TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície 8.4 Plno tngente um superfície por um ponto Licencitur em Ciêncis USP/ Univesp

2 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Diferencil totl de um função esclr A diferencil totl de um função de três vriáveis V = V(x,y,z) é definid como (,, ) (,, ) (,, ) V xyz V xyz V xyz dv dx + dy + dz 8.1 Exemplos Exemplo 1: 1 Sej V( xy, ) = xy. Utilizndo diferencil d função V, vmos encontrr um vlor proximdo 3 pr vrição ΔV qundo pssmos do ponto (1,2) pr o ponto (1,3;2,1); em seguid, vmos vlir o erro cometido ness proximção. Temos: V V = xy e = x y e, portnto, 3 3 dv = xy dx + x ydy 8.3 Fzendo x = 1, y = 2, dx =,3 e dy =,1, temos Por outro ldo, dv,9 1 1 V = ( x + dx)( x + dy) x y Fzendo x = 1, y = 2, dx =,3 e dy =,1, obtemos V,9 8.6 o que nos lev à conclusão de que se trt de um bo proximção qundo dizemos que ΔV é bem proximdo por dv. Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

3 132 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Exemplo 2: Vmos clculr um vlor proximdo pr (1,2) 2,1. Em primeiro lugr, consideremos função V(x, y) = x y e então temos: V = yx. y 1 (fzendo y constnte) 8.7 e, portnto, e V y = x ln x (fzendo x constnte) y y dv = y x dx + x ln x dy 8.9 Fzendo x = 1, y = 2, dx =,2 e dy =,1, temos Por outro ldo, dv =,4 8.1 V = = = 2,1 2 (1, 2) 1 1, 46 1, Exemplo 3: Clcule proximdmente 2, 1.4, 2.1, 97 Vmos considerr função V ( x, y, z) = xyz e sus derivds prciis: V = 2 yz xyz 8.12 V = 2 xz xyz 8.13 V z = 2 xy xyz 8.14 e, portnto, yz xz xy dv = dx + dy + dz 2 xyz 2 xyz 2 xyz 8.15 TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente

4 Fzendo x = 1, y = 4, z = 2, dx =,1, dy =,2 e dz = -,3 temos Licencitur em Ciêncis USP/Univesp 133 (Verifique!) Logo, dv =, ,1.4,2.1,97 3, Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl Consideremos um direção e sentido especificdos pelo versor: = i+ j+ k 8.18 isto é, um vetor que tem módulo unitário (pr esses vetores colocmos um cento circunflexo fim de denotr tl fto). Assim, = = 1 2 ( ) ( ) ( ) 8.19 Um vetor derivdo desse medinte multiplicção por um constnte h, h = h i + h j + h k 8.2 tem mesm direção e sentido do versor â, se h >, e tem sentido contrário se h <. O módulo desse vetor é, evidentemente, igul h, um vez que â = 1. Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

5 134 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Sendo V = V(x, y, z), (x ) um ponto do domínio de V, e h tl que os pontos (x + x h + y h + z h) tmbém pertencem o domínio de V, definimos derivd direcionl de V, no ponto (x ) e n direção de = i+ j+ k 8.21 como ( + x, + y, + z ) (,, ) V x hy hz h V lim h h se tl limite existe e é finito. Denotmos derivd direcionl definid cim como V( x + xh, y + yh, z + zh) V( x, y, z) DV ( x, y, z) = lim h h Se função V e sus derivds prciis forem contínus então derivd direcionl definid em 8.23 é dd por: V V V DV = x + y + z V V V V DV ˆ ( x, y, z) = x ( x, y, z) + y ( x, y, z) + z ( x, y, z) = V Observmos ssim que derivd direcionl de V, no ponto (x ) e n direção de â é igul o produto esclr do vetor ˆ = i+ j+ k pelo vetor cujs componentes são s derivds prciis d função V no ponto (x ). Este último vetor é denomindo vetor grdiente d função V no ponto (x ) e é indicdo com seguinte notção: V V V V( x, y, z) = ( x, y, z). i + ( x, y, z). j + ( x, y, z). k 8.26 Assim, escrevemos DV( x, y, z ) = ˆ V( x, y, z ) ˆ 8.27 TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente

