Bandas de Energia de Elétrons em Sólidos

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1 Bnds de Energi de Elétrons em Sólidos Alexndre Bentti n o usp: November 23, 2014 Abstrct Anlisr um sistem de elétrons sujeitos um potencil periódico, verificndo origem de bnds de energi e bnds proibids pr compreender diferenç entre condutores e isolntes 1 Introdução Nesse trblho vmos estudr fenômenos interessntes dos elétrons, que surge do fto de se encontrrem em um cristl. Pr isso usremos modelos proximdos, que germ resultdos stisftórios com observções experimentis, pr explicr proprieddes importntes desses sistems, como bnds de energi e bnds proibids. Por simplicidde vmos considerr csos em um dimensão, porém todos os pssos podem ser fcilmente generlizdos pr três dimensões. Com o modelo dotdo será possível explicr e entender s diferençs que fzem os mteriis se tornrem condutores, isolnte e semicondutores. 2 Cálculo ds Energis e Estdos Estcionários 2.1 Descrição do modelo Como primeir proximção iremos utilizr o modelo de elétron quse livre, n qul os vlores de energi permitidos são distribuídos continumente de zero à infinito. D equção de Schrödinger: h 2 d 2 dx 2 ψ k = ɛ k ψ k ɛ k = h2 k 2 No cso de condições de contorno: k = 2π L n; n = 0, ±1, ±2,... Assim, função de ond de um elétron livre é d form: ψ k (x) = e ıkx Sbendo que s reflexões de Brgg são ums ds crcterístics d propgção de onds em cristis. Usndo condição de Brgg ( k + G 2 = k 2 ) pr difrção de um ond de vetor de ond k, podemos impor que: k = ± 1 2 G = ±nπ G = 2πn (em 1 D) 1

2 onde: G vetor d rede recíproc ; prâmetro de rede Assim s primeirs reflexões e primeir bnd proibid ocorrem em k = ± π ; onde chmmos o intervlo [ π, π ] de Primeir Zon de Brillouin. Figure 1: () Energi em função do número de ond pr um elétron livre. (b) Energi em função do número de ond pr um elétron em um potencil hrmônico pequeno. 2.2 Estdos estcionários Vmos encontrr os estdos estcionários prtir do Teorem de Bloch, pr isso vmos considerr: elétrons descritos pel Hmiltonin: H = h2 d 2 dx 2 + U(x) potencil periódico: U(x + R) = U(x) Vmos definir um operdor Trnslção (T R ) de form que: T R f(x) = f(x + R) Assim: T R+R f(x) = f(x + R + R ) = T R T R F (x) Proprieddes do operdor de trnslção: 1. T R+R = T R T R = T R T R ; (grupo comuttivo) 2. T R H = HT R [T R, H] = 0; ( T R e H possuem uto-funções comuns) Resolvendo: T R ψ(x) = C(R)ψ(x); R d rede diret ψ(x + R) = C(R)ψ(x), com C(R) 2 = 1 T R T R ψ(x) = C(R )C(R)ψ(x) C(R + R ) = C(R)C(R ) 2

3 Sendo, o prâmetro de rede em 1 dimensão: R = n; com n inteiro. Sem perd de generlidde, definimos: C(R) = e 2πix Usndo propriedde nterior: C(Nx) = [C(x)] N = e 2πixN = 1. Assim xn = m (interio). Definindo: k = xb; onde b é o prâmetro d rede recíproc. Dess form: kx = xb n, onde b = 2π kx = 2πxn. Teremos que T R ψ(x) = e ikx ψ(x) = ψ(x + R). As uto-funções de H tem mesm form: ψ nk (x + R) = e ikx ψ nk (x) Dess form: ψ nk (x) = e ikx µ nk (x) ψ nk (x + R) = e ik(x+r) µ nk (x + R) com: µ nk (x + R) = µ nk (x) (função periódic) 2.3 Origem ds bnds proibids Pr os vlores de k = ± π, s funções e onds são feits em prtes iguis de onds que se propgm pr direit e pr esquerd, gerndo ssim onds estcionáris. Podemos formr dus onds estcionáris prtir ds onds progressivs: e ± iπx ψ(+) = e iπx/ + e iπx/ = 2 cos πx ψ( ) = e iπx/ e iπx/ = 2i sin πx Figure 2: Distribuição de probbilidde n rede pre ψ(+) 2, ψ( ) 2. Esss onds estcionáris cumulm elétrons em regiões diferentes, como mostr Figur 2. A função ψ(+) cumul elétrons ns proximiddes dos íons positivos diminuindo ssim energi potencil em relção energi potencil médi vist por um ond progressiv, enqunto função ψ( ) cumul elétrons entre os íons umentndo energi potencil em relção à energi vist por um ond progressiv. Portnto s dus onds têm vlores diferentes de energi. Ess é origem d bnd proibid. 3

