.14) B n1 = B n : ou B i sinθ i +B r sinθ r = B t sinθ t B i +B r = n 1 n B t.15)

4 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO e finlmente B t1 /µ 1 = B t /µ : ou 1 µ 1 B i cosθ i B r cosθ r ) = 1 µ B t cosθ t 1 µ 1 B i B r ) = 1 µ B t Como B = E/v e B E, temos pr cd um ds 3 onds B i B r = µ 1 µ B t cosθ t cosθ i.16) B i B r = µ 1 µ B t.17) B = n c E.18) B = n c E.19) Portnto, só precismos resolver pr, e.g. E e E, e B correspondentes estrão determindos. Definimos usndo ǫ 1 = 1/µ 1 v 1 )): Pr E, temos α = cosθ t cosθ i β = n 1ǫ n ǫ 1 = v ǫ v 1 ǫ 1 = v µ 1 v 1 v 1 µ v = µ 1v 1 µ v.0) que podemos resolver: e αe t E r = E i βe t +E r = E i α+β)e t = E i E t = α+β E i.1) E r = αe t E i = α α+β E i E i E r = α β α+β E i.)

5 .1. LEIS DA REFLEXÃO E DA REFRAÇÃO 3 Já pr E, temos e E t E r = E i.3) B i B r = µ 1 cosθ t B µ t cosθ i E i E r = µ 1 E t cosθ t E i E r = µ 1v 1 cosθ t E t.4) v 1 v 1 µ v cosθ i µ v cosθ i Temos, então, o sistem e, portnto, E t E r = E i.5) αβ E t +E r = E i.6) e 1+αβ)E t = E i E t = 1+αβ E i.7) E r = 1+αβ E i E i E r = 1 αβ 1+αβ E i.8).1. Refletividde e Trnsmissividde Podemos definir mplitudes de reflexão r e trnsmissão t pr s componentes e dos cmpos: r = E r E i = α β α+β r = E r E i = 1 αβ 1+αβ t = E t E i = α+β t = E t E i = 1+αβ.9).30) A componente do fluxo norml à interfce é S ˆn, e intensidde vlor médio do fluxo) fic I i = 1 ǫ 1v 1 Ei cosθ i.31) I r = 1 ǫ 1v 1 Er cosθ r.3) I t = 1 ǫ v Et cosθ t.33)

6 4 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO A refletividde R e trnsmissividde T são definids como R = I r I i = E r E i = r.34) T = I t I i = ǫ v ǫ 1 v 1 cosθ t cosθ i E t E i = αβ t.35) Note que temos:.1.3 Reflexão Totl Pel lei de Snell R +T = α +β αβ α+β) R +T = 1+α β αβ 1+αβ) 4 +αβ α+β) = α+β) α+β) = 1.36) 4 +αβ 1+αβ) = 1+αβ) 1+αβ) = 1.37) n 1 sinθ 1 = n sinθ temos n 1 > n θ 1 < θ,.38) i.e. o ângulo feito com norml é menor no meio de mior índice de refrção e vice-vers. Considere Fig..3, em que n 1 > n e o rio se propg de 1 pr : Figur.3: Reflexão totl d luz o pssr de um meio com índice de refrção n 1 pr um meio com índice de refrção n < n 1. Qundo θ 1 θ c = sin 1 n /n 1 ), luz é totlmente refletid no meio n 1. Serwy) Pr θ 1 = 0 lei de Snell dá sinθ = 0 θ = 0, i.e. incidênci norml produz refrção norml. À medid que θ 1 cresce, θ cresce mis rápido e, pr lgum vlor de θ 1, teremos θ = π/, i.e. o rio refrtdo tngenci interfce. Neste cso, no há refrção, i.e. o rio é todo refletido de volt o meio 1. Pel lei de Snell, temos: n 1 sinθ 1 = n sinθ = n sinθ 1 = sinθ c = n n 1.39) onde θ c é um ângulo crítico tl que pr θ 1 > θ c, temos reflexão totl. Note que pr θ 1 = θ c, temos θ t = π/ α = 0. Portnto R = R = 1 e T = T = 0, como esperdo.