6 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp 135 Consequentemente, derivd direcionl de um função pode ser escrit em função do ângulo θ entre o vetor unitário â e o grdiente d função (definido em 8.26), como: DV V = = V cosθ 8.28 Figur 8.1: O grdiente de um função determin norml à superfície ssocid vlores constntes d mesm. E, ssim, direção e sentido, pr os quis derivd direcionl de um função V é máxim, são os do vetor grdiente de V, pois nesse cso cosθ = 1. Lembrndo que vrição infinitesiml do vetor de posição ou, ind, o vetor deslocmento infinitesiml é ddo pel expressão: dr = dxi + dyj + dzk 8.29 podemos observr que vrição infinitesiml de um função esclr V, su diferencil, pode ser escrit sob form do produto esclr de dois vetores: dv ( x, y, z) = V dr 8.3 pois o vetor grdiente V é, por definição, V V V V = i + j + k 8.31 Exemplos Exemplo 4: Encontre o vetor u no ponto (5,3, 1), sendo u(x, y, z) = 3x 2 3y 2 + z 2. Temos u u u = 6 x, = 6 y e = 2z 8.32 Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

7 136 Como Licencitur em Ciêncis USP/Univesp u u u u( x, y, z) = ( x, y, z). i + ( x, y, z). j + ( x, y, z). k 8.33 temos u u u u(5, 3, 1) = (5, 3, 1). i + (5, 3, 1). j + (5, 3, 1). k = 3i 18 j 2k 8.34 Exemplo 5: Sendo V(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, vmos encontrr derivd direcionl DV ( x, y, z) em (x ) = (1, 2, 3) n direção do vetor u = 2i + j 13 k. Sbemos que V V V DV ( x, y, z) = x ( x, y, z) + y ( x, y, z) + z ( x, y, z) 8.35 Temos V V V = 2 x, = 2 y e = 2z 8.36 Logo, V V V (1,2,3) = 2, (1,2,3) = 4 e (1,2,3) = Como â é um vetor unitário, versor do vetor u ddo, vmos encontrr o módulo do vetor u : Assim, Logo, u = = 5 2 ˆ 13 = i + j k DV ˆ (1, 2, 3) = = TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente

8 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp 137 Exemplo 6: Sendo V ( x, y, z) = xyz determine o vetor em que derivd direcionl no ponto (1,1,1) é máxim e encontre esse vlor máximo. Em primeiro lugr, temos o vetor grdiente V V V = + + = + + V i j k yz i xz j 2 xyz k 8.42 e, portnto, como V V V V( x, y, z) = ( x, y, z). i + ( x, y, z). j + ( x, y, z). k V(1,1,1) = i + j + 2k A direção e sentido, segundo os quis derivd direcionl d função V é máxim, são os do vetor grdiente de V; logo, segundo o versor, ˆ V (1,1,1) = = i + j + k Como ˆ DV = V= V. ˆ = V ˆ 8.46 o vlor máximo procurdo d derivd direcionl é 6. Exemplo 7: Sej f(x,y) = 3x 2 2y 2. Encontre derivd direcionl de f no ponto (1,1) n direção que form um ângulo de 12 com o eixo horizontl. Sendo f(x,y) = 3x 2 2y 2, temos: f= i+ j= 6 xi 4 yj Logo, 8.47 f(1,1) = 6 i 4 j 8.48 Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

9 138 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Um vetor unitário que tenh direção que form um ângulo de 12 com o eixo horizontl é Logo, e, portnto, como ˆ = cos12 i + sen12 j ˆ 1 3 = i + j D f ˆ = fˆ 8.51 ˆ 1 3 Dˆ f(1,1) = f(1,1) = 6. + ( 4). = Perpendiculr um superfície Consideremos um função esclr de três vriáveis W = W( xyz,, ) 8.53 A equção wi = W( xyz,, ) 8.54 onde w i é um constnte, pr cd i é equção de um superfície. Sendo w i um constnte, su diferencil é nul. Escrevemos: dw = W dr = i W= wi 8.55 TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente

