Aula 10 Estabilidade

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1 Aul 0 Estbilidde

2 input S output O sistem é estável se respost à entrd impulso 0 qundo t Ou sej, se síd do sistem stisfz lim y(t) t = 0 qundo entrd r(t) = impulso

3 input S output Equivlentemente, pode ser dd um outr definição: O sistem é estável se tod entrd limitd tem um respost limitd Por cus dest definição, sistems estáveis são comummente chmdos de BIBO-estável (BIBO = bounded input-bounded output)

4 Um sistem é estável se, e somente se, ele tem todos os seus polos com prte rel negtiv Isto é, um sistem é estável se ele tem todos os seus polos loclizdos no semiplno d esquerd (SPE)

5 input S output Logo, estbilidde de sistems pode ser determind pel loclizção dos polos do sistem no plno complexo É necessário que TODOS os polos do sistem estejm no SPE pr que ele sej um sistem estável. Um polo que não estej no SPE rruín estbilidde tornndo-o um sistem instável.

6 Exemplo : Considere o sistem de ª ordem x = x + u y = x cuj função de trnsferênci é dd por: Y(s) U(s) = (s ) O único polo deste sistem está loclizdo em s = que pode estr no SPE (semiplno d esquerd), no eixo imginário ou no SPD (semiplno d direit), dependendo do vlor de ( < 0, = 0 ou > 0, respetivmente)

7 Exemplo (continução): logo, < 0 = 0 > 0

8 Exemplo (continução): Cso < 0, sistem é estável respost o impulso unitário respost o degru unitário

9 Exemplo (continução): Cso = 0, sistem não é estável nem instável respost o impulso unitário respost o degru unitário

10 Exemplo (continução): Cso > 0, sistem é instável. respost o impulso unitário respost o degru unitário

11 Exemplo (continução): resumindo, < 0 = 0 > 0 estável indiferente instável

12 Exemplo 2: Considere o sistem de 2ª ordem cuj função de trnsferênci é dd por Y(s) U(s) = s 2 4 2s + 4 este sistem possui um pr de polos complexos com prte rel positiv Plno complexo s = ± j,732 polos no SPD

13 Exemplo 2 (continução): sistem instável ζ = 0,5 ω = 2 respost à entrd degru unitário

14 Exemplo 3: Considere o sistem de 2ª ordem cuj função de trnsferênci é dd por Y (s) U (s) = s s + 4 este sistem possui um pr de polos complexos com prte rel negtiv Plno complexo s = ± j,732 polos no SPE

15 Exemplo 3 (continução): sistem estável ζ = 0,5 ω = 2 respost à entrd degru unitário

16 Resumindo: estbilidde de sistems depende pens d loclizção dos seus polos, pois eles devem estr todos situdos no SPE pr que o sistem sej estável. Logo, estbilidde não depende d função de trnsferênci tod, ms pens do seu denomindor, o polinómio crcterístico p(s) do sistem que nos dá os polos do sistem. Se pensrmos n equção de estdo x = A x + B u y = C x + D u estbilidde não depende de B, C ou D, ms pens d mtriz A que nos dá o polinómio crcterístico e os polos do sistem.

17 Stbility Critério de Routh-Hurwitz pr estbilidde Routh, ind no século XIX, num époc que ind não hvi luz elétric, máquin de clculr ou computdor, criou um método mtemático pr determinr o número de polos de um sistem loclizdos no SPD sem ter que clculr os próprios polos Dess form fcilitou determinção d estbilidde de um sistem Hurwitz é outro mtemático importnte nest áre de controlo e sistems dinâmicos Edwrd John Routh (cndino, )

18 Stbility Hurwitz desenvolveu em 895 o que hoje é chmdo de Critério de Routh-Hurwitz pr estbilidde pr se determinr se um sistem é estável Hoje é reconhecido que Hurwitz fez isso independentemente de Routh o qul tinh desenvolvido o critério ntes ms por um método diferente O critério de Routh-Hurwitz é construído prtir do polinómio crcterístico do sistem n n 2 = os + s + + n 2s + n Adolf Hurwitz (lemão, ) p (s) L s + ( o > 0) n

19 prtir de p(s) mont-se Tbel de Routh-Hurwitz: s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o Tbel de Routh-Hurwitz preenchimento inicil com os coeficientes do polinómio crcterístico p(s)

20 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o se o polinómio crcterístico p(s) é ímpr, o último elemento fic n 2ª linh

21 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o se o polinómio crcterístico p(s) é pr, o último elemento fic n ª linh, e coloc-se um 0 (zero) n 2ª linh