4 2.4 Energis possíveis: Conceito de bnds de energis Um potencil periódico pr o qul equção de ond pode ser resolvid em termos de funções elementres é o potencil em form de onds qudrds, mostrdo n figur 3 Figure 3: Potencil periódico qudrdo em um dimensão. A equção de ond é: h2 d 2 ψ + U(x)ψ = ɛψ dx2 N região n qul U = 0, utofunção é um combinção liner de onds plns se propgndo pr direit e pr esquerd: ψ = Ae ikx + Be ikx, com energi : ɛ = h2 K 2 N região dentro d brreir de potencil (U(x) = U 0 ), solução é d form: ψ = Ce Qx + De Qx, com : U 0 ɛ = h2 Q 2 Queremos que solução complet tenh form de um função de Bloch. Desse modo, podemos escrever: ψ( < x < + b) = ψ( b < x < 0)e ik(+b) As constntes A, B, C e D são determinds impondo que ψ e d 2 ψ/dx 2 sejm continus em x = 0 e x =. Em x = 0: Em x = : A + B = C + D ik(a B) = Q(C D) Ae ik + Be ik = [CE Qb + De Qb ]e ik(+b) ik[ae ik Be ik ] = Q[Ce Qb De Qb ]e ik(+b) Pr que esss qutro equções tenhm solução, é preciso que o determinnte dos coeficientes sej nulo, implicndo n equção: [ (q2 K 2 ) ] sinh Qb sin K + cosh Qb cos K = cos k( + b) 2QK 4

5 Fzendo o limite em que: b 0 e U 0, form que Q 2 b/2 = P sej um grndez finit. Nese limite Q K e Qb 1, ssim obtemos o seguinte resultdo: ( P ) sin K + cos K = cos k K Figure 4: Gráfico d equção ( P ) sin K + cos K em função de K pr o K cso em que P = 3π 2. Os vlores permitidos de energi são ddos pel fix pel qul função está entre -1 e +1. Pr os outros vlores não existe solução d equção de ond n form de onds progressivs. Esse é o conceito de bnds de energi. Figure 5: Energi em função do número de ond, com P = 3π 2. N figur 5 podemos ver os vlores correspondentes ds energis permitids pr um ddo vetor de ond k, comprds com o cso do elétron livre. 5

6 3 Discussão Apesr de o modelo dotdo ser um simples proximção é possível obter váris conclusões interessntes e úteis. Com os cálculos relizdos foi possível demonstrr que os elétrons nos cristis estão dispostos em bnds de energi seprds por bnds proibids. Podemos concluir que um cristl se comport como um isolnte se tods s bnds de energi permitids estão totlmente vzis ou totlmente cheis, pois desse modo, não existe nenhum form de umentr ligeirmente o momento dos elétrons em respost à plicção de um cmpo elétrico externo. Temos tmbém que um cristl se comport como um condutor no cso em que um ou mis bnds estão prcilmente cheis, dess form esses elétrons tem liberdde por hver espços vzios n bnd. Por fim, o cristl se comport como um semicondutor qundo s bnds estão quse cheis ou quse vzis, sendo que hverá poucos elétrons livres pr relizr condução ou pouco espço livre pr os elétrons ocuprem. 4 Bibliogrfi Cohen-Tnnoudji, Clude Quntum Mechnics - volume 2 Kittel, Chrles - Introdução à Físic do Estdo Sólid, 8 o eição 6