Física III Escola Politécnica GABARITO DA P2 16 de maio de 2013

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1 Físic III Escol Politécnic GABARITO DA P2 16 de mio de 2013 Questão 1 Considere dois eletrodos esféricos concêntricos de rios e b, conforme figur. O meio resistivo entre os eletrodos é homogêneo com condutividde σ. Um corrente I flui do eletrodo interno de rio pr o eletrodo eterno de rio b trvés do meio resistivo. b _ + σ I () (1,0 ponto) Clcule, em função d corrente I, o vetor densidde de corrente no meio resistivo um distânci r do centro dos eletrodos ( < r < b). (b) (1,0 ponto) Clcule resistênci do sistem ôhmico em função de, b e σ. (c) (0,5 ponto) Qul o vlor d diferenç de potencil entre os eletrodos em função de, b, σ e I? 1

2 Solução d questão 1 () A relção entre densidde de corrente J e corrente I é I = S J d A, onde S é um superfície esféric concêntric com s esfers condutors. Por simetri J = J(r) r, portnto I = J(r) r d A = I = J(r)4πr 2 = J(r) = I S 4πr 2 r. (b) Podemos considerr região entre s cscs condutors como um superposição de cscs esférics concêntrics de rio interno r e rio eterno r + dr. Como espessur dr dests cscs é infinitesiml, s sus superfícies intern e etern têm prticmente mesm áre e podemos clculr su resistênci dr trvés d epressão A resistênci totl é dd por R = b dr = 1 σa(r) dr, onde A(r) = 4πr2. 1 σa(r) dr = 1 b 4πσ dr r = 1 ( 1 2 4πσ 1 ) = R = b b 4πσb. (c) A diferenç de potencil entre os eletrodos pode ser clculd trvés de V = RI = V = (b )I 4πσb. 2

3 Questão 2 Dois fios 1 e 2, infinitos e prlelos, seprdos pel distânci 2, conduzem no vácuo, cd um, um corrente I, em sentidos opostos, conforme figur P=(,0,0) () (0,5 ponto) Usndo lei de Ampère, clcule o vetor cmpo mgnético produzido por um fio infinito por onde pss um corrente i um distânci r do fio. (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético produzido pelos dois fios no ponto P = (,0,0). (c) (1,0 ponto) Clcule o vetor forç por unidde de comprimento eercid no fio 2 pelo fio 1. 3

4 Solução d questão 2 () A lei de Ampère fornece B d l = µ 0 i i Como B é prlelo d l e B = B(r) podemos r escrever Bdl = B(r) dl = B2πr = µ 0 i = B(r) = µ 0i 2πr B B(r) = µ 0i 2πr θ (b) No ponto P s componentes de B 1 e B 2 se cncelm (vej figur). 1 ( ) 1/2 θ B 1 π/2 θ 2 + B 2 Usndo o resultdo do item () obtemos µ 0 I B(P) = 2B 1 cos(π/2 θ) ı = 2B 1 sen(θ) ı = 2 2π( ) 1/2 ( ) 1/2 ı B(P) = µ 0 I π( ) ı. (c) A forç que o fio 1 eerce sobre um elemento d l do fio 2 é d F = Id l B 1. A forç sobre um trecho de comprimento L do fio 2 é F = I d l B 1 = I dlb 1 j = ILB 1 j = IL µ 0I 4π j = F L = µ 0I 2 4π j. 4

5 Questão 3 Um nel fino de rio R, crregdo com densidde liner de crg λ > 0, gir em torno de um eio z que pss pelo seu centro com um velocidde ngulr ω = ω k, conforme figur. Atu n região um cmpo mgnético eterno homogêneo B = B ı. z ω O R B () (0,5 ponto) Clcule corrente i ssocid o movimento do nel em função de λ, ω e R. Qul é o sentido d corrente? (b) (1,0 ponto) Clcule o vetor torque que o cmpo eterno B eerce sobre o nel. (c) (1,0 ponto) Clcule o cmpo mgnético B O produzido pelo nel no seu centro. 5

6 Solução d questão 3 () A corrente pode ser clculd trvés d quntidde de crg que pss trvés de um áre igul à seção ret do nel. i = q t = λr θ t = λrω t t = λrω. Ou, mis diretmente, i = dq dt = dq dl dl dt A corrente tem o sentido d rotção do nel. (b) O momento mgnético d espir é = λv = λωr. µ = ia k = (λωr)(πr 2 ) k = λωπr 3 k. O torque sobre espir é τ = µ B = λωπr 3 B j. (c) O cmpo mgnético no centro d espir pode ser clculdo trvés d lei de Biot- Svrt. d B 0 = µ 0i 4π d l r ; d r l r = dl k = B 2 0 = µ 0i 4πR 2 dl k = µ 0i 2R k. Como i = λωr, B 0 = µ 0λω 2 k. 6

7 Questão 4 (I) Considere um espir qudrd de ldo 2 percorrid no sentido nti-horário por um corrente I. A espir se encontr no plno, conforme figur. I P _ z () (1,0 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético produzido pelo segmento d espir o longo do eio no centro d espir (ponto P = (0,,0)). (b) (0,5 ponto) Clcule o vetor cmpo mgnético totl produzido pelos qutro segmentos no centro d espir. (II) (1,0 ponto) Usndo lei de Ampère clcule o vetor cmpo mgnético no interior de um condutor cilíndrico infinito de rio R por onde pss um corrente I uniformemente distribuid trvés de su seção ret. 7

8 Solução d questão 4 (I) Cmpo mgnético no centro d espir qudrd. () O cmpo mgnético produzido no ponto P pelo pedço d l do fio sobre o eio é ddo por db = µ 0I d P k l r, r 4π r 3 onde d l = d ı e r = φ I dl D figur obtemos d l r = dr senφ k e senφ = / Assim, d B = µ 0I 4π d k ( ) = B = µ 0I 3/2 4π B = µ 0I 2 k. 2π d ( ) k = µ 0I 3/2 2π 2 k (b) O cmpo totl no centro d espir é qutro vezes o vlor obtido no item () B = 2µ 0I 2π k. (II) Cmpo dentro do condutor cilíndrico. B r J R c A lei de Ampère firm que C B d l = µ 0 I int. Pr r R, C B d l = C Bdl = B C dl = B2πr = µ 0 I(r) = µ 0 J(r)πr 2 I Ir 2 = µ 0 = µ πr 2πr2 0 R 2 = B = µ 0Ir 2πR 2 ˆθ 8

9 V = q B 4πǫ 0 r r, V B V A = Formulário A E d l, V = 1 dq 4πǫ 0 r, E = V, u = ǫ 2 E2, ǫ 0 κe da = q int liv, I = dq dt = n q v da, J = n q vd, ρ = 1 σ, I = J da, dr = ρ dl S A, V = RI, V = E Ir, P = VI = I2 R = V 2 R, F = qe+q v B, Φ B = B d A, B d A = 0, df = Id l B, µ = IA, τ = µ B, U = µ B, d B = µ 0I 4π d l ˆr r 2, B d l = µ 0 I int, d ( 2 +c 2 ) 3/2 = c 2 2 +c 2. 9