22 Tbel de Routh-Hurwitz, preenchimento inicil s n o s n s n-2 s n-3 : : s 2 s s o pós o preenchimento inicil clcul-se s demis linhs como será indicdo mis bixo

23 Tbel de Routh-Hurwitz, depois de complet s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : : : s 2 d d 2 s e s o f depois de complet Tbel Routh-Hurwitz terá (n+) linhs

24 Tbel de Routh-Hurwitz, depois de complet s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : : : s 2 d d 2 s e s o f As linhs vão ficndo cd vez mis curts té s 2 últims linhs que têm pens um elemento em cd um

25 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f primeir colun (onde estão os coeficientes o e ) é chmd de colun pivô

26 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e Os elementos seguintes d colun pivô serão: b, c, d, e, f, etc. s o f

27 Tbel de Routh-Hurwitz, colun pivô s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e Os elementos d colun pivô s o f são chmdos de pivôs

28 o cálculo dos elementos b, b 2, b 3, etc. d terceir linh observe que no cálculo dos elementos dest linh há um divisão por, o elemento pivô d linh nterior o det b = = o 2 det b = = o 3 det b = = Estbilidde

29 o cálculo dos elementos c, c 2, c 3, etc. d linh seguinte observe que no cálculo dos elementos dest linh há um divisão por b, o elemento pivô d linh nterior b b b b b det b c = = b b b b b det b c = = b b b b b det b c = = Estbilidde

30 Dest form clcul-se tmbém os elementos ds demis linhs e coluns e Tbel de Routh-Hurwitz fic complet. Note que, como já foi dito, s linhs d Tbel de Routh-Hurwitz vão ficndo mis curts medid que há cd vez menos elementos serem clculdos ns últims posições de cd linh Observe que Tbel de Routh-Hurwitz foi construíd supondo que o coeficiente o do polinómio crcterístico p(s) é positivo, o > 0

31 Se o coeficiente o for negtivo, o < 0 então pode-se redefinir p(s) com todos os coeficientes do polinómio com os sinis trocdos. Dest form obtém-se o > 0. Isto ocorre devido o fcto, como é bem conhecido, que s rízes de um polinómio não se lterm qundo todos os seus coeficientes são multiplicdos por (ou por qulquer outro vlor constnte 0).

32 Pr simplificr os cálculos, se desejr, pode-se multiplicr (ou dividir) todos os elementos de um linh qulquer d Tbel de Routh-Hurwitz por um número positivo. Isso não irá lterr os resultdos serem obtidos d Tbel de Routh-Hurwitz A Tbel de Routh-Hurwitz permite descobrir quntos polos estão loclizdos no SPD. O número de trocs de sinl n colun pivô d Tbel de Routh-Hurwitz é igul o número de polos no SPD.

33 Tbel de Routh-Hurwitz s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f O número de trocs de sinl n colun pivô é igul o número de polos no SPD

34 A determinção do número de polos no SPD pode ser útil ms entretnto não nos dá um dignóstico pr estbilidde do sistem de imedito Isso porque um sistem pr ser estável tem que possuir todos os seus polos no SPE e, mesmo que o número de troc de sinis d colun pivô sej zero, isso pens signific que terão zero polos no SPD, o que não grnte estbilidde ind, pois poderá hver lgum polo no eixo imginário No entnto, polos no eixo imginário vão refletir em zeros n colun pivô. Isso permite escrever o seguinte resultdo: O sistem possui todos os polos no SPE se, e somente se, todos os coeficientes d colun pivô d Tbel de Routh-Hurwitz são positivos.

35 Tbel de Routh-Hurwitz s n o s n s n-2 b b 2 b 3 b 4 s n-3 c c 2 c 3 c 4 : : : : : : : s 2 d s e s o f O sistem possui todos os seus polos no SPE qundo todos os elementos d colun pivô são positivos

36 Exemplo 4: Considerndo gor o polinómio crcterístico do 4º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 4 s 3 s 2 s s Logo, o sistem não é estável. 2 trocs de sinl (de elementos d colun pivô) Este polinómio crcterístico tem 2 polos no SPD.