7 .1. LEIS DA REFLEXÃO E DA REFRAÇÃO 5 Isso quer dizer que o cmpo trnsmitido é zero? Não, pens que energi médi trnsmitid é nul. Vmos ver o que contece com o cmpo. Pr incidênci cim do ângulo crítico, temos θ i > θ c sinθ i > sinθ c = n n 1 sinθ i > n n 1.40) Note que sinθ t = n 1 n sinθ i > 1, o que não fz sentido! Lembre que k t k i ) t = 0 k t ) t = k i ) t = k i sinθ i, onde t é um vetor n interfce..41) Como n 1 = c/v 1 = ck i /ω, temos k t ) t = k i ) t = n 1ω c sinθ i.4) Vmos decompor k t em componentes prlel e norml à interfce: kt = k t ) tˆt+k t ) nˆn.43) Rest sber quem é k t ) n. Usndo relção de dispersão n = c/v = ck t /ω, temos: Portnto, k t = k t k t = k t ) t +k t ) n = n ω c.44) ) k t ) n = n ω c k t ) t = n ω c n 1 ω c sin θ i = n ω c 1 n 1 n sin θ i.45) Ms, pel Eq..40, o termo entre prênteses é < 0. Portnto k t ) n é imginário: e k t ) n = i n ω n 1 c n sinθi 1 = ik I imginário).46) k t ) t = n 1ω sinθ i = k R c rel).47) kt = k Rˆt+ik Iˆn.48) Portnto, decompondo o vetor posição r = yˆt+zˆn, temos: i k t r ωt) = ik R y +ik I z ωt) = k I z +ik R y ωt).49) e ssim o cmpo elétrico no meio fic: E r,t) = E t e i k t r ωt) = E t e k Iz )e ik Ry ωt).50) i.e. ond se propg n direção ˆt, ms mplitude d ond deci exponencilmente à medid que nos fstmos d interfce: ond evnescente.

8 6 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO.1.4 Ângulo de Brewster N incidênci oblíqu com cmpo incidente E i = E i + E i tendo componentes prlels e perpendiculres o plno de incidênci, encontrmos que: r = α β α+β, onde α = cosθ t cosθ i e β = µ 1v 1 µ v = µ 1n µ n 1 n n 1 = sinθ i sinθ t.51) onde usmos proximção µ 1 µ, tipicmente válid pr miori dos meios. Portnto: α = β r = 0.5) i.e. nãoháluzrefletid oplnodeincidênci, ousejtodluzrefletidé oplnodeincidênci. O ângulo de incidênci em que isso ocorre é chmdo ângulo de Brewster θ i = θ B. A condição de r = 0 se trduz em: α = β cosθ t cosθ B = sinθ B sinθ t sinθ t cosθ t = sinθ B cosθ B sinθ t = sinθ B ms θ t θ B ) θ t = π θ B θ t +θ B = π.53) Portnto, o rio refrtdo é perpendiculr o rio refletido. Outr mneir de expressr ess condição é escrever: α = cosθ t 1 sin θ t 1 n1 /n ) = = sin θ B = β cosθ B cosθ i cosθ B 1 n 1 /n ) sin θ B = β cos θ B = β 1 sin θb) ) sin θ B β n 1 n = β 1 sin 1 β θ B = n 1 /n ) β Como β n /n 1, temos ou sej sinθ B = sin θ B = Como consequênci, no ângulo de Brewster, temos 1 β 1/β) β = β 1 β ) 1 β 4 = β 1+β β 1+β tnθ B = β tnθ B = n n 1.54) R = 0 e T = 1.55) n R = 1 n ) n e T = 4n 1 n 1 +n n 1 +n ).56) Pr n 1 = 4/3n r/águ), R = 7/5) 8% e T = 4/5) 9%, ou sej, de qulquer form, pouc luz é refletid.

