ROTAÇÃO DE CORPOS SOBRE UM PLANO INCLINADO

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1 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 ROTAÇÃO DE CORPOS SOBRE UM PLANO INCLINADO. Resumo Corpos de diferentes forms deslocm-se, sem deslizr, o longo de um plno inclindo. Estud-se celerção desse movimento em função d form geométric dos corpos.. Tópicos teóricos s Fig. α Considere-se um corpo de simetri cilíndric e rio r que se desloc sobre um plno inclindo com trito. O movimento dá-se de form que trnslção o longo do plno inclindo se fz com rotção em torno de um eixo que pss pelo centro de mss do corpo, é prlelo o plno inclindo e perpendiculr à trjectóri descrit. Consider-se que forç de trito é tl que impede totlmente que o corpo deslize sobre o plno. Pode-se mostrr que, nests condições, celerção do centro de mss do corpo () é dd por: λgsen α () onde g é celerção d grvidde, α o ângulo ssocido à inclinção do plno e λ é um fctor numérico que depende unicmente d form geométric do corpo que se desloc sobre o plno inclindo. Alguns exemplos de vlores deste fctor são: λ /3 pr um cilindro, λ 5/7 pr um esfer e λ / pr um nel cilíndrico. Verific-se, trvés d expressão (), que celerção não está relciond, como à prtid se poderi supor, com mss do corpo. RCPI - 35

2 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q,BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 Pretende-se, neste trblho, medir celerção do movimento do do corpo o longo do plno inclindo e verificr se os resultdos cim referidos se observm experimentlmente. A medid d celerção fr-se-á com bse n relção que existe entre distânci percorrid pelos corpos o longo do plno inclindo, s, e o tempo gsto durnte o seu percurso, t: s t () Assume-se que o vlor d celerção d grvidde é conhecido e ddo por g m s Problems propostos Pretende-se estudr o movimento de corpos que se deslocm sem deslizr o longo de um plno inclindo, tentndo determinr celerção do movimento em função d form geométric do corpo. 4. Mteril Plno inclindo em lumínio. Cilindro. Anel. Esfer. Relógio electrónico. Dois detectores fotoeléctricos. Fit métric. Blnç. Fios de ligção. 5. Procedimento experimentl Tenh o cuiddo de notr os erros de leitur de escl ssocidos todos os prelhos de medid que usr. 5.. Meç inclinção do plno bsendo-se no seguinte esquem: RCPI - 36

3 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 A B α AB tg ( α ) BC 5.. Verifique que todos os corpos têm mesm mss Fixe distânci, s, percorrer sobre o plno inclindo ( mior possível de cordo com s condições d experiênci) colocndo os dois detectores fotoeléctricos nos extremos do percurso (fig. ) Lrgue (sem velocidde inicil) um dos corpos sobre o plno inclindo, medindo o tempo de pssgem, t, entre os dois fotodetectores. Repit est medid 5 vezes Fixe um nov distânci, s, e proced como em Repit 5.5. té perfzer 5 distâncis diferentes. Elbore um tbel de dus entrds com os vlores de s e t medidos Repit experiênci com todos os corpos de que dispõe. C 6. Análise dos resultdos obtidos 6.. Clcule os vlores médios dos tempos medidos, prtir d tbel referid em 5.4., estimndo os erros letórios respectivos. 6.. Constru, pr cd corpo, um tbel com os vlores de s, t, e t utilizndo os vlores de tempo clculdos em 6.. (não esqueç os erros ssocidos cd um ds grndezs) Usndo s tbels referids em 6.. constru, pr cd corpo, um gráfico de s em função de t. Ajuste um rect de regressão liner cd gráfico. Clcule, prtir dos coeficientes ds regressões, o vlor d celerção do movimento de cd corpo, tendendo que se esper: s t + 0 Clcule tmbém os erros ssocidos os coeficientes Sbendo que, pr situção estudd, se esper que celerção do sistem tenh form: λgsen α clcule o fctor λ pr cd um dos corpos. Compre os vlores obtidos com os que se esperm teoricmente. RCPI - 37