37 Exemplo 4 (continução): Aqui poderi, por exemplo, pr simplificr os cálculos, dividir 2ª linh (i.e., linh s 3 ) por 2 Isto não lter os resultdos s 4 s 3 s 2 s s E chegmos à mesm conclusão: 2 trocs de sinl (de elementos d colun pivô) 2ª linh 2

38 Exemplo 5: Encontrr os vlores de K pr os quis o sistem de mlh fechd bixo é estável Construindo-se função de trnsferênci de mlh fechd (FTMF), obtemos

39 Exemplo 5 (continução): Logo, o polinómio crcterístico do sistem de mlh fechd é ddo bixo A Tbel de Routh-Hurwitz pr este polinómio é: s 4 s 3 2 K s 2 K s (2-2K) > 0 s 0 K > 0 K < sistem é estável pr 0 < K <

40 Exemplo 6: Encontrr os vlores de K pr os quis o sistem de mlh fechd bixo é estável É fácil de verificr que o polinómio crcterístico deste sistem é:

41 Exemplo 6 (continução): logo, Tbel de Routh-Hurwitz pr este polinómio é: s 4 s 3 6 K s 2 s 4 K (4-K/2) > 0 s 0 K > 0 K < 8 sistem é estável pr 0 < K < 8

42 Exemplo 7: Considere gor o polinómio crcterístico p(s) do 3º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 3 s s 0 ε > 0 s 0 3 logo, todos os elementos d colun pivô são positivos, ou sej 0 (zero) rízes no SPD N verdde quele zero n colun pivô indic simetri de 2 polos e estes só podem estr no eixo imginário

43 Exemplo 7: Considere gor o polinómio crcterístico p(s) do 3º gru bixo Construindo-se Tbel de Routh-Hurwitz obtém-se s 3 s s 0 ε > 0 s 0 3 logo, todos os elementos d colun pivô são positivos, ou sej 0 (zero) rízes no SPD Logo, o sistem não é instável ms tmbém não possui todos os polos no SPE, o que impede que estbilize.

44 Exemplo 8: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s 3 s 2 s s / / logo, não há trocs de sinis n colun pivô, ou sej 0 (zero) rízes no SPD 0 0 (zero) n colun pivô Aquele zero n colun pivô está n últim posição. (Ele indic simetri de polo em relção à origem, isto é, há um polo = zero)

45 Exemplo 8: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s 3 s 2 s s / / logo, não há trocs de sinis n colun pivô, ou sej 0 (zero) rízes no SPD 0 0 (zero) n colun pivô Logo, o sistem não é instável, entretnto pens 4 dos 5 polos estão no SPE, pois um está n origem (s = 0).

46 Exemplo 9: Considere gor o polinómio crcterístico do 5º gru bixo s 5 s 4 s d linh s 4 obtém-se q(s) 0 n colun pivô linh de zeros e clcul-se derivd q (s)

47 Exemplo 9 (continução): Eliminndo linh de zeros, preenchemos tbel de Routh-Hurwitz s 5 s 4 s 3 s 3 s 2 s s Logo, o sistem não é estável si linh de zeros entr linh q (s) troc de sinl (de elementos d colun pivô) Este polinómio crcterístico tem polo no SPD.

48 estbilidde reltiv

49 Estbilidde Reltiv Às vezes é desejável que os polos não estejm perto do eixo (pr não termos resposts lents ou com excessivs oscilções). O que cus estbilizção ser mis rápid ou mis lent é loclizção dos polos ser mis fstd ou mis perto do eixo imginário (pr esquerd). Qunto mis fstdo pr esquerd estão os polos do sistem, mis rápido ele estbiliz.

50 Considere estes 2 sistems: x Im(z) pólos fstdos do eixo imginário 0 Re(z) Sistem A com polos fstdos do eixo imginário. x Sistem B com polos próximos do eixo imginário.

51 respost o degru Sistem A: lev pens cerc de 25 segundos pr estbilizr Sistem A Sistem B: lev 250 segundos. O sistem Aestbiliz mis rápido que o sistem B pois tem os seus polos mis fstdos do eixo imginário. Sistem B

52 Já vimos que um sistem é estável ou não se possui todos os polos no SPE ou não, respetivmente Este é o conceito de estbilidde bsolut Entretnto, cbmos de ver tmbém que: um sistem estável pode ser mis estável que outro Isso depende de qunto mis fstdo do eixo imginário, pr esquerd, estão loclizdos os polos deste sistem. Este é o conceito de estbilidde reltiv. A loclizção dos polos é o que cont

53 Dest form, é possível que desejmos verificr se um sistem tenh seus polos à esquerd de um rets= σ no SPE, e não pens no SPE. Região do SPE à esquerd d rets= σ σ s = σ

54 p s Pr isto fz-se um trnslção s s σ do polinómio crcterístico p s obtendo-se p s =p s σ que é o polinómiop s deslocdo de pr direit. Neste exemplo p s =p s σ σ = 2 p s =p s 2 σ = 2