9 .. PRINCÍPIO DE HUYGENS Dispersão O fenômeno de dispersão d luz result do fto de que luzes de diferentes frequêncis têm índices de refrção diferentes e, portnto, refrtm de mneir distint. Se um rio de luz brnc no vácuo n 1 = 1) incide um ângulo θ i em um prism com n, temos n 1 sinθ i = n zul sinθ zul = n vermelho sinθ vermelho.57) Normlmente, n cresce com frequênci ν, e.g. n zul > n vermelho e, portnto n zul > n vermelho θ zul < θ vermelho.58) i.e. luz zul refrt mis do que vermelh fic mis próxim d norml). Figur.4: Dispersão d luz em um prism. Onds de diferentes comprimentos de ond refrtm de form diferente. Como n zul > n vermelho, pel lei de Snell θt zul < θt vermelho, i.e. luz zul refrt mis que vermelh no mesmo meio. Serwy). Princípio de Huygens Um frente de ond é superficie depontoscommesmfsedond e.g. mesmo vlor de E). El é perpendiculr os rios de luz, que pontm n direção de propgção d ond. O Princípio de Huygens diz que cd ponto de um frente de ond se comport como um fonte puntiforme, gerndo onds esférics secundáris, com velocidde d ond no meio. A frente de ond em um instnte posterior é envoltóri obtid somndo) de tods ests onds esférics secundáris. Figur.5: Princípio de Huygens. Serwy) Usndo o Princípio de Huygens, podemos obter s Leis d Reflexão e de Snell.

10 8 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO..1 Reflexão e Refrção No cso d reflexão, considere Fig..6. Sej QP 1 frente de ond incidente. Note que θ 1 é o ângulo entre QP 1 e interfce e tmbém o rio P 1 P e ˆn. Qundo P 1 tinge interfce em P, ond secundári de Q cheg Q 1 ; portnto P 1P = Q 1 Q = d e PQ 1 é frente de ond refletid. Figur.6: Lei d reflexão d luz θ 1 = θ 1) vi o Princípio de Huygens. Nussenzveig) Os triângulos QP 1 P e PQ 1Q são retângulos e iguis. Portnto θ 1 = θ 1. No cso d refrção, considere Fig..7. Novmente, QP 1 é frente de ond incidente. Qundo P 1 tinge interfce em P, ond secundári de Q cheg Q ; portnto o tempo pr que isso ocorr é: Ms pel figur Portnto t = d 1 v 1 = d v.59) d 1 = QP sinθ 1 e d = QP sinθ.60) Figur.7: Lei de Snell n 1 sinθ 1 = n sinθ ) vi o Princípio de Huygens. Nussenzveig) sinθ 1 = sinθ c.61) v 1 v n 1 sinθ 1 = n sinθ.6).3 Princípio de Fermt O Princípio de Fermt diz que luz sempre percorre o cminho que permite ir de um ponto outro no tempo mínimo. Ess idéi de minimizr lgo, neste cso, o tempo de propgção, é recorrente n Físic. Esse princípio tmbém lev às leis de reflexão e refrção..3.1 Reflexão e Refrção No cso d reflexão, considere Fig..8. Prtindo do ponto P 1, qul deve ser o ponto P em que luz deve refletir pr tingir o ponto P 1?

11 .3. PRINCÍPIO DE FERMAT 9 Bst considerr o ponto P 1 simétrico de P 1 com relção à interfce. Vemos que P 1 QP 1 = P 1 QP 1.63) pr um ponto de reflexão Q genérico. Como luz refletid está sempre no mesmo meio e com mesm velocidde, tempo mínimo implic distânci mínim. E como distânci mínim entre dois pontos é um ret, vemos que o cminho P 1 PP 1 deve ser o tomndo pel luz. Geometricmente, isso implic que θ r = θ i = θ 1. Reflexão em qulquer outro ponto, e.g. Q, tomri um tempo mior. No cso d refrção, considere Fig.9. Prtindo do ponto P 1, qul deve ser o ponto P em que luz deve refrtr pr tingir o ponto P? Agor velocidde mud de um meio pr o outro, o que torn o problem não trivil. Ou sej, respost não é simplesmente ret que conect P 1 e P, pois pr chegr no tempo mínimo, luz tenderá percorrer um distânci mior no meio de mior velocidde. O tempo tx) totl vijdo pel luz pr ir de P 1 té P em função d distânci x que devemos determinr) é tempo=distânci/velocidde): Figur.8: Lei d reflexão d luz θ 1 = θ 1) vi o Princípio de Fermt. Nussenzveig) tx) = t 1 +t = P 1P + PP v 1 v d = 1 +x d + +d x) v 1 v O tempo mínimo ocorre pr x tl que: 0 = dt dx = x v 1 d 1 +x = 1 v 1 x P 1 P 1 v d x) PP d x) v d +d x) = sinθ 1 v 1 sinθ v Multiplicndo equção por c e usndo definição n = c/v, obtemos lei de Snell: n 1 sinθ 1 = n sinθ.64) Figur.9: Lei de Snell n 1 sinθ 1 = n sinθ ) vi o Princípio de Fermt. Nussenzveig)

