I = O valor de I será associado a uma área, e usaremos esta idéia para desenvolver um algoritmo numérico. Ao

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1 Cpítulo 6 Integrl Nosso objetivo qui é clculr integrl definid I = f(x)dx. (6.1) O vlor de I será ssocido um áre, e usremos est idéi pr desenvolver um lgoritmo numérico. Ao contrário d diferencição numéric, integrção numéric é um processo muito estável que, em gerl, não present problems. 6.1 Regr do Trpezóide Um proximção pr áre sob um curv complicd pode ser obtid pel substituição d função originl por um mis simples dentro de um intervlo limitdo. A linh ret é função mis simples e ess proximção lev à regr do trpezóide. A áre sob curv f(x), de x = x = b é proximdmente áre bixo d linh ret entre os pontos (, f()) e (b, f(b)). N figur 6.1() áre sombred corresp o cálculo d integrl seguindo est proximção. Chmndo de T 0 est áre, temos e nest proximção terímos então T 0 = 1 [f() + f(b)] (b ) }{{}, (6.) x 0 I = T 0 + O( x 3 f ) (6.3) De cordo com expnsão em série de Tylor, o proximrmos um função por um ret, ordem de grndez do erro que estmos cometendo, ou sej, ordem de grndez do mior termo desprezdo, é dd pel segund derivd d função, multiplicd por x. No cso do integrndo, ind multiplicmos x, então o erro cometido é O( x 3 f ). Certmente o cálculo de I seri bem melhor se tivéssemos dividido o intervlo (b ) em dus prtes iguis, levndo à construção de dois pinéis como n figur 6.1(b). Nest proximção ou I T 1 = { 1 [f() + f 1] x 1 } + T 1 = 1 [f() + f 1 + f(b)] { 1 [f 1 + f(b)] x 1 } (6.4) (b ), (6.5) }{{ } x 1 f 1 = f(x 1 = + x 1 ) (6.6) 40

2 CAPÍTULO 6. INTEGRAL 41 Figur 6.1: Cálculo d integrl de f(x) pel regr do trpezóide. Com um, dois e qutro pinéis. As proximções de um e dois pinéis estão relcionds: T 1 = T 0 + x 1f 1. (6.7) Pr umentr curáci, dividimos o intervlo em um número ind mior de pinéis. Pr n = k pinéis temos I T k = x n 1 k f() + f j + f(b), (6.8) x k = (b )/ k e f j é função clculd nos pontos internos: j=1 f j = f(x = + j x k ). (6.9) Dizemos então, que T k é o cálculo de ordem k pr I. É clro que qunto mior for o número de pinéis, mis próximo de I será áre clculd. Ms como determinr o número de pinéis dequdo? A melhor mneir é utilizr um critério de convergênci. A idéi é, prtindo de T 0, clculr consecutivmente T 1, T, etc, té que o vlor d áre tenh tingido sturção, ou sej, qundo próxim subdivisão trouxer um melhori desprezível. Pr implementr esse procedimento, o idel é clculr cd ordem em função d nterior, proveitndo o que já foi clculdo. Seguindo idéi d equção (6.7), que dá T 1 em função de T 0, e lembrndo que x 1 = x, podemos escrever T = T 1 + x [f( + x ) + f( + 3 x )]. (6.10) A equção (6.10) pode ser fcilmente generlizd pr ordem k: T k = T k 1 n 1 + x k som é sobre os vlores ímpres de j pens. O procedimento pr o uso d (6.11) é então 1. Clculr T 0 usndo equção (6.) j(impr)=1 f( + j x k ) (6.11). Aplicr equção (6.11) repetidmente pr k = 1,, 3... té que curáci desejd sej conseguid. O critério pr prr subdivisão em pinéis pode ser expresso mtemticmente como Se T k T k 1 T k 1 < ε pre. (6.1) O critério (6.1) não é o único que determin o fim d subdivisão. De cordo com o Numericl Recipes [?], não se deve ultrpssr ordem k = 0 pr evitr o cúmulo de erros de rredondmento. Assim subdivisão deve prosseguir enqunto convergênci não foi tingid e o número de pinéis não ultrpssr 0.

3 CAPÍTULO 6. INTEGRAL 4 Regr de Simpson A regr do trpezóide us segmentos de ret pr proximr um função, um psso nturl pr melhorr proximção é usr segmentos de prábols. Este é o princípio d regr de Simpson. Um prábol genéric pode ser escrit como A áre sob prábol, desde x = té x = b, é A = ou, escrevendo em termos de y(x), y(x) = c 0 + c 1 x + c x. (6.13) ( ) b y(x)dx = [6c 0 + 3c 1 (b + ) + c (b + b + )], (6.14) 6 A = 1 3 ( b ) [ y() + 4y ( + b ) ] + y(b). (6.15) Vemos ssim, que áre sob um prábol genéric pode ser escrit em termos do vlor d prábol nos extremos e no centro do intervlo. Usremos expressão (6.14) pr clculr áre sob um curv qulquer f(x), proximndo f(x), no respectivo intervlo, por um prábol cujos coeficientes form determindos de form que est psse pelos pontos extremos do intervlo e pelo ponto centrl, como mostrdo n figur 6.(). Figur 6.: Cálculo d integrl de f(x) pelo método de Simpson, () com um pinel, e (b) com dois pinéis. Como o método de Simpson lev em cont curvtur, precismos de pelo menos 3 pontos, ou dois pinéis pr inicir o cálculo d integrl. Adotndo um notção nálog d seção nterior, e usndo expressão (6.15) temos que n ordem k = 1 I = f(x)dx S 1 = 1 3 x 1 [f() + 4f 1 + f(b)], (6.16) f 1 e x 1 são definidos como em (6.6). Note que principl diferenç entre (6.5) e (6.16) é o mior peso ddo o ponto centrl n segund expressão.