55 Trnslção do polinómio pr direit σ = 2 p s p s =p s σ

56 Um trnslção do polinómio pr direit corresponde deslocr ret s = σ pr direit ou, equivlentemente, deslocr o eixo imginário pr esquerd rízes de p s rízes de p s =p s σ

57 Aplicndo-se o critério de estbilidde Routh-Hurwitz o polinómio trnslddop s, temos que o número de trocs de sinl n colun pivô é igul o número de rízes de p s loclizds à direit d ret s= σ Ou sej, trvés de p s extrímos conclusões prp s Por exemplo: Se n tbel Routh-Hurwitz pr p s não tiver trocs de sinl n colun pivô ( zero trocs ), então p s não terá polos ( zero polos ) à direit d ret s= σ

58 Isto é, os polos estrão loclizdos n região ssinld n figur: à esquerd d rets= σ, ou n própri ret. Comop s é um trnslção de p s em σ uniddes pr direit, então tods s conclusões que forem extríds pr p s em relção o eixo imginário são válids pr p s em relção à rets= σ

59 Exemplo 0: Verificr se o polinómio crcterístico p(s) ddo bixo tem os seus polos à esquerd de s= 2. p s =s +8s +2s+20 Vmos verificr se p s possui tods s sus rízes no SPE p s =s +8s +2s+20 s 3 s 2 s s ,5 20 zero trocs n colun pivô A colun pivô d tbel de Routh-Hurwitz de p s é tod positiv e portnto este polinómio tem todos os polos no SPE

60 Exemplo 0 (continução): Ms será que os tem à esquerd d ret s= 2? Pr isso precismos clculr o polinómio p s fzendo =2 p s =p s 2 = s 2 +8 s 2 +2 s s 3 s 2 =s +2s +s s 0 ε > 0 0 ( zero ) n 2 colun pivô s 0 2 não há trocs de sinl n colun pivô

61 Exemplo 0 (continução): Isso quer dizer que não há rízes dep s no SPD e logo, não há rízes dep s à direit d ret s= 2 Ms quele zero n segund linh de bixo pr cim (linh ) n colun pivô indic que há 2 rízes de p s no eixo imginário e portnto, há 2 rízes de p s em cim d ret s= 2 Ao verificr loclizção ds rízes de p s pode-se consttr que: o de fcto não há polos à direit d rets= 2 o há polo à esquerd d rets= 2 (ems= 4) e tmbém que: o há 2 polos em cim d rets= 2

62 Exemplo 0 (continução): As rízes de p s são: s= 4 s= 2±j Loclizção ds rízes do polinómiop s no plno complexo

63 Exemplo 0 (continução): As 2 rízes de p s no eixo imginário correspondem às 2 rízes de p s n ret s= 2 rízes de p s n ret s= σ rízes de p s no eixo imginário Loclizção de 2 rízes dos polinómiosp s ep s

64 Exemplo : Verificr se o polinómio crcterístico p(s) ddo bixo tem os seus polos à esquerd de s=. p s =2s +3s +28s +23s+6 Primeirmente vmos verificr se p s possuiu tods s sus rízes loclizds no SPE. s 4 s 3 s 2 s s ,46 6 9,8 0 6 colun pivô é tod positiv e portnto este polinómiop s tem todos os polos no SPE

65 Exemplo (continução): Entretnto, queremos sber se estão à esquerd d rets= Pr isso precismos clculr o polinómiop s fzendo σ= p s =p s =2 s +3 s +28 s +23 s +6 =2s +5s +s 2s s 4 s 3 s 2 s s / ( zero ) n colun pivô há troc de sinl n colun pivô, logo há um riz de p s no SPD e portnto, há um riz de p s à direit d rets=

66 Exemplo (continução): Ms quele zero n últim linh (linh ) d colun pivô indic que há riz de p s no eixo imginário (n origem) e portnto, há riz de p s em s= Ao verificr loclizção ds rízes de p s pode-se consttr que: o de fcto há polo em cim d rets= e que: o há tmbém polo à direit d rets= (ems= 0,5), que obvimente está no intervlo { < s < 0} pois já vimos que p s não tem rízes no SPD

67 Exemplo (continução): Loclizção ds rízes do polinómio p s As rízes dep s são: s= 3 s= 2 s= s= 0,5 Loclizção ds rízes do polinómio p s As rízes de p s são: s= 2 s= s=0 s=0,5

68 Obrigdo! Felippe de Souz