12 30 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO.4 Polrizção.4.1 Onds Plns Monocromátics Até gor considermos quse sempre o cso em que um dos cmpos coincide com os eixos x e y, e.g. E = ˆx. Ms E se propgndo n direção z pode ter componentes geris no plno xy: E ssim: Portnto E = E xˆx+e y ŷ.65) B = 1 vẑ E = 1 vẑ E xˆx+e y ŷ) = 1 v E yˆx+e x ŷ).66) B x = E y v e B y = E x v Pr um ond pln monocromátic mis gerl, temos:.67) E x = e ikz ωt) = vb y.68) E y = b e iδ e ikz ωt) = vb x.69) Note que, em princípio, pode hver um diferenç de fse δ entre s componentes x e y dos cmpos. Tomndo prte rel, temos E x = cosφ onde Φ = kz ωt.70) E y = b cosφ+δ).71) Em gerl, E fz um curv no plno z = 0 à medid que oscil e se propg. Pr encontrr ess curv, vmos definir um relco entre E x e E y eliminndo Φ, i.e. prte temporl: Portnto E y b E x = cosφ+δ) = cosφcosδ sinφsinδ.7) = cosφ sinφ = ) 1 cos Φ sinφ = 1.73) E y b E x cosδ = cosφcosδ sinφsinδ cosφcosδ = sinδ Elevndo o qudrdo: ) Ey E x b que implic E y b cosδ + ) cos δ = sin δ 1 1 ) ) ).74).75) Ey b ) E x E y b cosδ + ) = sin δ.76) Est é equção gerl de um elipse no plno xy. Portnto ond monocromátic mis gerl tem polrizção elíptic.

13 .4. POLARIZAÇÃO Polrizção Liner Pr δ = 0 cosδ = 1,sinδ = 0), i.e. os cmpos sem defsgem, temos Ey b ) E x E y b + ) = 0 E ) y = 0.77) b Portnto E y E x = b Polrizção Liner).78).4.3 Polrizção circulr Pr = b e δ = π/ cosδ = 0,sinδ = 1), temos Ey ) + ) = 1.79) Portnto E y +E x = Polrizção Circulr).80).4.4 Polrizção elíptic Pr b e δ = π/, os eixos d elipse concidem com os eixos x e y: Ey ) + ) = 1 Polrizção Elíptic).81) b.4.5 Luz não-polrizd Em gerl, luz result de um processo de emissão. Normlmente, esse processo é letorio no espço e no tempo, e dá origem um ond em que s componentes dos cmpos não tem um polrizção definid. Neste cso dizemos que luz é não-polrizd. Como Polrizr? Se temos luz não-polrizd, como podemos obter luz com um cert polrizção? 1) Reflexão: Lembre que pr θ i = θ B, temos r = 0. Neste cso, luz refletid tem componente pens n direção o plno de incidênci: polrizção liner. ) Polrizdor: Algums substâncis têm moléculs linhds que bsorvem luz em um direção, permitindo pssgem n direção.

14 3 CAPÍTULO. REFLEXÃO, REFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO Figur.10: Lei de Mlus. Após ser polrizd no polrizdor, luz incide sobre o nlisdor fzendo um ngulo θ com o eixo de trnsmissão. Somente componente E = E 0 cosθ trvess o nlisdor e portnto intensidde trnsmitid fic I E = I 0 cos θ. Serwy) Lei de Mlus Suponh que fçmos luz não-polrizd incindir sobre um polrizdor, como n Fig..10. Somente componente prlel o polrizdor consegue trvessá-lo, e o cmpo trnsmitido E 0 é portnto linermente polrizdo. Se fizermos o cmpo polrizdo incindir sobre um segundo polrizdor nlisdor), cujo eixo de trnsmissão fz um ângulo θ com o primeiro polrizdor, temos que somente componente E = E 0 cosθ será trnsmitid. Destform,comointensiddeéI E,temosqueintensiddeI trnsmitidpelonlisdor será dd em termos d intensidde I 0 E0 que nele incide por I = I 0 cos θ Lei de Mlus).8)