4 CAPÍTULO 6. INTEGRAL 43 Como no cso d regr do trpezóide, podemos dividir o intervlo de integrção em n = k pinéis, obtendo n k-ésim ordem S k = x k 3 f() + 4 n 1 j(impr)=1 f( + j x k ) + n i(pr)= f( + i x k ) + f(b) + O( x 5 f (4) ), (6.17) x k = b k, (6.18) f (4) é derivd de qurt ordem. O termo cúbico é cnceldo (confir!) e por isso temos contribuição do termo quártico d expnsão em série de Tylor de f(x). A computção d integrl pel regr do trpezóide ou pel de Simpson envolve s mesms grndezs e os dois resultdos podem ser relciondos S k = T k + T k T k 1. (6.19) 3 O critério de convergênci (6.1) pode ser igulmente plicdo: Enqunto k < KMAX, KMAX = 0, Se S k S k 1 S k 1 < ε pre. (6.0) 6. Exercícios 1. Se um determindo evento letório é descrito pel densidde de probbilidde f(x), problidde de que o resultdo ssocido esse evento estej entre e b é dd por P ( < x < b) = f(x)dx. Qundo o intervlo de integrção compreende todos os possíveis vlores de x, o vlor d probbilidde deve ser 1, o que define normlizção de f(x). Use o método de Simpson pr clculr ess probbilidde ns situções indicds bixo, e pr verificr normlizção numericmente. () Distribuição Gussin, definid como f(x) = 1 [ (x σ π exp xm ) ] σ, pr σ > 0, e x entre e +. i. = x m + σ e b = ii. = x m σ e b = x m + σ iii. = x m σ e b = x m + σ

5 CAPÍTULO 6. INTEGRAL 44 (b) Distribuição Log-norml, definid como [ 1 f(x) = xσ π exp [ln(x/xm )] ] σ pr σ > 0, e x entre 0 e +. i. = x m / exp(σ) e b = ii. = x m / exp(σ) e b = x m exp(σ) iii. = x m /[exp(σ)] e b = x m [exp(σ)] Observções: Os integrndos devem ser definidos seprdmente do min, por funções de protótipo: double f(double x, double xm, double sigm). Os cálculos devem ser feitos té que curáci de 10 6 sej lcnçd, ms grntindo que o número de pinéis sej menor que 0.. Neste exercício você vi clculr o período de oscilção de um pêndulo simples, pr qulquer mplitude de oscilção. As oscilções no plno verticl do pêndulo simples esquemtizdo o ldo podem ser descrits pel função θ(t) que dá o ângulo entre hste de suporte e verticl que pss pelo ponto de poio. Um nálise simples dos torques que tum sobre mss suspens [?,?] diz que l θ(t) deve ser solução d equção diferencil θ = g l senθ, (6.1) g é celerção d grvidde e l é o comprimento d hste. Est equção não é muito simples de resolver devido à não-lineridde d função seno. Entretnto, se considermos pens pequens oscilções do pêndulo (θ π/) podemos tomr pens o primeiro termo d expnsão de Tylor do seno, obtendo equção liner θ = g θ, (6.) l m cuj solução é θ = θ m cos(ωt + α), (6.3) ( g ) 1/ ω =, l (6.4) e θ m e α são constntes rbitráris que determinm mplitude e fse d oscilção. Note que nest proximção freqüênci do movimento é independente d mplitude escolhid pr oscilção. Pr resolver o problem sem restrição de pequen mplitude, vmos utilizr integrl que dá energi totl do sistem. A energi potencil d mss m qundo est se encontr com um deslocmento ngulr θ é dd por V (θ) = mgl cos θ, (6.5)

6 CAPÍTULO 6. INTEGRAL 45 estipulmos V (π/) = 0. A energi totl é então E = 1 ml θ mgl cos θ. (6.6) E é constnte no tempo. A tenttiv de resolver equção (6.6) pr θ lev θ dθ θ 0 (E/mgl + cos θ ) = 1/ ( ) 1/ g t, (6.7) l θ 0 = θ(t = 0). Se E > mgl o pêndulo tem energi suficiente pr rodr em torno do ponto de poio, o movimento osciltório prece pr E < mgl. Neste exercício vmos considerr pens o movimento osciltório. Qundo E < mgl podemos escrever energi E em função d mplitude do movimento. Tomndo um ponto de retorno, θ = θ m, θ = 0, temos: E = mgl cos θ m. (6.8) Definimos um nov vriável ϕ que vrre o intervlo entre 0 e π pr um ciclo de oscilção de θ: sen ϕ = sen θ/ sen θ m / = 1 sen θ, (6.9) = sen θ m. (6.30) Substituindo (6.8) em (6.7) e usndo nov vriável ϕ, (6.7) pode ser reescrit como ϕ 0 dϕ ( g ) 1/ (1 sen ϕ ) = t. (6.31) 1/ l () Fç o gráfico do integrndo de (6.31) pr ϕ entre 0 e π pr = 0.1 e = 0.9. (b) Use o método de Simpson pr clculr numericmente o período de oscilção, τ, trvés d equção (6.31) pr diversos vlores de. Considere (g/l) = 1.0s. (c) Constru o gráfico de τ.