10 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp 139 Tendo em vist que o vetor deslocmento pertence à superfície ludid, definid por 8.54 concluímos, de 8.55, que o grdiente de um função esclr d form 8.53 é tl que ele é perpendiculr à superfície definid em Assim, podemos dizer que norml tem direção do vetor n = W = W w i 8.56 Figur 8.2: Norml, em cd ponto de um superfície. Em cd ponto P = (x ) pertencente um superfície, podemos determinr o vetor norml el pssndo pelo ponto P. Esse vetor é ddo por: n = W (,, ) (,, ) W= w i Plno tngente um superfície por um ponto Dd função z= f( xy, ) 8.58 que dmite derivds prciis contínus no ponto P = (x ), o plno de equção z f( x, y) = ( x, y)( x x) + ( x, y)( y y) 8.59 é denomindo plno tngente à superfície, que é o gráfico de f, no ponto (x, f(x )). Convém observr que equção do plno tngente cim pode ser entendid como o resultdo do produto esclr ( x, y). i + ( x, y). j k (( x x). i + ( y y). j + ( z f( x, y). k) = 8.6 Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

11 14 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp onde o vetor ( x, y). i + ( x, y). j k é o vetor norml à superfície no ponto (x, f(x )). No cso de W = W(x, y, z), já vimos que W( x, y, z) é norml à superfície de nível W( xyz,, ) = wi 8.61 no ponto (x ). O plno que pss por esse ponto e é perpendiculr o vetor W( x, y, z) denomin-se plno tngente à superfície W(x, y, z) = w i no ponto (x ). A equção desse plno é obtid tomndo o produto esclr Figur 8.3: Plno tngente um superfície. W( x, y, z ) ( x, y, z) ( x, y, z ) = ( ) 8.62 Exemplos Exemplo 8: A equção do plno tngente à superfície dd por z = f(x, y) = x 2 y 2 no ponto (x, f(x )) = (1, 2, 3) é: z f( x, y) = ( x, y)( x x) + ( x, y)( y y) 8.63 isto é, z+ 3 = (1,2).( x 1) + (1,2).( y 2) 8.64 Agor (1, 2) = 2 e (1, 2) = Logo, z+ 3 = 2.( x 1) 4.( y 2) 8.66 TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente

12 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp 141 de onde z 2x + 4y 3 = é equção do plno tngente à superfície dd no ponto (1,2,-3). Por outro ldo, n = 2i 4 j k é o vetor norml à superfície no ponto (1, 2, -3). Logo, equção d ret norml é: ou sej, ( xyz,, ) = (1,2, 3) +λ(2, 4, 1) x = 1+ 2λ y = 2 4 λ z = 3 λ que são s equções prmétrics d ret norml procurd. Exemplo 9: Suponh que z = z(x, y) é um função contínu que dmite derivds prciis contínus e que é 2 xx yy zz dd implicitmente pel equção + + = 1. Mostre que + + = 1 é equção b c b c do plno tngente no ponto (x ). Vejmos: b c = crret, por derivção implícit, que: 2x 2z z + = c 8.7 derivndo implicitmente com relção x; 2y 2z z + = b c y derivndo implicitmente com relção y. Ms, então, z 2 x c c x 2 = = e z = y c = c y 2z z b 2z b z Fundmentos d Mtemátic II AMBIENTE NA TERRA

13 142 Licencitur em Ciêncis USP/Univesp Logo, equção do plno tngente no ponto (x ) é: c x c y z z = ( x x ) ( y y ) 2 2 z b z 8.73 ou sej, c x c y z z = ( x x ) ( y y ) 2 2 z b z 8.74 de onde 2 zz. z x y = ( x x 2 ) ( y y 2 ) c c b 8.75 isto é, zz. z xx. x yy. y c c b b 2 = e, portnto, zz xx + yy = 1 pois x + y + z = 1 c b b b 8.77 TÓPICO 8 Derivd Direcionl e Plno Tngente