4 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q,BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 Apêndice Estudo do movimento de corpos que rodm sem deslizr num plno inclindo Y r N F P α X Fig. A. Considere-se um corpo de simetri cilíndric e de rio r que se desloc sobre um plno inclindo com trito. O seu movimento ocorre de form que trnslção o longo do plno inclindo é compnhd de um rotção em torno de um eixo que pss pelo centro de mss do corpo, é prlelo o plno inclindo e perpendiculr à trjectóri descrit. Consider-se que forç de trito é tl que impede totlmente que o corpo deslize sobre o plno. Pretende-se determinr celerção do movimento do centro de mss () do corpo o longo do plno inclindo. N figur A. N r represent recção norml do plno inclindo sobre o corpo, P r o seu peso e F r forç de trito entre o plno inclindo e o corpo. As leis de Newton permitem escrever, em concordânci com o referencil representdo n figur: ( α ) N Pcos 0 Psen( α ) F m (segundo o eixo YY) (segundo o eixo XX) (A.) Ests expressões descrevem dinâmic d trnslção do corpo o longo do plno inclindo. Em relção o movimento de rotção pode-se escrever: r M I γ r M Iγ (A.) sendo M resultnte do momento ds forçs em relção o eixo que pss pelo centro de mss do corpo, I o momento de inérci referido o mesmo eixo e γ celerção ngulr do movimento de rotção. A únic forç que contribui pr o momento resultnte é forç de trito pois s restntes estão plicds no centro de mss do corpo. Dest form: M rf (A.3) A velocidde de qulquer ponto d superfície do corpo em relção o centro de mss é dd, em módulo, por: v ωr (A.4) RCPI - 38

5 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 sendo ω velocidde ngulr do movimento de rotção. A velocidde do centro de mss reltiv qulquer ponto d superfície terá exctmente o mesmo módulo ms sentido contrário. A velocidde do em relção o ponto de contcto do corpo com o plno inclindo tem portnto o módulo ddo pel expressão (A.4). Atendendo que esse ponto está momentnemente em repouso reltivmente um referencil fixo no lbortório pode-se escrever que: v ωr (A.5) no referencil representdo n figur A.. Derivndo est expressão em ordem o tempo tem-se: γr (A.6) As equções (A.), (A.), (A.3) e (A.6) permitem estbelecer o sistem: N Pcos( α ) 0 Psen( α ) F m rf I r prtir do qul se pode clculr: (A.7) m gsen( α ) (A.8) I r A equção (A.8) represent celerção do do corpo no seu movimento o longo do plno inclindo. Comprndo est expressão com que result pr celerção de um corpo deslizndo sem trito o longo do plno inclindo ( g sen(α)) verific-se ser celerção, no presente cso, inferior ess. N relidde pode ser escrit n form: ( α ) λgsen (A.9) em que λ é um fctor que depende, em princípio, ds crcterístics do corpo que se moviment, nomedmente d su mss, do seu momento de inérci e ds sus dimensões (r). Aplique-se o estudo relizdo os csos de três corpos de geometris diferentes: (i) Cilindro No cso do corpo ser cilíndrico o seu momento de inérci é ddo por: podendo escrever-se pr λ: mr I cilindro (A.0) RCPI - 39

6 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q,BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 m m λ cilindro (A.) Icilindro mr + 3 r r A celerção do movimento do do cilindro será dd portnto por: λcilindro gsen( α ) com λcilindro (A.) 3 (ii) Esfer Pr um esfer o momento de inérci é ddo por: e, portnto: mr 5 I esfer (A.3) m m 5 λ esfer (A.4) I esfer mr 7 + r 5r 5 Deste modo, tem-se pr celerção do d esfer no seu movimento o longo do plno inclindo: 5 λesfer gsen( α ) com λesfer (A.5) 7 (iii) Anel cilíndrico O momento de inérci de um nel cilíndrico é ddo por: I mr nel (A.6) O fctor λ ssume, ssim, pr este cso, o vlor: m m λ nel (A.7) Inel mr + r r Clcul-se então o vlor d celerção do do nel como: λnel gsen( α ) com λnel (A.8) Os três csos estuddos permitem concluir que λ é pens um fctor numérico que não depende ds crcterístics prticulres (nomedmente d mss e do rio) do corpo em questão. Conclui-se, portnto, que λ depende exclusivmente do tipo de geometri do corpo, ssumindo vlores distintos consonte form geométric. Por outrs plvrs, todos os cilindros se deslocrão com mesm celerção o longo do plno, o mesmo se pssndo em relção tods s esfers e todos os néis cilíndricos. RCPI - 40

7 Físic Gerl I EF, ESI, MAT, FQ, Q, BQ, OCE, EAm Protocolos ds Auls Prátics 003 / 004 Fic portnto demonstrdo que celerção de um corpo que rod sem deslizr o longo de um plno inclindo é dd por: com λ ddo pelos vlores referidos em (A.), (A.5) e (A.8). λgsen α (A.9) Assumindo que o corpo inici o seu movimento sobre o plno inclindo sem velocidde inicil pode-se escrever (ind em relção o referencil d figur A.): v t ( λgsen( α ))t (A.0) de onde result pr equção do movimento: x x0 + t x0 + ( α ) λgsen t (A.) A distânci percorrid pelo centro de mss do corpo será dd então por: s λgsen α x x0 x0 + t x0 ( α ) λgsen s t (A.) O movimento do corpo depende exclusivmente d su form geométric trvés do prâmetro λ. RCPI - 4